第十章排列、組合和二項式定理§10.1兩個計數(shù)原理基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測1.（2009·岳陽模擬）有不同顏色的四件上衣與不同顏色的三件長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù) （ ）A.7 B.64 C.12 D.81答案C2.從3名女同學和2名男同學中選1人主持本班的某次主題班會，則不同的選法種數(shù)為 （）A.6 B.5 C.3 D.2答案B3.一個乒乓球隊里有男隊員5人，女隊員4人，從中選出男、女隊員各一名組成混合雙打，共有不同的選法種數(shù)為（）A.9 B.20 C.54 D.45答案B4.（2009·宜昌模擬）將4個不同的小球放入3個不同的盒子，其中每個盒子都不空的放法共有 （）A.34種 B.43種 C.18種 D.36種答案D5.有一項活動需在3名老師，8名男同學和5名女同學中選人參加，（1）若只需一人參加，有多少種不同的選法？（2）若需一名老師，一名學生參加，有多少種不同的選法？（3）若只需老師，男同學，女同學各一人參加，有多少種不同的選法？解（1）“完成這件事”只需從老師、學生中選1人即可，共有3+8+5=16種.(2)“完成這件事”需選2人，老師、學生各1人，分兩步進行：選老師有3種方法，選學生有8+5=13種方法，共有3×13=39種方法.(3)“完成這件事”需選3人，老師、男同學、女同學各一人，可分三步進行，選老師有3種方法，選男同學有8種方法，選女同學有5種方法，共有3×8×5=120種方法.例1在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？解方法一按十位數(shù)上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個.由分類加法計數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)的個數(shù)共有：8+7+6+5+4+3+2+1=36（個）.方法二按個位數(shù)字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個，所以按分類計數(shù)原理共有：1+2+3+4+5+6+7+8=36（個）.例2已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的點(a,b∈M),問:(1)P可表示平面上多少個不同的點?(2)P可表示平面上多少個第二象限的點?(3)P可表示多少個不在直線y=x上的點?解（1）確定平面上的點P(a,b)可分兩步完成：第一步確定a的值，共有6種確定方法；第二步確定b的值，也有6種確定方法.根據(jù)分步計數(shù)原理，得到平面上的點數(shù)是6×6=36.（2）確定第二象限的點，可分兩步完成：第一步確定a，由于a＜0,所以有3種確定方法；第二步確定b,由于b＞0，所以有2種確定方法.由分步計數(shù)原理，得到第二象限點的個數(shù)是3×2=6.（3）點P（a,b)在直線y=x上的充要條件是a=b.因此a和b必須在集合M中取同一元素，共有6種取法，即在直線y=x上的點有6個.由（1）得不在直線y=x上的點共有36-6=30個.例3（12分）現(xiàn)有高一四個班學生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學課外小組.（1）選其中一人為負責人，有多少種不同的選法？（2）每班選一名組長，有多少種不同的選法？（3）推選二人作中心發(fā)言，這二人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？解（1）分四類：第一類，從一班學生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學生中選1人，有10種選法.所以，共有不同的選法N=7+8+9+10=34（種）. 3分（2）分四步，第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學生中選一人任組長，所以共有不同的選法N=7×8×9×10=5040（種）. 6分（3）分六類，每類又分兩步，從一、二班學生中各選1人，有7×8種不同的選法；從一、三班學生中各選1人，有7 ×9種不同的選法；從一、四班學生中各選1人，有7×10種不同的選法；從二、三班學生中各選1人，有8×9種不同的選法；從二、四班學生中各選1人，有8×10種不同的選法；從三、四班學生中各選1人，有9×10種不同的選法， 10分所以共有不同的選法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431（種）. 12分1.從1到20這20個整數(shù)中,任取兩個相加,使其和大于20,共有幾種取法?解當一個加數(shù)是1時,另一個加數(shù)只能是20,1種取法.當一個加數(shù)是2時,另一個加數(shù)可以是19,20,2種取法.