第56講直線、平面平行的判定與性質(zhì)夯實(shí)基礎(chǔ)【p128】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．熟練掌握線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)，會(huì)把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．2．學(xué)會(huì)應(yīng)用“化歸思想”進(jìn)行“線線問題、線面問題、面面問題”的互相轉(zhuǎn)化．3．掌握兩個(gè)平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能應(yīng)用其進(jìn)行論證和解決有關(guān)問題．【基礎(chǔ)檢測】1．設(shè)l表示直線，α，β表示平面．給出四個(gè)結(jié)論：①如果l∥α，則α內(nèi)有無數(shù)條直線與l平行；②如果l∥α，則α內(nèi)任意的直線與l平行；③如果α∥β，則α內(nèi)任意的直線與β平行；④如果α∥β，對(duì)于α內(nèi)的一條確定的直線a，在β內(nèi)僅有唯一的直線與a平行．以上四個(gè)結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3【解析】若l∥α，則在α內(nèi)的直線與l平行或異面，故①正確，②錯(cuò)誤．由面面平行的性質(zhì)知③正確．對(duì)于④，在β內(nèi)有無數(shù)條直線與a平行，故④錯(cuò)誤．【答案】C2．已知m，n是兩條不重合的直線，α，β是不重合的兩個(gè)平面，則下列說法正確的是()A．若m?α，n∥α，則m∥nB．若m⊥n，m⊥β，則n∥βC．若α∩β＝n，m∥n，則m∥α，且m∥βD．若m⊥α，m⊥β，則α∥β【解析】若m?α，n∥α，則m∥n或m與n異面，因此A不正確；B中n∥β不一定成立，還有可能n?β，所以B不正確；C中m有可能在α內(nèi)或在β內(nèi)，故C不正確；D正確．【答案】D3．如圖所示，A是平面BCD外一點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BD，DC，CA的中點(diǎn)，設(shè)過這三點(diǎn)的平面為α，則在圖中的6條直線AB，AC，AD，BC，CD，DB中，與平面α平行的直線有()A．0條B．1條C．2條D．3條【解析】顯然AB與平面α相交，且交點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，AB，AC，DB，DC四條直線均與平面α相交．在△BCD中，由已知得EF∥BC，又EF?α，BC?α，所以BC∥α.同理，AD∥α，所以在題圖中的6條直線中，與平面α平行的直線有2條．【答案】C4．下列四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號(hào)是()A．①③B．①④C．②③D．②④【解析】①中易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如圖)．④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.【答案】B5．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點(diǎn)，則下列命題正確的是()A．MN∥APB．MN∥BD1C．MN∥平面BB1D1DD．MN∥平面BDP【解析】取B1C1中點(diǎn)Q，連接MQ，NQ，由三角形中位線定理可得MQ∥B1D1，∴MQ∥平面BB1D1D，由四邊形BB1QN為平行四邊形得NQ∥BB1，∴NQ∥平面BB1D1D，∴平面MNQ∥平面BB1D1D，MN?平面MNQ，∴MN∥平面BB1D1D.【答案】C【知識(shí)要點(diǎn)】1．直線和平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直線在平面內(nèi),直線在平面外\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直線與平面平行,直線與平面相交))))(1)直線和平面相交——有且只有__一個(gè)__公共點(diǎn)．(2)直線在平面內(nèi)——有__無數(shù)個(gè)__公共點(diǎn)．(3)直線和平面平行——__沒有__公共點(diǎn)．2．直線與平面平行的判定(1)判定定理：如果__平面外__一條直線和這個(gè)__平面內(nèi)__的一條直線__平行__，那么這條直線和這個(gè)平面平行，即a∥b，a?α，b?α?a∥α.(2)如果兩個(gè)平面__平行__，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行，即__α∥β，a?α__，則a∥β.3．直線與平面平行的性質(zhì)如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和__交線__平行，即a∥α，a?β，α∩β＝b，則__a∥b__．4．兩個(gè)平面的位置關(guān)系(1)兩個(gè)平面平行——__沒有公共點(diǎn)__；(2)兩個(gè)平面相交——__有一條公共直線__．5．兩個(gè)平面平行的判定定理(1)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條__相交__直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(2)垂直于同一條__直線__的兩個(gè)平面平行．(3)平行于同一個(gè)__平面__的兩個(gè)平面平行．6．兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的__任意一條直線__必平行于另一個(gè)平面．(2)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的__交線__互相平行．(3)一條直線__垂直__于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也__垂直__于另一個(gè)平面．