平行四邊形單元測試附解析

一、選擇題

1.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于。點(diǎn)，BE平分NABO交A0于E點(diǎn)，CFLBE于F

點(diǎn)，交B0于G點(diǎn)，連接EG、OF,下列四個(gè)結(jié)論：①CE=CB；②AE=00E；③OF=；CG,

其中正確的結(jié)論只有（）

DC

AB

A.①②③B.②③C.①③D.①②

2.如圖，正方形ABCO中，點(diǎn)￡、口分別在邊BC、CD上，且AE=所=￡4,有下

列結(jié)論：①AABEwAADF；②CE=CF；③ZAEB=75°；④BE+DF=EF;

3.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,P為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP,把AABP沿BP折

疊，使A落在A，處，當(dāng)AZDC為等腰三角形時(shí)，AP的長為（）

25/3t2>/3_（x4-^3

A.2B.—C.2^—―D.2或-^―

333

4.如圖，菱形ABCO的邊，AB=8，N5=60，尸是AB上一點(diǎn)，BP=3,。是CD

邊上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形APQO沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'.當(dāng)C4'的長度最小時(shí)，

C'。的長為（）

13

c.8D.

T

5.如圖所示，E為正方形ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn)，且CE=AC,AE交CD于點(diǎn)F,那

C.135°D.150°

6.如圖，在菱形ABCD中，AB=5cm,NADC=120。，點(diǎn)E、F同時(shí)由A、C兩點(diǎn)出發(fā)，分別

沿AB.CB方向向點(diǎn)B勻速移動(dòng)（到點(diǎn)8為止），點(diǎn)E的速度為lcm/s,點(diǎn)F的速度為

2cm/s,經(jīng)過t秒ADEF為等邊三角形，則t的值為（）

7.如圖，在平行四邊形A8CD中，NC=120°,AD=4,AB=2,點(diǎn)E是折線

3C—CO—D4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、3重合）.則人鉆￡的面積的最大值是（）

A.B.1C.3&D.

8.如圖，ABC。的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)、0,AE平分NBAD交BC于點(diǎn)E，且

ZADC=60°,AB=^BC,連接OE.下列結(jié)論：①A￡=CE；

②Sg產(chǎn)—③S5=Si；④。E=；BC,成立的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

9.如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC中，。為邊8c上一點(diǎn)，且點(diǎn)

2

E，F(xiàn)分別在邊AB,AC上，且NEDF=90°,M為邊防的中點(diǎn)，連接CM交。E

于點(diǎn)N.若DFHAB,則CM的長為（）

A

E

BD

C.工后

A.-y/3B,—\[?>D.也

346

10.如圖，正方形ABCD的邊長為2,Q為CD邊上（異于C,D）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ交BD

于點(diǎn)M.過M作MN_LAQ交BC于點(diǎn)N,作NPJ_BD于點(diǎn)P,連接NQ,下面結(jié)論：

①AM=MN；②MP=7^；③ACNQ的周長為3；④BD+2BP=2BM,其中一定成立的是（）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.①④

二、填空題

11.如圖，某景區(qū)湖中有一段"九曲橋"連接湖岸A,B兩點(diǎn)，"九曲橋”的每一段與AC平行

或BD平行,若AB=100m,ZA=ZB=60",則此“九曲橋"的總長度為.

12.如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，若重合部分構(gòu)成的四邊形ABC。中,

AB=3,4c=2,則8。的長為

13.如圖，以RtABC的斜邊AB為一邊，在AB的右側(cè)作正方形ABED,正方形對(duì)角線交

于點(diǎn)O,連接CO,如果AC=4,C0=6近，那么BC=.

14.如圖，AABC是邊長為1的等邊三角形，取BC邊中點(diǎn)E，作ED//AB,

EF//AC，得到四邊形ED4產(chǎn)，它的周長記作G；取砥中點(diǎn)與，作EQJ/FB,

E'FJIEF,得到四邊形&AW，它的周長記作。2?照此規(guī)律作下去，則

15.在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB,AC為邊向外作正方形ABDE和

正方形ACFG,連接CE,BG和EG,EG與HA的延長線交于點(diǎn)M,下列結(jié)論：①BG=CE；

②BG_LCE；③AM是4AEG的中線；④NEAM=NABC.其中正確的是.

16.在A8CO中，AD=5,N明。的平分線交CD于點(diǎn)E,NABC的平分線交CD于點(diǎn)

F,若線段EF=2,則AB的長為.

17.如圖，在正方形ABCD中，AC=6&,點(diǎn)E在AC上，以AD為對(duì)角線的所有平行四邊

形AEDF中，EF最小的值是.

