學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精北京2013屆高三理科數學最新模擬試題分類匯編11：概率與統計（一）概率一、選擇題AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京豐臺二模數學理科試題及答案）在平面區(qū)域內任取一點，若滿足的概率大于，則的取值范圍是 (）A． B． C． D．【答案】 D．AUTONUM\*Arabic．（2013屆北京大興區(qū)一模理科）若實數滿足,則關于的方程有實數根的概率是 （)A． B． C． D．【答案】CAUTONUM\*Arabic．（2013北京海淀二模數學理科試題及答案)如圖,在邊長為的正方形內有不規(guī)則圖形.向正方形內隨機撒豆子,若撒在圖形內和正方形內的豆子數分別為,則圖形面積的估計值為 ()A． B． C． D．【答案】 C．AUTONUM\*Arabic．（北京市石景山區(qū)2013屆高三一模數學理試題）將一顆骰子擲兩次,觀察出現的點數，并記第一次出現的點數為m,第二次出現的點數為n,向量=(m,n)，=（3,6），則向量與共線的概率為 （）A． B． C． D．【答案】DAUTONUM\＊Arabic．(北京市朝陽區(qū)2013屆高三第一次綜合練習理科數學）在下列命題中，①“"是“”的充要條件;②的展開式中的常數項為;③設隨機變量~，若，則.其中所有正確命題的序號是 （）A．② B．③C．②③ D．①③【答案】CAUTONUM\＊Arabic．(2013屆東城區(qū)一模理科)某游戲規(guī)則如下：隨機地往半徑為1的圓內投擲飛標，若飛標到圓心的距離大于,則成績?yōu)榧案?；若飛標到圓心的距離小于,則成績?yōu)閮?yōu)秀；若飛標到圓心的距離大于且小于,則成績?yōu)榱己?，那么在所有投擲到圓內的飛標中得到成績?yōu)榱己玫母怕蕿?（）A． B． C． D．【答案】AAUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京昌平二模數學理科試題及答案）在區(qū)間上隨機取一個數，則事件“”發(fā)生的概率為 （）A． B． C． D．【答案】 C．二、填空題AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．(2013北京朝陽二模數學理科試題）將一個質點隨機投放在關于的不等式組所構成的三角形區(qū)域內,則該質點到此三角形的三個頂點的距離均不小于的概率是_______.【答案】三、解答題AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京朝陽二模數學理科試題）為提高學生學習數學的興趣，某地區(qū)舉辦了小學生“數獨比賽”.比賽成績共有90分，70分,60分,40分，30分五種,按本次比賽成績共分五個等級。從參加比賽的學生中隨機抽取了30名學生,并把他們的比賽成績按這五個等級進行了統計，得到如下數據表：成績等級ABCDE成績(分)9070604030人數（名)461073(Ⅰ)根據上面的統計數據，試估計從本地區(qū)參加“數獨比賽”的小學生中任意抽取一人，其成績等級為“或”的概率;（Ⅱ)根據(Ⅰ）的結論,若從該地區(qū)參加“數獨比賽”的小學生(參賽人數很多）中任選3人,記表示抽到成績等級為“或”的學生人數,求的分布列及其數學期望；（Ⅲ)從這30名學生中,隨機選取2人,求“這兩個人的成績之差大于分”的概率.【答案】解：(Ⅰ)根據統計數據可知，從這30名學生中任選一人，分數等級為“或"的頻率為.從本地區(qū)小學生中任意抽取一人，其“數獨比賽”分數等級為“或”的概率約為(Ⅱ）由已知得，隨機變量的可能取值為0，1,2,3.所以;；;。隨機變量的分布列為0123所以（Ⅲ)設事件M:從這30名學生中,隨機選取2人,這兩個人的成績之差大于分.設從這30名學生中,隨機選取2人，記其比賽成績分別為。顯然基本事件的總數為.不妨設,當時，或或，其基本事件數為;當時，或,其基本事件數為;當時，，其基本事件數為；所以.34567893456789交通指數頻率0.240.20.160.1組距AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013屆門頭溝區(qū)一模理科）交通指數是交通擁堵指數的簡稱，是綜合反映道路網暢通或擁堵的概念性指數值，交通指數取值范圍為0～10,分為五個級別,0～2暢通；2～4基本暢通；4～6輕度擁堵；6～8中度擁堵；8～10嚴重擁堵．