列方程解決問題重難題型分類練（九大考點）一．?dāng)?shù)字類1．列方程解應(yīng)用題：一個兩位數(shù)，個位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，假如把十位上的數(shù)與個位上的數(shù)對調(diào)后，那么所得的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)大36，求原來的兩位數(shù)．2．一個兩位數(shù)，個位數(shù)比十位數(shù)字大4，而且這個兩位數(shù)比它的數(shù)字之和的3倍大2，則這個兩位數(shù)是．3．有一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)比十位上的數(shù)大5，假如把這個兩位數(shù)的兩個數(shù)字的位置對換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143．求這個兩位數(shù)．二．（超級經(jīng)典題型）方程與數(shù)軸的融合4．如圖，線段AB＝28厘米，點D和點C在線段AB上，且AC：BC＝5：2，DC：AB＝1：4．點P從點A動身以4厘米/秒的速度沿射線AD向點C運動，點P到達(dá)點C所在位置后馬上依據(jù)原路原速返回，到達(dá)點D所在位置后停止運動，點Q從點B動身以1厘米/秒的速度沿著射線BC的方向運動，點Q到達(dá)點D所在的位置后停止運動．點P和點Q同時動身，點Q運動的時間為t秒．（1）求線段AD的長度；（2）當(dāng)點C恰好為PQ的中點時，求t的值；（3）當(dāng)PQ＝7厘米時，求t的值．5．已知AB＝8，點P從點A動身，以每秒2個單位長度的速度沿射線AB運動，M為線段AP的中點．設(shè)點P的運動時間為t秒．（1）若點P在線段AB上，則t＝秒時，PB＝2AM．（2）若點P在AB的延長線上（如圖），設(shè)線段BP的中點為N．①線段MN的長度是否保持不變？請說明理由；②是否存在t的值，使M、N、B三點中的某個點是其余兩點所連線段的中點？若存在，求出全部滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由．6．如圖所示，點A，B，C是數(shù)軸上的三個點，且A，B兩點表示的數(shù)互為相反數(shù)，AB＝12，AC=13（1）點A表示的數(shù)是；（2）若點P從點B動身沿著數(shù)軸以每秒2個單位的速度向左運動，則經(jīng)過秒時，點C恰好是BP的中點；（3）若點Q從點A動身沿著數(shù)軸以每秒1個單位的速度向右運動，線段QB的中點為M．當(dāng)MC＝2QB時，則點Q運動了多少秒？請說明理由．三．行程類之一般相遇、追及7．M、N兩地相距600km，甲、乙兩車分別從M、N兩地動身，沿一條大路勻速相向而行，甲與乙的速度分別為100km/h和20km/h，甲從M地動身，到達(dá)N地馬上調(diào)頭返回M地，并在M地停留等待乙車抵達(dá)，乙從N地動身前往M地，和甲車會合．（1）求兩車其次次相遇的時間；（2）求甲車動身多長時間，兩車相距20km．8．甲、乙兩地相距72km，一輛工程車和一輛灑水車上午6時同時從甲地動身，分別以v1km/h、v2km/h的速度勻速駛往乙地．工程車到達(dá)乙地后停留了2h，沿原路以原速返回，中午12時到達(dá)甲地，此時灑水車也恰好到達(dá)乙地．（1）v1＝，v2＝；（2）求動身多長時間后，兩車相遇？（3）求動身多長時間后，兩車相距30km？四．行程類之車過隧道大橋9．一列勻速前進(jìn)的火車，通過列車隧道．（1）假如通過一個長300米的隧道AB，從車頭進(jìn)入隧道到車尾離開隧道，共用15秒的時間（如圖1），又知其間在隧道頂部的一盞固定的燈發(fā)出的一束光垂直照射火車2.5秒，求這列火車的長度；（2）假如火車以相同的速度通過了另一個隧道CD，從火車車尾全部進(jìn)入隧道到火車車頭剛好到達(dá)隧道出口（如圖2），其間共用20秒時間，求這個隧道CD的長．10．一列動車以300km/h的速度過第一、其次個隧道，已知其次個隧道的長度比第一個隧道長度的2倍還多1.5km，若該列動車過其次個隧道比第一個隧道多用了93秒，則其次個隧道的長度是．五．行程類之順?biāo)嫠?1．某人乘船由A地順流而下到達(dá)B地，然后又逆流而上到C地，共用了3小時．已知船在靜水中速度為每小時8千米，水流速度是每小時2千米．已知A、B、C三地在一條直線上，若AC兩地距離是2千米，則AB兩地距離多少千米？（C在A、B之間）12．一只汽艇從A碼頭順流航行到B碼頭用2小時，從B碼頭返回到A碼頭，用了2.5小時，假如水流速度是3千米/時，求：（1）汽艇在靜水中的速度；（2）A、B兩地之間的距離．六．工程類13．為慶祝建國七十周年，南崗區(qū)預(yù)備對某道路工程進(jìn)行改造，若請甲工程隊單獨做此工程需4個月完成，若請乙工程隊單獨做此工程需6個月完成，若甲、乙兩隊合作2個月后，甲工程隊到期撤離，則乙工程隊再單獨需幾個月能完成？14．由于地鐵施工，需要拆除我校圖書館，七班級同學(xué)主動擔(dān)當(dāng)圖書館整理圖書的任務(wù)，假如由一個人單獨做要用30小時完成，現(xiàn)先支配一部分人用1小時整理，隨后又增加6人和他們一起又做了2小時，恰好完成整理工作，假設(shè)每個人的工作效率相同，那么先按排整理的人員有多少？七．方案設(shè)計類15．