當一個加數(shù)是3時,另一個加數(shù)可以是18,19,20,3種取法.……當一個加數(shù)是10時,另一個加數(shù)可以是11,12,…,20,10種取法.當一個加數(shù)是11時,另一個加數(shù)可以是12,13,…,20,9種取法.……當一個加數(shù)是19時,另一個加數(shù)是20,1種取法.由分類原理可得共有1+2+3+…+10+9+8+…+1=100種取法.2.某體育彩票規(guī)定：從01到36共36個號中抽出7個號為一注，每注2元.某人想先選定吉利號18，然后從01至17中選3個連續(xù)的號，從19至29中選2個連續(xù)的號，從30至36中選1個號組成一注.若這個人要把這種要求的號全買下，至少要花多少元錢？解先分三步選號，再計算總錢數(shù).按號段選號，分成三步.第一步從01至17中選3個連續(xù)號，有15種選法；第二步從19至29中選2個連續(xù)號，有10種選法；第三步從30至36中選1個號，有7種選法.由分步計數(shù)原理可知，滿足要求的號共有15×10×7=1050(注),故至少要花1050×2=2100(元).3.某校高中部，高一有6個班，高二有7個班，高三有8個班，學校利用星期六組織學生到某廠進行社會實踐活動.（1）任選1個班的學生參加社會實踐，有多少種不同的選法？（2）三個年級各選一個班的學生參加社會實踐，有多少種不同的選法？（3）選2個班的學生參加社會實踐，要求這2個班不同年級，有多少種不同的選法？解（1）分三類：第一類從高一年級選1個班，有6種不同方法；第二類從高二年級選一個班，有7種不同方法；第三類從高三年級選1個班，有8種不同方法.由分類計數(shù)原理，共有6+7+8=21種不同的選法.（2）每種選法分三步：第一步從高一年級選一個班，有6種不同方法；第二步從高二年級選1個班，有7種不同方法；第三步從高三年級選1個班，有8種不同方法.由分步計數(shù)原理，共有6×7×8=336種不同的選法.（3）分三類，每類又分兩步.第一類從高一、高二兩個年級各選一個班，有6×7種不同方法；第二類從高一、高三兩個年級各選1個班，有6×8種不同方法；第三類從高二、高三年級各選一個班，有7×8種不同的方法，故共有6×7+6×8+7×8=146種不同選法.一、選擇題1.5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有 ()A.10種 B.20種 C.25種 D.32種答案D2.某通訊公司推出一組手機卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000個號碼，公司規(guī)定：凡卡號的后四位中帶有數(shù)字“4”或“7”的一律作為優(yōu)惠卡，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為 A.2000 B.4096 C.5904 D.8320答案C3.從集合{1，2，3，…，10}中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為（）A.3 B.4 C.6 D.8答案D4.如圖所示，用五種不同的顏色分別給A、B、C、D四個區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有 （）A.180種 B.120種 C.96種 D.60種答案A5.一植物園參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復，則不同的參觀路線種數(shù)共有（）A.6種 B.8種 C.36種 D.48種答案D6.（2008·全國Ⅰ文，12）將1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都沒有重復數(shù)字，右面是一種填法，則不同的填寫方法共有 ()A.6種 B.12種 C.24種 D.48種答案B二、填空題7.在2008年奧運選手選拔賽上，8名男運動員參加100米決賽.其中甲、乙、丙三人必須在1、2、3、4、5、6、7、8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有種.答案28808.若一個m,n均為非負整數(shù)的有序數(shù)對（m,n)，在做m+n的加法時各位均不會進位，則稱（m,n)為“簡單的”有序數(shù)對，m+n稱為有序數(shù)對（m,n)的值，那么值為1942的“簡單的”有序數(shù)對的個數(shù)是.答案300三、解答題9.（1）4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，共有多少種報名方法？（2）4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？解（1）要完成的是“4名同學每人從三個項目中選一項報名”這件事，因為每人必報一項，四個都報完才算完成，于是按人分步，且分為四步，又每人可在三項中選一項，選法為3種，所以共有：3×3×3×3=81種報名方法.