18.如圖，矩形4BC。中，CE=CB=BE,延長8E交AO于點(diǎn)M，延長CE交AD

于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EN_L3E,交84的延長線于點(diǎn)N,FE=2,4V=3,則

19.已知：如圖，在A6C中，ADVBC,垂足為點(diǎn)。，BE1AC＞垂足為點(diǎn)E，

M為邊的中點(diǎn)，連結(jié)ME、MD、ED，設(shè)A3=4,〃4C=30。則

EM=；EDM的面積為，

20.如圖所示，已知AB=6,點(diǎn)C,。在線段A8上，AC^DB=1,P是線段CD上的動(dòng)

點(diǎn)，分別以AP,PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊AAEP和等邊連接EF,設(shè)EF的中

點(diǎn)為G,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，則點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長是.

三、解答題

21.如圖，AA3C是等腰直角三角形，AB=AC,。是斜邊BC的中點(diǎn)，E,尸分別是

AB,AC邊上的點(diǎn)，且DE1OF，若BE=12,CF=5,求線段￡產(chǎn)的長.

22.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，有很多典型的基本圖形.

（1）如圖①，A5c中，NBAC=90°,AB^AC,直線/經(jīng)過點(diǎn)A，BDL直線I，

CE_L直線/,垂足分別為。、E.試說明ABD^CAE：

（2）如圖②，ABC中，ABAC=90°,A8=AC,點(diǎn)。、A、尸在同一條直線

上，BD-LDF，A￡>=3,BD=4.則菱形AEFC面積為.

（3）如圖③，分別以RrABC的直角邊AC、AB向外作正方形ACDE和正方形

ABFG,連接EG,AH是A6C的高，延長HA交EG于點(diǎn)/，若AB=6,

AC=8,求A/的長度.

23.如圖，平行四邊形ABC。的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)、0,分別過點(diǎn)C、。作

CF//BD,DF//AC,連接8尸交AC于點(diǎn)

⑴求證：FCE名BOE；

⑵當(dāng)NAOC等于多少度時(shí)，四邊形OCFO為菱形?請(qǐng)說明理由.

24.如圖，正方形/6C0的邊小、"'在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)6坐標(biāo)為（6,6）,將正方形46（力繞

點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度a（00<a<90°）,得到正方形。岳尸，劭交線段加于點(diǎn)G,ED

的延長線交線段小于點(diǎn)〃，連結(jié)以CG.

（1）求證：CG平分4DCB；

（2）在正方形48（力繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，求線段以、OH、加之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）連結(jié)即、DA、AE,EB,在旋轉(zhuǎn)的過程中，四邊形力物是否能在點(diǎn)G滿足一定的條件

下成為矩形？若能，試求出直線膜的解析式；若不能，請(qǐng)說明理由.

25.在正方形ABC。中，點(diǎn)E是CD邊上任意一點(diǎn)，連接A瓦過點(diǎn)B作于

F，交AD于”.

(1)如圖1,過點(diǎn)。作￡)G_LAE于G.求證：8b—￡)G=FG；

(2)如圖2,點(diǎn)E為。。的中點(diǎn)，連接。尸，試判斷。存在什么數(shù)量關(guān)系并說

明理由；

(3)如圖3,AB=1，連接￡”，點(diǎn)P為七月的中點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程

中，點(diǎn)。隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長.

(1)利用尺規(guī)作圖(保留作圖痕跡)：分別以點(diǎn)3、。為圓心，8c長為半徑作弧交正

方形內(nèi)部于點(diǎn)T，連接BT并延長交邊4)于點(diǎn)E，則NAE8=60°；

(2)在前面的條件下，取中點(diǎn)M，過點(diǎn)M的直線分別交邊AB、CD于點(diǎn)P、Q.

①當(dāng)PQL5E時(shí)，求證：BP=2AP；

②當(dāng)PQ=8E時(shí)，延長防，CD交于N點(diǎn)、,猜想NQ與MQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

27.定義：只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形，連結(jié)它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫

做這個(gè)損矩形的直徑。

(1)如圖1,損矩形ABCD,/ABC=/ADC=90°,則該損矩形的直徑是線段AC,同時(shí)我

們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個(gè)三角形角的特點(diǎn)，在公共邊的同側(cè)的兩個(gè)角是相等的。

如圖1中：Z\ABC和4ABD有公共邊AB,在AB同側(cè)有NADB和NACB,此時(shí)/ADB=

ZACB；再比如aABC和ABCD有公共邊BC,在CB同側(cè)有NBAC和NBDC,此時(shí)NBAC=

ZBDC?請(qǐng)?jiān)僬乙粚?duì)這樣的角來=

（2）如圖2,4ABC中，ZABC=90°,以AC為一邊向形外作菱形ACEF,D為菱形ACEF

的中心，連結(jié)BD,當(dāng)BD平分NABC時(shí)，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？請(qǐng)說明

理由。

（3）在第（2）題的條件下，若此時(shí)AB=3,BD=4及，求BC的長。

28.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、尸是正方形內(nèi)兩點(diǎn)，BE//DF，EFLBE，為

探索這個(gè)圖形的特殊性質(zhì)，某數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)歷了如下過程：

圖1

（1）在圖1中，連接且=

鰥證：E廠與8D互相平分；

廓證：（BE+DFy+EUuZAB?：

（2）在圖2中，當(dāng)BE芋DF，其它條件不變時(shí)，（5E+DF）2+EE2=2AB2是否成

立？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，請(qǐng)說明理由.