為了更好地落實“雙減”政策，豐富同學(xué)課后托管服務(wù)內(nèi)容，某校打算購買一批足球運動裝備．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)覺：甲、乙兩商場以同樣的價格出售同種品牌的足球隊服和足球，已知每套隊服比每個足球多50元，兩套隊服與三個足球的費用相等．（1）求每套隊服和每個足球的價格各是多少？（2）甲商場優(yōu)待方案是：每購買十套隊服，送一個足球；乙商場優(yōu)待方案是：若購買隊服超過80套，則購買足球打八折．若該校購買100套隊服和a個足球（其中a≥10且為整數(shù)），請通過計算說明，學(xué)校接受哪種優(yōu)待方案更省錢？①請用含a的式子表示：甲商城所花的費用，乙商城所花的費用；②當(dāng)購買的足球數(shù)a為何值時在兩家商場購買所花的費用一樣？16．為舉辦校內(nèi)文化節(jié)，甲、乙兩班預(yù)備給合唱同學(xué)購買演出服裝（一人一套），兩班共92人（其中甲班比乙班人多，且甲班不足90人），下面是供貨商給出的演出服裝的價格表：購買服裝的套數(shù)1套至45套46套至90套91套以上每套服裝的價格60元50元40元假如兩班單獨給每位同學(xué)購買一套服裝，那么一共應(yīng)付5020元．（1）甲、乙兩班聯(lián)合起來給每位同學(xué)購買一套服裝，比單獨購買可以節(jié)省多少錢？（2）甲、乙兩班各有多少名同學(xué)？（3）假如甲班有10名同學(xué)被調(diào)去參與書畫競賽不能參與演出，請你為兩班設(shè)計一種最省錢的購買服裝方案．17．水資源透支現(xiàn)象令人擔(dān)憂，節(jié)省用水迫在眉睫．針對居民用水鋪張現(xiàn)象，重慶市政府和環(huán)保組織進(jìn)行了調(diào)查，并制定出相應(yīng)的措施．（1）據(jù)環(huán)保組織調(diào)查統(tǒng)計，全市至少有6×105個水龍頭、2×104個抽水馬桶漏水．若一萬個漏水的水龍頭一個月能漏掉a立方米水；一萬個漏水的馬桶一個月漏掉b立方米水，則全市一個月僅這兩項所造成的水流失量是多少？（2）針對居民用水鋪張現(xiàn)象，市政府將制定居民用水標(biāo)準(zhǔn)：規(guī)定每個三口之家每月的標(biāo)準(zhǔn)用水量，超過標(biāo)準(zhǔn)部分加價收費．若不超標(biāo)部分的水價為每立方米3.5元；超標(biāo)部分為每立方米4.2元．某家庭某月用水12立方米，交水費44.8元，請你通過列方程求出我市規(guī)定的三口之家每月的標(biāo)準(zhǔn)用水量為多少立方米．（3）在近期由市物價局進(jìn)行的水價聽證會上，有一代表提出一新的水價收費設(shè)想：每天8：00至22：00為用水高峰期，水價可定為每立方米4元；22：00至次日8：00為用水低谷期，水價可定為每立方米3.2元．若某三口之家依據(jù)此方案需支付的水費與（2）問所交水費相同，又知該家庭用水高峰期的用水量比低谷期少20%．請計算哪種方案下的用水量較少？少多少？18．列一元一次方程解應(yīng)用題．有一批共享單車需要修理，修理后連續(xù)投放騎用，現(xiàn)有甲、乙兩人做修理，甲每天修理16輛，乙每天修理的車輛比甲多8輛，甲單獨修理完成這批共享單車比乙單獨修理完多用20天，公司每天付甲80元修理費，付乙120元修理費．（1）問需要修理的這批共享單車共有多少輛？（2）在修理過程中，公司要派一名人員進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)督，公司負(fù)擔(dān)他每天10元補(bǔ)助費，現(xiàn)有三種修理方案：①由甲單獨修理；②由乙單獨修理；③甲、乙合作同時修理，你認(rèn)為哪種方案最省錢，為什么？八．日常生活中的方程--水電類19．列方程解應(yīng)用題：為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識，某市將要接受價格調(diào)控手段達(dá)到節(jié)水目的，設(shè)計了如下的調(diào)控方案．價目表每月用水量單價不超出10噸的部分2.5元/噸超出10噸的部分3元/噸（1）甲戶居民五月份用水12噸，則水費為元．（2）乙戶居民八月份繳納水費40元，則該戶居民八月份用水多少噸？（列方程解答）20．近日，無錫市進(jìn)展改革委印發(fā)《關(guān)于優(yōu)化調(diào)整居民階梯氣價政策有關(guān)事項的通知》，從2024年1月1日起，增加一、二檔用氣量，“一戶多人口”政策同步調(diào)整．氣量分檔年用氣量（立方米）價格（元/立方米）調(diào)整前調(diào)整后第一檔年用氣量≤300年用氣量≤4002.73其次檔300＜年用氣量≤600400＜年用氣量≤10003.28第三檔年用氣量＞600年用氣量＞10003.82人口超過4人的家庭，每增加1人，一、二檔上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二檔上限增加60立方米、120立方米）．（1）若小明家有5口人，年用氣量1000立方米．則調(diào)整前氣費為元，調(diào)整后氣費為元；（2）小紅家有4口人，若調(diào)整后比調(diào)整前氣費節(jié)省109元，則小紅家年用氣量為多少立方米？九．（易錯題型）利潤，購物類21．某超市第一次用3800元購進(jìn)了甲、乙兩種商品，其中甲種商品40件，乙種商品160件．