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萬(wàn)事如意！

全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)?？荚囶}及答案

一、函數(shù)與幾何綜合的壓軸題

1.(2018安徽蕪湖)如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，AB、

勿都垂直于x軸，垂足分別為B、。且力。與8相交于E點(diǎn).

已知：川(-2,-6),2(1,-3)

(1)求證：E點(diǎn)在y軸上；

(2)如果有一拋物線經(jīng)過(guò)4E,C三點(diǎn)，求此拋物線方程.

(3)如果49位置不變，再將〃C水平向右移動(dòng)〃(〃>0)個(gè)

單位，此時(shí)力。與員;相交于尸點(diǎn)，如圖②，求C

的面積S關(guān)于A的函數(shù)解析式.

圖①

［解］(1)(本小題介紹二種方法，供參考)

方法一：過(guò)￡作&7'_Lx軸，垂足0：.AB//EO'//DC

.EO'DO'EO'BO'

,,而一年'而一而

XDO'+B0';DB

.EO'EO',

ABDC

VAB=6,DC=3,:.E(y=2

q..DO'EO'PO'2

OO'=*xO8=—x3=l

DBAB

：.DO';DO,即O'與0重合，￡在卜軸上

方法二：由0(1,0),>4(-2,-6),得以直線方程：*2x2①

再由B(-2,0),61(1,-3),得BC直線方程：尸-尸2②

聯(lián)立①②得尸=°

□=-2

點(diǎn)坐標(biāo)(0,-2),即￡點(diǎn)在p軸上

(2)設(shè)拋物線的方程*aV+6/c(a/0)過(guò)力(-2,-6),C

(1,-3)

4。一2〃+c=-6①

E(0,-2)三點(diǎn)，得方程組＜a+/?+c=-3②

c=—2@

解得爐-1,反0,。二-2

.?.拋物線方程尸-？-2

(3)(本小題給出三種方法，供參考)

由(1)當(dāng)，C水平向右平移〃后，過(guò)47與劭的交點(diǎn)￡'作

E'廠_Lx軸垂足為F。

同(1)可得：空+空=i得：E'后2

ABDC

方法一：又、：E'尸〃48nM=空，/.DF^-DB

ABDB3

I112

S^'FSXADLSyD—DC*DB一一DC*DF=—DC-一DB

AE2223

二=DB=3+A

3

S=3+k為所求函數(shù)解析式

方法二：BA//DC,??SBBCFSABDA

r

S^AE(FS^BDE1=gB￡)?Et77=；(3+&)x2=3+&

夕3+A為所求函數(shù)解析式.

f

證法三：S△晅c：SfE，F(xiàn)DE，：AE二DC：力夕1：2

同理：SME，C-SADE尸1:2,又,*,&庶c(diǎn):S^ABF—D(J:A^—\:4

.221

??SgEC=QS梯形A8C。=Gx5(A3+C。)?BD=3+^

yyZ

.,.93+〃為所求函數(shù)解析式.

2.(2018廣東茂名)已知：如圖，在直線坐標(biāo)系中，以

點(diǎn)M(1,0)為圓心、直徑AC為2后的圓與y軸交于A、D

兩點(diǎn).

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線y=x+b與x軸交于點(diǎn)B.探究：直線

AB是否。M的切線？并對(duì)你的結(jié)論加以證明；

(3)連接BC,記4ABC的外接圓面積為8、0M面積為S2,

若區(qū)=勺拋物線

S24

y=ax?+bx+c經(jīng)過(guò)B、M兩點(diǎn)，且它的頂點(diǎn)到x軸的距離為

h.求這條拋物線的解析式.

［解］(1)解：由已知AM=V^,0M=1,

在RtaAOM中，AO=4AM2-OM2=1,

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(0,1)

(2)證：?.?直線y=x+b過(guò)點(diǎn)A(0,1).\1=0+b即b

=1y=x+1

令y=0貝Ux=-1AB(—1,0),

AB=4BCr+ACr=712+12=V2

在AABM中，AB=V2,AM=V2,BM=2

AB2+AM2=(V2)2+(V2)2=4=BM2

二.△ABM是直角三角形，ZBAM=90°

.?.直線AB是。M的切線

(3)解法一：由⑵得NBAC=90°,AB=V2,AC=2后,

/.BC=4AB1+AC2=7(V2)2+(2V2)2=V10

ZBAC=90°/.AABC的外接圓的直徑為BC,

F苧

向S2=(-^-)