圖2

(3)在圖3中，當(dāng)AB=4,NDPB=135°,y[2BP+2PD=4y/6B^，求P￡)之長.

AD

BC

圖3

29.如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=30,CD=10,F是BC的中點(diǎn)，P以每秒1個(gè)單位長

度的速度從A向D運(yùn)動(dòng)，到D點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)；Q沿著AfCf。路徑以每秒3個(gè)

單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，到D點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng).已知?jiǎng)狱c(diǎn)P,Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)停止

后，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問：

(1)經(jīng)過幾秒，以A,Q,F,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

(2)經(jīng)過幾秒，以A,Q,F,P為頂點(diǎn)的四邊形的面積是平行四邊形ABCD面積的一

半？

30.在邊長為5的正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD所在直線上，連接BE,以BE為邊，在

BE的下方作正方形BEFG,并連接AG.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，AG=；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，DE=2,求AG的長：

(3)若人6=乎，請(qǐng)直接寫出此時(shí)DE的長.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除

一、選擇題

1.A

解析：A

【分析】

根據(jù)正方形對(duì)角性質(zhì)可得NCEB=NCBE,CE=CB；根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，證

△ECG^ABCG,可得AE=EG=J^OE；根據(jù)直角三角形性質(zhì)得0F=；BE=gCG.

【詳解】

?.?四邊形ABCD是正方形，

，NABO=NACO=NCBO=45°,AB=BC,OA=OB=OC,BD1AC,

VBE平分NABO,

I

ZOBE=—ZABO=22.5°,

2

ZCBE=ZCBO+ZEBO=67.5°,

在ABCE中，ZCEB=180°-ZBC0-ZCBE=180o-45°-67.5°=67.5%

NCEB=NCBE,

，CE=CB；

故①正確；

VOA=OB,AE=BG,

.\OE=OG,

：/AOB=90°,

/.△OEG是等腰直角三角形，

.,?EG=V2OE,

VZECG=ZBCG,EC=BC,CG=CG,

A△ECGBCG,

；.BG=EG,

.\AE=EG=V2OE；

故②正確；

VZAOB=90o,EF=BF,

VBE=CG,

11

.\0F=—BE=-CG.

22

故③正確.

故正確的結(jié)論有①②③.

故選A.

【點(diǎn)睛】

運(yùn)用了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰梯形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以

及等腰直角三角形的性質(zhì).此題難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

2.C

解析：c

【分析】

由已知得4?=4D，AE=AF,利用“乩”可證aABE豈AADR,利用全等的性質(zhì)判

斷①②③正確，在AO上取一點(diǎn)G,連接FG,使AG=GE,由正方形，等邊三角形的

性質(zhì)可知NZXF=15°,從而得/￡>6歹=30°,設(shè)止=1,則AG=Gf=2,

DG=6,分別表示A。，CF,Eb的長，判斷④⑤的正確性.

【詳解】

解：AB=AD<AE^AF^EF，

..^ABE^^ADF(HL),AAEV為等邊三角形，

;.BE=DF，又BC=CD,

:.CE=CF,

：.NBAE=-(/BAD-NEAF)=-(90°-60°)=15°,

22

ZAEB=90°-ZBAE=75°,

二①②③正確，

在A。上取一點(diǎn)G,連接FG,使AG=GF,

則ND4F=NGE4=15。，

.?.N￡XM=2ND4尸=30°,

設(shè)。尸=1,則AG=GE=2,DG=E

:.AD=CD=2+也，CF=CE=CD-DF=1+5

:.EF=6CF=yJi+?而BE+DF=2,

..?④錯(cuò)誤，

⑤SMBE+S'SF=2xgAOx°F=2+G

S&CEF=；CEXCF=2+也

二⑤正確.

二正確的結(jié)論有：①②③⑤.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用.關(guān)鍵是利用全等

三角形的性質(zhì)，把條件集中到直角三角形中，運(yùn)用勾股定理求解.

3.C

解析：c

【解析】

【分析】

根據(jù)AA,DC為等腰三角形，分三種情況進(jìn)行討論：?A'D=A'C,@A'D=DC,③CA，=CD,分別

求得AP的長，并判斷是否符合題意.

