【贏在高考?黃金8卷】備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學模擬卷(江蘇專用)

黃金卷03

注意事項：

i.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的。

I.(5分)(2022春?湖北黃石?高二期末)已知集合A={x|—1<x<3},B={x6Z|x2<4},則4nB=()

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2)

【解題思路】根據(jù)交集運算的定義進行求解即可.

【解答過程］》2<4得，-2<x<2,又xez,

B={-1,0,1}.={x|-1<%<3},

???AnB={-1,0,1})

故選B.

2.(5分)(2023.新疆?校聯(lián)考模擬預(yù)測)若復(fù)數(shù)z滿足z(2+i)=8-i(其中i是虛數(shù)單位)，則z的共軻復(fù)數(shù)

z=()

A.3-2iB.3+2iC.4-iD.4+i

【解題思路】經(jīng)計算可得z,后由共軌復(fù)數(shù)定義可得答案.

【解答過程】由z(2+i)=8—i,得z=^=浮卻=竺乎=3-21所以2=3+2i.

2+11)5

故選：B.

3.(5分)(2022.全國?高三專題練習)如圖，在平行四邊形4BCO中，M是邊CD的中點，N是AM的一個三等

分點(|4N|<|NM|),若存在實數(shù);I和〃，使得前=2而+〃而，則；1+〃=()

【解題思路】根據(jù)平面向量的基本定理，利用向量的線性運算進行向量的基底表示，即可得尢〃的值.

【解答過程】因為N是4M的一個三等分點(MN|<|NM|),所以而=：宿.因為“是邊CC的中點，所以麗=

沖=海.又麗=前一而=［前一而=^(AD+~DM)-AB=^(AD+^AB)-AB=-^AB+^AD,

所以4+〃———+-=——.

故選：C.

4.(5分)(2022春?河北滄州?高一階段練習)棱臺的上、下底面面積分別是2,4,高為3,則該棱臺的體

積是()

A.18+6夜B.6+2V2

C.24D.18

【解題思路】依題意直接利用臺體體積的計算公式即得結(jié)果.

【解答過程】依題意，棱臺的上底面面積V=2,下底面面積S=4,高為h=3,

故由公式可知，棱臺的體積是V=((5'++S)/i=ix(2+V8+4)x3=6+2近，

故選：B.

5.(5分)(2023?全國?高三專題練習)2022年10月12日“天宮課堂”首次在問天實驗艙中授課，航天員老師

們演示和講解的多種實驗，極大地激發(fā)了學生的學習興趣.在一次模仿操作實驗中，學生們從裝有大小相同

的標號分別為1,2,3,456,7,8,9的9種不同的種子中隨機抽取2種種子進行操作實驗，則抽到的兩種不同的種

子的標號之和恰為10的概率為()

A.-B.—C.—D.—

9153645

【解題思路】根據(jù)古典概型概率公式結(jié)合組合數(shù)公式即得.

【解答過程】從標號分別為1,2,3,456,7,8,9的9種不同的種子中隨機抽取2種種子的所有結(jié)果有=36種，

而標號之和恰為10的結(jié)果有:(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),共4種,

所以所求的概率為P=卷=:

故選：A.

6.(5分)(2023春?山東濟南?高三開學考試)己知。=6皿5,b=7ln4,c=8ln3,則()

A.a>b>cB.a>c>h

C.b>c>aD.c>b>a

【解題思路】對a,b,c兩邊取對數(shù)，得到Ina=ln5?ln6,Inb=ln4?ln7,Inc=ln3-ln8,構(gòu)造f(%)=In%?

ln(ll—x),3<x<5,求導后再令g(x)=xlnx,研究其單調(diào)性，得到f(x)=Inx,ln(ll-x)在3工％W5上

單調(diào)遞增，從而得到Inc<Inb<Ina,結(jié)合y=Inx在(0,+8)上的單調(diào)性求出答案.