早高峰時段,從北京市交通指揮中心隨機選取了四環(huán)以內的50個交通路段，依據其交通指數數據繪制的直方圖如右圖．(Ⅰ）這50個路段為中度擁堵的有多少個？（Ⅱ）據此估計，早高峰四環(huán)以內的三個路段至少有一個是嚴重擁堵的概率是多少？（=3\*ROMANIII)某人上班路上所用時間若暢通時為20分鐘，基本暢通為30分鐘,輕度擁堵為36分鐘；中度擁堵為42分鐘；嚴重擁堵為60分鐘,求此人所用時間的數學期望．【答案】解：（Ⅰ）這50路段為中度擁堵的有18個．……………3分（Ⅱ）設事件A“一個路段嚴重擁堵”，則事件B“至少一個路段嚴重擁堵”,則所以三個路段至少有一個是嚴重擁堵的概率是……………8分（=3\＊ROMANIII）分布列如下表：303642600.10.440。360。1此人經過該路段所用時間的數學期望是分鐘．……………13分AUTONUM\*Arabic．（2013北京豐臺二模數學理科試題及答案）國家對空氣質量的分級規(guī)定如下表:污染指數0~5051～100101~150151~200201~300〉300空氣質量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染某市去年6月份30天的空氣污染指數的監(jiān)測數據如下：3414018731212104045782365792078160421013816315422273615149103135201648根據以上信息，解決下列問題：(Ⅰ)寫出下面頻率分布表中,b,，y的值；（Ⅱ)某人計劃今年6月份到此城市觀光4天，若將(Ⅰ）中的頻率作為概率,他遇到空氣質量為優(yōu)或良的天數用X表示,求X的分布列和均值EX。頻率分布表分組頻數頻率［0，50]14（50，100](100，150］5（150，200]by(200,250］2合計301【答案】解:(Ⅰ)，(Ⅱ)由題意，該市4月份空氣質量為優(yōu)或良的概率為P=,的分布列為:X01234PX~B（4,)，AUTONUM\*Arabic．（2013屆北京海濱一模理科)在某大學自主招生考試中，所有選報=2\＊ROMANII類志向的考生全部參加了“數學與邏輯”和“閱讀與表達"兩個科目的考試，成績分為A，B,C，D,E五個等級.某考場考生兩科的考試成績的數據統計如下圖所示,其中“數學與邏輯”科目的成績?yōu)锽的考生有10人.（=1\*ROMANI)求該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績?yōu)锳的人數；（=2\*ROMANII）若等級A,B，C，D，E分別對應5分,4分，3分,2分,1分。（i）求該考場考生“數學與邏輯”科目的平均分;（ii)若該考場共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分。從這10人中隨機抽取兩人，求兩人成績之和的分布列和數學期望.【答案】解:（Ｉ)因為“數學與邏輯"科目中成績等級為B的考生有10人，所以該考場有人………………1分所以該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績等級為A的人數為………………3分(II)求該考場考生“數學與邏輯”科目的平均分為………………7分（Ⅲ）設兩人成績之和為,則的值可以為16,17，18，19，20………………8分，，所以的分布列為1617181920………………11分所以所以的數學期望為………………13分AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013屆東城區(qū)一模理科）某班聯歡會舉行抽獎活動，現有六張分別標有1，2，3，4,5，6六個數字的形狀相同的卡片，其中標有偶數數字的卡片是有獎卡片，且獎品個數與卡片上所標數字相同，游戲規(guī)則如下：每人每次不放回抽取一張，抽取兩次.（Ⅰ）求所得獎品個數達到最大時的概率；（Ⅱ）記獎品個數為隨機變量，求的分布列及數學期望.【答案】（Ⅰ）由題意可知所得獎品個數最大為10，概率為：．（Ⅱ)的可能取值是：．0246810所以．AUTONUM\*Arabic．(2013屆房山區(qū)一模理科數學）是指大氣中直徑小于或等于微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物．我國標準采用世衛(wèi)組織設定的最寬限值，即日均值在微克/立方米以下空氣質量為一級；在微克/立方米微克/立方米之間空氣質量為二級；在微克/立方米以上空氣質量為超標．