已知乙種商品每件進(jìn)價比甲種商品每件進(jìn)價貴5元．甲種商品售價為20元/件，乙種商品售價為25元/件．（1）甲、乙兩種商品每件進(jìn)價各多少元？（2）該超市將第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品全部銷售完，可獲得多少利潤？（3）該超市其次次又購進(jìn)同樣數(shù)量的甲、乙兩種商品．其中甲種商品每件的進(jìn)價不變，乙種商品進(jìn)價每件少3元；甲種商品按原售價提價a%銷售，乙種商品按原售價降價a%銷售，假如其次次兩種商品都銷售完以后獲得的總利潤比第一次獲得的總利潤多160元，那么a的值是多少？22．甲、乙兩家超市新年期間推出優(yōu)待活動，推出如表購物優(yōu)待方案：甲超市乙超市消費金額（元）優(yōu)待活動消費金額（元）優(yōu)待活動0～100（包含100）無優(yōu)待0～200（包含200）無優(yōu)待100～350（包含350）一律享受九折優(yōu)待大于200超過200元的部共享受八折優(yōu)待大于350一律享受八折優(yōu)待（1）小王需要購買價格為240元的商品，去哪家店更劃算？（2）小李帶了252元去購物、為了買到最多的商品，應(yīng)選擇哪家超市？最多能買到原價為多少元的商品？（3）小劉在甲超市購物、兩次購物分別付了80元和288元，假如小劉把這兩次購物改為一次性購物，付款多少元？23．某商店用3700元購進(jìn)A、B兩種玻璃保溫杯共80個，這兩種玻璃保溫杯的進(jìn)價、標(biāo)價如下表所示：價格\類型A型B型進(jìn)價（元/個）3565標(biāo)價（元/個）50100（1）這兩種玻璃保溫杯各購進(jìn)多少個？（2）已知A型玻璃保溫杯按標(biāo)價的8折出售，B型玻璃保溫杯按標(biāo)價的7.5折出售．在運輸過程中有2個A型和1個B型玻璃保溫杯不慎損壞，不能銷售，請問在其它玻璃保溫杯全部售出的狀況下，該商店共獲利多少元？24．初一（1）班和初一（2）班的同學(xué)為了籌備班級元旦活動到超市上購買橙子，超市有促銷活動，假如一次性所購橙子數(shù)量超過30千克，可以有肯定程度的優(yōu)待，價格如下：原價優(yōu)待價每千克價格3元2.5元1班的同學(xué)先購買一次，發(fā)覺數(shù)量不夠，去超市再次購買，其次次購買數(shù)量多于第一次，兩次共計購買48千克，2班的同學(xué)一次性購買橙子48千克．（1）若1班的同學(xué)第一次購買16千克，其次次購買32千克，則2班比1班少付多少元？（2）若1班兩次共付費126元，則1班第一次、其次次分別購買橙子多少千克？一．?dāng)?shù)字類1．列方程解應(yīng)用題：一個兩位數(shù)，個位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，假如把十位上的數(shù)與個位上的數(shù)對調(diào)后，那么所得的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)大36，求原來的兩位數(shù)．試題分析：設(shè)原來十位上的數(shù)字為x，則個位數(shù)字為2x．利用新數(shù)＝原數(shù)+36，列方程求解即可．答案詳解：解：設(shè)原來十位上的數(shù)字為x，依題意得：10×2x+x＝10x+2x+36，解得x＝4，則2x＝8．答：原來的兩位數(shù)是48．2．一個兩位數(shù)，個位數(shù)比十位數(shù)字大4，而且這個兩位數(shù)比它的數(shù)字之和的3倍大2，則這個兩位數(shù)是26．試題分析：設(shè)十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為x+4，依據(jù)數(shù)字問題的數(shù)量關(guān)系建立方程組求出其解即可．答案詳解：解：設(shè)十位數(shù)為x，個位數(shù)字為x+4，依據(jù)題意得：10x+x+4＝3（x+x+4）+2，解得：x＝2，則這個兩位數(shù)是26；所以答案是：26．3．有一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)比十位上的數(shù)大5，假如把這個兩位數(shù)的兩個數(shù)字的位置對換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143．求這個兩位數(shù)．試題分析：設(shè)這個兩位數(shù)的十位為x，個位為（x+5），依據(jù)這個兩位數(shù)的兩個數(shù)字的位置對換所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．答案詳解：解：設(shè)這個兩位數(shù)的十位為x，個位為（x+5），依據(jù)題意得：10x+（x+5）+10（x+5）+x＝143，解得：x＝4，∴x+5＝9．答：這個兩位數(shù)是49．二．（超級經(jīng)典題型）方程與數(shù)軸的融合4．如圖，線段AB＝28厘米，點D和點C在線段AB上，且AC：BC＝5：2，DC：AB＝1：4．點P從點A動身以4厘米/秒的速度沿射線AD向點C運動，點P到達(dá)點C所在位置后馬上依據(jù)原路原速返回，到達(dá)點D所在位置后停止運動，點Q從點B動身以1厘米/秒的速度沿著射線BC的方向運動，點Q到達(dá)點D所在的位置后停止運動．點P和點Q同時動身，點Q運動的時間為t秒．