2021年廣東高考數(shù)學(xué)真題及答案

本試卷共4頁(yè)，22小題，總分值150分，考試用時(shí)120分鐘。

考前須知：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在

答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上，將條形碼橫貼

在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每題答案后，用28鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)

的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不

能答在試卷上，

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案：不

準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試完畢后，將試卷和答題卡一井交回。

一、選擇題：此題共8小題，每題5分，共40分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。

1.設(shè)集合A={x|-2<x<4}.B={2,3,4,5},那么APIB=

A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}D.{2,3,4}

2.z=2-i,那么(z(1+i)~

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

、/X其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，那么該圓錐的母線長(zhǎng)為

4.以下區(qū)間中，函數(shù)f(x)=7sin(x-9單調(diào)遞增的區(qū)間是

A.(0,j)B.(j,n)C.(H,畛D.(茂2n)

是橢圓C：I=/的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，那么|MFJ?|卜舊|的最大值

為

6.假設(shè)tanf那么陪三”

A.-I

B.-:

C.：

D.三

7.假設(shè)過點(diǎn)（a,b）可以作曲線y=e"的兩條切線，那么

A.eb<a

B.ea<b

C.0<a<eb

D.0<b<ea

8.有6個(gè)一樣的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次,每次

取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1",乙表示事件“第二次取

出的球的數(shù)字是2",丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8〃，丁表示事

件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,那么

A.甲與丙相互獨(dú)立

B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立

D.丙與丁相互獨(dú)立

二、選擇題：此題共4小題，每題5分，共20分。在每題給出的選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，局部選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

1，X2,…，x?,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)yi,y2,—,y?,其中

yi=Xi+c(i=l,2,…,n),c為非零常數(shù)，那么

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)一樣

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)一樣

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差一樣

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差一樣

10.0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Pi(cosa,sina),P2(cosB,-sinB),P;i(cos(a+B),sin(a

+B)),A(l,0),那么

A11-I,I,

A。1OP1||0P2|

D—II

|AP1|_|AP2|

Cii」I

LOA?0P30P1?0P2

D-b/?OPI='OPT?0P3

(A-5)2+5-5)2=16上,點(diǎn)A(4,0),B(0,2),那么

NPBA最小時(shí)，|PBI=3yj2

NPBA最大時(shí)，|PB|=3V^

出多。中，AB=A/fi=1,點(diǎn)P滿足濕=月初+UBBI'其中入@Si］，〃W［0,1］，

那么

A.當(dāng)入=1時(shí)，ZX/aP的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)u=l時(shí)，三棱錐P-JiBC的體積為定值

C.當(dāng)人弓時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得小產(chǎn)，BF

u4時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得*B_L平面AEP

三.選擇題：此題共4小題，每題5分，共20分

13.函數(shù)f(x)=V(a*2,-2-與是偶函數(shù)，那么a=

14.0為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直,

Q為x軸上一點(diǎn),且PQL0P,假設(shè)|FQ|=6,那么C的準(zhǔn)線方程為一

15.函數(shù)f(x)=|2xT|-21nx的最小值為

16.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)此紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙

對(duì)折.規(guī)格為20dmX12dm的長(zhǎng)方形紙.對(duì)折1次共可以得到10dmX2dm.20dmX6dm

兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和品=240dm；對(duì)折2次共可以得5dmX12dm,

10dmX6dm,20dmX3dm三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和應(yīng)=180dm2.以此類推.那么

對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______:如果對(duì)折n次，那么

"產(chǎn)尸dm2

四、解答題：此題共6小題，共70分，解容許寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

17.(10分)數(shù)列｛同滿足ai=l,1｛:;:2,:嘉襄

(1)記協(xié)=或"，寫出弧檢,并求數(shù)列｛碗的通項(xiàng)公式；

(2)求⑻｝的前20項(xiàng)和

18.（12分）

某學(xué)校組織〃一帶一路〃知識(shí)競(jìng)賽，有A,B兩類問題?每位參加比賽的同學(xué)

先在兩類問題中選擇類并從中隨機(jī)抽一個(gè)問題何答，假設(shè)答復(fù)錯(cuò)誤那么該同學(xué)

比賽完畢；假設(shè)答復(fù)正確那么從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題答復(fù)，無論

答復(fù)正確與否，該同學(xué)比賽完畢.A類問題中的每個(gè)問題答復(fù)正確得20分，否

那么得0分：B類問題中的每個(gè)問題答復(fù)正確得80分，否那么得0分。

己知小明能正確答復(fù)A類問題的概率為0.8,能正確答復(fù)B類問題的概率為

0.6.且能正確答復(fù)以下問題的概率與答復(fù)次序無關(guān)。

(1)假設(shè)小明先答復(fù)A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列：

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先答復(fù)哪類問題？并說明理由。

19.(12分)

記4ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a.,b.,c,右ac,點(diǎn)D在邊AC上,

BDsinZABC=asinC.