S|_h

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(—1,0)、M(1,0)的拋物線的解析式為:

y=a(+1)(x—1),(a/0)即y=ax2—a,.—a

=±5,a=±5

二.拋物線的解析式為y=5x2—5或y=—5X2+5

解法二：(接上)求得，h=5

由已知所求拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(—1,0)、

M(1、0),則拋物線的對(duì)稱軸是y軸，由題意得拋物

線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±5)

拋物線的解析式為y=a(x—0)2±5

又B(-1,0)、M(1,0)在拋物線上,

..a±5=0,a=±5

拋物線的解析式為y=5x2—5或y=—5X2+5

解法三：(接上)求得.?.h=5

因?yàn)閽佄锞€的方程為y=ax?+bx+c(a=/=0)

a+h+c-0a=—5a=5

由已知得.。一b+c=O解得b=O或■b=O

^ac-b2,_c=5c=-5

=+3

4a

二.拋物線的解析式為y=5x2—5或y=—5X2+5.

3.(2018湖北荊門)如圖,在直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)P(1,-1)

為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線

y=ax?+bx+c(a>0)過(guò)點(diǎn)A、B,且頂點(diǎn)C在。P上.

⑴求。P上劣弧后的長(zhǎng)；

⑵求拋物線的解析式；

⑶在拋物線上是否存在一點(diǎn)D,使線段0C與PD/相平分？

若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理法：-~、,

［解］(1)如圖，連結(jié)PB,過(guò)P作PM_Lx軸

在RtZkPMB中,PB=2,PM=1,

ZMPB=60°,AZAPB=120°

(2)在RtZ\PMB中，PB=2,PM=1,則MB=MA=",

又0M=1,AA(1-73,0),B(1+V3,"c6fc\

由拋物線及圓的對(duì)稱性得知點(diǎn)C在直線PM上、值

C

則C(1,-3).

點(diǎn)、A、B、C在拋物線上，則

0=4(1+g)2+雙l+8)+Ca=1

0=a(l-V3)2+/?(!-V3)+c角單之得人=_2

-3=4+/7+Cc=-2

.?.拋物線解析式為y=x2-2x-2

(3)假設(shè)存在點(diǎn)D,使0C與PD互相平分，則四邊形OPCD

為平行四邊形，且PC〃OD.

又PC〃y軸，.?.點(diǎn)D在y軸上，，0D=2,即D(0,一2).

又點(diǎn)D(0,-2)在拋物線y=——2x-2上，故存在點(diǎn)D(0,

-2),

使線段0C與PD互相平分.

4.(2018湖北襄樊)如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，Rt△力仍

的直角頂點(diǎn)C(0,石)在＞軸的正半軸上，48是*軸上

是兩點(diǎn)，且%%=3：1,以以、08為直徑的圓分別交

4C于點(diǎn)￡爻BC于點(diǎn)F.魚線EF爻0C于/、Q.

(1)求過(guò)4B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(2)請(qǐng)猜想：直線爐與兩圓有怎樣的位置關(guān)系？并證明

你的猜想.

(3)在△40C中，設(shè)點(diǎn)版是4?邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)的作

MN〃AB爻0C于點(diǎn)N.試問(wèn)：在x軸上是否存在點(diǎn)夕,使得△刖

是一個(gè)以帆為一直角邊的等腰直角三角形？君存在，求出

。點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

［解］(1)在RtZk/BC中，OCVAB,

：./\AOC^/\COB.

：.OG=OA?OB.

,：OA：0B=3：1,C(0,G),

二.(V3)2=30B.0B.

：.0B=\.：.0A=3.

，力(-3,0),8(1,0).

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c.

X

9Q—3〃+c=O,

則,a+b+c=O,解之，得＜

c=5/3.

二.經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為"-巫/二瓜+"

-33

(2)中與?！?、。&都相切.

證明：連結(jié)OE、OF.

,：/ECF=/AEO=/BFO=9G°,

二.四邊形&FC為矩形.

QE=00.

：.Z1=Z2.

VZ3=Z4,Z2+Z4=90°,

二.爐與。a相切.

同理：EF理。a相切.

⑶作施_L%于P,設(shè)MN=a，由題意可得MP=MAHa.

'：MN//OA,

:、XCMNsXCAQ

.MN_CN

''~AO~~cd'

.a_yj?>—a

,于F，

解之，得”主笑.