（2）完成的是“三個項目冠軍的獲取”這件事，因為每項冠軍只能有一人獲得，三項冠軍都有得主，這件事才算完成，于是應(yīng)以“確定三項冠軍得主”為線索進行分步.而每項冠軍是四人中的某一人，有4種可能的情況，于是共有：4×4×4=43=64種可能的情況.10.用5種不同的顏色給圖中所給出的四個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，若要求相鄰（有公共邊）的區(qū)域不同色，那么共有多少種不同的涂色方法？1324解完成該件事可分步進行.涂區(qū)域1，有5種顏色可選.涂區(qū)域2，有4種顏色可選.涂區(qū)域3，可先分類：若區(qū)域3的顏色與2相同，則區(qū)域4有4種顏色可選.若區(qū)域3的顏色與2不同，則區(qū)域3有3種顏色可選，此時區(qū)域4有3種顏色可選.所以共有5×4×（1×4+3×3）=260種涂色方法.11.在平面直角坐標系內(nèi)，點P（a，b）的坐標滿足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}的元素,又點P到原點的距離|OP|≥5.求這樣的點P的個數(shù).解按點P的坐標a將其分為6類:(1)若a=1,則b=5或6,有2個點;(2)若a=2,則b=5或6,有2個點;(3)若a=3,則b=5或6或4,有3個點;(4)若a=4,則b=3或5或6,有3個點;(5)若a=5,則b=1,2,3,4,6,有5個點; (6)若a=6,則b=1,2,3,4,5,有5個點;∴共有2+2+3+3+5+5=20（個）點.12.將3種作物種植在如圖所示的5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一種作物，不同的種植方法共有多少種？解設(shè)由左到右五塊田中要種a,b,c三種作物，不妨先設(shè)第一塊種a,則第二塊可種b,c,有兩種選法.同理，如果第二塊種b,則第三塊可種a和c,也有兩種選法，由分步乘法計數(shù)原理共有1×2×2×2×2=16.其中要去掉ababa和acaca兩種方法.故a種作物種在第一塊田中時的種法數(shù)有16-2=14（種）.同理b種或c種作物種在第一塊田中時的種法數(shù)也都為14種.所以符合要求的種植方法共有3×(2×2×2×2-2)=3×(16-2)=42(種).§10.2排列、組合及其應(yīng)用基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測1.從1，2，3，4，5，6六個數(shù)字中，選出一個偶數(shù)和兩個奇數(shù)，組成一個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有（）A.9個 B.24個 C.36個 D.54個答案D2.（2008·福建理，7）某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為 （）A.14 B.24 C.28 D.48答案A3.（2009·成都市第一次診斷性檢測）某學校有教職工100人，其中教師80人，職員20人，現(xiàn)從中選取10人組成一個考察團外出學習考察，則這10人中恰好有8名教師的不同選法種數(shù)是 （）A. B. C. D.答案D4.在100件產(chǎn)品中有6件次品，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，至少有1件次品的不同取法種數(shù)是 （）A. B. C. D.答案C5.（2008·上海理，12）組合數(shù)（n＞r≥1,n、r∈Z）恒等于 （）A. B.(n+1)(r+1)C.nr D.答案D例1六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？（1）甲不站兩端；（2）甲、乙必須相鄰；（3）甲、乙不相鄰；（4）甲、乙之間間隔兩人；（5）甲、乙站在兩端；（6）甲不站左端，乙不站右端.解（1）方法一要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個位置上任選1個，有種站法，然后其余5人在另外5個位置上作全排列有種站法，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有站法：·=480（種）.方法二由于甲不站兩端，這兩個位置只能從其余5個人中選2個人站，有種站法，然后中間4人有種站法，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有站法：·=480（種）.方法三若對甲沒有限制條件共有種站法，甲在兩端共有2種站法，從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)，即共有站法：-2=480（種）.（2）方法一先把甲、乙作為一個“整體”，看作一個人，和其余4人進行全排列有種站法，再把甲、乙進行全排列，有種站法，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有·=240（種）站法.