【解答過程】a=6m5,b=7m3c=8m3兩邊取對數(shù)得：ma=ln5-ln6,\nb=ln4-ln7>Inc=ln3-ln8,

令/(x)=In%-ln(ll-%),3<%<5,

則/，(x)=lln(ll-x)-^=可黑芹小，

令9(x)—xlnx,3<%<5,

則g'(x)=1+Inx>0在3<x<5上恒成立，

所以g(%)=在3<x<5上為增函數(shù)，

因為當時，11一%>萬恒成立，

所以(11—x)ln(ll—%)—xlnx>0在3<x<5上恒成立,

故尸(%)=(ll-x)ln(ll-x)-xlnx>0在34x45上恒成立,

x(ll-x)

故/(%)=Inx-ln(ll—x)在3<%<5上單調(diào)遞增,

所以/(3)</(4)</(5),故ln3ln8<ln4-ln7<ln5ln6,

即Inc<\nb<Ina,

因為y=Inx在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以cv8<Q.

故選：A.

7.(5分)(2023?貴州貴陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測)函數(shù)/(%)=4sin(3x+0)(力>0,3>0,|如<的部分圖象如

圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)y=/(x)的說法正確的是()

①/(x)的圖象關(guān)于直線x=-與對稱

②f(x)的圖象關(guān)于點(-a0)對稱

③將函數(shù)y=2sin(2x-J的圖象向左平移;個單位長度得到函數(shù)/(x)的圖象

④若方程f(x)=加在卜0]上有兩個不相等的實數(shù)根，則小的取值范圍是(-2,-b]

A.①④B.②④C.③④D.②③

【解題思路】根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，逐次判斷各選項即可得到結(jié)論.

【解答過程】解：由函數(shù)的圖象可得4=2,由;.“二^一三，解得3=2,

4a)312

又函數(shù)過點(2,2),所以2X巳+0=2/CTC+彳，fc6Z?

又|0|<+得所以函數(shù)/(%)=2sin卜％+；),

當％=.時，/(x)=0,即/(%)的圖象關(guān)于點(一，0)對稱，故②正確；

當工=一手時，/(一,)=2sin[2x(-午)+；]=2cosm=1,故①錯誤；

將函數(shù)y=2sin(2x-?的圖象向左平移;個單位長度得到y(tǒng)=2sin(21+：)-1=-2sin(2x-0,故③錯

誤；

當*e[—*。卜貝⑵+占卜I局,

令2%+：€解得工€[-:,一[]'此時sin(2x+§E卜1，一里,即f(%)W[―2,—V3],

令2%+：e[-L，解得曝。],此時sin卜％+；）e卜1,等，即f（x）€[―2,V^],

所以/（%）在[一：,-"]上單調(diào)遞減，在卜工,o]上單調(diào)遞增，

因為方程/（X）=小在卜；,0]上有兩個不相等的實數(shù)根，即y=/（x）與y=m在卜：,o]上有兩個交點,

所以m6（—2,—>/3],故④正確；

故選：B.

8.（5分）（2023?全國?模擬預(yù)測）晶胞是構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元，是結(jié)構(gòu)化學研究的一個重要方面.

在如圖（1）所示的體心立方晶胞中，原子A與5（可視為球體）的中心分別位于正方體的頂點和體心，且

原子3與8個原子A均相切.已知該晶胞的邊長（圖1中正方體的棱長）為誓式，則當圖（2）中所有原

子（8個A原子與1個8原子）的體積之和最小值為（）

A64幾（32+64?。┴?/p>

A.—

33

C4（2遮+1）兀口（5126+4）兀

3,3

【解題思路】設(shè)出球8的半徑為r,0<r<2V2+1,表達出球4的半徑，表達出了=^（8（272+1-rf+r3],

3

令/（r）=8（2魚+1-r）、+N,0<r<2\[24-1,由導函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最值