此時(shí)，四邊形0沏是正方形.

/.MN=OP=^^.

2

P（—?西-J。）

2

考慮到四邊形0勿M0此時(shí)為正方形，

.,.點(diǎn)P在原點(diǎn)時(shí)仍可滿足△用例是以解/為一直角邊的等腰

直角三角形.

故x軸上存在點(diǎn)夕使得△沏是一個(gè)以融為一直角邊的等腰

直角三角形且2—述二2,o）或mo）.

2

5.（2018湖北宜昌）如圖，已知點(diǎn)A（0,1）、C（4,3）、E（",

4

至），P是以AC為對(duì)角線的矩形ABCD內(nèi)部（不在各邊上）的

8

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在y軸，拋物線y=aV+bA+1以P為頂點(diǎn).

⑴說(shuō)明點(diǎn)A、C、E在一條條直線上；

⑵能否判斷拋物線y=a》+b/1的開口方向？請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶設(shè)拋物線y=af+bA+1與x軸有交點(diǎn)F、G（F在G的左側(cè)），

△GAO與△FAO的面積差為3,且這條拋物線與線段AE有

兩個(gè)不同的交點(diǎn).這時(shí)能確定a、b的值嗎？若能，請(qǐng)求出

a、b的值；若不能，請(qǐng)確定a、b的取值范圍.

(本題圖形僅供分析參考用)

［解］(1)由題意，A(0,1)、C(4,3)確:定

的解析式為：yd/1.__________一

2

將點(diǎn)E的坐標(biāo)E(r,1)代入y二;戶1中，I

左邊二里，右邊二，X"+1二紀(jì)，

8248

?.?左邊二右邊，.?.點(diǎn)E在直線上，即點(diǎn)A、C、E

在一條直線上.

(2)解法一：由于動(dòng)點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)部，.?.點(diǎn)P的縱

坐標(biāo)大于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，而點(diǎn)A與點(diǎn)P都在拋物線上，且P

為頂點(diǎn)，.?.這條拋物線有最高點(diǎn)，拋物線的開口向下

解法二：二?拋物線y=ax+b^-c的頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為"二",

4。

且P在矩形ABCD內(nèi)部，：.］<4a~b2<3,由1V1一左得一

4。4。

七>0,：.3<0,二.拋物線的開口向下.

4a

(3)連接GA.FA,VSAGAO—SAFAO=3?*0?A0—*?A0=3

V0A=1,AGO—F0=6.設(shè)F(x,0)、

G(X2,0),貝IM、先為方程af+b/cR

的兩個(gè)根，且X〈X2,又TaVO,

Xy*X=-<0,/.Xi<0<X,

2a2

二?GO=x?,F0=—X],/.X2—(—X\)-6,

即X2+X1=6,\?Xz+x=一-/.---6,

aa

/.b--6a,

，拋物線解析式為：y=ax?—6"+1,其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,

1—9a),「頂點(diǎn)、P在頭巨形ABCD內(nèi)吉F,

.-.K1—9a<3,，—2VaV0.

9

“y=ax2-6ax+1

由方程組y[得：ax1—(6〃+1)x=0

-y=-x+l2

2

,1

6。+一[

.?.產(chǎn)0或產(chǎn)——2.=6+—.

a2a

當(dāng)產(chǎn)。時(shí)，即拋物線與線段AE交于點(diǎn)A,而這條拋物線與

線段AE有兩個(gè)不同的交

點(diǎn),則有：，解得：一，

0V6+2aW”4,，-29WaV12

綜合得：-2VaV——b--6a,<b<-

91223

6.(2018湖南長(zhǎng)沙)已知兩點(diǎn)0(0,0)、B(0,2),OA過(guò)

點(diǎn)B且與x軸分別相交于點(diǎn)0、C,OA被y軸分成段兩圓

弧，其弧長(zhǎng)之比為3：1,直線/與。A切于點(diǎn)0,拋物線的

y

頂點(diǎn)在直線/上運(yùn)動(dòng).

(1)求。A的半徑；

(2)若拋物線經(jīng)過(guò)0、C兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；

(3)過(guò)/上一點(diǎn)P的直線與。A交于C、E兩點(diǎn)，且PC=

CE,求點(diǎn)E的坐標(biāo);

(4)若拋物線與x軸分別相交于C、F兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)P的

橫坐標(biāo)為勿，求APEC的面積關(guān)于勿的函數(shù)解析式.

