【解答題搶分專題】備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)解答題典型例題+跟蹤訓(xùn)練（新高考通用）

專題08解三角形與三角函數(shù)題型綜合訓(xùn)練

一、梳理必備知識

1.正弦定理

，一=上一=^=2&.(其中及為A48C外接圓的半徑)

sinAsinBsinC

=Q=27?sinJ,6=27?sin5,c=27?sinC;(邊化角)

AC

=sin4=——，sinB二—,sinC=—;(角化邊)

2R2R2R

2.余弦定理：

cosJ4-c2-a2

9

2hca2=b2+c2-2bccosA,

+c2-b2

5-Ossb2=a24-c2-2accos5,

lac

c2=a2+b2-labcosC.

a2+62-c2

2ab

3.三角形面積公式：

S*=；MinC=gbcsinA=；acsin8=j(a+b+c)r(r為三角形ABC的內(nèi)切圓半徑)

4.三角形內(nèi)角和定理

有萬一色=一^^。=乃一

在△ZBC中，N+8+C=;roC=(Z+8)020222(4+6).

5.二倍角的II三弦、余弦、正切公式

①sin2a=2sinacosa

②cos2a=cos2-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

1+cos2a=2cos%

升幕公式：v

1-cos2a=2sin2a

cos-2a=4(l+cos2a)

降易公式：■

sin2a-4(l-cos2。)

自_2tana

1-tana

6.

_____b

asinx±/)cosx=\ja2+b2sm(x±(p)，(其中tane=z)；

輔助角公式

1

求/(x)=Nsin?x+e)+8解析式

48求法Z+8=C

方法一：代數(shù)法<

,Drz7方法二：讀圖法8表示平衡位置；/表示

[-A+B=f(x)min

振幅

。求法

方法一：圖中讀出周期T,利用7==27r求解；

(1)

方法二：若無法讀出周期，使用特殊點代入解析式但需注意根據(jù)具體題意取舍

答案.

8求法方法一：將最高(低)點代入/(x)=/sin(s+0+8求解；

方法二：若無最高(低)點，可使用其他特殊點代入"x)=/sin3x+9)+8求解；

但需注意根據(jù)具體題意取舍答案.

7.三角形中線問題

如圖在&48C中，。為C6的中點，2而=配+方，然后再兩邊平方，轉(zhuǎn)A

化成數(shù)量關(guān)系求解！(常用)

8.角平分線

如圖，在A48C中，Z0平分N8/C,角N,8,C所對的邊分別為。，b,

①等面積法

~S^BD+SA140c

11A1A

—ABxACxsinA=—ABxADxsin—F—ACxADxsin—(常用)

22222

②內(nèi)角平分線定理:

ABAC—ABBD

BD~DCAC~DC

③邊與面積的比值：黯△ABD

“DC

9.基本不等式(最值問題優(yōu)先用基本不等式)

①而學(xué)

(2)a2+Z)2>2ah

10.利用正弦定理化角(函數(shù)角度求值域問題)

利用正弦定理。=2&sinZ,b=2RsinB,代入面積公式，化角，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角

的取值范圍，求面積或者周長的最值。

【常用結(jié)論】

①在MBC中，Q>6=sin力>sin80力>8;

jr

②sin24=sin25,則4=B^A+B=3.

③在二%函數(shù)中，sin/>sin8=/>3不成立。但在二年形中，sin/>sinB=/>6成立

2

二、三角函數(shù)與解三角形題型綜合訓(xùn)練

1.（2023春?福建莆田?莆田一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=/sin?x+e）/>0,。>0囿的部分圖

象如圖所示:

⑴求方程/（x）=2的解集:

71

(2)求函數(shù)g(x)=fX-------+的單調(diào)遞增區(qū)間.

12

【答案】⑴卜+

,71.5兀，)

(2)kn--，攵兀+—，攵wZ

―1212

【分析】（1）觀察圖象可得周期。，根據(jù)點在函數(shù)圖象上得%再根據(jù)點（0,1）在函數(shù)圖象上得A,

求得解析式，進(jìn)而求出解集;

(2)首先將g(x)化簡為g(x)=2sin(2x-5,利用三角函數(shù)單調(diào)性可得答案.