（1）求線段AD的長度；（2）當(dāng)點C恰好為PQ的中點時，求t的值；（3）當(dāng)PQ＝7厘米時，求t的值．試題分析：（1）依據(jù)線段間的比例可得AD和DC的長，再依據(jù)線段的和差可得答案；（2）分三種狀況：當(dāng)0≤t≤5時，PC＝20﹣4t，CQ＝8﹣t；當(dāng)5＜t≤274時，PC＝4t﹣20，CQ＝8﹣t，當(dāng)274＜t≤15時，PC＝DC＝7，（3）①當(dāng)0≤t≤5時，4t+t＝28﹣7；②當(dāng)5＜t≤274時，8+4t﹣20﹣t＝7；③當(dāng)274＜答案詳解：解：（1）∵AB＝28cm，AC：BC＝5：2，∴AC＝28×57=20cm，BC∵DC：AB＝1：4，∴DC＝28×14=∴AD＝AC﹣DC＝20﹣7＝13cm；（2）①當(dāng)0≤t≤5時，PC＝20﹣4t，CQ＝8﹣t，∴20﹣4t＝8﹣t，解得t＝4；②當(dāng)5＜t≤274時，PC＝4t﹣20，CQ＝8﹣∴4t﹣20＝8﹣t，解得t＝5.6；③當(dāng)274＜t≤15時，PC＝DC＝7，CQ＝8﹣∴7＝8﹣t，解得t＝1（舍去）．綜上，當(dāng)點C恰好為PQ的中點時，t的值是4或5.6；（3）①當(dāng)0≤t≤5時，4t+t＝28﹣7，解得t＝4.2；②當(dāng)5＜t≤278+4t﹣20﹣t＝7，解得t=19③當(dāng)274＜7＝15﹣t，解得t＝8．綜上，當(dāng)PQ＝7厘米時，t的值是4.2或1935．已知AB＝8，點P從點A動身，以每秒2個單位長度的速度沿射線AB運動，M為線段AP的中點．設(shè)點P的運動時間為t秒．（1）若點P在線段AB上，則t＝2秒時，PB＝2AM．（2）若點P在AB的延長線上（如圖），設(shè)線段BP的中點為N．①線段MN的長度是否保持不變？請說明理由；②是否存在t的值，使M、N、B三點中的某個點是其余兩點所連線段的中點？若存在，求出全部滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由．試題分析：（1）依據(jù)PB＝2AM列方程求解即可；（2）①用含有t的代數(shù)式表示MN即可推斷MN長度是否為定值；②由題知存在點B是MP中點狀況列方程求出t值即可．答案詳解：解：（1）由題知，PB＝AB﹣AP＝8﹣2t，AM=12AP=12×∵PB＝2AM，∴8﹣2t＝2t，解得t＝2，所以答案是：2；（2）①MN長度不變，理由如下：由題知，MN=12AP?12BP=12故MN的長度保持不變；②存在，①點B是MN中點時，即BN=12∴12（2t﹣8）=解得t＝6，②點M是BN的中點時，即BN＝2BM，∴12（2t﹣8）＝2（t解得t＝12，∴t的值為6或12時，M、N、B三點中的某個點是其余兩點所連線段的中點．6．如圖所示，點A，B，C是數(shù)軸上的三個點，且A，B兩點表示的數(shù)互為相反數(shù)，AB＝12，AC=13（1）點A表示的數(shù)是﹣6；（2）若點P從點B動身沿著數(shù)軸以每秒2個單位的速度向左運動，則經(jīng)過8秒時，點C恰好是BP的中點；（3）若點Q從點A動身沿著數(shù)軸以每秒1個單位的速度向右運動，線段QB的中點為M．當(dāng)MC＝2QB時，則點Q運動了多少秒？請說明理由．試題分析：（1）依據(jù)AB＝12，且A，B兩點表示的數(shù)互為相反數(shù)，直接得出即可；（2）設(shè)經(jīng)過t秒點C是BP的中點，依據(jù)題意列方程求解即可；（3）設(shè)點Q運動了x秒時MC＝2QB，分狀況列方程求解即可．答案詳解：解：（1）∵AB＝12，且A，B兩點表示的數(shù)互為相反數(shù)，∴點A表示的數(shù)是﹣6，所以答案是：﹣6；（2）∵AB＝12，AC=13∴AC＝4，BC＝8，設(shè)經(jīng)過t秒點C是BP的中點，依據(jù)題意列方程得2t＝8+8，解得t＝8，所以答案是：8；（3）設(shè)點Q運動了x秒時MC＝2QB，①當(dāng)Q點在B點左側(cè)時，即CQ=32依據(jù)題意列方程得t﹣4=32（12﹣解得t=44②當(dāng)Q點在B點右側(cè)時，即BC+12BQ＝2依據(jù)題意列方程得8+12（t﹣12）＝2（解得t=52綜上，當(dāng)Q運動了445秒或523秒時MC＝2三．行程類之一般相遇、追及7．M、N兩地相距600km，甲、乙兩車分別從M、N兩地動身，沿一條大路勻速相向而行，甲與乙的速度分別為100km/h和20km/h，甲從M地動身，到達(dá)N地馬上調(diào)頭返回M地，并在M地停留等待乙車抵達(dá)，乙從N地動身前往M地，和甲車會合．（1）求兩車其次次相遇的時間；（2）求甲車動身多長時間，兩車相距20km．試題分析：（1）設(shè)經(jīng)過x小時兩車其次次相遇，依據(jù)“甲車行駛路程減去乙車行駛路程＝600”列方程求解；（2）設(shè)甲車動身t小時與乙車相距20km，分第一次相遇前、后，其次次相遇前、后及甲車到達(dá)M地停留等待乙車抵達(dá)時五種狀況，列方程求解．答案詳解：解：（1）設(shè)經(jīng)過x小時兩車其次次相遇，由題意可得：100x﹣20x＝600，解得：x＝7.5，答：兩車經(jīng)過7.5小時其次次相遇；（2）設(shè)甲車動身t小時與乙車相距20km，①兩車第一次相遇前，100t+20t＝600﹣20，解得：t=29②兩車第一次相遇后且甲車還未到達(dá)N地，100t+20t＝600+20，解得：t=31③甲車到達(dá)N地返回M地至兩車其次次相遇前，100t﹣20t＝600﹣20，解得：t=29④甲車到達(dá)N地返回M地至兩車其次次相遇后，100t﹣20t＝600+20，解得：t=31⑤甲車達(dá)到N地等待乙車抵達(dá)時，20t＝600﹣20，解得：t＝29，綜上，甲車動身296時或316時或294時或318．