［解］(1)由弧長(zhǎng)之比為3：1,可得NBA0=90。

再由AB=A0=r,且0B=2,得r=/

⑵。A的切線/過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)/為p=〃x

任取/上一點(diǎn)(①kb),由/與v軸夾角為45。可得：

b=—〃6或b=kb,得k=—1或k=1,

二.直線/的解析式為y=—x或y=x

又由r=0,易得C(2,0)或C(—2,0)

由此可設(shè)拋物線解析式為p=ax(x—2)或y=ax(x+2)

再把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入/的解析式中得a=1

.,.拋物線為y=x2—2x或J/=X2+2X...6分

(3)當(dāng)/的解析式為p=-x時(shí)，由P在/上，可設(shè)P(m,-

m)(m>0)

過(guò)P作PP，_Lx軸于P',.,.OP7=|m|,PP,=|-m|,AOP

=2m2,

又由切割線定理可得：OP2=PC-PE,且PC=CE,得PC=PE

=m=PP,7分

與P為同一點(diǎn)，即PE_Lx軸于C,.,.m=-2,E(-2,

2)-8分

同理，當(dāng)/的解析式為y=x時(shí)，m=-2,E(-2,2)

⑷若C(2,0),此時(shí)/為卜=一x,〈P與點(diǎn)0、點(diǎn)C不重

合，.?.m/0且巾手2,

當(dāng)mVO時(shí)，F(xiàn)C=2(2-m),高為|y0|即為一m,

.?.5=必吐％病一2M

2

同理當(dāng)0VmV2時(shí)，S=—m2+2m;當(dāng)m>2時(shí)，S=m2—2m;

m2-2m(m<0或加>2)

又若C(—2,0),

-rrr+2m(0<m<2)

或加>

此時(shí)/為y=x,同理可得;S=nr+2m(m<-20)

-)rr-2m(-2<m<0)

7.（2018江蘇連云港）如圖，直線y=^+4與函數(shù)

y=jx>0,m>0）的圖像交于4B兩點(diǎn)、,且與X、P軸分別交于

C、力兩點(diǎn).

（1）若△（%>￡>的面積是AAO8的面積的五倍，求A與〃?之間

的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在（1）的條件下，是否存在k和機(jī)，使得以為直

徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2,0）.若存在，求出z和加的值f若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

［解］（1）設(shè)A（X|，M）,5（它,為）（其中X］<》2，%>y2flsV

OC=y/2(y,-y2),

2

又。C=4,(j]-y2)=8,即"+為)2-4必為=8,

由,=二可得%=%,代入y=丘+4可得y?-4y-的1=0①

xy

二.必+,2=4,必?%=一5，

A

/?16+4A:m=8,艮f7k=一~—?

m

又方程①的判另U式△=16+4km=8>0,

工所求的函數(shù)關(guān)系式為％=_2(加>0).

m

(2)假設(shè)存在k,加，使得以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,0).

則過(guò)A、3分別作x軸的垂線，垂足分別為M、N.

?「ZM4P與ZB/W者0與Z4PM互余,ZMAP=4BPN.

RtAM4P0°Rt^NPB,必,

PNNB

x-

??―----~，??(i2)(X2-2)+y2=0,??

(里一2越一2)黑為=0,

乃為

72

艮fm-2m{yx+為)+4yly2+(必為)2=()②

由(1)知必+為=4,M，%=2,代入②得加之_8根+12=0,

?w2[m=2fn=6

??加=26,又^k=---,??><I_1,

m=-1長(zhǎng);一^

...存在上,加，使得以鉆為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,0),且1=2或

[k=-1

m=6

k,=1—.

3

8.(2018江蘇鎮(zhèn)江)已知拋物線y=/哀-(加-5)x-5(〃?>0)與X

軸交于兩點(diǎn)4(%,0)、B(X2,0)(XJ<x2),與y軸交于點(diǎn)C,且

AB=6.

(1)求拋物線和直線及?的解析式.

(2)在給定的直角坐標(biāo)系中，畫拋物線和直線及Z

(3)若OP過(guò)力、B、C三點(diǎn)，求QP的半徑.