【詳解】

①如圖，當(dāng)A，D=A，C時(shí)，過A，作EF_LAD,交DC于E,交AB于F,則EF垂直平分CD,EF

垂直平分AB

，A'A=A'B

由折疊得，AB=A，B,ZABP=ZA'BP

...△ABA，是等邊三角形

:.ZABP=30"

由折疊得，A'B=AB=2

.,.A'B+A'D=2+2=4

7

連接BD,貝URtZkABD中，BD=AB-+AD-=A/F+4=275

.*.A'B+A'D<BD（不合題意）

故這種情況不存在；

③如圖，當(dāng)CD=CA'時(shí)，CA'=2

由折疊得，A'B=AB=2

.".A'B+A'C=2+2=4

...點(diǎn)A,落在BC上的中點(diǎn)處

?工1

此時(shí)，ZABP=-NABA'=45°

2

；.AP=AB=2.

綜上所述，當(dāng)△"。（：為等腰三角形時(shí)，AP的長為2G或2.

3

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題以折疊問題為背景，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是畫出圖形進(jìn)行

分類討論，分類時(shí)注意不能重復(fù)，不能遺漏.

4.B

解析：B

【解析】

【分析】

作于"，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)可判斷AA8C為等邊三角形，則

CH=—AB=4y/3,AH=BH=4,再利用CP=7勾股定理計(jì)算出，再根據(jù)折疊的

2

性質(zhì)得點(diǎn)A'在以點(diǎn)P為圓心，為半徑的弧上，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到當(dāng)點(diǎn)4在

PC上時(shí)，C4'的值最小，然后證明CQ=CP即可.

【詳解】

解：作于"，如圖，

菱形ABCD的邊AB=8,ZB=60，

...AABC為等邊三角形，

:.CH=—AB=4j3<AH=BH=4,

2

PB=3,

:.HP=l，

在RfACHP中,CP=?45=7，

梯形APQ。沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A',

二點(diǎn)A'在以點(diǎn)P為圓心，為半徑的弧上，

二當(dāng)點(diǎn)A'在PC上時(shí)，C4'的值最小，

ZAPQ=ZCPQ,

而CD//AB,

ZAPQ=NCQP,

ZCQP=ZCPQ,

■_CQ=CP=7.

DQ

故選：B.

【點(diǎn)睛】

考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條

對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.也考查了折疊的性質(zhì).解決本題的關(guān)

鍵是確定A，在PC上時(shí)CA，的長度最小.

5.A

解析：A

【解析】

【分析】

根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得NE=NCAE,然后根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角以及三角

形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式求出NE=22.5。，再根據(jù)三角形的一個(gè)

外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.

【詳解】

解：VCE=AC,

NE=/CAE,

VAC是正方形ABCD的對(duì)角線，

AZACB=45",

；./E+NCAE=45°,

.\ZE=-X450=22.5°,

2

在ZXCEF中,ZAFC=ZE+ZECF=22.5°+90°=112.5°.

故答案為：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，主要利用了正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)

角，等邊對(duì)等角，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

6.D

解析：D

【分析】

由題意知道AE=t,CF=2t,連接BD,證明4DEB也△DFC,得到EB=FC=2t,進(jìn)而

AB=AE+EB=3t=5,進(jìn)而求出t的值.

【詳解】

解：連接DB,如下圖所示，

四邊形ABCD為菱形，且NADC=120。，

/CDB=60°

.?.△CDB為等邊三角形，；.DB=DC

又「△DEF為等邊三角形，.,.ZEDF=60°,DE=DF

.,.ZCDB=ZEDF

ZCDB-ZBDF=ZEDF-ZBDF

，NCDF=NBDE

在4EDB和Z\FDC中：

DE=DF

<^EDB=Z.FDC,.,.△EDB^AFDC(SAS)

DB=DC

：.FC=BE=2t

；.AB=AE+EB=t+2t=3t=5

5

，t=-.

3

故答案為：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形全等、菱形的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是能想到連接BD后證明三角形全

等，本題是動(dòng)點(diǎn)問題，將線段長用t的代數(shù)式表示，化動(dòng)為靜.

7.D

解析：D

【分析】

分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，高一定，底邊BE最大時(shí)面積最大；②當(dāng)E在CD

上時(shí)，4ABE的面積不變；③當(dāng)E在AD上時(shí)，E與D重合時(shí)，4ABE的面積最大，根據(jù)三

角形的面積公式可得結(jié)論.

【詳解】

解：分三種情況：

①當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，E與C重合時(shí)，4ABE的面積最大，如圖1,

D

BF---------Ec

圖1

過A作AF±BC于F,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

，AB〃CD,

NC+NB=180°,

VZC=120°,

NB=60°,

RtZ\ABF中，NBAF=30°,

...此時(shí)AABE的最大面積為：；x4x百=2百；

②當(dāng)E在CD上時(shí)，如圖2,此時(shí)，Z\ABE的面積=gs，AB8=gx4xG=2x^;

③當(dāng)E在AD上時(shí)，E與D重合時(shí)，4ABE的面積最大，此時(shí)，4ABE的面積=2百，

綜上，4ABE的面積的最大值是2百；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，含30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，并運(yùn)用分類討論的思想解決問題.

