第7講仿真模型與Matlab實(shí)現(xiàn)王丹理學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)系2023年夏季例1：生命游戲生命游戲〔gameoflife〕是由劍橋大學(xué)的數(shù)學(xué)家JohnHortonConway在1970年提出來的。元胞分布在規(guī)那么劃分的二維網(wǎng)格上；元胞具有0，1兩種狀態(tài)，0代表“死〞，1代表“生〞；元胞以相鄰的8個(gè)元胞為鄰居；一個(gè)元胞的生死由其在該時(shí)刻本身的生死狀態(tài)和周圍八個(gè)鄰居的狀態(tài)決定。生命游戲的規(guī)那么：生存：對一個(gè)活的元胞，如果它的鄰居中有兩個(gè)或三個(gè)元胞是活的，那么該元胞將繼續(xù)生存下去。死亡:對一個(gè)活的元胞(a)如果它的鄰居中有四個(gè)或四個(gè)以上的元胞是活的，那么該元胞將死去；(b)如果它的鄰居中只有一個(gè)或沒有活的元胞，那么該元胞也將死去。繁殖:對一個(gè)死的元胞，如果它的鄰居中有3個(gè)〔不能多也不能少〕活的，那么該元胞將成為一個(gè)活的元胞。生命游戲的規(guī)那么(數(shù)學(xué)形式)：規(guī)那么的不斷演化所形成的規(guī)律性與初始狀態(tài)有關(guān)，不同的初始狀態(tài)可能導(dǎo)致不同的演化結(jié)果。生命游戲的一些演化過程和形態(tài)演示〔1〕完全生成初始狀態(tài)〔2〕脈沖星〔Explore〕〔3〕滑翔機(jī)〔Glider〕〔4〕小脈沖星〔SmallExplore〕〔5〕10元胞行〔10Cellsrow〕〔6〕輕型飛船〔LightweightSpaceship〕〔7〕圖姆勒〔Tumler〕〔8〕滑翔機(jī)發(fā)射器〔GosperGliderGun〕完全生成初始狀態(tài)脈沖星〔Explore〕滑翔機(jī)〔Glider〕10元胞行〔10Cellsrow〕輕型飛船〔LightweightSpaceship〕圖姆勒〔Tumler〕滑翔機(jī)發(fā)射器〔GosperGliderGun〕滑翔機(jī)發(fā)射器〔GosperGliderGun〕程序?qū)崿F(xiàn)幾個(gè)核心問題：〔1〕棋盤狀態(tài)如何表示？〔2〕鄰域活細(xì)胞總數(shù)如何統(tǒng)計(jì)？〔3〕元胞自動機(jī)的狀態(tài)改變規(guī)那么在程序中如何表達(dá)？〔4〕動畫如何生成？〔5〕初始狀態(tài)如何給定？〔1〕棋盤狀態(tài)如何表示？用一個(gè)0-1矩陣表示元胞自動機(jī)的棋盤，即：〔2〕鄰域活細(xì)胞總數(shù)如何統(tǒng)計(jì)？〔3〕元胞自動機(jī)的狀態(tài)改變規(guī)那么在程序中如何表達(dá)？換一種寫法：程序效率差異顯著〔4〕動畫如何生成？初始化：每次更新：〔5〕初始狀態(tài)如何給定？直接賦值，如省略了賦初值語句例2：Langton'sant蘭頓螞蟻是元胞自動機(jī)另外一個(gè)經(jīng)典的案例。其通過簡單兩條規(guī)那么模擬螞蟻的行為規(guī)律。螞蟻在方形網(wǎng)格上運(yùn)動，網(wǎng)格分為黑色和白色兩種，螞蟻在網(wǎng)格上頭可朝向上、下、左、右四個(gè)方向，頭朝向哪個(gè)方向，下一步運(yùn)動就向該方向，并且不改變頭的方向，運(yùn)動遵循兩條規(guī)那么：〔1〕假設(shè)螞蟻位于黑色網(wǎng)格，那么頭向右轉(zhuǎn)90度，前進(jìn)一步，并將原網(wǎng)格變成白色；〔2〕假設(shè)螞蟻位于白色網(wǎng)格，那么頭向左轉(zhuǎn)90度，前進(jìn)一步，并將原網(wǎng)格變成黑色；