(4)拋物線上是否存在點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)"作MV_Lx軸于點(diǎn)N,

使AMBN被直線8C分成面積比為1:3的兩部分？若存在，

請(qǐng)求出點(diǎn)"的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

［解］(1)由題意得：%,+%,=——-x=—,x-%1=6.

m2m2

,、2,“(加-5丫20“

(Xj+尤2)—4X|X=36,|----H---—3o,

9\mJm

c)

解得仍=i,〃與=——.y

經(jīng)檢驗(yàn)"1，，拋物線的解析式為：y=x2+4x-5.-

、、IIIIIIIIIII>

或：由mx?-(m一5)%-5=0得，x=l或O_x

x=———5-

m~

?/m>0,_

1—5,1~

1----=□,/._

m

二.拋物線的解析式為y=x2+4x-5.

由X2+4x-5=0得%=一5,々=1.

：.A(-5,0),8(1,0),C(0,-5).

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

b=-5,b=-5,

則.

k+b=O.k=5.

直線BC的解析式為y=5x-5.

(2)圖象略.

(3)法一：在向DAOC中，?/OA^OC^5,:.ZOAC=45°.

.-.ZBPC=90°.

叉BC=>JOB2+OC2=V26,

0P的半徑PB=Ax立=疝

2

法二：

由題意，圓心戶在AB的中垂線上，即在拋物線y-x2+4x-5的

對(duì)稱軸直線x=-2上，設(shè)夕(一2,一力)(/7>0),

連結(jié)PB、PC,貝I1P5?=(1+2了+/?,2。2=(5—02+22,

由只2=尸。2,即(1+2)2+〃2=(5j)2+22,解得房2.

P(-2,-2),QP的半徑PB=7(1+2)2+22=V13.

法三:

延長(zhǎng)。交?P于點(diǎn)F.

b為0P的直徑，/.ZCAF=ZCOB=90°.

又ZABC=ZAFC,：.DACF~DOCB.

CFAC?ACBC

——=---CF=---------.

BCOCOC

又AC=6+5?=50,CO=5,BC=752+12=V26,℃

,CF=巫普=2瓜

：.QP的半徑為萬(wàn).

(4)設(shè)股交直線8C于點(diǎn)E點(diǎn)"的坐標(biāo)為(仃+4—5),則點(diǎn)

￡的坐標(biāo)為(r,5r-5).

若SDMEB:SDENB=1：3,則M￡：￡N=1：3.

,4

EN:MN=3:4,:.t2+4t-5=-(5r-5).

解得4=1(不合題意舍去)，「2=|,.??陪，與)

若SDMEB:=3:1,則￡N=3：1.

EN:MN=1:4,;.0+4f—5=4(5t-5).

解得匕=1(不合題意舍去),L=15,280).

存在點(diǎn)M點(diǎn)4的坐標(biāo)為信陽(yáng)或(15,280).

9.如圖，。勿與X軸交于彳、8兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為A(-3,0)、

8(1,0),直徑3_Lx軸于M直線在切。"于點(diǎn)C,直線尸G

切。"于點(diǎn)尸，交宏于G,已知點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為3.

(1)若拋物線產(chǎn)-爐_2》+機(jī)經(jīng)過(guò)彳、B、。三點(diǎn)，求力的值

及點(diǎn)，的坐標(biāo).

(2)求直線〃尸的解析式.

(3)是否存在過(guò)點(diǎn)G的直線，使它與(1)中拋物線的兩

個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于4?若存在，請(qǐng)求出滿足條件的

直線的解析式；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

［解］

兩點(diǎn),

X

y--x2

又拋物線過(guò)點(diǎn)D,由圓的對(duì)稱性知點(diǎn)〃為拋物線的頂

點(diǎn).

〃點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4).

(2)由題意知：力F4.

'：CDYx^,:.N歸NF2.：.ON^\.

由相交弦定理得：NA?NB^ND?NC,

J.NCX4=2X2..?.鹿1.

/.C點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1).

設(shè)直線DF爻優(yōu)于P,連結(jié)CF,則NCa90°.

，Z2+Z3=Z1+Z4=90°

，：GC、G尸是切線，

AGOGF.：.Z3=Z4.

AZ1=Z2.

GF^GP.

：.GOGP.

可得C片8.

...P點(diǎn)坐標(biāo)為(7,-1)

設(shè)直線。尸的解析式為ykx+b

則［一"+'=4解得一8

b3

8

???直線"的解析式為：尸一二+之

88

(3)假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)G的直線為"島+d9

則3k\+仇=—1,??/?!=—3k]—1.