方法二先把甲、乙以外的4個人作全排列，有種站法，再在5個空檔中選出一個供甲、乙放入，有種方法，最后讓甲、乙全排列，有種方法，共有··=240（種）.（3）因為甲、乙不相鄰，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的4個人站隊，有種站法；第二步再將甲、乙排在4人形成的5個空檔（含兩端）中，有種站法，故共有站法為·=480（種）.也可用“間接法”，6個人全排列有種站法，由（2）知甲、乙相鄰有·=240種站法，所以不相鄰的站法有-·=720-240=480（種）.（4）方法一先將甲、乙以外的4個人作全排列，有種，然后將甲、乙按條件插入站隊，有3種，故共有·（3）=144（種）站法.方法二先從甲、乙以外的4個人中任選2人排在甲、乙之間的兩個位置上，有種，然后把甲、乙及中間2人看作一個“大”元素與余下2人作全排列有種方法，最后對甲、乙進行排列，有種方法，故共有··=144（種）站法.（5）方法一首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有種，再讓其他4人在中間位置作全排列，有種，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有·=48（種）站法.方法二首先考慮兩端兩個特殊位置，甲、乙去站有種站法，然后考慮中間4個位置，由剩下的4人去站，有種站法，由分步計數(shù)原理共有·=48（種）站法.（6）方法一甲在左端的站法有種，乙在右端的站法有種，且甲在左端而乙在右端的站法有種，共有-2+=504（種）站法.方法二以元素甲分類可分為兩類：①甲站右端有種站法，②甲在中間4個位置之一，而乙不在右端有··種，故共有+··=504（種）站法.例2（12分）男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1人.選派5人外出比賽.在下列情形中各有多少種選派方法？（1）男運動員3名，女運動員2名；（2）至少有1名女運動員；（3）隊長中至少有1人參加；（4）既要有隊長，又要有女運動員.解（1）第一步：選3名男運動員，有種選法.第二步：選2名女運動員，有種選法.共有·=120種選法. 3分（2）方法一至少1名女運動員包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分類計數(shù)原理可得總選法數(shù)為=246種. 6分方法二“至少1名女運動員”的反面為“全是男運動員”可用間接法求解.從10人中任選5人有種選法，其中全是男運動員的選法有種.所以“至少有1名女運動員”的選法為-=246種. 6分（3）方法一可分類求解：“只有男隊長”的選法為；“只有女隊長”的選法為；“男、女隊長都入選”的選法為；所以共有2+=196種選法. 9分方法二間接法：從10人中任選5人有種選法.其中不選隊長的方法有種.所以“至少1名隊長”的選法為-=196種. 9分（4）當有女隊長時，其他人任意選，共有種選法.不選女隊長時，必選男隊長，共有種選法.其中不含女運動員的選法有種，所以不選女隊長時的選法共有-種選法.所以既有隊長又有女運動員的選法共有+-=191種. 12分例34個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).（1）恰有1個盒不放球，共有幾種放法？（2）恰有1個盒內(nèi)有2個球，共有幾種放法？（3）恰有2個盒不放球，共有幾種放法？解（1）為保證“恰有1個盒不放球”，先從4個盒子中任意取出去一個，問題轉(zhuǎn)化為“4個球，3個盒子，每個盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把4個球分成2，1，1的三組，然后再從3個盒子中選1個放2個球，其余2個球放在另外2個盒子內(nèi)，由分步計數(shù)原理，共有=144種.（2）“恰有1個盒內(nèi)有2個球”，即另外3個盒子放2個球，每個盒子至多放1個球，也即另外3個盒子中恰有一個空盒，因此，“恰有1個盒內(nèi)有2個球”與“恰有1個盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法.（3）確定2個空盒有種方法.4個球放進2個盒子可分成（3，1）、（2，2）兩類，第一類有序不均勻分組有種方法；第二類有序均勻分組有·種方法.故共有（+·）=84種.1.用0、1、2、3、4、5這六個數(shù)字，可以組成多少個分別符合下列條件的無重復數(shù)字的四位數(shù)：①奇數(shù)；②偶數(shù)；③大于3125的數(shù).解①先排個位，再排首位，共有··=144（個）.②以0結(jié)尾的四位偶數(shù)有個，以2或4結(jié)尾的四位偶數(shù)有··個，則共有+··=156（個）.③要比3125大，4、5作千位時有2個，3作千位，2、4、5作百位時有3個，3作千位，1作百位時有2個，所以共有2+3+2=162（個）.2.某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)選派5名參加賑災醫(yī)療隊，其中（1）某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？