5兀7TT)生=2,

【詳解】（1）由圖象可知，周期7=-------1--------7C,(O=

1212)兀

go）在函數(shù)圖象上,,Zsin12x知+夕)=0,

???點

sinl—+^91=0,

解得名+9=兀+2兀怎(p=2irk+—,keZ,

66

???閹芳，???吟

?.?點（0,1）在函數(shù)圖象上，.?./sinF=l，4=2,

6

???函數(shù)/（x）的解析式為/（x）=2sin儼+高,

3

由/(x)=2sin(2x+^J=2得sin(2x+￡

=1,

6

2x+—=—+2kn,keZ,解得工=工+也,4cZ,

626

所以解集為卜1%=￡+阮/￡2卜

n

(2)g(x)=yx---fx+

12[^

由(1)知/(x)=2sin(2r+"

71兀

g(x)=2sin2+--2sin2x+—2sin2r-2sinI2x+

12

=2sin2x-2—sin2x+=sin2x-&os2x=2sin卜一\,

2

由一二+2欣K2x一4K二+2TI%,kGZ,^Ttk--<x<i[k-\--9

2321212

-小+看71的單調(diào)遞增區(qū)間為癡吟，E+^入Z.

工函數(shù)g(x)=f

\Ia1J2141.4

2.(2023春?寧夏吳忠?青銅峽市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))函數(shù)/(x)=Nsin(s+e)(A,3,。為常數(shù)，且

/>0,o>0,I同)的部分圖象如圖所示.

⑴求函數(shù)〃X)的解析式及圖中6的值：

⑵將/(X)的圖象向左平移?個單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(x)在上的單調(diào)減區(qū)間.

6L

【答案】(l)/(x)=2sin(2x+g),1

6

⑵［歸

4

【分析】(1)由函數(shù)的最值可求出4=2,由圖可知===,再結(jié)合周期公式可求出3=2,

41234

然后再(If‘°)代入函數(shù)中可求出從而可求出函數(shù)解析式.

(2)由函數(shù)圖象變換規(guī)律求出g(x)的解析式，再由2^42x4兀+2E可求出函數(shù)的減區(qū)間.

【詳解】(1)由題意知，4=2,：3T=S=ir_(_Jrg)3=7rV，.?.7=兀,。=2臼7r=2,當(dāng)》=5=TT時，

412347t12

所以6=/(0)=2sinT2T=l.

6

(2)g(x)=2sin[2(x+—)+-]=2cos2x,

66

由2%兀42工工兀+2A兀,kEZ9解得EKxK巴+E,keZ.

2

因此，函數(shù)g(x)在0,5的單調(diào)遞減區(qū)間為og.

3.(2023春?湖北十堰?校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=sinx-/COST.

⑴若xe?,且函數(shù)/(x)=g,求cos[g+x)的值；

(2)若將函數(shù)/(x)圖像上的點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的;，再將所得圖像向左平移：個單位長度,

得到g(x)的圖像，求函數(shù)g(x)在上的最小值.

【答案】⑴一速

3

Q)g(X)min=T

【分析】(1)化簡/(X)并結(jié)合題意可得sin(x_g)=；,結(jié)合X的范圍可求得cos(xq)=半，然后利用

誘導(dǎo)公式可得cos停+x170S卜一升即可求解；

(2)先利用圖象變換得到g(x)=2sin(2x+j,然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得最小值

【詳解】(1)由題意可得/(x)=sinx-6cosx=2sin|2

3

5

85d+》)=為口信+磯—(刊7/13,‘普

(2)將函數(shù)/(x)圖像上的點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的;，再將所得圖像向左平移二個單位長

24

度，得到g(x),，g(x)=2sin21+：[=2sin(2x+3，

因為xw0。，所以2x+gw￡，?，

_2J6|_66_

所以當(dāng)2x+J=?時，即戶弓時，g(x)min=2xf-lL-l

662v2/

4.(2023春?浙江寧波?余姚中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=sinxcosx-JJcos2x,將函數(shù)的圖象向

左平移§個單位長度，可得到函數(shù)g(x)的圖象.

⑴求函數(shù)g(x)的表達(dá)式及單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當(dāng)xepy時，++恒成立，求正數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴g(x)=sin(2x+^1-^+kn,^-kJeZ).