【解答過程】因為該晶胞的邊長為誓理，所以正方體對角線成為空手x舊=4企+2,

設(shè)球8的半徑為r,0<r<2V2+1,則球4的半徑為乜竽辿=2企+l-r,

所以所有原子的體積之和為V=+?兀（2/+1-r）3=）,（2或+l-r）3+r3],

3

令/（丁）=8（2迎+1-r）4-r3,0<r<2A/2+1,

則尸（r）=-24（2V2+1-r）+3r2=3（8+272-2\[2r+r）（2V2r+r-2V2-8）,

因為O<r<2或+1,所以8+2或一2a廠+「>0恒成立，

則當0<r<2企時，/''（r）<0,當2a<r<2&+1時，f'（r）>0,

故f（r）=8（2企+1-r）+"在。<r<2企上單調(diào)遞減，在2魚<r<2夜+1上單調(diào)遞增,

故/（r）=8（2a+1-丫）+「3在丁=2四處取得極大值，也時最大值，

故/（r）max=8+I6V2,故體積最大值為V=g兀X（8+16-/2）=g：+32）兀

故選：B.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,

全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.（5分）（2023?全國?模擬預(yù)測）近年來國產(chǎn)品牌汽車發(fā)展迅速，特別是借助新能源汽車發(fā)展的東風，國產(chǎn)

品牌汽車銷量得到了較大的提升.如圖是2021年1~7月和2022年1~7月我國汽車銷量占比餅狀圖，已知2022

年1~7月我國汽車總銷量為1254萬輛，比2021年增加了99萬輛，則2022年1~7月我國汽車銷量與2021

年1~7月相比，下列說法正確的是（）

2021年1-7月我國汽車銷量占比2022年1-7月我國汽車銷量占比

其他

美系4.3%美系3.4%

國產(chǎn)國產(chǎn)

42.6%47.6%

德系21.8%德系20.2%

A.國產(chǎn)汽車銷量占比變化最大B.德系汽車銷量占比下降第二大

C.國產(chǎn)汽車和其他汽車銷量占比之和變大了D.德系汽車銷量變少了

【解題思路】根據(jù)題中所給圖，比較各品牌汽車的占比的升降情況，即可判斷A,B,C；分別計算出這兩

年德系車的銷售車輛數(shù)，判斷D.

【解答過程】A,B選項：由題圖可知，2022年1~7月我國汽車銷量與2021年1~7月相比，

國產(chǎn)汽車銷量占比增加5.0%,美系汽車銷量占比降低0.3%,

日系汽車銷量占比降低2.2%,德系汽車銷量占比降低1.6%,其他汽車銷量占比降低0.9%,

故國產(chǎn)汽車銷量占比變化最大，銷量占比下降第二大的是德系汽車，A,B正確；

C選項：國產(chǎn)汽車和其他汽車銷量占比之和從2021年的46.9%變成了2022年的51%,變大了，C正確；

D選項：2021年1~7月我國汽車總銷量為1254-99=1155（萬輛），

德系汽車銷量為1155x21.8%=251.79（萬輛），

2022年卜7月我國德系汽車銷量為1254x20.2%=253.308（萬輛），變多了，D錯誤，

故選：ABC.

10.（5分）（2022春?廣東汕頭?高二階段練習）過點似見0）作曲線C:y=“蠟的切線有且僅有兩條，則實數(shù)

a可能的值是（）

A.0B.V2C.—Ine5D.e

【解題思路】設(shè)切點坐標為（林,&靖。），利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，代入點4（a,0）后，轉(zhuǎn)化為關(guān)于沏

的一元二次方程，由條件可知方程有兩個不等實數(shù)根，求a的取值范圍.

x

【解答過程】設(shè)切點坐標為（與,&靖。），因為y'=（X+l）e,所以y'|x=x。=（x0+1）〃。，

Xox

所以切線方程為y-Xoe》。=（x0+l）e（x-x0）,將點A（a,0）代入可得一沏靖。=（x0+l）e°（a-x0）,

化簡得/-ax0-a-0,過點4（a,0）作曲線C的切線有且僅有兩條，即方程就-ax0-a=0有兩個不同的

解，則4=a2+4a>0,解得：a>0或a<-4,故實數(shù)a的取值范圍是（-8,-4）U（0,+8）.

