2024/1/141控制工程基礎(chǔ)第八章計(jì)算機(jī)采樣控制系統(tǒng)（1）孫澤昌

2024/1/142主要內(nèi)容

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的概述

信號(hào)的采樣與保持

Z變換和Z反變換2024/1/143計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的概述（1）連續(xù)（模擬）信號(hào)：時(shí)間上連續(xù)的模擬量信號(hào)；離散（采樣）信號(hào)：時(shí)間上離散的，幅值為模擬量或數(shù)字量的脈沖序列，通常是按照一定的時(shí)間間隔對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣而得到。連續(xù)（模擬）控制系統(tǒng)：系統(tǒng)中各處的信號(hào)均為連續(xù)信號(hào)；離散（采樣）控制系統(tǒng)：系統(tǒng)中一處或數(shù)處的信號(hào)為離散信號(hào)。

2024/1/144計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的概述（1）計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)：用計(jì)算機(jī)作為控制器，控制規(guī)律由計(jì)算機(jī)軟件程序來實(shí)現(xiàn)的離散控制系統(tǒng)。采用計(jì)算機(jī)控制可以避免模擬控制實(shí)現(xiàn)時(shí)的許多困難可實(shí)現(xiàn)連續(xù)控制難以實(shí)現(xiàn)的更為復(fù)雜的控律；控制算法實(shí)現(xiàn)更加靈活；精度和控制器器件特性漂移問題得到有效的解。2024/1/145計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的概述（2）計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的組成：被控對(duì)象、測(cè)量環(huán)節(jié)、比較器、數(shù)字控制器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)。數(shù)字控制器由數(shù)字計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，包括模-數(shù)（A/D）變換器、數(shù)-模（D/A）變換器、控制算法等。這樣的控制系統(tǒng)也被稱作DDC系統(tǒng)2024/1/146計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的概述（3）

計(jì)算機(jī)內(nèi)信息的傳遞過程：采樣、量化、運(yùn)算和保持。采樣和量化是由A/D變換器完成的，運(yùn)算是在計(jì)算機(jī)的CPU(中央處理器)內(nèi)進(jìn)行的，而計(jì)算機(jī)輸出信號(hào)經(jīng)D/A變換器在采樣間隔中保持為常數(shù)(零階保持器)

。

采樣后誤差信號(hào)：量化后誤差信號(hào)：控制信號(hào)：

連續(xù)的模擬控制信號(hào)：

數(shù)-模轉(zhuǎn)換器輸出信號(hào)：A/D轉(zhuǎn)換D/A轉(zhuǎn)換2024/1/147信號(hào)的采樣與保持（1）采樣過程：按照一定的時(shí)間間隔周期性的對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行截取，將其變?yōu)闀r(shí)間上離散的脈沖序列的過程。理想采樣器

：采樣周期；：每次閉合時(shí)間2024/1/148信號(hào)的采樣與保持（2）采樣脈沖信號(hào)的數(shù)學(xué)描述：理想脈沖函數(shù)高度為，寬度為，面積為a的矩形脈沖可用下式描述：當(dāng)時(shí)，上面的脈沖是一個(gè)幅值無窮大，寬度趨于零，面積（強(qiáng)度）為a的理想脈沖面積為a

亦被稱為單位理想脈沖函數(shù)2024/1/149信號(hào)的采樣與保持（3）上式說明：在經(jīng)理想采樣開關(guān)采樣后，變?yōu)殡x散的采樣脈沖信號(hào)(采樣脈沖函數(shù)）。該信號(hào)在數(shù)學(xué)上可以表示為強(qiáng)度等于連續(xù)函數(shù)在t=kT采樣時(shí)刻函數(shù)值的理想脈沖序列。結(jié)合對(duì)實(shí)際采樣過程的分析，連續(xù)函數(shù)的采樣信號(hào)可由下式表示：脈沖強(qiáng)度脈沖發(fā)生時(shí)刻由周期為T的單位理想脈沖組成的脈沖序列由下式表示：2024/1/1410信號(hào)的采樣與保持（4）采樣定理周期函數(shù):可展開成傅氏級(jí)數(shù)：傅里葉系數(shù)：；故時(shí)間函數(shù)的采樣脈沖可表示為：2024/1/1411信號(hào)的采樣與保持（5）對(duì)采樣脈沖序列表達(dá)式兩邊分別取拉氏變換：故的拉氏變換為：其傅里葉變換為：