I6；2[_36J1

⑵(0,6]

【分析】(1)由題意利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，然后平移變換得到函數(shù)g(x)的表達(dá)式，再利用

正弦函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論即可；

(2)根據(jù)題意，將不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化為sin(2x-5+"w；,然后利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)列出不等

式求得再結(jié)合正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解.

62

177

【詳解】(1)由題意可知，/(x)=sinxcosx-V3cos2x=—sin2x-(cos2x+1)

116^J兀1G

=—sin2x----coszx----=sin2x--------

22213J2

g(*M/=血[2(得司浮sin(2丑目

由---F2kitK2xH—W—F2Zr7i,keZ

262

g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-5+EJ+E](hZ),

36

所以函數(shù)g(x)的表達(dá)式為g(x)=sinf2x+F1-*，

6

jrIT

單調(diào)遞增區(qū)間為++eZ）.

（2）不等式4/⑶+且⑺之―+,可化為asin（2x-W）+sin（2x+.）2—^^^

可化為asin(2x-g)+sinf2x-y^+y2,

可化為asin(2x-撲cos(2x一升

^■cos(9=-7==,sin0=-y==,由。>0,可得0<。<色,tan?=',

da'+lyja2+l2a

上面的不等式可化為sin(2x-]+q>1,

當(dāng)xepy時，y<2x<y,0<2x--<-,(9<2x-y+(9<y+6i>

由o“<],有F<?+e<已若sinM-J+e]*恒成立，只需要6；可得上。笑,

2336k3)2%“5萬62

----Fc/S-----,

136

又由。一嘮有產(chǎn)。苫，可得tan”4ta吟，解得

由上知，實數(shù)“的取值范圍為（0,6].

5.（2023春?安徽滁州?安徽省滁州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a,b,。為△Z8C的內(nèi)角4B,C所對的邊,

且=a2+b2-ab

⑴求角C

（2）若sin8<sinC,b=4,。為BC的中點，而，求△48C的面積

【答案】（i）c=W；

（2）6y/3.

【分析】（1）根據(jù)余弦定理邊角互化即可求解；

（2）根據(jù)余弦定理可求CD值，進(jìn)而可求a,根據(jù)三角形面積公式即可求解.

【詳解】（1）由題可得/+〃-02=外，

由余弦定理得cosC==1,

lab2

7

因為0<C<7t,

所以C=］；

(2)在三角形ADC中，AD2=AC2+CD2-2ACCDcosZACD,

即13=16+CO2-4C￡)，

解得C￡>=1或C￡>=3,

即a=2或a=6,

因為sin8<sinC,所以由正弦定理可得b<c,故B<C,

因為c=W，

所以4>C>8,故a>c>b,

所以。=6,

所以8c=—tzAsinC=—x6x4x

7122與=66

6.(2023春?河北唐山?高三開灤第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))在斜△NBC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別是a,b,

c,sin24-26sin?/=-275,4。平分/8ZC交8c于點。，AD=\.

(1)求N的大小;

(2)若a=2指，求△/8C的面積.

【答案】⑴，=與;

⑵地.

4

【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換結(jié)合條件可得tanZ=即得；

(2)由&，腐='')+j'8利用三角形的面積公式可得從=。+6,由余弦定理條件可求得從的值，再由三

角形的面積公式即可求解.

【詳解】(1)Ssin2A-2^3sin2A=-2/3?2sincosA=-2>/3cos2A,

又A為斜^ABC的內(nèi)角，cos/#0,

所以tan/=-y/3)

又0</<7T,所以4=與；

jr

(2)因為/。平分/A4c交8c于。，所以==

S

由S"BC=.BAD+S.CAD，可得;加sin牛=gc?4Qsin：+>?40sin,

8

所以歷=c+b,

由余弦定理/=〃+c2-2bccosA，即20=(b+c)-be,

所以(歷)2-兒一20=0,即(be—5)(歷+4)=0,

可得%=5(負(fù)值舍去)，

所以S=—besinZBAC=^-bc=

244

7.(江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2023屆高三下學(xué)期3月教學(xué)情況調(diào)研(一)數(shù)學(xué)試題)在春3C中，角4B,C

所對的邊分別為a,b,c,l+sin24=(3tanB+2)cos24.