甲、乙兩地相距72km，一輛工程車和一輛灑水車上午6時同時從甲地動身，分別以v1km/h、v2km/h的速度勻速駛往乙地．工程車到達(dá)乙地后停留了2h，沿原路以原速返回，中午12時到達(dá)甲地，此時灑水車也恰好到達(dá)乙地．（1）v1＝36km/h，v2＝12km/h；（2）求動身多長時間后，兩車相遇？（3）求動身多長時間后，兩車相距30km？試題分析：（1）分別用兩車行駛路程除以行駛時間即可得到兩車的速度；（2）設(shè)動身x小時后兩車相遇，可得36（x﹣2）+12x＝72×2，即可解得答案；（3）設(shè)動身t小時后兩車相距30km，分三種狀況：①在工程車還未到達(dá)乙地，即當(dāng)0＜t＜2時，36t﹣12t＝30，②在工程車在乙地停留，即當(dāng)2≤t≤4時，12t+30＝72，③在工程車返回甲地的途中，即當(dāng)4＜t≤6時，未相遇時：36（t﹣2）+12t+30＝72×2，相遇后：36（t﹣2）+12t﹣30＝72×2，即可分別解得答案．答案詳解：解：（1）由題意得：v1=72×212?6?2=36（km/h），v2=7212?6所以答案是：36km/h，12km/h；（2）設(shè)動身x小時后兩車相遇，依據(jù)題意得：36（x﹣2）+12x＝72×2，解得x=9答：動身92（3）設(shè)動身t小時后兩車相距30km，①在工程車還未到達(dá)乙地，即當(dāng)0＜t＜2時，36t﹣12t＝30，解得t=5②在工程車在乙地停留，即當(dāng)2≤t≤4時，12t+30＝72，解得t=7③在工程車返回甲地的途中，即當(dāng)4＜t≤6時，未相遇時：36（t﹣2）+12t+30＝72×2，解得t=31相遇后：36（t﹣2）+12t﹣30＝72×2，解得t=41答：動身54、72、418四．行程類之車過隧道大橋9．一列勻速前進(jìn)的火車，通過列車隧道．（1）假如通過一個長300米的隧道AB，從車頭進(jìn)入隧道到車尾離開隧道，共用15秒的時間（如圖1），又知其間在隧道頂部的一盞固定的燈發(fā)出的一束光垂直照射火車2.5秒，求這列火車的長度；（2）假如火車以相同的速度通過了另一個隧道CD，從火車車尾全部進(jìn)入隧道到火車車頭剛好到達(dá)隧道出口（如圖2），其間共用20秒時間，求這個隧道CD的長．試題分析：（1）等量關(guān)系為：（隧道長度+火車長度）÷15＝火車長度÷2.5；（2）等量關(guān)系為：隧道的長度CD＝火車的長度+行駛的路程．答案詳解：解：（1）解：設(shè)這列火車的長度是x米．由題意得：（300+x）÷15＝x÷2.5，解得：x＝60．答：這列火車的長度是60米．（2）依據(jù)題意知，602.5所以，CD的長為540米．10．一列動車以300km/h的速度過第一、其次個隧道，已知其次個隧道的長度比第一個隧道長度的2倍還多1.5km，若該列動車過其次個隧道比第一個隧道多用了93秒，則其次個隧道的長度是14km．試題分析：依據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程，留意單位要統(tǒng)一．答案詳解：解：設(shè)第一個隧道長度是xkm，x300解得，x＝6.25，∴2x+1.5＝14，所以答案是：14km．五．行程類之順?biāo)嫠?1．某人乘船由A地順流而下到達(dá)B地，然后又逆流而上到C地，共用了3小時．已知船在靜水中速度為每小時8千米，水流速度是每小時2千米．已知A、B、C三地在一條直線上，若AC兩地距離是2千米，則AB兩地距離多少千米？（C在A、B之間）試題分析：依據(jù)路程、速度、時間之間的關(guān)系列出方程即可解答．答案詳解：解：設(shè)AB兩地距離為x千米，則CB兩地距離為（x﹣2）千米．依據(jù)題意，得x8+2解得x=25答：AB兩地距離為25212．一只汽艇從A碼頭順流航行到B碼頭用2小時，從B碼頭返回到A碼頭，用了2.5小時，假如水流速度是3千米/時，求：（1）汽艇在靜水中的速度；（2）A、B兩地之間的距離．試題分析：（1）可設(shè)汽艇在靜水中的平均速度是x千米/小時，依據(jù)等量關(guān)系：甲碼頭到乙碼頭的路程是肯定的，列出方程求解即可；（2）依據(jù)速度、時間、路程間的關(guān)系解答．答案詳解：解：（1）設(shè)汽艇在靜水中的速度為xkm/h．由題意，得2（x+3）＝2.5（x﹣3）﹣0.5x＝﹣13.5x＝27．答：汽艇在靜水中的平均速度是27千米/小時；（2）由題意，得2（x+3）＝2（27+3）＝60（千米）答：A、B兩地之間的距離是60千米．六．工程類13．為慶祝建國七十周年，南崗區(qū)預(yù)備對某道路工程進(jìn)行改造，若請甲工程隊單獨做此工程需4個月完成，若請乙工程隊單獨做此工程需6個月完成，若甲、乙兩隊合作2個月后，甲工程隊到期撤離，則乙工程隊再單獨需幾個月能完成？試題分析：由題意甲工程隊單獨做此工程需4個月完成，則知道甲每個月完成14，乙工程隊單獨做此工程需6個月完成16，當(dāng)兩隊合作2個月時，共完成（2×1答案詳解：解：設(shè)乙工程隊再單獨需x個月能完成，由題意，得2×14解得x＝1．