—lnes=—51ne=—5,所以由選項判斷可知BCD正確.

故選：BCD.

11.（5分）（2023?全國?模擬預(yù)測）已知O為坐標原點，F(xiàn)（l,0）為拋物線y2=2Px（p>0）的焦點，過點A（—1,0）

的直線/與拋物線交于PG”外）,Q（%2，y2）兩點，則（）

A.xrx2=4B.\OP\■|O<2|>5

C.\PF\■\QF\>4D.若PF1QF,則APFQ的面積為4

【解題思路】對A：將直線/方程與拋物線方程聯(lián)立后由韋達定理得證；

對B：Ela|OP|\OQ\>OPOQ=X1X2+y/2得證；

對C：由拋物線定義求得|PF|?\QF\=X1x2+1+（xj+打）結(jié)合基本不等式得證;

對D：由方,京=0得巾2=2,利用雇"。=ISMFQ-SMFPI求解?

【解答過程】

A選項：由題意得：=1,p=2,所以拋物線方程為y2=4%,

易知直線/的斜率不為零，設(shè)直線/的方程為my=x+l,

與V=4%聯(lián)立，得y2—4my+4=0,由4=16m2—16>0得?n2>i,

(y

而為為=4,%+=4血，xtx2=^-=1,故A錯誤?

16

B選項：因為m.而=|而|?|麗|-cos4POQ<|而|?|而|(OP,而不共線取不到等號)，

所以|OP|?|OQ|>x]X2+力曠2=5,故B正確.

C選項：由拋物線定義知|PF|=%i+l,\QF\=x2+1,

XX

所以|PF|-|QF|=(Xj+l)(x2+1)=XrX2+1+(%1+X2)>12+1+=4,

(因為Xi#刀2故取不到等號?)，故|PF|?|QF|>4,故C正確.

D選項：由PF1QF^PF-QF=(1-Xj.yJCl-x2,y2)=(1-xj(l—冷)+月、2

=x1x2+y1y2+1—(%i+x2)=0，

得％I+%2=6,又巧+小=m(yi+丫2)-2,所以4?n2—2=6,

因此m?=2,癡足△>0,所以S“FQ=|SA4/?Q—S—尸p|=,InF|M-=J(%+、2)2—4yly2=

V16?n2-16=4,故D正確.

故選：BCD.

12.（5分）（2023?安徽合肥?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)八x+1）是偶函數(shù)，且/（2+%）=_/（%）.當％W（0,1］時,

f(x)=xcos，則下列說法正確的是()

A.f(x)是奇函數(shù)

B.f(x)在區(qū)間(等，受i)上有且只有一個零點

C.“X)在償,1)上單調(diào)遞增

D./(x)區(qū)間弓,1)上有且只有一個極值點

【解題思路】A選項，由f(x+1)是偶函數(shù)，故f(-x+1)=/(x+1),結(jié)合/(2+x)=-/(%),推導出f(—x)=

-/(x),A正確；B選項，求出/'(X)的一個周期為4,從而只需求;1(X)在區(qū)間6,平)上的零點個數(shù)，結(jié)合函

數(shù)性質(zhì)得到/(2-1)=/(|)=0,B錯誤;C選項,求導得到r(x)=cos；+[in5換元后得到h(t)=cost+

tsint,t=ie(l,y),再次求導，得到/i(t)的單調(diào)性,結(jié)合九⑴>0,哨>0,得到九⑴>0在t6(譚)

上恒成立，得到f(x)在(卷,1)上單調(diào)遞增；D選項，與C選項一樣得到h(t)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理

得到隱零點，進而得到外乃的單調(diào)性，求出f(x)區(qū)間上有且只有一個極值點.