(1)若。=歲，求tan8的值；

4

(2)若/=8,c=2,求/8。的面積.

【答案】(l)tan8=g

喈

【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換可得tan(4+：)=2tan8+2,結(jié)合條件可得關(guān)于tan8的方程，進(jìn)而即得；

(2)根據(jù)條件可得tan4=正，進(jìn)而可得a=b=2叵，然后根據(jù)三角形面積的公式即得.

33

【詳解】(1)若。=學(xué)，則4+8=：,

44

因為l+sin24=(3tan8+2)cos2Z,cos24w0,

rs-.u1+sin2J(sinA+cos^)~sinA+cosAtan4+l，/兀1.c-

所以-------=------72-=------------=--------=tanAi--=3tan8+2,

cos2cosA-sinAcosA-sinA1-tanA\4J

所以tan—四］=3tan8+2n—i—=3tan8+2,

\2Jtan5

解得12!!8=；或_1,因為8e(0,：),

所以tan8=；；

(2)若A=B,由tan14+；〕=3tanB+2,可得=3tanZ+2,

V4>1-tan

0

整理可得tan?”=g，即tan4=d-

3

3

兀

所

-=以-

因為/=8￡,所以tan4=36-

_C_2yf3

所以春5C是以C為頂角的等腰三角形，"=b亍，

zcos—

6

9

所以AABC的面積為S=—ahsinC=—x—=—.

223323

8.(2023?天津和平?統(tǒng)考一模)已知△48C的內(nèi)角48,。的對邊分別為。也c,且(bcosC+ccos8)taM=-豉.

(1)求A的大小：

(2)若a=幣,b=1,

(i)求ABC的面積；

(ii)求cos(2C-4).

【答案】(1)，=3;

(2)(i)(ii)工

214

【分析】(1)利用正弦定理化邊為角，結(jié)合兩角和得正弦公式及三角形內(nèi)角關(guān)系即可得出答案；

(2)利用余弦定理求得邊。，根據(jù)三角形面積公式可得面積，再根據(jù)余弦定理可得cosC,再利用二倍角公

式及和差角公式即得.

【詳解】(1)因為(bcosC+ccosB)tan<=

所以(sin8cosC+sinCcos8)tan/l=-6sin力,

即sin(5+C)tan4=-\/5sin4,

則sinAtanA=-6sinA，

因為4￡(0,兀)，所以sinZwO,

所以tan4=-V3，

所以4號;

(2)(i)由余弦定理得Q?=/+c，2一縱,cos4,

即7=1+/+c,解得c=-3(舍去)或c=2,

所以“BC的面積為S=—fecsinJ=—xlx2x^-=^-；

2222

(ii)由上可得cosC=?+〃一，’=上7=也,又。?0,兀)，

lab2V77

所以sinC=Jl-cos2c=,

7

所以sin2c=2sinCcosC=—,cos2C=cos?C-sin?C=：,

77

10

所以cos（2C-4）=cos2Ccos"+sin2csinA=

9.(2022?河北衡水?統(tǒng)考二模)在△/BC中，角/,B,C所對的邊分到為a,b,c,已知

b2-2bccosA=a2-2accos5>c=2.

(1)證明：△/8C為等腰三角形；

(2)設(shè)△/BC的面積為S,若,S的值.在①7cosB=2cosC；②E?而=2S;@a2+b2=Sc2^.

個選項中，選擇一個填入上面空白處，并求解.

【答案】(1)證明見解析

(2)選①：s=岳;選②：S=\+y/2；選③：S=y/15

【分析】(1)由三角形的余弦定理，結(jié)合三角形的形狀即可得證.

(2)分別選①②③，運用余弦定理、同角的基本關(guān)系和向量數(shù)量的定義、面積公式，可得所求值.

(1)

證明：因為〃-2bccos/=q2-2accos8

+c2-2bccosA-a2+c2-2accosB

由余弦定理可知，a2=b2,即。=人即ABC為等腰三角形.