由方程組y=加：一弘「1得/+(2+3》-4.3%「0

y=-x2-2x+3

由題意得*-2-陽(yáng)=4,??Ie1=—6.

當(dāng)k]=—6時(shí),△=—40<0,

...方程無(wú)實(shí)數(shù)根，方程組無(wú)實(shí)數(shù)解.

...滿足條件的直線不存在.

10.(2018山西)已知二次函數(shù)y=L2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A

2

(—3,6),并與x軸交于點(diǎn)B(—1,0)和點(diǎn)C,頂

點(diǎn)為P.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并在下面的坐標(biāo)系中

畫出該二次函數(shù)的圖象；

(2)設(shè)D為線段0C上的一點(diǎn)，滿足NDPC=NBAC,求

點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)M,使以M為圓心的圓與AC、

PC所在的直線及y軸都相切？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

［解］(1)解：二次函數(shù)+c.的圖象過(guò)點(diǎn)A(—3,

6),B(-1,0)

----3b+c=6b=-\yA

得2解得3

L+c=O'I］

12LZ_

這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：y=—x2-x-f-,,,

2-2?L…i

o-

由解析式可求P(1,-2),C(3,0)二

畫出二次函數(shù)的圖像

(2)解法一：易證：NACB=NPCD=45°

又已知：ZDPC=ZBAC.,.ADPC^ABAC

易求AC=6"PC=2"BC=4

BCAC

445，51

:.DC=—「.00=3——=—/.D-,0

333U)

解法二：過(guò)A作AE_Lx軸，垂足為E.

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于F.

亦可證△AEBs/^PFD、

：PE=EB易求：AE=6,EB=2,PF=2

PFFD

/.FD^-「.。。=*+1=3/.D-,0

333U)

(3)存在.

(1°)過(guò)M作MH_LAC,MG_LPC垂足分別為H、G,設(shè)AC

交y軸于S,CP的延長(zhǎng)線交y軸于T

VASCT是等腰直角三角形，M是△SCT的內(nèi)切圓圓心，

.,.MG=MH=0M

又：MC^V2OMJL0M+MC=0C

/.y[20M+OM=3,得OM=3&-3

/.M(3及-3,0)

(2°)在x軸的負(fù)半軸上，存在一點(diǎn)水

同理0M'+OC=M，C,OM'+OC=^OM'

得0M'=3五+3AM7(-30-3,0)

即在X軸上存在滿足條件的兩個(gè)點(diǎn).

11.(2018浙江紹興)在平面直角坐標(biāo)系中，A(-1,0),

B(3,0).

(1)若拋物線過(guò)A,B兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)(0,-3),

求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)如圖，小敏發(fā)現(xiàn)所有過(guò)A,B兩點(diǎn)的拋物線如果與

y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,M為拋物線的頂點(diǎn)，那么AACM與

△ACB的面積比不變，請(qǐng)你求出這個(gè)比值；

(3)若對(duì)稱軸是AB的中垂線I的拋物線與x軸交于點(diǎn)

E,F,與y軸交于點(diǎn)C,過(guò)C作CP〃x軸交丫1I于點(diǎn)P,

M為此拋物線的頂點(diǎn).若四邊形PEMF\/,

是有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形，求次拋物弋

線的解析式.

［解］(1)y=f-2x-3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4).

(2)由題意，設(shè)y=a(x+1)(x-3),

即y=ax2—2ax—3a,

A(-1,0),B(3,0),C(0,-3a),

M(1,—4a),

二.SAACB=；X4X|一3a|=6時(shí),

而a>0,(?S^ACB=6A、

作MD±x軸于D,

-

又SAACM—SAACO+SOCMD—SAAMD——,1,3aH-(3a+4a)

22

-,2?4a=a,

2

(3)①當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，設(shè)y=a(x-1)2+k,即

y=ax2—2ax+a+k,

有菱形可知|a+M=|H，a+k>0,k<0,

?(y=ax2ax+—,??|f/*|=V2.

記I與x軸交點(diǎn)為D,

若NPEM=60°,貝UNFEM=30°,MD=DE?tan30°=

拋物線的解析式為y\V^一|V^+￡.

若NPEM=120°,則NFEM=60°,MD=DE?tan60°=

k=-手，a=屜,

???拋物線的解析式為，=放一2向+條

②當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，同理可得

y=--V6x2+—V6x-^-,y=-V6x2+2瓜x—.