【解答過程】函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù)，故/(一x+1)=f(x+1),

因為f(2+%)=-/(%),所以/'(1+%)=-/0-1),

故/(-%+1)=-/(%-1),

將x替換為x+L得到/(一幻二一/(幻，故f(x)為奇函數(shù)，A正確；

因為/(2+%)=-/(%),故f(4+%)=-/0+2),故/(4+%)=/(%),

所以f(x)的一個周期為4,

故/co在區(qū)間(”,空)上的零點個數(shù)與在區(qū)間G，竽)上的相同，

因為/(9=：cos：=d而f(2+x)=-/(刀)=/(-x),故/1(2-=(L

其中42—空二)，

故/(%)在區(qū)間G，9)至少有2個零點，B錯誤；

時，/(%)=XCOSp

則/'(%)=

cosX-4X--sin-X,

令t=九(t)=cost+tsint,當t6(L寧)時，

所以九'(￡)=—sint+sint+tcost=tcost,

當tG時，八'(￡)=tcost>0,九(t)單調(diào)遞增，

當時，=tcost<0,九(￡)單調(diào)遞減，

又h(l)=cosl+sinl>0,h)=cos—+—sin—=———="-6”>0,

v7\6/66612212

故九⑴>0在七G(1年)上恒成立，

所以.(%)>0在%€(,1)上恒成立，故f(%)在6,1)上單調(diào)遞增,C正確；

D選項，時，/(%)=XCOSp

故/'(%)=cos：+:sin%令t=5/i(t)=cost+tsint,當tG(1,兀)時，

則五'(￡)=tcost,

當￡€(1時，h/Ct)=tcost>0,/i(t)單調(diào)遞增，

當￡€6,兀)時，/i\t)=tcost<0,八(。單調(diào)遞減，

因為/i(l)=cosl+sinl>0,h(；)=cos：+：sin：=1>(),/i(n)=cos兀+Trsinn=-1<0,

由零點存在性定理，3t0e使得/i(to)=O,

當tE(l，M)時，h(t)>0,當tw(t(),兀)時,h(t)<0,

%?*)時，/口)V°，/(%)單調(diào)遞減，%?，1澗，/'(%)>0,f(%)單調(diào)遞增,

所以了(%)區(qū)間上有且只有一個極值點，D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

828

13.(5分)(2023?全國?模擬預(yù)測)已知(%—I)=劭+ax(x+1)+a2(x+l)H--Fa8(x+l),則曲+a6=

—336.

【解題思路】將原式變形為(X-I)8=[-2+(X+I)]8,得出展開式的通項為八+1=CK-2)8-r(X+iy,

分別求出r=5和r=6時的系數(shù)，即可得出答案.

【解答過程】由題意得(x-I)8=[-2+&+I)]8.

(%-I)8=[-2+(x+1)F的展開式的通項公式為,+i=Cg(-2)8-r(x+l)r,r=0,1,2,…,8.

355

當r=5時,T6=C|(-2)(x+I)=-448(%+l),所以CI5=-448；

266

當r=6時,T7=C|(-2)(x+I)=112(x+l),所以=112.

所以as+a6=-448+112=-336.

故答案為:-336.

14.(5分)(2022.全國.統(tǒng)考高考真題)記上為等差數(shù)列｛〃｝的前"項和.若2s3=3s2+6,則公差d=2.

【解題思路】轉(zhuǎn)化條件為2(4+2d)=2%+d+6,即可得解.

【解答過程】由2s3=352+6可得2(%+。2+。3)=3(%+a?)+6,化筒得2a3=%+a2+6,

即2(%+2d)=2%+d+6,解得d=2.

故答案為：2.

15.(5分)(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)設(shè)點4(一2,3),8(0,a),若直線關(guān)于y=a對稱的直線與圓(x+3)2+

(y+2)2=1有公共點，則a的取值范圍是6引.