(2)

解：由題意得：

選①：由(1)可知，A=B,所以C=%-28

所以7cos8=2cosC=2cos(〃-28)=-2cos25=2-4cos2B,

整理得：4cos28+7cos8-2=0,解得cos5=!，

4

77

所以cosC=—cos8=—,

28

所以sinC=>/l-cos2C=乂叵

8

又由COS8=L,可得"4,

a

所以S=—absinC=—x4x4x;

228

選②：因為E.詆=2S

所以42cosc=a?sinC,解得。，

4

11

所以4=2。2-24”得。2=4+2近，S=5條與(4+2今=14-X/~2；

2

選③：因為/+b2=8c，2,且。=6,c=2

所以a=b=4

。

2+6~216+16-47

故cosC=

2ab2x4x48'

因此sinC=Jl-cos?C=

8

=—absinC=—x4x4x^5"

228

10.(2022?全國?高三專題練習(xí))在①sin4cosB+cosZsin8=@；②x=cosC是函數(shù)/(x)=2/+x-l的一個

2

零點；③已知函數(shù)〃x)=sin(；x+?),且〃C)=l.從三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以

解答:

已知A/8C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是。，b,c,且NC為銳角.若,且c=2“cosB,

試判斷A/8C的形狀.

【答案】等邊三角形

【分析】由c=2acos5,利用正弦定理將邊化角，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和、差的正弦公式得到sin(Z-B)=0,

即可得到4=3,再根據(jù)所選條件求出C=2,再由三角形內(nèi)角和定理計算可得；

【詳解】解：因為。=2acosB,由正弦定理可得sinC=2sin4cos8,

即sin(4+8)=2sin4cos6,所以sin4cosB+cosZsin3=2sin4cos5,所以sin/cos8-cos/sinB=0,所

以sin(力-8)=0,因為A、8為三角形的內(nèi)角，所以力一8=0,即4=3；

若選①sin/cos8+cos4sin5=乂^,則sin(4+6)=",BPsinC=—9因為/。為銳角，所以C=f,又

2v7223

7T

4=B,A+B+C=TT,所以4=8=C=§,故為等邊三角形；

若選②x=cosC是函數(shù)/(x)=2x2+x-l的一個零點，令/(力=*+*-1=0,解得x=；或x=-l,因為/C為

銳角，所以cosC=g,所以C=(,又4=8,A+B+C=7r,所以/=8=C=g,故/8C為等邊三角形；

若選③已知函數(shù)〃回=可”?)且/(C)=l,所以〃C)=sin(；C+。卜，所以

+￡=，解得C=f+4%;r,4wZ，因為/C為銳角，所以C=g，又4=8,A+B+C=TT,

23233

12

所以N=8=C=；,故A/8C為等邊三角形；

11.（2022?全國?高三專題練習(xí)）隨著我國房地產(chǎn)行業(yè)迅速發(fā)展和人們生活水平的不斷提高，大家對住宅區(qū)

的園林綠化設(shè)計提出了更高、更新的要求，設(shè)計制“人性化，生態(tài)化、自然化”的園林式居住區(qū)，以提高現(xiàn)代人

的生活質(zhì)量，成為當(dāng)今住宅區(qū)園林綠化的設(shè)計準(zhǔn)則.某小區(qū)有一片綠化用地，如圖所示，區(qū)域四周配植修剪

整齊的本土植物，中間區(qū)域合理配植有層次感的高、中、低植物，8。為鵝卵石健康步道，ADHBC,A=j,

AD=20m,AB=BC=\（>m.

（1）求鵝卵石健康步道8。的長（單位：m）；

（2）求綠化用地總面積（單位：nf）.

【答案】（1）4A歷Im

⑵⑷鬲？

【分析】（1）在中利用余弦定理計算可得；

（2）在中，由面積公式計算邑,皿，由余弦定理求出cosN/8。，即可得到sin48。，再根據(jù)兩角

差的正弦公式求出sin/CBD,即可求出右客,，即可得解；

【詳解】（D解：在△“8。中由余弦定理可知

5￡>2=/4￡>2+z452-2^￡>-cos=202+162-2x20x16x1=336,

BP50=4V21m.

（2）解：在△/即中，S=-/15/4￡>-siny4=-xl6x20x—=8073m2.