8.C

解析：C

【分析】

由。ABCD中，ZADC=60°,易得4ABE是等邊三角形，又由AB=^BC,證得

2

ZCAD=30°；繼而證得AC_LAB,AE=CE,可判斷①;由AC_LAB,則②S°ABCD=AB?AC；可得

OE是三角形的中位線，則OE=』AB,則③&^=25M帆；證得④

24

【詳解】

解：?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

，/ABC=NADC=60°,NBAD=120°,

VAE平分NBAD,

AZBAE=ZEAD=60°

/.△ABE是等邊三角形，

；.AE=AB=BE,NBAE=60°,

VAB=—BC,

2

1

；.AE=—BC,

2

，/BAC=90°,

，NACE=NCAE=30°,

；.AE=CE,故①正確；

VAC1AB,

；.S，ABCD=AB?AC,故②正確,

?.?點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，

1

.?.OE=—AB,

2

^AABE=，故③錯(cuò)誤；

VOE是中位線，

.?.OE=—AB=-BC,故④正確.

24

.?.正確的選項(xiàng)有①②④，共3個(gè)；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì).注意

證得aABE是等邊三角形，0E是^ABC的中位線是關(guān)鍵.

9.C

解析：C

【分析】

根據(jù)等邊三角形邊長為2,在RtABDE中求得。石的長，再根據(jù)CM垂直平分。尸，在

RtACDN中求得CN,利用三角形中位線求得MN的長，最后根據(jù)線段和可得CM的

長.

【詳解】

解：等邊三角形邊長為2,BD=LCD,

2

24

：.BD=~,CD=_,

33

等邊三角形ABC中，DF//AB，

:.ZFDC=AB=G)°,

/EDF=9伊,

,\ZBDE=30°f

Z/DC=ZFCD=60°,

.?.△CDb是等邊三角形，

4

；.CD=CF=—，

3

??.。以垂直平分。尸，

.?.ZDC7V=3O。，

42*7C

.?.RtACDN中，DF=—,DN=-tCN=—,

333

?：EM=FM,DN=FNf

.A/fp1zrn叢

??MN——ED——，

26

:.CM=CN+MN=—+—=—.

366

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)、勾股定

理、平行線的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定等.熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.C

解析：c

【分析】

連接AC交BD于。，作ME1.AB于E,MF_LBC于F,延長CB到H,使得BH=DQ.

①正確.只要證明△AMEgZ\NMF即可；

②正確.只要證明△AOMgZ\MPN即可；

③錯(cuò)誤.只要證明NADQ會(huì)Z^ABH,由此推出△ANQg/^ANH即可；

④正確.只要證明AAME公△NMF,證得四邊形EMFB是正方形即可解決問題；

【詳解】

連接AC交BD于0,作ME_LAB于E,MF_LBC于F,延長CB到H,使得BH=DQ.

?.?四邊形ABCD是正方形，

AACIBD,AC=7^AD=2&,OA=OC=0,ZDBA=ZDBC=45°,

；.ME=MF,

ZMEB=ZMFB=ZEBF=90",

四邊形EMFB是矩形，

VME=MF,

四邊形EMFB是正方形，

.,.ZEMF=ZAMN=90°,

AZAME=ZNMF,

：NAEM=NMFN=90°,

.,.△AME^ANMF(ASA),

；.AM=MN,故①正確；

VZOAM+ZAMO=90°,ZAMO+ZNMP=90°,

AZAMO=ZMNP,

VZAOM=ZNPM=90°,

/.△AOM^AMPN(AAS),

.?.PM=OA=&,故②正確；

VDQ=BH,AD=AB,ZADQ=ZABH=90°,

AZADQ^AABH(SAS),

；.AQ=AH,ZQAD=ZBAH,

ZBAH+ZBAQ=ZDAQ+ZBAQ=90°,

：AM=MN,NAMN=90°,

，/MAN=45°,

AZNAQ=ZNAH=45",

.".△ANQ^AANH(SAS),

NQ=NH=BN+BH=BN+DQ,

...△CNQ的周長=CN+CQ+BN+DQ=4,故③錯(cuò)誤；

,.■BD+2BP=2BO+2BP=2AO+2BP=2PM+2BP,

；.BD+2BP=2BM,故④正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

二、填空題

11.200m

【分析】

如圖，延長AC、BD交于點(diǎn)E,延長HK交AE于F,延長NJ交FH于M,則四邊形EDHF,

四邊形MNCF,四邊形MKGJ是平行四邊形，AABC是等邊三角形，由此即可解決問題.

【詳解】

如圖，延長AC、BD交于點(diǎn)E,延長HK交AE于F,延長NJ交FH于M

E

由題意可知，四邊形EDHF,四邊形MNCF,四邊形MKGJ是平行四邊形

：/A=NB=60°

ZE=18()一ZA—NB=6()

??.△ABC是等邊三角形

.,.ED=FM+MK+KH=CN+JG+HK,EC=EF+FC=JN+KG+DH

九曲橋"的總長度是AE+EB=2AB=200m

故答案為：200m.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形、等邊三角形、三角形內(nèi)角和的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行

四邊形、等邊三角形、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，從而完成求解.