⑴證明:BD=b：

(2)假設(shè)AD=2DC.求cosNABC.

20.（12分）

如圖，在三棱錐A-BCD中.平面ABD_L入

平面BCD,AB=AD.O為BD的中點(diǎn).

(1)證明：0A±CD：花，

(2)假設(shè)aOCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角’

形.點(diǎn)E在棱AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小為45°,求三

棱錐A-BCD的體積.

21.(12分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知點(diǎn)用(-八7,0),后(“7,0),點(diǎn)M滿足

|MFt|-|MF2|=2.iBM的軌跡為C.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)T在直線*=；上，過T的兩條直線分別交C于A,B兩點(diǎn)和P,Q

兩點(diǎn)，且|TA|?|TB|=|TP|.|TQ|,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和

22.(12分)

函數(shù)f(x)=x(1-lnx)

(1)討論f(x)的單調(diào)性

(2)設(shè)a,b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b證明：2

新高考I卷數(shù)學(xué)答案解析

1.B

2.C

3.B

4.A

13.a=l

14.x=-

16.5；24人3-

17.

⑴解：由題意得b1=a2=ai+l=2,b2=a4=a3+l=5

VbI=a2=a1+l,.,.a2-ai=l.

b2=a尸a3+l=a2+3??3)-32=3.

同理a6-a4=3

b”—a2na2“-2—3.

疊加可知a2g=1+3(n-1)

.'.a2n=3nT

b,,i=a2=2,符合上式.

(2)解:a2n=a2n-1+1

=—=—

??a.2n-ia2nl3n2.

.?.設(shè)瓜｝前20項(xiàng)和為S20

??Szo=(ai+a3+.“+ai9)+(a2+a*+.—+a2。)

=145+155=300

18.

(1)解：

由題意得x=0,20,100.

P(x=0)=0.2

X0.4=0.32

X020100

p

⑵解:

小明先選擇B,得分為y

.,.y=0,80,100

X

X

y080100

p

...小明應(yīng)先選擇B.

19.

(1)由正弦定理

得金二券即6"為砥誓

又由BD6/〃〃/=asinc,得BD生F=asinc,

BD?b=ac]

即b2=acBD=b

⑵由AD=2DC,將加=2加即?竹馴=熬：

=1*2T則看團(tuán)。卻1?比

=>b2=；c2+；a2+7C?a'f--

JJb2=3c2+6冷

=/=ac=6U—ilac+3d=0

=>a=；c或a=-c

/Tv己0932/f/-b?

①宙=ac旬一/=cosNABC：L

9234

/427

21c-5c工

』&工nN-5y+d-呈

②/一j-~s^cosZABC=------1—

⑹~ac2c%

綜上

cos4砥！

20.

⑴證明：

由，AABD中AB=AD且0為BD中點(diǎn)

.??AO±BD

又平面ABDJ_平面BCD

AO_L平面BCD且CDc平面BCD

AO±CD

⑵由于△OCD為正三角形，邊長(zhǎng)為1

OB=OD=OC=CD

二ZBCD=90"

取0D中點(diǎn)H,連結(jié)CH,那么CH_LOD

以H為原點(diǎn)，HC,HD,HZ為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系

由①可知，平面BCD的法向量4=(0,0,1)

設(shè)C(邛,2力，B(0,J。，D(0,/)

那么/=(0,-1,h)

VDE=2EA

DE--^)A=(0,/

BE=DB)DB=(0,\初且如=考,彳0)

設(shè)4_1_平面BECk(x,y,z)

.fn^BC=C[p彳方=6

{n^BE=C即[y+”z=0

z?-(\[3,-1,~)

由于二面角E-BC-D為45°

2

/.cos45°--/cos(n^/=h

4

3+1+「

/.h=1

/.V三棱錐A-B3沼BCDXyp-3義當(dāng)X2X1=￡■

21.(1)c=y/Ti,2a=2,a=l,b=4

，表示雙曲線的右支方程：步q=l(x21)

(2)設(shè)加，設(shè)直線AB的方程為V=0(3-9+%次“油,風(fēng)路2

；j，得16/-竭/-**勺+2kMx-9清]-16

(16-⑶/+(芯?2k諭X-，+kim-灌-16=C

.：\TAW=Q+研

Q*⑶X1X2-協(xié)X1+⑼+

12khn-欣

=Q

216-超4

-/-12

=U+婿

16-詁

j+12

=(1*⑶—

曲.16

設(shè)kPQ二路同理可得

I陽(yáng)陽(yáng)=Q+⑶.

所以(“⑼1=(/'⑶粉

得位-16面=盾-16位

.:后=啟

：,ki#k：

?：ki二-k%

即必-f-k2=C

22.⑴f(x)=x-xlnx

f'(x)=1-lnx-l=-lnx(x>0)

令f'(x)>0,那么OVxVL

令f’(x)<0,那么x>l

.?.f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),單調(diào)減區(qū)間為(1,+8).

⑵手半=抬

即—=—,即f?=