**BD222

由余弦定理可得cosNABD=4B2+BD2TD2=叵,

2ABBD14

貝！JsinNABD=JT-CGS2NABD=-^—

14

因為AD//BC,4=￡,所以NZ8C=也，在△BCD中，ZCBD=--ZABDf貝lj

333

13

.—?(2%”八1_615#_2#

sin^.CBD=sin---/ABD=—x——i-―x---=----,

(3)2142147

11.o

則Sz\8CD=5BC-8。?sinNC8。=；X16X4仿X=64611?

所以綠化用地總面積為S=806+64百=1446m2.

12.(2022?高三課時練習(xí))如圖，在圓內(nèi)接四邊形4BC。中，NS=120。，AB=2,AD=2五,"8C的面積

為G

⑴求/C;

(2)求//CD.

【答案】(1)273

(2)45°

【分析】(1)根據(jù)面積公式可得8c=2,再根據(jù)余弦定理求解可得NC=2道；

(2)根據(jù)內(nèi)接四邊形可得/。=60。，再根據(jù)正弦定理求解即可

【詳解】(1)因為“8C的面積為百，所以g,4B.8CsinN5=VL

又因為Z8=120。，AB=2,所以8c=2.

由余弦定理得，AC2=AB2+BC-2ABBCCOSZ.B,

^C2=22+22-2X2X2COS120°=12,所以/。=2技

(2)因為ABCD為圓內(nèi)接四邊形，且Z8=120。，所以=60。.又4。=2五,由正弦定理可得，

———=-^—,故sinN4CZ)=""smN3=2VIsi;60°=立.因為,所以0。<48<60°,

sm/.ACDsinZ.DAC2V32

所以48=45。.

13.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,已知a=4,

c=58=30°

14

(1)求人的值；

⑵求sinC的值：

(3)若。為邊BC上一點，且cosN4Z)C=-g,求8。的長.

【答案】⑴6=近

⑵答

612+指

()-8-

【分析】(1)由余弦定理即可求解.

(2)由正弦定理即可求解.

(3)作輔助線根據(jù)解直角三角形知識分別求出DO和BO即可.

【詳解】(1)由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=7

???b=41

過A作AOJ_BC于O,在RtZkABO中，AB=6，ZB=300,

/.AO=—,BO=~,在RtZ\/Z)O中，COS4OO=L

223

sinZADO=-----:.tanZ.ADO=2>/2

3

.也廠

,?DO=———=-^==—

tanZADO2c8

:.BD=BO+DO=-+—=l2+y^

288

14.(2022?高三課時練習(xí))如圖，某景區(qū)擬開辟一個平面示意圖為五邊形/8CDE的觀光步行道，BE為電

瓶車專用道，ABCD=ABAE=NCDE=120°,Z)E=11km,5C=CO=5km.

15

AE

CD

(1)求BE的長；

(2)若sinN/8E=也，求五邊形N8C0E的周長.

14

【答案】(l)14km；

(2)37km.

【分析】(1)由題設(shè)易得50=5VLZB￡>C=30°,再在直角△5Z必中應(yīng)用勾股定理求BE的長；

28

(2)利用正弦定理求得力￡=10小且”=國點11(60。-48助，結(jié)合差角正弦公式及同角平方關(guān)系求

即可求五邊形ABCDE的周長.

【詳解】(1)由Z8CD=120。，8c=8=5km,可得：BD=56,Z8OC=30。，

而NCDE=12Q。，故NBDE=90°,

在直角△BDE中=11km,則BE=^BD2+DE2=14km-

AEABBE28r,

(2)由")知：sinZABE=sin4EB=sinZBAE飛'3'E=l°km,

2Q2814

AB=-j=sinZAEB=-^sin(60°-ZABE)=14cosZABE-^inZ4BE,

由sinNABE=亞且ZABEe(0,60°),則cosZABE=匚，

1414

所以AB=6km.

所以五邊形ABCDE的周長Z8+8C+CO+OE+ZE=37km.

15.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知銳角三角形/8C的內(nèi)角48,C的對邊分別為a,6,c,且

(c-b)sinC=(acosC~b)sinS+acosBsinC.

⑴求角A；

(2)若"為"8C的垂心，a=2,求8c面積的最大值.

【答案】⑴。

(2)等

【分析】(1)根據(jù)兩角和的正弦公式以及正弦定理邊角化得兒=/+，-°2,由余弦定理即可求解,

16

(2)根據(jù)垂直關(guān)系可得=?，進(jìn)而在△8HC中利用余弦定理，結(jié)合不等式即可求解最大值.