12.472

【分析】

首先由對(duì)邊分別平行可判斷四邊形ABCD為平行四邊形，連接AC和BD,過A點(diǎn)分別作DC

和BC的垂線，垂足分別為F和E,通過證明4ADF2△ABC來證明四邊形ABCD為菱形，

從而得到AC與BD相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD長度.

【詳解】

解：連接AC和BD,其交點(diǎn)為。，過A點(diǎn)分別作DC和BC的垂線，垂足分別為F和E,

,/ABIICD,ADIIBC,

???四邊形ABCD為平行四邊形，

ZADF=ZABE,

???兩紙條寬度相同，

AF=AE,

'ZADF=NABE

<ZAFD=ZAEB=90°

AF^AE

：.△ADF2△ABE,

AD=AB,

A四邊形ABCD為菱形，

AC與BD相互垂直平分，

BD=2y/AB2-AO2=472

故本題答案為：4后

【點(diǎn)睛】

本題考察了菱形的相關(guān)性質(zhì)，綜合運(yùn)用了三角形全等和勾股定理，注意輔助線的構(gòu)造一定

要從相關(guān)條件以及可運(yùn)用的證明工具入手，不要盲目作輔助線.

13.8

【分析】

通過作輔助線使得△CAOgaGBO,證明ACOG為等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG

后，即可求出BC的長.

【詳解】

如圖，延長CB到點(diǎn)G,使BG=AC.

?根據(jù)題意，四邊形ABED為正方形，

Z4=Z5=45°,NEBA=90°,

.".Zl+Z2=90°

又?.?三角形BCA為直角三角形，AB為斜邊，

Z2+Z3=90°

.,.Z1=Z3

.,.Z1+Z5=Z3+Z4,故NCAO=NGBO,

在△CAO和△GBO中，

CA=GB

<ZCAO=NGBO

AO=BO

故△CAOg/XGBO,

.*.CO=GO=6&，Z7=Z6,

VZ7+Z8=90",

N6+/8=90°,

...三角形COG為等腰直角三角形，

CG=J。。？+G02=“6夜『+(6⑹*=12，

'：CG=CB+BG,

CB=CG—BG=12—4=8,

故答案為8.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和

性質(zhì)，根據(jù)題意建立正確的輔助線以及掌握正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾

股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

14.

【分析】

根據(jù)幾何圖形特征，先求出G、。2、G，根據(jù)求出的結(jié)果，找出規(guī)律，從而得出。2020?

【詳解】

,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),ED〃AB,EF〃AC

，DE、EF是AABC的中位線

?.?等邊4ABC的邊長為1

1

，AD=DE=EF=AF=-

2

則C=gx4=2

同理可求得：。2=1，C3=1

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：規(guī)律為依次縮小為原來的上

2

02020=/i?

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查找規(guī)律和中位線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是求解出幾組數(shù)據(jù)，根據(jù)求解的數(shù)據(jù)尋找規(guī)

律.

15.①②③④

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS可證明△ABGgaAEC,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷①；

設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)MAC、8G相交于點(diǎn)K,如圖1,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得

ZACE=ZAGB,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得/CNG=NCAG=90。，于是可判斷②；

過點(diǎn)￡作EP_LH4的延長線于P,過點(diǎn)G作GQ_LAM于Q,如圖2,根據(jù)余角的性質(zhì)即可判

斷④；利用AAS即可證明△ABH咨Z\EAP,可得EP=AH,同理可證GQ=AH,從而得到EP

=GQ,再利用AAS可證明△白＞"也△GQM,可得EM=GM,從而可判斷③，于是可得答

案.

【詳解】

解：ABDEACFG,AB=AE,AC=AG,ZBAE=ZCAG=90°,

：.ZBAE+ZBAC=ZCAG+ZBAC,

即NCAE=/8AG,

A/\ABG^/\AEC(SAS),

：.BG=CE,故①正確；

設(shè)8G、CE相交于點(diǎn)N,AC、BG相交于點(diǎn)K,如圖1,

圖1

/^ABG^/XAEC,

：.NACE=ZAGB,

'：NAKG=NNKC,

：.ZCNG=ZCAG=90°,

：.BG±CE,故②正確；

過點(diǎn)￡作EPLHA的延長線于P,過點(diǎn)G作GQJ_AM于Q,如圖2,

圖2

"：AH±BC,

：.NABU+N8AH=90°,

'：ZBAE=90°,

：.ZEAP+ZBAH=9O,>,

；.NABH=NEAP,即/E4/W=NA8C,故④正確;

VZAHB=ZP=9OQ,AB=AE,

公AEAPCAAS),

：.EP=AH,

同理可得GQ=AH,

：.EP=GQ,

;在AEPM和△GQM中，

2P=NMQG=90。

<NEMP=ZGMQ,

EP=GQ

：./\EPM^/\GQM(A4S),

：.EM=GM,

...AM是的中線，故③正確.