12.（2018北京）已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函

數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A,拋物線經(jīng)過(guò)

0、A兩點(diǎn)。

(1)試用含a的代數(shù)式表示b;

(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,以D為圓心，DA為半徑的圓被

x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分。若將劣弧沿x軸翻折，翻折后

的劣弧落在。D內(nèi)，它所在的圓恰與0D相切，求。D半徑

的長(zhǎng)及拋物線的解析式；

(3)設(shè)點(diǎn)B是滿足(2)中條件的優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋

物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點(diǎn)P,使得

?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由。

［解］(1)解法一：???一次函數(shù)的圖象與X軸交于

點(diǎn)A

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0)

???拋物線經(jīng)過(guò)0、A兩點(diǎn)

解法二：?.?一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0)

?.?拋物線經(jīng)過(guò)0、A兩點(diǎn)

.?.拋物線的對(duì)稱軸為直線

（2）由拋物線的對(duì)稱性可知，D0=DA

.?.點(diǎn)0在。D上，且ND0A=NDA0

又由（1）知拋物線的解析式為

.?.點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）

①當(dāng)時(shí)，

如圖1,設(shè)。D被X軸分得的劣弧為0mA,它沿X軸翻

折后所得劣弧為，顯然所在的圓與。D關(guān)于X軸對(duì)稱,

設(shè)它的圓心為D'

圖1

ZD0A=ZD-0A=45°

AADO為等腰直角三角形

...點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為

拋物線的解析式為

②當(dāng)時(shí)，

同理可得：

拋物線的解析式為

綜上，OD半徑的長(zhǎng)為，拋物線的解析式為

或

（3）拋物線在x軸上方的部分上存在點(diǎn)P,使得

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,且y>0

①當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)（如圖2）

???點(diǎn)B是。D的優(yōu)弧上的一點(diǎn)

過(guò)點(diǎn)P作PE_Lx軸于點(diǎn)E

由解得：（舍去）

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為

②當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)（如圖3）

同理可得，

由解得：（舍去）

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為

綜上，存在滿足條件的點(diǎn)P,

或

圖3

13.（2018北京豐臺(tái)）在直角坐標(biāo)系中，。經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)

0,分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A、Bo

(1)如圖，過(guò)點(diǎn)A作。的切線與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)0到

直線AB的距離為

—,sinZABC=-,求直線AC的

55

解析式；

⑵若。經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,2),

設(shè)的內(nèi)切圓的直徑為d,

試判斷d+AB的值是否會(huì)發(fā)生變化，如果不變，求出其值,

如果變化，求其變化的范圍。

［解］(1)如圖1,過(guò)0作于G,則

設(shè)

(3,0)

AB是。的直徑

切。于A,

在中

設(shè)直線AC的解析式為，則

直線AC的解析式為

(2)結(jié)論：的值不會(huì)發(fā)生變化

設(shè)的內(nèi)切圓分別切OA、OB、AB于點(diǎn)P、Q、T,如

圖2所示

圖2

則

在X軸上取一點(diǎn)N,使AN=OB,連接OM、BM、AM、MN

平分

的值不會(huì)發(fā)生變化，其值為4。

14.(2018福建廈門)已知：0是坐標(biāo)原點(diǎn)，P(勿，/7)(勿

>0)是函數(shù)y=~(〃>0)上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作直線

PA±0P于P,直線PA與x軸的正半軸交于點(diǎn)A(a,0)

4

(a>而.設(shè)aOPA的面積為s,且s=1+j

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)若OP=AP,求4的值；

4

(3)設(shè)〃是小于20的整數(shù)，且〃手彳，求OP?的最小值.

［解］過(guò)點(diǎn)P作PQ_Lx軸于Q,則PQ=〃，0Q=/T7

....5

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，S=~

.2s5

a==~

n2

(2)解1：OP=APPA±OP

AAOPA是等腰直角三角形

a

...m=n=3

,n1

1+v=n*an

42

即A74—4/72+4=0

2一4〃+4=o

k=2

解2：OP=APPA±OP

...△OPA是等腰直角三角形

I.m=n

設(shè)△()「()的面積為$

則：Si=|

11,

，-?/77/7=-(1+—)

即：/74—4n2+4=0

/.〃2-4〃+4=0

〃=2

(3)解1:;PA±OP,PQ±OA

AOPQ^AOAP

設(shè)：△OPQ的面積為$,則

Si_PO^

1=行

12/2

即：4=4

1+74。+52

n2

化簡(jiǎn)得：2k+2N—A〃4—4〃=。

(〃一2)(2k—rt)=0

4

k=2或〃=](舍去)

.?.當(dāng)77是小于20的整數(shù)時(shí)，〃=2.