的周期函數(shù)，周期為;同時(shí)反映了離散信號(hào)頻譜與連續(xù)信號(hào)頻譜間的關(guān)系根據(jù)拉氏變換位移定理2024/1/1412信號(hào)的采樣與保持（6）可見：離散序列的頻譜是無限多個(gè)頻譜的周期重復(fù)，其幅值為連續(xù)信號(hào)頻譜的，周期為，時(shí)為主頻譜，其余稱為邊頻譜。為使采樣后的離散信號(hào)恢復(fù)為原連續(xù)信號(hào)，必須使采樣信號(hào)的頻譜中各部分相互不重疊。理想低通濾波器2024/1/1413信號(hào)的采樣與保持（7）香農(nóng)采樣定理：對(duì)一個(gè)具有有限頻譜的連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣，只有當(dāng)采樣頻率滿足時(shí)，采樣后的離散信號(hào)才能保持原連續(xù)信號(hào)的信息，并可無失真地恢復(fù)為原來的連續(xù)信號(hào)。物理意義：對(duì)頻譜中最高頻率的正弦分量，在一個(gè)周期內(nèi)至少應(yīng)采樣兩次。香農(nóng)采樣定理是選擇連續(xù)信號(hào)采樣周期的一個(gè)基本依。2024/1/1414信號(hào)的采樣與保持（8）零階保持器：采用恒值外推規(guī)律的保持器。將采樣時(shí)刻的采樣值恒定不變地保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻。輸出信號(hào)為階梯形函數(shù)。除基波外，還包含著高次諧波，存在相位滯后。工程上可實(shí)現(xiàn)的一類濾波器：2024/1/1415信號(hào)的采樣與保持（9）單位脈沖響應(yīng)：傳遞函數(shù)：1(t)－1(t-T)零階保持器的頻率特性分析：ZOH2024/1/1416信號(hào)的采樣與保持（10）頻率特性：頻率特性：相頻特性：2024/1/1417信號(hào)的采樣與保持（11）可見：1）幅值隨頻率的增大而衰減，存在明顯的低通濾波特性，但存在高頻分量；

2）采用零階保持器存在相角滯后，對(duì)穩(wěn)定性不利。理想濾波器幅頻特性2024/1/1418采樣信號(hào)的量化量化：把離散的模擬信號(hào)轉(zhuǎn)變成數(shù)字信號(hào)的過程。量化單位：

：變換器輸入的最大和最小值：變換器的位數(shù)量化誤差：2024/1/1419計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的方塊圖表示：連續(xù)的誤差信號(hào)；：連續(xù)的控制作用；模數(shù)轉(zhuǎn)換器（A/D）：相當(dāng)于每隔T秒瞬時(shí)接通一次的理想采樣開關(guān)；數(shù)模轉(zhuǎn)換器（D/A）：將離散的數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號(hào),其作用是一個(gè)保持器。2024/1/1420Z變換和Z反變換（1）關(guān)于Z變換：

1）類似于連續(xù)實(shí)變函數(shù)的拉氏變換表示，對(duì)采樣脈沖序列也有相應(yīng)的變換表示。

2）

變換是線性時(shí)不變離散系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)。

變換定義：采樣脈沖信號(hào)

的拉氏變換

2024/1/1421Z變換和Z反變換（2）令

，則為采樣脈沖函數(shù)的變換，記為。

Z變換只適用于離散信號(hào)。其主要局限性是它只能提取和表達(dá)信號(hào)在采樣時(shí)刻的信息，不能提供采樣時(shí)刻間隔內(nèi)的信號(hào)信息。當(dāng)稱是函數(shù)y(t)的Z變換時(shí)，實(shí)際上是指對(duì)該函數(shù)采樣脈沖函數(shù)的Z變換.也即Z變換本身同時(shí)也包含對(duì)連續(xù)函數(shù)的離散化。則定義2024/1/1422Z變換和Z反變換（3）求變換的方法：1）由變換的定義，應(yīng)用變換的基本運(yùn)算規(guī)則和級(jí)數(shù)求和公式而求得。利用變換定義求幾種簡(jiǎn)單函數(shù)的變換：?jiǎn)挝幻}沖時(shí)間序列：