綜上所述，①②③④結(jié)論都正確.

故答案為：①②③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線

構(gòu)造出全等三角形是難點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵.

16.8或12

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BC=AD=5,ZBAE=ZDEA,ZABF=ZBFC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)

得到DE=AD=5,CF=BC=5,即可求出答案.

【詳解】

在ABC。中，AB〃CD,BC=AD=5,

AZBAE=ZDEA,/ABF=NBFC,

?/的平分線交CD于點(diǎn)E,

AZBAE=ZDAE,

AZDAE=ZDEA,

；.DE=AD=5,

同理：CF=BC=5,

AAB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12,

故答案為：8或12.

【點(diǎn)睛】

此題考查平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的等角對(duì)等邊的判定，解題中

注意分類思想的運(yùn)用，避免漏解.

17.3亞

【詳解】

解析：?.,在正方形ABCD中，AC=6/，

；.AB=AD=BC=DC=6,ZEAD=45°

設(shè)EF與AD交點(diǎn)為。，。是AD的中點(diǎn)，

，A0=3

以AD為對(duì)角線的所有口AEDF中，當(dāng)EF_LAC時(shí)，EF最小，

即aAOE是直角三角形，

歷%5

VZAEO=90°,ZEAD=45°,0E=—0A=——,

22

；.EF=2OE=3五

18.6+66

【分析】

通過四邊形ABCD是矩形以及CE=CB=BE,得到△FEM是等邊三角形，根據(jù)含30。直

角三角形的性質(zhì)以及勾股定理得到KM,NK,KE的值，進(jìn)而得到NE的值，再利用30。直角

三角形的性質(zhì)及勾股定理得到BN,BE即可.

【詳解】

解：如圖，設(shè)NE交AD于點(diǎn)K,

:四邊形ABCD是矩形，

；.AD〃BC,ZABC=90",

AZMFE=ZFCB,ZFME=ZEBC

CE=CB=BE,

...△BCE為等邊三角形，

AZBEC=ZECB=ZEBC=60°,

VZFEM=ZBEC,

ZFEM=ZMFE=ZFME=60",

.二△FEM是等邊三角形，F(xiàn)M=FE=EM=2,

VENXBE,

，/NEM=NNEB=90°,

，/NKA=NMKE=30°,

；.KM=2EM=4,NK=2AN=6,

二在RSKME中，KE=yjKM2-EM2=2G，

，NE=NK+KE=6+2百，

VZABC=90°,

，NABE=30°,

.\BN=2NE=12+4A/3-

二BE=^BN2-NE2=6+66，

；.BC=BE=6+65

故答案為：6+66

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形，等邊三角形的性質(zhì)，以及含30。直角三角形的性質(zhì)與勾股定理的應(yīng)用,

解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用30。直角三角形的性質(zhì).

19.26

【分析】

根據(jù)EW是mZXABE斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可

求出￡河的長；根據(jù)已知條件推導(dǎo)出DME是等邊三角形,且邊長為2,進(jìn)一步計(jì)算即

可得解.

【詳解】

解：VAD1BC,M為A6邊的中點(diǎn)，AB=4

在Rt△AD中，DM=AM=—AB=—x4=2

22

同理，在HfAABE中，EA/=AW=LAB='X4=2

22

：.ZMDA二ZMAD，ZMEA二ZMAE

,/ABME=ZMEA+/MAE=2ZMAE，ZBMD=ZMDA+ZMAD=2ZMAD

；?ZDME=ZBME-ZBMD

=2ZMAE_2AMAD

=2(ZMAE-ZMAD)

=2NDAC

=60°

DM=EM

；?DME是等邊三角形,且邊長為2

SEDM=萬"2x百=6

故答案是：2:yfi

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、三角形的外角定理、角的和差以及等邊三角

形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是進(jìn)行推理論證的前提.

20.2

【分析】

分別延長AE,BF交于點(diǎn)H,易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出點(diǎn)G為PH的中點(diǎn)，則

G的運(yùn)動(dòng)軌跡為aHCD的中位線MN,再求出CD的長度，運(yùn)用中位線的性質(zhì)求出MN的長

度即可.

【詳解】

解：如圖，分別延長AE,BF交于點(diǎn)H,

VZA=ZFPB=60°,

AAHIIPF,

VZB=ZEPA=60°,

ABHIIPE

...四邊形EPFH為平行四邊形，

AEF與HP互相平分，

；點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，

，點(diǎn)G為PH的中點(diǎn)，即在P運(yùn)動(dòng)的過程中，G始終為PH的中點(diǎn),

：.G的運(yùn)動(dòng)軌跡為△HCD的中位線MN,

VCD=6-1-1=4,

AMN=-CZ)=2,

2

.?.點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長是2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形及中位線的性質(zhì)，以及動(dòng)點(diǎn)的問題，是中考熱點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是得

出G的運(yùn)動(dòng)軌跡為AHCD的中位線MN.