典例剖析【p129】考點(diǎn)1直線與平面平行的判定與性質(zhì)eq\a\vs4\al(例1)如圖，在四面體A－BCD中，F(xiàn)，E，H分別是棱AB，BD，AC的中點(diǎn)，G為DE的中點(diǎn)．證明：直線HG∥平面CEF.【解析】法一：如圖，連接BH，BH與CF交于K，連接EK.∵F，H分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴K是△ABC的重心，∴eq\f(BK,BH)＝eq\f(2,3).又據(jù)題設(shè)條件知，eq\f(BE,BG)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(BK,BH)＝eq\f(BE,BG)，∴EK∥GH.∵EK?平面CEF，GH?平面CEF，∴直線HG∥平面CEF.法二：如圖，取CD的中點(diǎn)N，連接GN，HN.∵G為DE的中點(diǎn)，∴GN∥CE.∵CE?平面CEF，GN?平面CEF，∴GN∥平面CEF.連接FH，EN，∵F，E，H分別是棱AB，BD，AC的中點(diǎn)，∴FH綊eq\f(1,2)BC，EN綊eq\f(1,2)BC，∴FH綊EN，∴四邊形FHNE為平行四邊形，∴HN∥EF.∵EF?平面CEF，HN?平面CEF，∴HN∥平面CEF.HN∩GN＝N，∴平面GHN∥平面CEF.∵GH?平面GHN，∴直線HG∥平面CEF.eq\a\vs4\al(例2)如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E為線段AD上的任意一點(diǎn)(不包括A，D兩點(diǎn))，平面CEC1與平面BB1D交于FG.證明：FG∥平面AA1B1B.【解析】在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1?平面CEC1，平面CEC1與平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因?yàn)锽B1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1?平面AA1B1B，F(xiàn)G?平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.考點(diǎn)2面面平行的判定及性質(zhì)eq\a\vs4\al(例3)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為線段BC，PB，AD的中點(diǎn)．(1)證明：EF∥平面PAC；(2)證明：平面PCG∥平面AEF.【解析】(1)∵E，F(xiàn)分別是BC，BP的中點(diǎn)，∴EF綊eq\f(1,2)PC，∵PC?平面PAC，EF?平面PAC，∴EF∥平面PAC.(2)∵E，G分別是BC、AD中點(diǎn)，∴AE∥CG，∵AE?平面PCG，CG?平面PCG，∴AE∥平面PCG，又∵EF∥PC，PC?平面PCG，EF?平面PCG，∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E點(diǎn)，AE，EF?平面AEF，∴平面AEF∥平面PEG.【點(diǎn)評(píng)】面面平行判定的一般思路是：線線平行?線面平行?面面平行．考點(diǎn)3平行關(guān)系中的探索性問題eq\a\vs4\al(例4)在多面體ABCDEF中，DE∥AF，DE⊥平面ABCD，EC＝5，BF＝3eq\r(2)，四邊形ABCD是邊長為3的菱形．(1)證明：BD⊥CF；(2)線段CD上是否存在點(diǎn)G，使AG∥平面BEF，若存在，求eq\f(CG,CD)的值；若不存在，請說明理由．【解析】(1)連接AC，由DE⊥平面ABCD，DE∥AF，得AF⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，所以AF⊥BD，由四邊形ABCD是菱形，得AC⊥BD，又AC∩AF＝A，AC，AF?平面ACF，所以BD⊥平面ACF，因?yàn)镃F?平面ACF，所以BD⊥CF.(2)存在這樣的點(diǎn)G，且eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3).證明如下：連接AG交BD于M，過M作MN∥DE交BE于N，連接FN.因?yàn)閑q\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，且△DMG∽△BMA，所以eq\f(BM,BD)＝eq\f(3,4).因?yàn)镸N∥DE所以eq\f(MN,DE)＝eq\f(BM,BD)＝eq\f(3,4)，即MN＝eq\f(3,4)DE.因?yàn)镈E⊥平面ABCD，EC＝5，CD＝3，所以DE＝4，所以MN＝3.因?yàn)镈E∥AF，BF＝3eq\r(2)，AB＝3，所以AF＝3.于是MN∥AF且MN＝AF，所以四邊形AMNF為平行四邊形，于是AM∥FN，即AG∥FN，又FN?平面BEF，AG?平面BEF，所以AG∥平面BEF.【點(diǎn)評(píng)】利用線面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置，對(duì)于最值問題，常用函數(shù)思想來解決．方法總結(jié)【p130】1．證明直線與平面平行常運(yùn)用判定定理，即轉(zhuǎn)化為線線的平行來證明．2．直線與平面平行的判定方法：(1)a∩α＝??a∥α(定義法)，(2)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a?α,b?α))?a∥α，這里α表示平面，a，b表示直線．3．兩平面平行的判斷方法(1)依定義采用反證法．(2)依判定定理通過說明一平面內(nèi)有兩相交直線與另一平面平行來判斷兩平面平行．(3)依據(jù)垂直于同一直線的兩平面平行來判定．(4)依據(jù)平行于同一平面的兩平面平行來判定．4．平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化程序線線平行?線面平行?