通過模擬可以發(fā)現(xiàn)，螞蟻表現(xiàn)出了相當(dāng)復(fù)雜的行為。初始狀態(tài)為一只小螞蟻位于網(wǎng)格中間，且頭朝上。隨著螞蟻的行走演變，系統(tǒng)行為表現(xiàn)為三個(gè)階段：程序?qū)崿F(xiàn)核心變量：〔1〕棋盤的狀態(tài)改變〔2〕螞蟻的當(dāng)前位置和頭的朝向用一個(gè)二維數(shù)組表示棋盤的狀態(tài)，假設(shè)棋盤大小為200*200，螞蟻位于棋盤中心(100,100)位置，初始螞蟻頭朝上。棋盤：cells(1:200,1:200)=1;%白色棋盤posx=100;posy=100;%螞蟻當(dāng)前位置direct=1;%1,2,3,4代表從上開始順時(shí)針?biāo)膫€(gè)方向棋盤大小全為白色棋盤設(shè)定圖像顯示螞蟻初始位置和方向當(dāng)前位置為黑格頭朝上頭朝右頭朝下頭朝左當(dāng)前位置為白格頭朝上頭朝右頭朝下頭朝左例3：森林火災(zāi)模擬元胞空間采用2維正方形網(wǎng)格自動機(jī)，元胞包括三種狀態(tài)：正在生長的樹〔綠色〕，正在燃燒的樹〔紅色〕和空狀態(tài)〔黑色〕。初始狀態(tài)由這三種情況隨機(jī)填充，鄰域取Moore型。每一步按下述規(guī)那么更新狀態(tài)：〔1〕正在燃燒的樹變?yōu)榭諣顟B(tài)；〔2〕如果正在生長的樹格位最近的鄰居中有不少于一棵樹正在燃燒，那么它將變?yōu)槿紵隣顟B(tài)；〔3〕如果是空狀態(tài)格位，那么其以概率p生長出樹；〔4〕考慮到閃電的作用，在最近鄰居中沒有正在燃燒的樹〔周圍全是樹且沒有燃燒〕的情況下，生長樹在每個(gè)時(shí)間步以概率f變成燃燒的樹。程序?qū)崿F(xiàn)核心變量：規(guī)那么〔1〕—規(guī)那么〔4〕的實(shí)現(xiàn)！用一個(gè)二維數(shù)組表示棋盤的狀態(tài)，假設(shè)棋盤大小為100*100，初始根據(jù)概率隨機(jī)確定是否有樹。棋盤：S=rand(100);%隨機(jī)生成[0,1]間的棋盤矩陣S(S<=0.5)=0;S(S>0.5)=1;Sk=zeros(102);Sk(2:N+1,2:N+1)=S;例4：基于元胞自動機(jī)的交通流模擬將道路離散化為一維網(wǎng)格，車輛為元胞，勻速行駛，其在一維網(wǎng)格上的移動看成一維網(wǎng)格的狀態(tài)變化，鄰域取前后各一個(gè)位置，即鄰域半徑r=1，初始狀態(tài)為道路入口處有一輛車，隨著時(shí)間的進(jìn)行，道路入口處按均勻分布隨機(jī)產(chǎn)生一輛車作為道路的輸入〔產(chǎn)生概率決定了車流密度〕，車輛在道路上的移動可使用元胞自動機(jī)模擬。將某一個(gè)位置的車固定不移動，還可模擬紅綠燈和交通堵塞等情況，如將道路最后一個(gè)位置車輛不移動或固定時(shí)長移動，那么可模擬紅綠燈；將道路中某一個(gè)位置車輛不移動一定時(shí)長可模擬偶然交通事故。