丁0P2=A72-\-m=ri+^7

n

又m>0,k=2,

〃是大于0且小于20的整數(shù)

當(dāng)〃=1時(shí)，0「2=5

當(dāng)〃=2時(shí)，OP2=5

,,22,4485

當(dāng)〃=3時(shí)，OP2=32+于=9+g=d

當(dāng)〃是大于3且小于20的整數(shù)時(shí)，

即當(dāng)〃=4、5、6、…、19時(shí)，OP?得值分別是:

4z+*、52+^>62+^>…、192+^

444

???1夕+訝>18?+苻>…>3?+耍>5

OP?的最小值是5.

42

解2：0P2=/72+/W=/72+-

n

、22

=4+~

n

2

=（〃一一）2+4

n

2

當(dāng)/7=-時(shí)，即當(dāng)"=啦時(shí)，0p2最小;

又是整數(shù)，而當(dāng)〃=1時(shí)，OP2=5;〃=2時(shí)，OP2=5

，OP?的最小值是5.

解3:PA±OP,PQ±OA

AOPQ^APAQ

PQ_OQ

QA=PQ

nm

a—mn

化簡(jiǎn)得：24+2〃2—〃〃4-4〃=0

（〃一2）（2k—rt）=0

4

/.k=2或〃=/（舍去）

解4：PA±OP,PQ±OA

AOPQ^APAQ

$0Q2

s—s^PQ2

化簡(jiǎn)得：2//+2〃2—〃“4—4〃=o

（〃一2）（2k—6）=0

4

〃=2或〃=，（舍去）

解5：PA±OP,PQ±OA

二.AOPQ^AOAP

OP_OQ

OA=OP

二.OP2=OQ-OA

化簡(jiǎn)得：24+2〃2—A774—4〃=。

（〃一2）（2〃一//）=0

4

k=2或〃=，（舍去）

15.(2018湖北黃岡課改)如圖，在直角坐標(biāo)系中，0是原

點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(18,0),B(18,6),

C(8,6),四邊形OABC是梯形，點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā),

分別坐勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿0A向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每

秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q沿0C、CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),當(dāng)這兩點(diǎn)有一

點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)O

(1)求出直線0C的解析式及經(jīng)過(guò)0、A、C三點(diǎn)的拋物線

的解析式。

(2)試在⑴中的拋物線上

找一點(diǎn)D,使得以0、A、D為頂點(diǎn)的三角形與△A0C全等，

請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)。

(3)設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了t秒。如果點(diǎn)Q的速度為每秒2

個(gè)單位，試寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并寫出此時(shí)t的取值范圍。

(4)設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了t秒。當(dāng)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程

之和恰好等于梯形OABC的周長(zhǎng)的一半，這時(shí)，直線PQ能

否把梯形的面積也分成相等的兩部分，如有可能，請(qǐng)求出t

的值；如不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

［解］(1)TO、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為0(0,o),C(8,6)

設(shè)0C的解析式為y=將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得:

k=?,b=0,y^-x

44

VA,0是x軸上兩點(diǎn)，故可設(shè)拋物線的解析式為

y=a(x-0)(x-18)

3

再將C(8,6)代入得:a=------

40

.3227

??y=-----x4-----x

4020

(2)D(10,6)

3

(3)當(dāng)Q在0C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可設(shè)Qm,—m,依題意有:

4

23

m+—m

4I"

當(dāng)Q在CB上時(shí)，Q點(diǎn)所走過(guò)的路程為2r,V0C=10,...

CQ=2r-10

.?.Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2r-10+8=2-2,/.Q（2r-2,6）,（5<r<10）

（4），?,梯形OABC的周長(zhǎng)為44,當(dāng)Q點(diǎn)OC上時(shí)，P運(yùn)動(dòng)的

路程為r,則Q運(yùn)動(dòng)的路程為（22-f）

△OPQ中，OP邊上的高為：（22-/）x|,SAOPQ=1/（22-/）X|

梯形OABC的面積=4（18+10）x6=84,依題意有：

|r（22-r）x|=84xl

整理得：Z2-22z+140=0VA=2