日均值(微克/立方米）2837143445563879863925某城市環(huán)保局從該市市區(qū)年全年每天的監(jiān)測數據中隨機的抽取天的數據作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示(十位為莖，個位為葉）．（Ⅰ）從這天的日均監(jiān)測數據中，隨機抽出三天數據,求恰有一天空氣質量達到一級的概率；（Ⅱ)從這天的數據中任取三天數據，記表示抽到監(jiān)測數據超標的天數，求的分布列和數學期望;（Ⅲ）根據這天的日均值來估計一年的空氣質量情況，則一年（按天計算）中平均有多少天的空氣質量達到一級或二級．【答案】（Ⅰ）從莖葉圖可知，空氣質量為一級的有4天,為二級的有6天，超標的有5天記“從天的日均監(jiān)測數據中，隨機抽出三天,恰有一天空氣質量達到一級”為事件則……3分(Ⅱ）的可能值為，……4分……………8分所以的分布列為…………………9分………………10分（Ⅲ）天的空氣質量達到一級或二級的頻率為………………11分，所以估計一年中有天的空氣質量達到一級或二級.………………13分（說明：答243天，244天不扣分）AUTONUM\＊Arabic．（2013北京西城高三二模數學理科)某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷，凡在該超市購物滿300元的顧客，將獲得一次摸獎機會，規(guī)則如下：獎盒中放有除顏色外完全相同的1個紅球，1個黃球,1個白球和1個黑球.顧客不放回的每次摸出1個球，若摸到黑球則停止摸獎，否則就要將獎盒中的球全部摸出才停止。規(guī)定摸到紅球獎勵10元，摸到白球或黃球獎勵5元，摸到黑球不獎勵.(Ⅰ）求1名顧客摸球3次停止摸獎的概率；（Ⅱ)記為1名顧客摸獎獲得的獎金數額,求隨機變量的分布列和數學期望.【答案】(Ⅰ)解：設“1名顧客摸球3次停止摸獎”為事件，則，故1名顧客摸球3次停止摸獎的概率為（Ⅱ）解:隨機變量的所有取值為，，，，所以,隨機變量的分布列為：AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．(2013北京順義二模數學理科試題及答案）為增強市民的節(jié)能環(huán)保意識,某市面向全市征召義務宣傳志愿者。從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者，其年齡頻率分布直方圖如圖所示,其中年齡分組區(qū)間是:.(I）求圖中的值并根據頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在歲的人數;(II)在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取20名參加中心廣場的宣傳活動，再從這20名中采用簡單隨機抽樣方法選取3名志愿者擔任主要負責人.記這3名志愿者中“年齡低于35歲”的人數為,求的分布列及數學期望。20202530354045年齡/歲頻率/組距0．070．02x0．040．01O【答案】解：(I）∵小矩形的面積等于頻率,∴除外的頻率和為0.70,500名志愿者中，年齡在歲的人數為（人）。(II）用分層抽樣的方法,從中選取20名,則其中年齡“低于35歲”的人有12名，“年齡不低于35歲”的人有8名。故的可能取值為0,1,2，3，,，,,故的分布列為0123所以AUTONUM\＊Arabic．(2013屆北京西城區(qū)一模理科）某班有甲、乙兩個學習小組，兩組的人數如下：現采用分層抽樣的方法（層內采用簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取名同學進行學業(yè)檢測．（Ⅰ）求從甲組抽取的同學中恰有名女同學的概率；（Ⅱ）記為抽取的名同學中男同學的人數，求隨機變量的分布列和數學期望．【答案】(Ⅰ)解：依題意，甲、乙兩組的學生人數之比為,…………1分所以，從甲組抽取的學生人數為；從乙組抽取的學生人數為．…2分設“從甲組抽取的同學中恰有名女同學"為事件，……3分則，故從甲組抽取的同學中恰有名女同學的概率為．…………5分(Ⅱ)解:隨機變量的所有取值為．………6分,，，．……………10分所以，隨機變量的分布列為:………………11分．