【詳解】(1)由題可得，(c-b)sinC=acosCsinB-加in8+acos8sinC=asir(8-6sin8=asiM-6sim

結(jié)合正弦定理可得(c-b)c=a2-b2,^bc=b2+c2-a2,

.b2+c2-a21十/(n兀).”兀

??cosA/=-------------=—,又4e|0,二|,..A=—.

2bc2I2)3

(2)設(shè)邊NC,Z8上的高分別為BE,C9則，為BE與C尸的交點，

則在四邊形/我/花中，ZFAE+ZFHE+-+-=2n,

22

VZFAE=-,：.^FHE=—,故NBHC=±

333

22

在△8"C中，SBHC=-BH-HCsin—=—BH-HC,BH+HC-2BH-HCcos==4,

△BHC2343

4

則4=BH^+HC?+BH-HCN2BH-HC+BH-HC，即8〃.4§,

當(dāng)且僅當(dāng)BH=HC時取等號.J.S.BHC差，故A”8c面積的最大值為與.

16.（2022?安徽黃山?統(tǒng)考一模）如圖，已知“5C外接圓的圓心。為坐標(biāo)原點，且。在內(nèi)

27r

部,4（1,0）,/5。。=彳.

17

(2)求力18C面積的最大值.

【答案】(1)1+近二交

4

(2)—

4

【分析】⑴由題可得外接圓半徑，即|。同=|。/|=|。。=1,用向量加減法把荏寫為而一次,展開代入長度和角

即可求出數(shù)量積；

(2)由圓心角，可求圓周角，即/歷1C的值，由外接圓半徑為1,根據(jù)正弦定理可求明根據(jù)余弦定理可求b,c之間

等式關(guān)系，根據(jù)基本不等式可求命的最大值，根據(jù)三角形面積公式,即可求出其最大值.

【詳解】(1)解:由題知

故圓的半徑為1,

所以|O8|=|O/|=|OC|=1,

所以=AO((JB-OA^=-OA-0B+1=1-1x1xcosZAOB=l-cos-^

,建](16■66),V6-V2

=1-cos—+—=1--x-------x——=1+----—

U4；(2222J4

(2)由(1)知，外接圓的半徑為1,

因為N80C=與，所以=1

a_a

在AJBC中，由正弦定理可得:工sinZ.BAC,

Sm3

解得:a=百，

在^ABC中，由余弦定理可得：

cosNBAC=匕華寸=L化簡可得:〃+=3+be,

2bc2

由基本不等式可知>2bc,^3+bc>2bc,

所以解得命43,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=0時取等，所以治加=：心畝4"=立兒4地.

244

故“8C面積的最大值為邁.

4

17.(2023?高三課時練習(xí))在A/IBC中，內(nèi)角N,B,C所對的邊分別為a,b,c、滿足+c?=/-ac.

(1)求角5的大??；

⑵若6=2百，求"5C的面積的最大值.

18

［答案］⑴122。

(2)百

【分析】(D利用余弦定理求B即可；

(2)利用基本不等式得到"44,然后利用三角形面積公式求面積的最大值即可.

【詳解】(1)因為a2+c2-b2=-ac，

由余弦定理得cos/8==」,又Be(O,力,所以4=120。.

2ac2

(2)因為b=2g\

22

由(1)^a+c=12-ac>2ac9當(dāng)且僅當(dāng)。=c=2時取等號，

所以acK4,

面積S-LesinB=^-ac<百

24

所以三角形面積的最大值為G.

18.(2023春?河北邢臺?高三邢臺市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí))在四邊形力8。中，4民C,。四點共圓，AB=5,

3

BC=3,cosZABC=——.

5

?77

(1)若sin/ACD=—^―，求AD的長；

(2)求四邊形43co周長的最大值.

【答案】(1)病

(2)8+2765

3

【分析】(1)由四點共圓求出cosZADC=-cosZABC=『在“BC中，由余弦定理求出AC=2岳,在AXDC

中，由正弦定理求出49=??；

(2)在第一問的基礎(chǔ)上，結(jié)合余弦定理和基本不等式得到+842病，從而得到周長的