【解題思路】首先求出點4關(guān)于y=a對稱點4的坐標，即可得到直線，的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于

等于半徑得到不等式，解得即可;

【解答過程】解：4(-2,3)關(guān)于y=a對稱的點的坐標為4'(-2,2a-3),8(0,a)在直線y=a上,

所以所在直線即為直線，，所以直線/為y=±Bx+a,即(a-3)x+2y-2a=0；

-2

圓C:(%+3)2+(y+2)2=1,圓心C(—3,—2),半徑r=1,

依題意圓心到宜線/的距離d=<1,

空,9-白3)2+號22

即(5—5a)2W3—3)2+22,解得［SaW|,即a需3;

故答案為：

16.(5分)(2021.全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)f(x)=|靖一1|,/<0/2>0,函數(shù)f(x)的圖象在點

4(xi，/(xi))和點8。2，〃>2))的兩條切線互相垂直，且分別交了軸于M，N兩點，則鬻取值范圍是?

【解題思路】結(jié)合導數(shù)的幾何意義可得問+%2=0,結(jié)合直線方程及兩點間距離公式可得14Ml=71+e2%-

|BN|=71+e2也.|x2|,化簡即可得解.

【解答過程】由題意，/■(%)=--1|=則/'(%)=「?：；，

x

所以點力(%1，1—￡必)和點B(%2,靖2—1)，kAM=-e\kBN=靖2,

X2

所以一e*i-e——l,x1+%2=0，

X1X1X1x,

所以4M:y—1+e=—e(x—x1),M(^0,ex1—e+1),

所以|AM|=J*+(e1%i)2=V1+e2x^,

2x

同理|BN|=V14-e2?|%2|,

所以兇=竺可蟲_叵巨=卜+eW=ze(01)

m2x1(J，

|BM|Vl+e^2.|x2|yll+ezAjl+e-^1

故答案為：(0,1).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)(2023?全國?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛an｝的前〃項和為與，%+i=2疝+1,(nWN*),a2=3.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)設(shè)砥=4,數(shù)列｛%｝的前"項和為Tn，求7n的取值范圍.

【解題思路】(1)將即+i=Sn+1-Sn代入已知式子可得｛醫(yī)｝是等差數(shù)列，進而得到｛Sn｝的通項公式,

再由即與S”的關(guān)系求出｛即｝的通項公式.

(2)由裂項相消求和可得心，再由7；的單調(diào)性可求得其范圍.

【解答過程】(1)因為即+i=Sn+i-Sn，所以由%+1=2店+1,

得S.+1-Sn=2yfs^+1,所以Sn+1=S"+2yfs^+1=(y/s^+1).

所以底二=居+1,即氏；一店=1.

在即+i=+1中，令〃=1,得a2=+1=2^57+1=3，所以a/=L

所以數(shù)列｛圖是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，

2

所以JS^二7i,即：Sn=n.

22

當？i＞2時，an=Sn-Sn_x=n-（n-l）=2n-1,

ax=1也適合上式,

所以數(shù)列｛QJ的通項公式為an=2幾一1.

⑵由⑴知，"專m—L島

所以+（；§+（合習+“?+（e—六）］制（1—六”/，

因為加＞0,所以7；隨著，的增大而增大，所以7；271=1,

又顯然〃＜玄所以17；即7；的取值范圍為

18.（12分）（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）記△力BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，h,c,分別以a,b,c

為邊長的三個正三角形的面積依次為Si，S2,S3,已知SiT2+S3=苧,sinB=也

⑴求△4BC的面積；

⑵若sinAsinC=?，求江

【解題思路】⑴先表示出工,52，53,再由Si-52+S3=^^a2+c2-b2=2,結(jié)合余弦定理及平方關(guān)

系求得ac,再由面積公式求解即可；

⑵由正弦定理得篇=鼻，即可求解.

【解答過程】(1)由題意得a=”2.苧=涉2,52=￥牝53=*2,則Si-S2+S3=fa2-fb2+

73^2_&

4“-2'

即M+c2—62=2,由余弦定理得cosB="一",整理得accosB=1,則cosB>0,又sinB=2，

2ac3

則cosB=J]一針=ac=^=乎，則S"BC=[acsinB='；

3yf2

⑵由正弦定理得:導=總=急則焉=就.高-^===2,

sinAsinC04

3

則看=1，fa=lsine=r

19.（12分）（2023?陜西西安?統(tǒng)考一模）某學校組織知識競答比賽，設(shè)計了兩種答題方案:

方案一：先回答一道多選題，從第二道開始都回答單選題;

方案二：全部回答單選題.