2024/1/1423Z變換和Z反變換（4）單位階躍時(shí)間序列：?jiǎn)挝恍逼聲r(shí)間序列：

衰減指數(shù)序列：2024/1/1424Z變換和Z反變換（5）其采樣脈沖序列則f(t)的Z變換其中滿足按定義直接求取單位斜坡函數(shù)和衰減指數(shù)函數(shù)的Z變換：2024/1/1425Z變換和Z反變換（6）單位斜坡函數(shù)其采樣脈沖序列則f(t)的Z變換2024/1/1426Z變換和Z反變換（7）求變換的方法：2）部分分式法：由時(shí)間函數(shù)拉氏變換求取該函數(shù)的Z變換。當(dāng)連續(xù)函數(shù)為復(fù)雜函數(shù)時(shí)，其拉氏變換為的高階有理分式，當(dāng)分母多項(xiàng)式能夠分解因式時(shí)，可以展開為部分分式

S域域Z域2024/1/1427Z變換和Z反變換（8）3）公式法：如果函數(shù)除有限個(gè)極點(diǎn)外在某域內(nèi)是解析的，則由復(fù)變函數(shù)理論和留數(shù)定理可知:例12024/1/1428Z變換和Z反變換（9）留數(shù)的計(jì)算方法因是否有重極點(diǎn)而異：

當(dāng)無重極點(diǎn)時(shí)，即當(dāng)時(shí)則

當(dāng)具有重極點(diǎn)時(shí)，則2024/1/1429Z變換和Z反變換（10）例3例22024/1/1430Z變換和Z反變換（11）

變換的基本定理：1）線性定理：若，則2）遲后定理：若時(shí)間函數(shù)y(t)當(dāng)時(shí)有，，則說明：原函數(shù)在時(shí)域內(nèi)延時(shí)個(gè)采樣周期，相當(dāng)于該函數(shù)變換乘以。算子的物理意義為：將采樣信號(hào)延時(shí)個(gè)采樣周期2024/1/1431Z變換和Z反變換（11）3）超前定理：對(duì)于函數(shù)y(t),若時(shí)有則進(jìn)一步，如若則有2024/1/1432Z變換和Z反變換（12）4）初值定理：如果函數(shù)y(t)有z變換存在，并且存在，則y(t)的初值y(0)為：通常利用初值定理來檢驗(yàn)時(shí)間函數(shù)y(t)Z變換結(jié)果的對(duì)錯(cuò)，因?yàn)閅(0)通常是已知的，或很容易求得。4）終值定理：設(shè)Y(z)為y(t)，t<0時(shí)，y(t)=0;且Y(z)的所有極點(diǎn)都在單位園內(nèi)，則2024/1/1433Z變換和Z反變換（13）5）卷積定理2024/1/1434Z變換和Z反變換（14）反變換：

冪級(jí)數(shù)展開法：

(直接除法）注意：Z反變換只能根據(jù)Y(Z)求取原函數(shù)的采樣脈沖函數(shù)，而不能求得原時(shí)間函數(shù)。2024/1/1435Z變換和Z反變換（15）例：求的Z反變換。解：將分子和分母多項(xiàng)式按升冪排列，然后做多項(xiàng)式除法分之多項(xiàng)式分母多項(xiàng)式商2024/1/1436Z變換和Z反變換（16）由此得到則2024/1/1437Z變換和Z反變換（17）2）部分分式法

設(shè)F(Z)是Z的有理分式，當(dāng)有n個(gè)互不相同極點(diǎn)時(shí)，利用部分分式法求F(Z)反變換的步驟為：①展開，其中

②把展開式兩邊同乘以，得③上式兩端分別求Z反變換，得到其中從而有2024/1/1438Z變換和Z反變換（18）例5：求下式y(tǒng)(z)的Z反變換解：1）2）3）4) 2024/1/1439Z變換和Z反變換（19）如果的分母多項(xiàng)式中包含一對(duì)共軛復(fù)根，其余為互不相同的實(shí)數(shù)根。則其中