………………13分AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京海淀二模數學理科試題及答案)福彩中心發(fā)行彩票的目的是為了獲取資金資助福利事業(yè)，現在福彩中心準備發(fā)行一種面值為5元的福利彩票刮刮卡，設計方案如下:（1)該福利彩票中獎率為50％；（2）每張中獎彩票的中獎獎金有5元,50元和150元三種；(3）顧客購買一張彩票獲得150元獎金的概率為,獲得50元獎金的概率為.(I）假設某顧客一次性花10元購買兩張彩票，求其至少有一張彩票中獎的概率；(II）為了能夠籌得資金資助福利事業(yè)，求的取值范圍.【答案】解:(I)設至少一張中獎為事件則(II)設福彩中心賣出一張彩票可能獲得的資金為則可以取的分布列為所以的期望為所以當時,即所以當時，福彩中心可以獲取資金資助福利事業(yè)AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．(2013屆北京市延慶縣一模數學理）空氣質量指數(單位:）表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量,這個值越高,就代表空氣污染越嚴重：320455647697880791809乙城市3022448966151788230320455647697880791809乙城市302244896615178823098甲城市（Ⅰ）根據你所學的統計知識估計甲、乙兩城市15天內哪個城市空氣質量總體較好？(注：不需說明理由)（Ⅱ)在15天內任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質量類別均為優(yōu)或良的概率；（Ⅲ)在乙城市15個監(jiān)測數據中任取個,設為空氣質量類別為優(yōu)或良的天數，求的分布列及數學期望?！敬鸢浮拷猓海á?甲城市空氣質量總體較好。 ………2分（Ⅱ）甲城市在15天內空氣質量類別為優(yōu)或良的共有10天,任取1天，空氣質量類別為優(yōu)或良的概率為， ………4分乙城市在15天內空氣質量類別為優(yōu)或良的共有5天,任取1天，空氣質量類別為優(yōu)或良的概率為， ………6分在15天內任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質量類別均為優(yōu)或良的概率為.………8分（Ⅲ)的取值為, ………9分，,的分布列為:數學期望 ………13分AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（北京市石景山區(qū)2013屆高三一模數學理試題）PM2.5指大氣中直徑小于或等于2。5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物.PM2。5日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級:在35微克/立方米~75微克/立方米之間空氣質量為二級;在75微克/立方米以上空氣質量為超標.石景山古城地區(qū)2013年2月6日至I5日每天的PM2.5監(jiān)測數據如莖葉圖所示。(Ⅰ)小陳在此期間的某天曾經來此地旅游，求當天PM2。5日均監(jiān)測數據未超標的概率；(Ⅱ）小王在此期間也有兩天經過此地,這兩天此地PM2.5監(jiān)測數據均未超標。請計算出這兩天空氣質量恰好有一天為一級的概率;(Ⅲ）從所給10天的數據中任意抽取三天數據,記表示抽到PM2。5監(jiān)測數據超標的天數，求的分布列及期望。【答案】AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．(北京市順義區(qū)2013屆高三第一次統練數學理科試卷（解析））現有甲、乙兩個靶。某射手向甲靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得1分,沒有命中得0分；向乙靶射擊一次,命中的概率為，命中得2分，沒有命中得0分.該射手每次射擊的結果相互獨立。假設該射手完成以上三次射擊.(I)求該射手恰好命中兩次的概率;（II)求該射手的總得分的分布列及數學期望;(III)求該射手向甲靶射擊比向乙靶射擊多擊中一次的概率.【答案】解：(I)記：“該射手恰好命中兩次”為事件,“該射手第一次射擊甲靶命中”為事件,“該射手第二次射擊甲靶命中"為事件，“該射手射擊乙靶命中”為事件。由題意知,,所以(II)根據題意,的所有可能取值為0,1，2，3,4。，.，,,故的分布列是01234所以（III)設“該射手向甲靶射擊比向乙靶射擊多擊中一次"為事件，“該射手向甲靶射擊命中一次且向乙靶射擊未命中”為事件,“該射手向甲靶射擊命中2次且向乙靶射擊命中"為事件,則為互斥事件。。