三、解答題

21.EF=13.

【分析】

首先連接AD,由AABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜邊BC的中點(diǎn)，可得：AD=DC,

ZEAD=ZC=45°,AD±BC,即NCDF+NADF=90。，又DEJ_DF,可得：ZEDA+ZADF=900,故

ZEDA=ZCDF,從而可證：4AED嶺ACFD；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=CF=5,進(jìn)而得

出BE=AF=12.然后在RtZiAEF中，運(yùn)用勾股定理可將EF的值求出；

【詳解】

解：連接AD.

???△ABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜邊BC的中點(diǎn),

:.AD=DC=DB,AD±BC,

ZBAD=NC=45°,

,/ZEDA+NADF=9Q°,

又「ZCDF+NADF=90°,

/.ZEDA=Z.CDF.

在AAED與小CFD中，

NEDA=NFDC

<AD=CD,

ZEAD=ZC

△AED^△CFD(ASA).

AE=CF=5.

???AB=AC,

：.BE=AF=12.

在RtAAEF中，

■1,ZEAF=90°,

EF2=AE2+AF2=52+122=169.

EF=13.

【點(diǎn)睛】

本題考查等腰直角三角形，直角三角形斜邊上的中線，掌握等腰三角形“三線合一”的性

質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)為解題關(guān)鍵.

22.(1)見解析；(2)24；(3)4=5.

【分析】

(1)證NBCW=NCEA=90°,ZCAE=ZABD,由/US證明即可；

(2)連接CE,交AF于。，由菱形的性質(zhì)得/COA=NADB=90°,同(1)得

△48。畛△CA。(AAS),得。C=AD=3,0A=BD=4,由三角形面積公式求出50"=6,

即可得出答案；

(3)過E作EM_LH/的延長線于過點(diǎn)G作GN_LH/于N,同(1)得△ACH冬AEAM

(AAS),△ABH絲△GAN(AAS),得EM=AH=GN,證△￡“/絲△GM(AAS)，得日=

GI,證/EAG=90”,由勾股定理求出EG=10,再由直角三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】

(1)證明：：8DJ_直線/,CE_L直線/,

：.ZBDA=ZCEA^90°,

,：ZBAC=90°,

：.ZBAD+ZCAE=90°

'：ZBAD+ZABD=90°,

：.ZCAE=ZABD

在△A8D和△CAE中，

ZABD=ZCAE

<NBDA=NCE4,

AB^AC

...△AB。絲△CAE(AAS)；

(2)解：連接CE,交AF于O,如圖②所示:

?..四邊形AEFC是菱形，

：.CE1AF9

：.ZCOA=ZADB=90°,

同(1)得：/\ABD^ACAOCAAS),

：.OC=AD=3fO4=BD=4,

11

??S^AOC——OA9OC=-X4X3=6,

22

S菱形AEFC=4s/\AOC=4X6=24,

故答案為：24；

(3)解：過E作的延長線于M,過點(diǎn)G作GN_L”/于N,如圖③所示:

/E/M/=NGN/=90°,

四邊形ACDE和四邊形ABFG都是正方形，

：.ZCAE=ZBAG=90°,AC=AE=8,AB=AG=6,

同(1)得：AAC曄AEAM(AAS),△ABH四△GAN(AAS),

：.EM=AH=GN,

在△￡“/和△GN/中，

"EIM=ZGIH

<NEMI=NGN1,

EM=GN

：./\EMI^/\GNI(AAS),

：.EI=GI,

；?/是EG的中點(diǎn)，

VZCAE=ZBAG=ZBAC=90",

AZMG=90°,

在RtAE^G中，EG=^AE2+AG2=782+62=10，

:/是EG的中點(diǎn)，

11

—EG=—X10=5.

22

圖③

【點(diǎn)睛】

本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全

等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理、三角形面積等知識(shí)；

本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

23.(1)見解析；(2)當(dāng)ADC滿足NAZ)C=90°時(shí)，四邊形OCRD為菱形，證明詳

見解析

【分析】

(1)證明四邊形OCFD是平行四邊形，得出OD=CF,證出OB=CF,再證明全等即可(2)

證出四邊形ABCD是矩形，由矩形的性質(zhì)得出OC=OD,即可得出四邊形OCFD為菱形.

【詳解】

(1)證明：：CF//BD,DF//AC,

四邊形OCFD是平行四邊形，NOBE=NCFE,

OD=CF,

V四邊形ABC0是平行四邊形，

，OB=OD,

OB=CF,

NOBE=ZCFE

在和△BOE中，＜N