其中每道單選題答對得2分，答錯得。分；

多選題全部選對得3分，選對但不全得1分，有錯誤選項得0分.

每名參與競答的同學至多答題3道.在答題過程中得到4分或4分以上立刻停止答題.統(tǒng)計參與競答的500名

同學，所得結(jié)果如下表所示：

男生女生

選擇方案一10080

選擇方案二200120

(1)能否有90%的把握認為方案的選擇與性別有關(guān)？

(2)小明回答每道單選題的正確率為0.8；多選題完全選對的概率為0.3,選對且不全的概率為0.3.

①若小明選擇方案一，記小明的得分為X,求X的分布列及數(shù)學期望；

②如果你是小明，為了獲取更好的得分你會選擇哪個方案?請通過計算說明理由.

附：代-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n-a+b+c+d.

P(K2>fc0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解題思路】(1)根據(jù)題意完善列聯(lián)表，計算K2的值，即可判斷結(jié)論；

(2)①確定X的取值，求出每個值對應(yīng)的概率，可得分布列，進而求得數(shù)學期望；②計算出選擇方案二的

數(shù)學期望，和方案一進行比較，可得答案.

【解答過程】(1)由題意完善列聯(lián)表如圖:

男生女生總計

選擇方案一10080180

選擇方案二200120320

總計300200500

痂

2_500X(100X120-200X80)2x2.315<2.706

300X200X320X180

故沒有90%的把握認為方案的選擇與性別有關(guān).

(2)①由題意可知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,

則P(X=0)=0.4X0.2X0.2=0.016,P(X=1)=0.3X0.2x0.2=0.012,

P(X=2)=0.4X2x0.8X0.2=0.128,P(X=3)=0.3X0.2x0.2+0.3x2x0.8X0.2=0.108

P(X=4)=0.4x0.8X0.8=0.256,

P(X=5)=0.3x0.8+0.3x0.2x0.8+0.3x0.8x0.8=0.480,

故X的分布列為：

X012345

P0.0160.012().1280.1080.2560.480

故X的數(shù)學期望E(X)=1x0.012+2x0.128+3x0.108+4x0.2564-5x0.480=4.016.

②設(shè)選擇方案二的得分為匕則y的可能取值為0,2,4,

則P(y=0)=0.2X0.2X0.2=0.008,P(r=2)=3x0.8x0.2x0.2=0.096,

p(y=4)=0.8x0.8+2x0.82x0.2=0.896,

故E(Y)=2x0.096+4x0.896=3.776,

因為E(X)>E(Y),故為了獲取更好的得分，小明會選擇方案

20.(12分)(2023?全國?模擬預(yù)測)如圖，四棱錐P-A8CD中，AB=AD,△BC。是正三角形，PB=PD.

（1）證明：平面平面％C；

（2）若四棱錐尸-ABC。的體積為隨，^BAD=120°,BC=2,PDA.BC,求二面角A-P8-C的正弦值.

9

【解題思路】（1）設(shè)AC,3。交于點O,連接PO,先利用平面幾何知識證明ACLBC,POLBD,再利用

線面垂直的判定定理證明平面用C,最后利用面面垂直的判定定理進行證明即可；

（2）先作輔助線，尋找并證明垂直關(guān)系，求出有關(guān)線段的長度，然后建立空間直角坐標系，求平面以8與

平面P8C的法向量，利用向量的夾角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.

【解答過程】（1）設(shè)AC,8。交于點。，連接P。，如圖，

因為BC=CD,AB=AD,所以點4,C在線段8。的垂直平分線上,

所以AC_LB。，。為的中點.

乂因為PB=PZ>,所以P01.8D,

又因為P。nAC=0,POu平面P4C,ACu平面P4C,

所以平面PAC.