所以，該射手向甲靶射擊比向乙靶射擊多擊中一次的概率為AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京房山二模數學理科試題及答案)小明從家到學校有兩條路線，路線1上有三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為；路線2上有兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為。(Ⅰ)若小明上學走路線1，求最多遇到1次紅燈的概率；(Ⅱ)若小明上學走路線2,求遇到紅燈次數的數學期望;（Ⅲ)按照“平均遇到紅燈次數越少為越好”的標準，請你幫助小明從上述兩條路線中選擇一條最好的上學路線，并說明理由.【答案】(Ⅰ)設走路線1最多遇到1次紅燈為A事件,則(Ⅱ)依題意，的可能取值為0,1,2.,，隨機變量的分布列為:012P(Ⅲ)設選擇路線1遇到紅燈次數為,則,所以因為，所以選擇路線1上學最好AUTONUM\＊Arabic．（2013北京東城高三二模數學理科）某校高三年級同學進行體育測試,測試成績分為優(yōu)秀、良好、合格三個等級.測試結果如下表：（單位：人)優(yōu)秀良好合格男女按優(yōu)秀、良好、合格三個等級分層，從中抽取人，其中成績?yōu)閮?yōu)的有人.（Ⅰ)求的值;(Ⅱ）若用分層抽樣的方法，在合格的同學中按男女抽取一個容量為的樣本,從中任選人,記為抽取女生的人數,求的分布列及數學期望?！敬鸢浮浚ü?3分)解：（Ⅰ）設該年級共人，由題意得，所以。則。(Ⅱ）依題意，所有取值為.，,。的分布列為:AUTONUM\*Arabic．（2013北京昌平二模數學理科試題及答案）某市為了提升市民素質和城市文明程度,促進經濟發(fā)展有大的提速，對市民進行了“生活滿意”度的調查?，F隨機抽取40位市民，對他們的生活滿意指數進行統計分析，得到如下分布表：滿意級別非常滿意滿意一般不滿意滿意指數（分）9060300人數（個)151762（I)求這40位市民滿意指數的平均值;(II）以這40人為樣本的滿意指數來估計全市市民的總體滿意指數，若從全市市民(人數很多)中任選3人，記表示抽到滿意級別為“非常滿意或滿意”的市民人數.求的分布列;（III）從這40位市民中,先隨機選一個人，記他的滿意指數為，然后再隨機選另一個人,記他的滿意指數為，求的概率.【答案】解:（Ⅰ)記表示這40位市民滿意指數的平均值，則（分)（Ⅱ)的可能取值為0、1、2、3.,，的分布列為12（Ⅲ）設所有滿足條件的事件為①滿足的事件數為：②滿足的事件數為：③滿足的事件數為：所以滿足條件的事件的概率為AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．(2013屆北京豐臺區(qū)一模理科）在一次抽獎活動中,有甲、乙等6人獲得抽獎的機會。抽獎規(guī)則如下：主辦方先從6人中隨機抽取兩人均獲獎1000元，再從余下的4人中隨機抽取1人獲獎600元，最后還從這4人中隨機抽取1人獲獎400元。（Ⅰ）求甲和乙都不獲獎的概率；(Ⅱ)設X是甲獲獎的金額，求X的分布列和均值?！敬鸢浮拷猓海á?設“甲和乙都不獲獎”為事件A,………………1分則P(A）=，答:甲和乙都不獲獎的概率為.……5分（Ⅱ）X的所有可能的取值為0，400，600，1000，…………………6分P(X=0)=，P（X=400）=，P(X=600)=,P（X=1000)=，…………10分∴X的分布列為X04006001000P……………11分∴E（X）=0×+400×+600×+1000×=500（元）。答:甲獲獎的金額的均值為500（元）?！?3分AUTONUM\＊Arabic．(北京市朝陽區(qū)2013屆高三第一次綜合練習理科數學）盒子中裝有四張大小形狀均相同的卡片,卡片上分別標有數字.稱“從盒中隨機抽取一張，記下卡片上的數字后并放回”為一次試驗（設每次試驗的結果互不影響).(Ⅰ)在一次試驗中，求卡片上的數字為正數的概率；（Ⅱ)在四次試驗中,求至少有兩次卡片上的數字都為正數的概率;（Ⅲ）在兩次試驗中,記卡片上的數字分別為,試求隨機變量的分布列與數學期望.【答案】解:(Ⅰ)設事件A：在一次試驗中,卡片上的數字為正數，則.答：在一次試驗中,卡片上的數字為正數的概率是(Ⅱ)設事件B：在四次試驗中，至少有兩次卡片上的數字都為正數.由(Ⅰ）可知在一次試驗中,卡片上的數字為正數的概率是.所以。答:在四次試驗中，至少有兩次卡片上的數字都