（2）甲、乙均不能參加，有多少種選法？（3）甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？（4）隊中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？解（1）只需從其他18人中選3人即可，共有=816（種）；（2）只需從其他18人中選5人即可，共有=8568（種）；（3）分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有+=6936（種）；（4）方法一（直接法）至少一名內(nèi)科醫(yī)生一名外科醫(yī)生的選法可分四類：一內(nèi)四外；二內(nèi)三外；三內(nèi)二外；四內(nèi)一外，所以共有=14656（種）.方法二（間接法）由總數(shù)中減去五名都是內(nèi)科醫(yī)生和五名都是外科醫(yī)生的選法種數(shù)，得=14656(種）.3.有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三組；（2）分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；（3）分成每組都是2本的三組；（4）分給甲、乙、丙三人，每人2本.解（1）分三步：先選一本有種選法；再從余下的5本中選2本有種選法；對于余下的三本全選有種選法，由分步計數(shù)原理知有=60種選法.（2）由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配的問題，因此共有=360種選法.（3）先分三步，則應(yīng)是種選法，但是這里面出現(xiàn)了重復，不妨記六本書為A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為（AB，CD，EF），則種分法中還有（AB、EF、CD），（CD、AB、EF）、（CD、EF、AB）、（EF、CD、AB）、（EF、AB、CD）共有種情況，而且這種情況僅是AB、CD、EF的順序不同，因此，只算作一種情況，故分法有=15種.（4）在問題（3）的工作基礎(chǔ)上再分配，故分配方式有=90種.一、選擇題1.用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有 （）A.60個 B.48個 C.36個 D.24個答案C2.將編號為1，2，3，4，5的五個球放入編號為1，2，3，4，5的五個盒子里，每個盒子內(nèi)放一個球，若恰好有三個球的編號與盒子編號相同，則不同投放方法的種數(shù)為 （）A.6 B.10 C.20 D.30答案B3.記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有()A.1440種 B.960種 C.720種 D.480種答案B4.在圖中，“構(gòu)建和諧社會，創(chuàng)美好未來”，從上往下讀（不能跳讀），共有不同的讀法種數(shù)是 （）構(gòu)建建和和和諧諧諧諧社社社社社會會會會會會創(chuàng)創(chuàng)創(chuàng)創(chuàng)創(chuàng)美美美美好好好未未來A.250 B.240 C.252 D.300答案C5.(2008·天津理，10)有8張卡片分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為5，則不同的排法共有 （）A.1344種 B.1248種 C.1056種 D.960種答案B6.（2008·安徽理，12）12名同學合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是 （）A. B. C. D.答案C二、填空題7.（2008·海淀模擬）平面內(nèi)有四個點，平面內(nèi)有五個點，從這九個點中任取三個，最多可確定個平面，任取四點，最多可確定個四面體（用數(shù)字作答）答案721208.（2008·浙江理，16）用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復數(shù)字），要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰.這樣的六位數(shù)的個數(shù)是（用數(shù)字作答）.答案40三、解答題9.某外商計劃在4個候選城市投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，求該外商不同的投資方案有多少種？解可先分組再分配，據(jù)題意分兩類，一類：先將3個項目分成兩組，一組有1個項目，另一組有2個項目，然后再分配給4個城市中的2個，共有種方案；另一類1個城市1個項目，即把3個元素排在4個不同位置中的3個，共有種方案.由分類計數(shù)原理可知共有=60種方案.10.課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？