第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.2奇偶性學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1．結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義和幾何意義數(shù)學(xué)抽象2．掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法，了解奇偶性與函數(shù)圖象對(duì)稱性之間的關(guān)系直觀想象3．會(huì)利用函數(shù)的奇偶性解決簡單問題數(shù)學(xué)運(yùn)算|自學(xué)導(dǎo)引|

函數(shù)的奇偶性奇偶性定義偶函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果

x∈I，都有－x∈I，且____________，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)奇函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果

x∈I，都有－x∈I，且______________，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)f(－x)＝f(x)

f(－x)＝－f(x)

【預(yù)習(xí)自測(cè)】判斷下列命題是否正確．(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)y＝f(x)一定是奇函數(shù)． (

)(2)不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)． (

)(3)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)不是奇函數(shù)，就是偶函數(shù)． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×【解析】(1)反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函數(shù)f(x)＝x2不是奇函數(shù)．(2)存在f(x)＝0，x∈R既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．(3)函數(shù)f(x)＝x2－2x，x∈R的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但它既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)．偶函數(shù)、奇函數(shù)的圖象特征1．偶函數(shù)的圖象關(guān)于________對(duì)稱．2．奇函數(shù)的圖象關(guān)于________對(duì)稱．y軸

原點(diǎn)

【預(yù)習(xí)自測(cè)】如圖是偶函數(shù)f(x)在y軸右側(cè)部分的圖象，試畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)部分的圖象．解：利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的特點(diǎn)，可作出函數(shù)y＝f(x)在y軸左側(cè)部分的圖象，如圖所示．如果一個(gè)函數(shù)f(x)的定義域是(－1，1]，那么這個(gè)函數(shù)f(x)還具有奇偶性嗎？【提示】由函數(shù)奇偶性定義，對(duì)于定義域內(nèi)任一元素x，其相反數(shù)－x必須也在定義域內(nèi)，才能進(jìn)一步判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系．而本問題中，1∈(－1，1]，－1(－1，1]，f(－1)無定義，自然也談不上是否與f(1)相等了．所以該函數(shù)既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)．|課堂互動(dòng)|解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)閒(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)閧－1，1}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)＝0，又因?yàn)閒(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)是非奇非偶函數(shù)．(4)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．綜上可知，對(duì)于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法(1)定義法．(2)圖象法．解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽．因?yàn)閒(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．(2)f(x)的定義域是R．因?yàn)閒(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)．(3)函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)是非奇非偶函數(shù)．題型2奇、偶函數(shù)的圖象問題已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5，5]，且在區(qū)間[0，5]上的圖象如圖所示．

(1)畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5，0]上的圖象；(2)寫出使f(x)＜0的x的取值集合．解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以y＝f(x)在[－5，5]上的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．由y＝f(x)在[0，5]上的圖象，可知它在[－5，0]上的圖象，如圖所示．

(2)由圖象知，使函數(shù)值f(x)＜0的x的取值集合為(－2，0)∪(2，5)．巧用奇偶性作函數(shù)圖象的步驟(1)確定函數(shù)的奇偶性．(2)作出函數(shù)在[0，＋∞)(或(－∞，0])上對(duì)應(yīng)的圖象．(3)根據(jù)奇(偶)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對(duì)稱得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象．2．已知偶函數(shù)f(x)的一部分圖象如圖，試畫出該函數(shù)在y軸另一側(cè)的圖象，并比較f(2)，f(4)的大?。猓篺(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖．由圖象知，f(2)＜f(4)．題型3函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

(1)若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇a－1，2a]，則a＝________，b＝________；(2)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2x是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________．(3)已知函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝2x－1，求函數(shù)f(x)的解析式．由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的注意點(diǎn)(1)函數(shù)奇偶性的定義既是判斷函數(shù)的奇偶性的一種方法，也是在已知函數(shù)奇偶性時(shí)可以運(yùn)用的一個(gè)性質(zhì)，要注意函數(shù)奇偶性定義的正用和逆用．(2)利用常見函數(shù)如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)具有奇偶性的條件也可求得參數(shù)．利用奇偶性求解析式的方法首先設(shè)出所求區(qū)間上的自變量，利用奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特點(diǎn)，把它轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間上，代入已知的解析式，然后再次利用函數(shù)的奇偶性求解即可．3．(1)若函數(shù)f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)為偶函數(shù)，則m的值是 (

)A．1 B．2 C．3 D．4(2)已知f(x)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝x2＋x－1，則x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝________．【答案】(1)B

(2)x2－x－1

【解析】(1)由f(－x)＝f(x)，得m－2＝0，∴m＝2．(2)設(shè)x＜0，則－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1，∴f(－x)＝x2－x－1．∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2－x－1，∴當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝x2－x－1．易錯(cuò)防范：對(duì)函數(shù)奇偶性定義實(shí)質(zhì)理解不全面．對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的實(shí)質(zhì)是函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件．防范措施是判斷奇偶性，首先求定義域，并判斷定義域的對(duì)稱性．|素養(yǎng)達(dá)成|3．應(yīng)用函數(shù)的奇偶性求值、參數(shù)或函數(shù)的解析式，要根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)對(duì)函數(shù)值及函數(shù)解析式進(jìn)行轉(zhuǎn)換．1．(題型1)下列各函數(shù)在其定義域內(nèi)，既為奇函數(shù)又為減函數(shù)的是 (

)A．y＝－|x| B．y＝x－1C．y＝－x2 D．y＝－x3【答案】D

【解析】由奇函數(shù)滿足f(－x)＝－f(x)，可判斷A，C錯(cuò)；由減函數(shù)的性質(zhì)可知B錯(cuò)．故選D．2．(題型3)(2023年重慶渝中區(qū)模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(3)＝－2，且h(x)＝－x2＋f(3x)為奇函數(shù)，則f(－3)＝ (

)A．4 B．－2C．0 D．2【答案】A

【解析】因?yàn)閔(x)＝－x2＋f(3x)是奇函數(shù)，所以h(－1)＋h(1)＝0，故－1＋f(－3)－1＋f(3)＝0，所以f(－3)＝4．故選A．3．(題型3)已知函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x(x－1)，則當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝_______