又因為8。u平面尸8力，所以平面平面%C.

(2)取8c的中點E,連接OE,PE,設(shè)OE交AC于點/，連接PF,

貝|JOE_L8C,且尸為△88的中心，

又PDLBC,PDCtDE=D,所以BC_L平面P0E.

因為PFu平面PDE,所以PF1.BC,

因為BQ_L平面PAC,PFu平面PAC,所以PFVBD,

因為BDnBC=B,所以P尸_L平面ABCD.

因為/84。=120。，AB^AD,BC=BD^2,

所以AC=40+OC=/+百=竽，

所以四邊形ABCD的面積為;AC-BD="

乂因為四棱錐P-ABCQ的體積為竽，所以PF=2.

以。為坐標原點，。8、OC所在直線分別為x軸、y軸，過。作尸F(xiàn)的平行線為z軸建立如圖所示的空間直

角坐標系，

則4(0,-今0),8(1,0,0),C(0,V3,0),F(0,y,0),P(0,孚,2),

所以m=(1,1,0),BP=(-l,y,2),BC=(-l,V3,0).

設(shè)平面PAB的法向量為％=(XL%,ZI),

則匹亞=。，即［=°，

凡?BP_0++2zt=0

令/=1,則yi=-6，z1=1,所以平面雨8的一個法向量為％=(1,-8,1).

設(shè)平面P8C的法向量為日2=(%2，月/2)，

則心屈=。，即［F9=。

（n2-BP=0（-%2+-yi+2z2=0

令型=3,則、2=舊，Z2=l,所以平面尸8c的一個法向量為五2=（3,百,1）.

設(shè)二面角A-P8-C的大小為a,則|cosa|=粵粵=』，

EII連IV6S

所以sina=yjl—cos2a=/=嚶

所以二面角A-P8-C的正弦值為增.

65

21.（12分）（2022?全國?高三專題練習）設(shè)雙曲線捻-卷=1,其虛軸長為2或，且離心率為倔

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過點P（3,1）的動直線與雙曲線的左右兩只曲線分別交于點48,在線段AB上取點M使得黑=瞿，

\MB\\PB\

證明：點M落在某一定直線上；

（3）在（2）的條件下，且點M不在直線0P上，求△OPM面積的取值范圍.

【解題思路】（1）由題意可得2位=26,-=V5,又/=次-〃2,解得〃=2,a2=~,即可求出雙曲線的

a2

方程，

（2）設(shè)點M,A,B的坐標分別為（冗,y）,（x/,》/）,（&,”），且x/<%2<3,由瞿=篇，知［6-（x/+x2）］x=3（x/+x2）

\MB\\rb\

-2X/M.由此能夠證明點例落在某一定直線⑵-y-2=0上

（3）由⑵可設(shè)點M的坐標為（xo，yo）且xo<3,3*令點M到直線OP的距離為/?,根據(jù)點到直線

的距離和三角形的面積公式即可求出.

【解答過程】（1）

設(shè)雙曲線三-1=1,其虛軸長為2a,且離心率為6，

a2b2

A2V2=2/?,e=-=V5,

a

?:心-b2,

：工=2,a2=

2

雙曲線C的方程為1一9=1.

2

（2）

設(shè)點A7,A,B的坐標分別為（x,y）,y/）,（X2，”），且用a2<3,

..\AM\_L4P|

?兩一］PB\'

：.AM=AMB,AP=-APB,則有三=-三，

X2-3X2-X

即［6-（X］+X2）］x=3（xi+X2）-2xiX2f①

設(shè)直線/的方程為y-l=k（x-3）,②

將②代入4/—y2=2中整理，得（4-來川+（6廬-2k）x-（3k-I）2-2=0,

2k-6k2-9"2+6"-3

??XI~^~X2~X/X=,代入①,

4-k224-k2

整理可得，得⑵-3=&(x-3),聯(lián)立②消&得，12x-y-2=0

由⑵可設(shè)點例的坐標為(孫yo)