面面平行從上易知三者之間可以進(jìn)行任意轉(zhuǎn)化，因此要判定某一平行的過程就是從一平行出發(fā)不斷轉(zhuǎn)化的過程．在解題時(shí)要把握這一點(diǎn)，靈活確定轉(zhuǎn)化思路和方向．走進(jìn)高考【p130】1．(2018·全國卷Ⅰ)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為A.eq\f(3\r(3),4)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(3\r(2),4)D.eq\f(\r(3),2)【解析】記該正方體為ABCD－A′B′C′D′，正方體的每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，即共點(diǎn)的三條棱A′A，A′B′，A′D′與平面α所成的角都相等．如圖，連接AB′，AD′，B′D′，因?yàn)槿忮FA′－AB′D′是正三棱錐，所以A′A，A′B′，A′D′與平面AB′D′所成的角都相等．分別取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，I，J，連接EF，F(xiàn)G，GH，IH，IJ，JE，易得E，F(xiàn)，G，H，I，J六點(diǎn)共面，平面EFGHIJ與平面AB′D′平行，且截正方體所得截面的面積最大．又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝eq\f(\r(2),2)，所以該正六邊形的面積為6×eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3\r(3),4)，所以α截此正方體所得截面面積的最大值為eq\f(3\r(3),4).【答案】A2．(2017·浙江)如圖，已知四棱錐P－ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E為PD的中點(diǎn)．(1)證明：CE∥平面PAB；(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值．【解析】(1)如圖，設(shè)PA中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PD，PA中點(diǎn)，所以EF∥AD且EF＝eq\f(1,2)AD，又因?yàn)锽C∥AD，BC＝eq\f(1,2)AD，所以EF∥BC且EF＝BC，即四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE∥BF，因此CE∥平面PAB.(2)分別取BC，AD的中點(diǎn)為M，N.連接PN交EF于點(diǎn)Q，連接MQ.因?yàn)镋，F(xiàn)，N分別是PD，PA，AD的中點(diǎn)，所以Q為EF中點(diǎn)，在平行四邊形BCEF中，MQ∥CE.由△PAD為等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC⊥AD，N是AD的中點(diǎn)得BN⊥AD.所以AD⊥平面PBN，由BC∥AD得BC⊥平面PBN，那么平面PBC⊥平面PBN.過點(diǎn)Q作PB的垂線，垂足為H，連接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角．設(shè)CD＝1.在△PCD中，由PC＝2，CD＝1，PD＝eq\r(2)得CE＝eq\r(2)，在△PBN中，由PN＝BN＝1，PB＝eq\r(3)得QH＝eq\f(1,4)，在Rt△MQH中，QH＝eq\f(1,4)，MQ＝eq\r(2)，所以sin∠QMH＝eq\f(\r(2),8)，所以，直線CE與平面PBC所成角的正弦值是eq\f(\r(2),8).考點(diǎn)集訓(xùn)【p246】A組題1．已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是()A．m∥α，m∥n?n∥αB．m∥α，n∥α?m∥nC．m∥α，m?β，α∩β＝n?m∥nD．m∥α，n?α?m∥n【解析】A中，n還有可能在平面α內(nèi)；B中，m，n可能相交、平行、異面；由線面平行的性質(zhì)定理可得C正確．D中，m，n可能異面．【答案】C2．如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M，P，Q分別為棱AB，CD，BC中點(diǎn)，若平行六面體的各棱長均相等，給出下列說法：①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1，則以上正確說法的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4【解析】連接PM，因?yàn)镸、P為AB、CD的中點(diǎn)，故PM平行且等于AD.由題意知AD平行且等于A1D1.故PM平行且等于A1D1.所以PMA1D1為平行四邊形，故①正確．顯然A1M與B1Q為異面直線．故②錯(cuò)誤．由①知A1M∥D1P.由于D1P即在平面DCC1D1內(nèi)，又在平面D1PQB1內(nèi)．且A1M即不在平面DCC1D1內(nèi)，又不在平面D1PQB1內(nèi)．故③④正確．【答案】C3．已知平面α，β，γ，直線m，n，l，給出下列四種說法：①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，則α∥β；②若m，n相交且都在α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，則α∥β；③若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β；④若m?α，n?β，α∩β＝l，m∥n，則m∥l.其中說法正確的有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【解析】由題意得，①中，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，此時(shí)α與β相交或平行，所以不正確；②中根據(jù)平面與平面平行的判定定理可知，若m，n相交且都在α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，則α∥β是正確的；③中，若m∥α，n∥β，且m∥n，則α與β相交或平行，所以不正確；④中，根據(jù)線面平行的判定定理及性質(zhì)定理，可知若m?