（1）只有一名女生；（2）兩隊長當選；（3）至少有一名隊長當選；（4）至多有兩名女生當選.分析解組合問題常從特殊元素入手.解（1）一名女生，四名男生，故共有=350（種）.（2）將兩隊長作為一類，其他11人作為一類，故共有=165（種）.（3）至少有一名隊長含有兩類：有一名隊長和兩名隊長.故共有：+=825（種）.或采用間接法：-=825（種）.（4）至多有兩名女生含有三類：有兩名女生、只有一名女生、沒有女生.故選法為++=966（種）.11.已知平面∥，在內(nèi)有4個點，在內(nèi)有6個點.（1）過這10個點中的3點作一平面，最多可作多少個不同平面？（2）以這些點為頂點，最多可作多少個三棱錐？（3）上述三棱錐中最多可以有多少個不同的體積？解（1）所作出的平面有三類：①內(nèi)1點，內(nèi)2點確定的平面，有個；②內(nèi)2點，內(nèi)1點確定的平面，有個；③，本身.∴所作的平面最多有++2=98（個）.（2）所作的三棱錐有三類：①內(nèi)1點，內(nèi)3點確定的三棱錐，有個；②內(nèi)2點，內(nèi)2點確定的三棱錐，有個；內(nèi)3點，內(nèi)1點確定的三棱錐，有個.∴最多可作出的三棱錐有：=194（個）（3）∵當?shù)鹊酌娣e、等高的情況下三棱錐的體積相等.且平面∥，∴體積不相同的三棱錐最多有=114（個）12.有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，共有多少種不同排法？解∵前排中間3個座位不能坐，∴實際可坐的位置前排8個，后排12個.（1）兩人一個前排，一個后排，方法數(shù)為種；（2）兩人均在后排左右不相鄰，共種；（3）兩人均在前排，又分兩類：①兩人一左一右，共種；②兩人同左同右，有2（）種.綜上可知，不同排法種數(shù)為=346種.§10.3二項式定理及其應(yīng)用基礎(chǔ)自測1.在（1+x）n(n∈N*)的二項展開式中，若只有x5的系數(shù)最大，則n等于 （）A.8 B.9 C.10 D.11答案C2.（2009·成都市第一次診斷性檢測）的展開式中第3項是 （）A.-84x3 B.84x3 C.-36x5 D.36x5答案D3.若多項式(x+1）n-(x+1)n-1+…+(-1)r(x+1)n-r+…+(-1)n=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,則a0+a1+…+an-1+an等于（）A.2n B.0 C.-1 D.1答案D4.（2008·山東理，9）的展開式中的常數(shù)項為 （）A.-1320 B.1320 C.-220 D.220答案C5.（2008·福建理，13）若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a1+a2+a3+a4+a5=.（用數(shù)字作答）答案31例1在二項式的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項和二項式系數(shù)最大的項.解∵二項展開式的前三項的系數(shù)分別是1，，n（n-1），∴2·=1+n（n-1），解得n=8或n=1（不合題意，舍去），∴Tk+1=，當4-k∈Z時，Tk+1為有理項，∵0≤k≤8且k∈Z,∴k=0，4，8符合要求.故有理項有3項，分別是T1=x4，T5=x，T9=x-2.∵n=8，∴展開式中共9項，中間一項即第5項的二項式系數(shù)最大.T5=x.例2已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.解令x=1,則a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1 ①令x=-1,則a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37 ②(1)∵a0==1,∴a1+a2+a3+…+a7=-2.(2)(①-②)÷2,得a1+a3+a5+a7==-1094.(3)(①+②)÷2,得a0+a2+a4+a6==1093.(4)∵(1-2x)7展開式中,a0,a2,a4,a6都大于零,而a1,a3,a5,a7都小于零,∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7),∴由(2)、（3）即可得其值為2187.例3（12分）（1）已知n∈N*,求證：1+2+22+23+…+25n-1能被31整除；（2）求0.9986的近似值，使誤差小于0.001.（1）證明∵1+2+22+23+…+25n-1==25n-1=32n-1 3分=（31+1）n-1=31n+·31n-1+·31n-2+…+·31+1-1=31（31n-1+·31n-2+…+） 5分顯然括號內(nèi)的數(shù)為正整數(shù)，故原式能被31整除. 6分（2）解∵0.9986=（1-0.002）6=1-（0.002）+（0.002）2-（0.002）3+… 8分第三項T3=15×(0.002)2=0.00006＜0.001,以后各項更小,∴0.9986≈1-0.012=0.988. 