答：乙工程隊再單獨需1個月能完成．14．由于地鐵施工，需要拆除我校圖書館，七班級同學(xué)主動擔(dān)當(dāng)圖書館整理圖書的任務(wù)，假如由一個人單獨做要用30小時完成，現(xiàn)先支配一部分人用1小時整理，隨后又增加6人和他們一起又做了2小時，恰好完成整理工作，假設(shè)每個人的工作效率相同，那么先按排整理的人員有多少？試題分析：設(shè)先支配整理的人員有x人，依據(jù)工作效率×工作時間×工作人數(shù)＝工作總量結(jié)合題意，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．答案詳解：解：設(shè)先支配整理的人員有x人，依據(jù)題意得：130x+130解得：x＝6．答：先支配整理的人員有6人．七．方案設(shè)計類15．為了更好地落實“雙減”政策，豐富同學(xué)課后托管服務(wù)內(nèi)容，某校打算購買一批足球運動裝備．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)覺：甲、乙兩商場以同樣的價格出售同種品牌的足球隊服和足球，已知每套隊服比每個足球多50元，兩套隊服與三個足球的費用相等．（1）求每套隊服和每個足球的價格各是多少？（2）甲商場優(yōu)待方案是：每購買十套隊服，送一個足球；乙商場優(yōu)待方案是：若購買隊服超過80套，則購買足球打八折．若該校購買100套隊服和a個足球（其中a≥10且為整數(shù)），請通過計算說明，學(xué)校接受哪種優(yōu)待方案更省錢？①請用含a的式子表示：甲商城所花的費用100a+14000，乙商城所花的費用80a+15000；②當(dāng)購買的足球數(shù)a為何值時在兩家商場購買所花的費用一樣？試題分析：（1）設(shè)每個足球的定價是x元，則每套隊服是（x+50）元，依據(jù)兩套隊服與三個足球的費用相等列出方程，解方程即可；（2）①依據(jù)題意列式子即可；②依據(jù)甲、乙兩商場的優(yōu)待方案即可求解；答案詳解：解：（1）設(shè)每個足球的定價是x元，則每套隊服是（x+50）元，依據(jù)題意得2（x+50）＝3x，解得x＝100，x+50＝150．答：每套隊服150元，每個足球100元；（2）①甲商場購買所花的費用為：150×100+100（a?10010）＝100乙商場購買所花的費用為：150×100+0.8×100?a＝80a+15000（元）；所以答案是：100a+14000；80a+15000；②兩家商場購買所花的費用一樣時，100a+14000＝80a+15000，解得a＝50，答：購買的足球數(shù)a為50時在兩家商場購買所花的費用一樣．16．為舉辦校內(nèi)文化節(jié)，甲、乙兩班預(yù)備給合唱同學(xué)購買演出服裝（一人一套），兩班共92人（其中甲班比乙班人多，且甲班不足90人），下面是供貨商給出的演出服裝的價格表：購買服裝的套數(shù)1套至45套46套至90套91套以上每套服裝的價格60元50元40元假如兩班單獨給每位同學(xué)購買一套服裝，那么一共應(yīng)付5020元．（1）甲、乙兩班聯(lián)合起來給每位同學(xué)購買一套服裝，比單獨購買可以節(jié)省多少錢？（2）甲、乙兩班各有多少名同學(xué)？（3）假如甲班有10名同學(xué)被調(diào)去參與書畫競賽不能參與演出，請你為兩班設(shè)計一種最省錢的購買服裝方案．試題分析：（1）若甲、乙兩班聯(lián)合起來購買服裝，則每套是40元，計算出總價，即可求得比各自購買服裝共可以節(jié)省多少錢；（2）設(shè)甲班有x名同學(xué)預(yù)備參與演出．依據(jù)題意，明顯各自購買時，甲班每套服裝是50元，乙班每套服裝是60元．依據(jù)等量關(guān)系：①共92人；②兩校分別單獨購買服裝，一共應(yīng)付5020元，列方程即可求解．（3）甲班需服裝40套，乙班需服裝42套，方案一：甲乙合買82套服裝費用：82×50＝4100元，方案二：甲乙共買92套服裝費用：92×40＝3680元，即可得答案．答案詳解：解：（1）由題意得：5020﹣92×40＝1340（元）．即兩班聯(lián)合起來購買服裝比各自購買服裝共可以節(jié)省1340元．（2）設(shè)甲班有x名同學(xué)預(yù)備參與演出（依題意46＜x＜90），則乙班有同學(xué)（92﹣x）人．依題意得：50x+60（92﹣x）＝5020，解得：x＝50．于是：92﹣x＝42（人）．答：甲班有50人，乙班有42人；（3）∵甲班有10名同學(xué)被調(diào)去參與書畫競賽不能參與演出，∴甲班需服裝40套，乙班需服裝42套，方案一：甲乙合買82套服裝費用：82×50＝4100元，方案二：甲乙共買92套服裝費用：92×40＝3680元，∵4100＞3680，∴甲乙兩班共買92套服裝最省錢．17．水資源透支現(xiàn)象令人擔(dān)憂，節(jié)省用水迫在眉睫．針對居民用水鋪張現(xiàn)象，重慶市政府和環(huán)保組織進(jìn)行了調(diào)查，并制定出相應(yīng)的措施．（1）據(jù)環(huán)保組織調(diào)查統(tǒng)計，全市至少有6×105個水龍頭、2×104個抽水馬桶漏水．若一萬個漏水的水龍頭一個月能漏掉a立方米水；一萬個漏水的馬桶一個月漏掉b立方米水，則全市一個月僅這兩項所造成的水流失量是多少？（2）針對居民用水鋪張現(xiàn)象，市政府將制定居民用水標(biāo)準(zhǔn)：規(guī)定每個三口之家每月的標(biāo)準(zhǔn)用水量，超過標(biāo)準(zhǔn)部分加價收費．