α，n?β，α∩β＝l，m∥n，則m∥l是正確的，故②④是正確的．【答案】B4．在立體幾何中，用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體得到的平面圖形叫截面．如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱B1B，B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱CC1的中點(diǎn)，則過線段AG且平行于平面A1EF的截面的面積為()A．1B.eq\f(9,8)C.eq\f(8,9)D.eq\r(2)【解析】取棱BC的中點(diǎn)M，連結(jié)AD1，D1G，GM，MA，根據(jù)題意，結(jié)合線面，面面平行的性質(zhì)，得到滿足條件的截面為等腰梯形AD1GM，由正方體的棱長為1，可求得該梯形的上底為eq\f(\r(2),2)，下底為eq\r(2)，高為eq\f(3\r(2),4)，利用梯形的面積公式可求得S＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋\r(2)))×\f(3\r(2),4),2)＝eq\f(9,8).【答案】B5．如圖是正方體的平面展開圖．關(guān)于這個(gè)正方體，有以下判斷：①ED與NF所成的角為60°；②CN∥平面AFB；③BM∥DE；④平面BDE∥平面NCF.其中正確判斷的序號(hào)是()A．①③B．②③C．①②④D．②③④【解析】把正方體的平面展開圖還原成正方體ABCD－EFMN，得：①ED與NF所成的角為60°，故①正確；②CN∥BE，CN不包含于平面AFB，BE?平面AFB，∴CN∥平面AFB，故②正確；③BM與ED是異面直線，故③不正確；④∵BD∥FN，BE∥CN，BD∩BE＝B，F(xiàn)N∩CN＝N，BD，BE?平面BDE，F(xiàn)N，CN?平面NCF，所以平面BDE∥平面NCF，故④正確，正確判斷的序號(hào)是①②④.【答案】C6．如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E是SA上一點(diǎn)，當(dāng)SE∶SA＝________時(shí)，SC∥平面EBD.【解析】如圖，連接AC，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，連接EO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．因?yàn)镾C∥平面EBD，且平面EBD∩平面SAC＝EO，所以SC∥EO，所以點(diǎn)E是SA的中點(diǎn)，此時(shí)SE∶SA＝1∶2.【答案】1∶27．設(shè)平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于S，若AS＝18，BS＝9，CD＝34，則CS＝____________．【解析】如圖(1)，由α∥β可知BD∥AC，∴eq\f(SB,SA)＝eq\f(SD,SC)，即eq\f(9,18)＝eq\f(SC－34,SC)，∴SC＝68；如圖(2)，由α∥β知AC∥BD，∴eq\f(SA,SB)＝eq\f(SC,SD)＝eq\f(SC,CD－SC)，即eq\f(18,9)＝eq\f(SC,34－SC).∴SC＝eq\f(68,3).【答案】68或eq\f(68,3)8．如圖，四邊形ABCD與ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.【解析】(1)如圖，連接AE，則AE必過DF與GN的交點(diǎn)O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DE∥GN，又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M為AB中點(diǎn)，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG.B組題1．設(shè)m，n是平面α內(nèi)的兩條不同直線，l1，l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線，則以下能夠推出α∥β的是()A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2【解析】m∥β且l1∥α?xí)r，α，β可相交(如m，l1同時(shí)平行α，β交線);m∥l1且n∥l2時(shí)，α∥l1，α∥l2，又l1，l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線，所以α∥β；m∥β且n∥β時(shí)，α，β可相交(如m，n同時(shí)平行α，β交線)；m∥β且n∥l2時(shí)，α，β可相交(如m，n同時(shí)平行α，β交線l2)；因此選B.【答案】B2．已知棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1，E為棱AD中點(diǎn)，現(xiàn)有一只螞蟻從點(diǎn)B1出發(fā)，在正方體ABCD－A1B1C1D1表面上行走一周后再回到點(diǎn)B1，這只螞蟻在行走過程中與平面A1BE的距離保持不變，則這只螞蟻行走的軌跡所圍成的圖形的面積為________．【解析】由題可知，螞蟻在正方體ABCD－A1B1C1D1表面上行走一周的路線構(gòu)成與平面A1BE平行的平面，設(shè)F，G分別為BC，A1D1中點(diǎn)，連接B1G，GD，F(xiàn)D和FB1，則B1G－GD－DF－FB1為螞蟻的行走軌跡．∵正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，易得B1G＝GD＝DF＝FB1＝eq\r(5)，B1D＝2eq\r(3)，GF＝2eq\r(2)，∴四邊形B1GDF為菱形，SB1GDF＝eq\f(