12分1.在(3x-2y)20的展開式中，求：（1）二項式系數(shù)最大的項；（2）系數(shù)絕對值最大的項；（3）系數(shù)最大的項.解（1）二項式系數(shù)最大的項是第11項，T11=310（-2）10x10y10=610x10y10.（2）設(shè)系數(shù)絕對值最大的項是第r+1項，于是化簡得解得7≤r≤8.所以r=8,即T9=312·28·x12y8是系數(shù)絕對值最大的項.（3）由于系數(shù)為正的項為奇數(shù)項，故可設(shè)第2r-1項系數(shù)最大，于是化簡得.解之得r=5,即2×5-1=9項系數(shù)最大.T9=·312·28·x12y8.2.求x(1-x)4+x2(1+2x)5+x3(1-3x)7展開式中各項系數(shù)的和.解設(shè)x(1-x)4+x2(1+2x)5+x3(1-3x)7=a0+a1x+a2x2+…+anxn在原式中，令x=1,則1×(1-1)4+12×(1+2)5+13×(1-3)7=115,∴展開式中各項系數(shù)的和為115.3.求證:3n＞(n+2)·2n-1（n∈N*，n＞2）.證明利用二項式定理3n=(2+1)n展開證明.因為n∈N*，且n＞2,所以3n=(2+1)n展開后至少有4項.（2+1）n=2n+·2n-1+…+·2+1≥2n+n·2n-1+2n+1＞2n+n·2n-1=(n+2)·2n-1,故3n＞(n+2)·2n-1.一、選擇題1.（1-2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，則|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|的值為 （）A.1 B.64 C.243 D.729答案D2.（2008·安徽理，6）設(shè)（1+x）8=a0+a1x+…+a8x8，則a0，a1，…，a8中奇數(shù)的個數(shù)為 （）A.2 B.3 C.4 D.5答案A3.（2008·全國Ⅱ理，7）(1-)6(1+)4的展開式中x的系數(shù)是 （）A.-4 B.-3 C.3 D.4答案B4.（2009·河南新鄭二中模擬）在8的二項展開式中，常數(shù)項等于 （）A. B.-7 C.7 D.-答案C5.若(1+5x2)n的展開式中各項系數(shù)之和是an,（2x3+5)n的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為bn,則的值為（）A. B. C.1 D.3答案A6.設(shè)m∈N*,n∈N*,若f(x)=(1+2x)m+(1+3x)n的展開式中x的系數(shù)為13，則x2的系數(shù)為 （）A.31 B.40 C.31或40 D.不確定答案C二、填空題7.（1+x）6(1-x)4展開式中x3的系數(shù)是.答案-88.（2008·天津理，11）的二項展開式中x2的系數(shù)是（用數(shù)字作答）.答案40三、解答題9.已知(n∈N*)的展開式中第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比為10∶1.求展開式中系數(shù)最大的是第幾項？解依題意，第5項的系數(shù)為·24，第3項的系數(shù)為·22，則有，解得n=8.設(shè)展開式中第r+1項的系數(shù)最大，則解得5≤r≤6.∴第6項和第7項的系數(shù)相等且最大，即最大為56×25=7×28=1792.10.已知(+3x2)n展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992.求展開式中系數(shù)最大的項.解令x=1，得各項的系數(shù)和為(1+3)n=4n，而各項的二項式系數(shù)和為：++…+=2n，∴4n=2n+992.∴(2n-32)(2n+31)=0∴2n=32或2n=-31（舍去），∴n=5設(shè)第r+1項的系數(shù)最大，則即∴，又r∈Z，∴r=4，∴系數(shù)最大的項是T5=.11.（1）求的展開式中的常數(shù)項；（2）已知的展開式中x3的系數(shù)為，求常數(shù)a的值；（3）求（x2+3x+2）5的展開式中含x的項.解（1）設(shè)第r+1項為常數(shù)項，則Tr+1=（x2）9-r·令18-3r=0,得r=6,即第7項為常數(shù)項.T7=.∴常數(shù)項為.(2)設(shè)第r+1項是含x3的項，則有,得：，故-9=3,即r=8.∴，∴a=4.（3）∵（x2+3x+2）5=（x+1）5（x+2）5，（x2+3x+2）5的展開式中含x的項是（x+1）5展開式中的一次項與（x+2）5展開式中的常數(shù)項之積，（x+1）5展開式中的常數(shù)項與(x+2)5展開式中的一次項之積的代數(shù)和.∴含x的項為=240x.12.在(2x-3y)10的展開式中，求：（1）二項式系數(shù)的和；（2）各項系數(shù)的和；（3）奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；（4）奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和；（5）x的奇次項系數(shù)和與x的偶次項系數(shù)和.