若不超標(biāo)部分的水價為每立方米3.5元；超標(biāo)部分為每立方米4.2元．某家庭某月用水12立方米，交水費44.8元，請你通過列方程求出我市規(guī)定的三口之家每月的標(biāo)準(zhǔn)用水量為多少立方米．（3）在近期由市物價局進(jìn)行的水價聽證會上，有一代表提出一新的水價收費設(shè)想：每天8：00至22：00為用水高峰期，水價可定為每立方米4元；22：00至次日8：00為用水低谷期，水價可定為每立方米3.2元．若某三口之家依據(jù)此方案需支付的水費與（2）問所交水費相同，又知該家庭用水高峰期的用水量比低谷期少20%．請計算哪種方案下的用水量較少？少多少？試題分析：（1）依據(jù)題意“水龍頭漏水量+馬桶漏水量”可直接計算出全市一個月僅這兩項所造成的水流失量；（2）先依據(jù)水費判定他家的用水量超過標(biāo)準(zhǔn)用水量，再依據(jù)超過的計算方法列方程求解即可；（3）設(shè)用水低谷期的用水量為y立方米，則用水高峰期的用水量為（1﹣20%）y立方米，利用水費44.8作為相等關(guān)系列方程可求得水低谷期的用水量，再求得總的用水量，用作差法即可比較．答案詳解：解：（1）∵6×10510000?a+2×104∴全市一個月僅這兩項所造成的水流失量是（60a+2b）立方米．（2）∵44.812∴該家庭該月用水量超過標(biāo)準(zhǔn)用水量，設(shè)我市規(guī)定的三口之家的每月標(biāo)準(zhǔn)用水量為x立方米，由題意得：3.5x+4.2（12﹣x）＝44.8，解得：x＝8，答：我市規(guī)定的三口之家的每月標(biāo)準(zhǔn)用水量為8立方米．（3）設(shè)用水低谷期的用水量為y立方米，則用水高峰期的用水量為（1﹣20%）y立方米，由題意得：3.2y+4×（1﹣20%）y＝44.8，解得：y＝7，∴y+（1﹣20%）y＝7+5.6＝12.6，∵12.6﹣12＝0.6（立方米）．∴問題（2）中的方案下的用水量較少，少0.6立方米．18．列一元一次方程解應(yīng)用題．有一批共享單車需要修理，修理后連續(xù)投放騎用，現(xiàn)有甲、乙兩人做修理，甲每天修理16輛，乙每天修理的車輛比甲多8輛，甲單獨修理完成這批共享單車比乙單獨修理完多用20天，公司每天付甲80元修理費，付乙120元修理費．（1）問需要修理的這批共享單車共有多少輛？（2）在修理過程中，公司要派一名人員進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)督，公司負(fù)擔(dān)他每天10元補(bǔ)助費，現(xiàn)有三種修理方案：①由甲單獨修理；②由乙單獨修理；③甲、乙合作同時修理，你認(rèn)為哪種方案最省錢，為什么？試題分析：（1）通過理解題意可知本題的等量關(guān)系，即甲乙單獨修完共享單車的數(shù)量相同，列方程求解即可；（2）分別計算，通過比較選擇最省錢的方案．答案詳解：解：（1）設(shè)乙單獨做需要x天完成，則甲單獨做需要（x+20）天，由題意可得：16（x+20）＝24x，解得：x＝40，總數(shù)：24×40＝960（輛），答：乙單獨做需要40天完成，甲單獨做需要60天，一共有960輛共享單車；（2）方案一：甲單獨完成：60×80+60×10＝5400（元），方案二：乙單獨完成：40×120+40×10＝5200（元），方案三：甲、乙合作完成：960÷（16+24）＝24（天），則一共需要：24×（120+80）+24×10＝5040（元），所以選擇方案三合算．八．日常生活中的方程--水電類19．列方程解應(yīng)用題：為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識，某市將要接受價格調(diào)控手段達(dá)到節(jié)水目的，設(shè)計了如下的調(diào)控方案．價目表每月用水量單價不超出10噸的部分2.5元/噸超出10噸的部分3元/噸（1）甲戶居民五月份用水12噸，則水費為31元．（2）乙戶居民八月份繳納水費40元，則該戶居民八月份用水多少噸？（列方程解答）試題分析：（1）甲戶居民五月份用水12噸，則有10噸水每噸按2.5元收費，而另外2噸則按每噸3元收費，列式并計算出相應(yīng)的錢數(shù)即可；（2）設(shè)該戶居民八月份用水x噸，再依據(jù)10噸水的水費與超過10噸部分的水費的和為40元列方程求出x的值即可．答案詳解：解：（1）甲戶居民五月份用水12噸，則2.5×10+3×（12﹣10）＝31（元），∴甲戶居民五月份的水費為31元，所以答案是：31．（2）設(shè)該戶居民八月份用水x噸，依據(jù)題意得2.5×10+3（x﹣10）＝40，解得x＝15，答：該戶居民八月份用水15噸．20．近日，無錫市進(jìn)展改革委印發(fā)《關(guān)于優(yōu)化調(diào)整居民階梯氣價政策有關(guān)事項的通知》，從2024年1月1日起，增加一、二檔用氣量，“一戶多人口”政策同步調(diào)整．氣量分檔年用氣量（立方米）價格（元/立方米）調(diào)整前調(diào)整后第一檔年用氣量≤300年用氣量≤4002.73其次檔300＜年用氣量≤600400＜年用氣量≤10003.28第三檔年用氣量＞600年用氣量＞10003.82人口超過4人的家庭，每增加1人，一、二檔上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二檔上限增加60立方米、120立方米）．