〔1〕在當(dāng)前時(shí)間，某一個(gè)位置假設(shè)有車，那么下一個(gè)時(shí)間該位置有無車取決于前后位置是否有車；〔2〕假設(shè)當(dāng)前位置有車，下一個(gè)位置沒有車，那么當(dāng)前位置下一個(gè)時(shí)刻有無車取決于上一個(gè)位置是否有車，如上一個(gè)位置有車，那么下一個(gè)時(shí)刻當(dāng)前位置有車，否那么無車，假設(shè)下一個(gè)位置有車，那么還決定于下一個(gè)時(shí)刻此車是否會前進(jìn)，假設(shè)前進(jìn)，那么當(dāng)前位置下一個(gè)時(shí)刻有無車又由上一個(gè)位置有無車決定，否那么當(dāng)前位置有車；〔3〕假設(shè)當(dāng)前時(shí)刻無車，那么下一個(gè)時(shí)刻有無車取決于上一個(gè)位置是否有車，假設(shè)有車，那么當(dāng)前位置下一個(gè)時(shí)刻有車，否那么無車。移動規(guī)那么：移動規(guī)那么可表示成:上述這條規(guī)那么隱藏了一個(gè)潛在的前提〔假設(shè)〕：前進(jìn)中的車輛應(yīng)該有車距〔一個(gè)車位〕，即假設(shè)完全緊挨在一起的車輛在行進(jìn)中要隔開一個(gè)車位。在這個(gè)模型根底上還可以加上紅綠燈機(jī)制，如在路的最后設(shè)置紅綠燈，給定紅綠燈時(shí)間，只需在紅燈時(shí)間內(nèi)讓道路口位置恒為1，在綠燈時(shí)間內(nèi)讓道路口位置恒為0即可。紅燈60個(gè)單位時(shí)間，綠燈120個(gè)單位時(shí)間增加偶然交通事故。在每個(gè)時(shí)刻，產(chǎn)生服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)，假設(shè)隨機(jī)數(shù)大于0.5%那么發(fā)生一次交通事故，在有車的位置隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)交通事故點(diǎn)，堵塞交通固定時(shí)間，如60個(gè)時(shí)間單位。具體實(shí)現(xiàn)上讓這個(gè)位置在堵塞時(shí)間內(nèi)恒為1即可。程序?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置：S=100;%道路長度First(1:s+1)=0；%一維數(shù)組表示道路Passtime=120;%綠燈時(shí)間Stoptime=60;%紅燈時(shí)間

Ispass=1,curpass=0,curstop=0;%記錄當(dāng)前車輛已通過或停止的時(shí)間Accident=0;%路面是否發(fā)生隨機(jī)事故Acpoint=-1;%發(fā)生隨機(jī)事故的位置Actime=60;curactime=-1;%隨機(jī)事故的阻塞時(shí)間記錄更新的道路狀態(tài)阻塞道路末端打開道路末端紅綠燈規(guī)那么實(shí)現(xiàn)隨機(jī)交通事故處理以0.5%的概率產(chǎn)生隨機(jī)事故車輛移動仿真從道路末端到起點(diǎn)車輛移動方程事故點(diǎn)附近處理道路口進(jìn)入車輛以0.4的概率按均勻分布在道路起點(diǎn)處產(chǎn)生1輛車，更符合實(shí)際的是應(yīng)該按照泊松分布或指數(shù)分布產(chǎn)生車輛，如：進(jìn)一步考慮車輛加減速，設(shè)每輛汽車〔元胞〕有一個(gè)行駛速度，速度最小值為0，最大值為vmax，在當(dāng)前時(shí)刻到下一時(shí)刻演化中，汽車遵循以下原那么：〔1〕加速：現(xiàn)實(shí)中司機(jī)總是期望以最大速度行駛，所以在每一步當(dāng)可以加速時(shí)(前后車輛距離大于當(dāng)前車速)，司機(jī)進(jìn)行加速，新的速度為〔2〕減速：當(dāng)前后車距過近，用當(dāng)前速度前進(jìn)會碰撞時(shí)司機(jī)進(jìn)行減速，新的速度為

dn為前后車距?！?〕隨機(jī)慢化：由于各種不確定因素〔如路況，司機(jī)分心等〕造成車輛減速，以概率p進(jìn)行隨機(jī)慢化，新的速度為〔4〕移動：車輛按照調(diào)整后速度向前移動

這個(gè)模型稱為NaSch(Nagel和Schreckenberg提出)模型。仿真場景1：設(shè)在道路口處按均勻分布以40%的概率產(chǎn)生車輛，假設(shè)隨機(jī)慢化概率很低，不超過5%，最大速度為2，那么仿真結(jié)果顯示：仿真場景2：設(shè)在道路口處按均勻分布以40%的概率產(chǎn)生車輛，假設(shè)隨機(jī)慢化概率很低，不超過5%，最大速度為5，那么仿真結(jié)果顯示：仿真場景3：設(shè)在道路口處按均勻分布以80%的概率產(chǎn)生車輛，假設(shè)隨機(jī)慢化概率40%，最大速度為4，那么仿真結(jié)果顯示：仿真場景4：設(shè)在道路口處按均勻分布以60%的概率產(chǎn)生車輛，假設(shè)隨機(jī)慢化概率40%，最大速度為2，那么仿真結(jié)果顯示：程序?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置：S=2