解設(shè)(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10 (*)各項系數(shù)和即為a0+a1+…+a10,奇數(shù)項系數(shù)和為a0+a2+…+a10,偶數(shù)項系數(shù)和為a1+a3+a5+…+a9,x的奇次項系數(shù)和為a1+a3+a5+…+a9,x的偶次項系數(shù)和a0+a2+a4+…+a10.由于（*）是恒等式，故可用“賦值法”求出相關(guān)的系數(shù)和.（1）二項式系數(shù)和為，（2）令x=y=1,各項系數(shù)和為(2-3)10=(-1)10=1.(3)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為,偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為.(4)設(shè)(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10令x=y=1,得到a0+a1+a2+…+a10=1 ①令x=1,y=-1(或x=-1,y=1)得a0-a1+a2-a3+…+a10=510 ②①+②得2(a0+a2+…+a10)=1+510,∴奇數(shù)項的系數(shù)和為；①-②得2(a1+a3+…+a9)=1-510,∴偶數(shù)項的系數(shù)和為.（5）x的奇次項系數(shù)和為a1+a3+a5+…+a9=;x的偶次項系數(shù)和為a0+a2+a4+…+a10=.章末檢測十選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.不同的五種商品在貨架上排成一排，其中甲、乙兩種必須排在一起，丙、丁不能排在一起，則不同的排法共有（）A.12種 B.20種 C.24種 D.48種答案C2.直角坐標xOy平面上，平行直線x=n(n=0,1,2,…,5)與平行直線y=n(n=0,1,2,…,5)組成的圖形中，矩形共有（）A.25個 B.36個 C.100個 D.225個答案D3.二項式（a+2b)n中的第二項系數(shù)是8，則它的第三項的二項式系數(shù)為 （）A.24 B.18 C.16 D.6答案D4.（2009·珠海模擬）已知（x+1）15=a0+a1x+a2x2+…+a15x15，則a0+a1+a2+…+a7等于 （）A.215 B.214 C.28 D.27答案B5.（2008·四川理，6）從甲、乙等10名同學中挑選4名參加某項公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有 （）A.70種 B.112種 C.140種 D.168種答案C6.（2009·珠海模擬）在（1-x3)(1+x)10的展開式中，x5的系數(shù)為 （）A.297 B.207 C.252 D.-45答案B7.的展開式中的常數(shù)項為 （）A.1 B.46 C.4245 D.4246答案D8.（2008·遼寧理，9）一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有 （）A.24種 B.36種 C.48種 D.72種答案B9.甲、乙、丙三名同學在課余時間負責一個計算機房的周一至周六值班工作，每天一人值班，每人值班兩天，如果甲同學不值周一的班，乙同學不值周六的班，則可以排出不同的值班表有 （）A.36種 B.42種 C.50種 D.72種答案B10.若（1+x)n+1的展開式中含xn-1的系數(shù)為an，則+…+的值為 （）A. B. C. D.答案B11.（2008·全國Ⅰ，12）如圖所示，一環(huán)形花壇分成A、B、C、D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為 （）A.96 B.84 C.60 D.48答案B12.圓周上有12個不同的點，過其中任意兩點作弦，這些弦在圓內(nèi)的交點個數(shù)最多有 （）A. B. C. D.答案D二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）13.在的展開式中，x3的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.答案-14.已知（1+x）+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)8=a0+a1x+…+a8x8,則a1+a2+a3+…+a8=.答案50215.（2008·陜西理，16）某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段,傳遞活動分別由6名火炬手完成,如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