（1）若小明家有5口人，年用氣量1000立方米．則調(diào)整前氣費為3233.2元，調(diào)整后氣費為3016元；（2）小紅家有4口人，若調(diào)整后比調(diào)整前氣費節(jié)省109元，則小紅家年用氣量為多少立方米？試題分析：（1）依據(jù)調(diào)整前后的政策分別計算即可；（2）設(shè)小紅家年用氣量為x立方米，分四種狀況，計算出小紅家年用氣費用，依據(jù)調(diào)整后比調(diào)整前氣費節(jié)省109元，列方程求解即可．答案詳解：解：（1）調(diào)整前：360×2.73+（600+120﹣360）×3.28+（1000﹣600﹣120）×3.82＝3233.2（元）；調(diào)整后：480×2.73+（1000﹣480）×3.28＝3016（元）；所以答案是：3233.3，3016；（2）設(shè)小紅家年用氣量為x立方米，①300＜x≤400時，調(diào)整前：300×2.73+（x﹣300）×3.28＝（3.28x﹣165）元；調(diào)整后：2.73x（元），∴調(diào)整后比調(diào)整前氣費節(jié)省3.28x﹣165﹣2.73x＝（0.55x﹣165）元；∵300＜x≤400，∴0＜0.55x﹣165≤55，不合題意；②400＜x≤600時，調(diào)整前：300×2.73+（x﹣300）×3.28＝（3.28x﹣165）元；調(diào)整后：400×2.73+3.28（x﹣400）＝（3.28x﹣220）元；∴調(diào)整后比調(diào)整前氣費節(jié)省3.28x﹣165﹣（3.28x﹣220）＝55（元），不合題意；③600＜x≤1000時，調(diào)整前：300×2.73+（600﹣300）×3.28+（x﹣600）×3.82＝（3.82x﹣489）元；調(diào)整后：400×2.73+3.28（x﹣400）＝（3.28x﹣220）元；∴調(diào)整后比調(diào)整前氣費節(jié)省3.82x﹣489﹣（3.28x﹣220）＝0.54x﹣269，由題意得：0.54x﹣269＝109，解得：x＝700，∴小紅家年用氣量，700立方米；④x＞1000時，調(diào)整前：300×2.73+（600﹣300）×3.28+（x﹣600）×3.82＝（3.82x﹣489）元；調(diào)整后：400×2.73+3.28×（1000﹣400）+（x﹣1000）×3.82＝（3.82x﹣760）元；∴調(diào)整后比調(diào)整前氣費節(jié)省3.82x﹣489﹣（3.82x﹣760）＝271（元），不合題意；綜上，小紅家年用氣量，700立方米．九．（易錯題型）利潤，購物類21．某超市第一次用3800元購進(jìn)了甲、乙兩種商品，其中甲種商品40件，乙種商品160件．已知乙種商品每件進(jìn)價比甲種商品每件進(jìn)價貴5元．甲種商品售價為20元/件，乙種商品售價為25元/件．（1）甲、乙兩種商品每件進(jìn)價各多少元？（2）該超市將第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品全部銷售完，可獲得多少利潤？（3）該超市其次次又購進(jìn)同樣數(shù)量的甲、乙兩種商品．其中甲種商品每件的進(jìn)價不變，乙種商品進(jìn)價每件少3元；甲種商品按原售價提價a%銷售，乙種商品按原售價降價a%銷售，假如其次次兩種商品都銷售完以后獲得的總利潤比第一次獲得的總利潤多160元，那么a的值是多少？試題分析：（1）設(shè)該超市第一次購進(jìn)甲種商品每件x元，乙種商品每件y元．依據(jù)總進(jìn)價3800元列出方程即可解決問題．（2）求出甲、乙兩種商品的利潤和即可．（3）依據(jù)其次次的利潤1000+160＝1160元，列出方程即可．答案詳解：解：（1）設(shè)甲種商品每件進(jìn)價x元，乙種商品每件進(jìn)價y元，由題意可得：y?解得：x=15y=20答：甲種商品每件進(jìn)價15元，乙種商品每件進(jìn)價20元；（2）（2）該超市將第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品全部銷售完后一共可獲得的利潤＝40×（20﹣15）+160×（25﹣20）＝1000元．答：該超市將第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品全部銷售完后一共可獲得1000元的利潤．（3）由題意40×[20（1+a%）﹣15]+160×[25（1﹣a%）﹣（20﹣3）]＝1000+160，解得a＝10．答：a的值是10．22．甲、乙兩家超市新年期間推出優(yōu)待活動，推出如表購物優(yōu)待方案：甲超市乙超市消費金額（元）優(yōu)待活動消費金額（元）優(yōu)待活動0～100（包含100）無優(yōu)待0～200（包含200）無優(yōu)待100～350（包含350）一律享受九折優(yōu)待大于200超過200元的部共享受八折優(yōu)待大于350一律享受八折優(yōu)待（1）小王需要購買價格為240元的商品，去哪家店更劃算？（2）小李帶了252元去購物、為了買到最多的商品，應(yīng)選擇哪家超市？最多能買到原價為多少元的商品？（3）小劉在甲超市購物、兩次購物分別付了80元和288元，假如小劉把這兩次購物改為一次性購物，付款多少元？試題分析：（1）計算出買240元的東西分別在甲、乙兩