隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(均值),它表達(dá)了隨機(jī)變量取值的平均水平,是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征.但是在很多場(chǎng)合,僅僅知道平均值是不夠的.§2隨機(jī)變量的方差例如,某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a,現(xiàn)在用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次,并將測(cè)量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：?jiǎn)?哪臺(tái)儀器的測(cè)量效果好一些？

甲儀器測(cè)量結(jié)果乙儀器測(cè)量結(jié)果較好因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果更集中在均值附近.測(cè)量結(jié)果的均值都是

a

為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征,用它來(lái)度量隨機(jī)變量在其中心(即均值)附近取值的離散程度(或集中程度).這個(gè)數(shù)字特征就是:方差.再如:考察某車(chē)床加工軸承的質(zhì)量時(shí),假設(shè)最關(guān)鍵的指標(biāo)為長(zhǎng)度,那么不但要注意軸承的平均長(zhǎng)度,同時(shí)還要考慮軸承長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度(即加工的精度);等等.我們?cè)撚迷鯓拥牧咳ザ攘窟@種偏離程度呢?

X?E(X)?

E[X?E(X)]?

E[|X?E(X)|]?E{[X?E(X)]2

}

一、方差(variance)的定義隨機(jī)變量X的平方偏差[X?E(X)]2的均值記作或Var(X),叫做X的方差.而記作叫做X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差.方差刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度:假設(shè)X的取值比較集中,那么方差較?。患僭O(shè)X的取值比較分散,那么方差較大.如:據(jù)以往記錄,甲乙兩射手命中環(huán)數(shù)X、Y的分布律為X678910P0.10.20.40.20.1Y678910P0.20.20.20.20.2及可以算出:兩人命中環(huán)數(shù)的平均水平相同,從中看不出兩人射擊技術(shù)的上下;但

說(shuō)明甲的命中環(huán)數(shù)比乙的更集中,即甲的射擊技術(shù)比乙的穩(wěn)定.二.方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式即:方差等于平方的期望減期望的平方.證明:例:

設(shè)X的概率密度為且D(X)=1/18,求a,b及E(X).而解:由歸一性得故解得

b=0,a=2,E(X)

=2/3或b=2,

a=?2,

E(X)

=1/3

.例:設(shè)(X,Y)

的概率密度為試求D(X),D(Y).解:xy01y=x三.常見(jiàn)分布的期望與方差(3)那么(2)那么(1)那么(4)那么(5)那么四.方差的性質(zhì)(1)對(duì)任意常數(shù)k與c

有:D(kX+c

)=k2D(X).(2)設(shè)X與Y相互獨(dú)立,那么進(jìn)一步,假設(shè)X1,…,Xn相互獨(dú)立,那么對(duì)任意常數(shù)c1,…,cn有:

D(X+Y)=D(X)+D(Y),

D(X?Y)=D(X)+D(Y).

D(c1X1+…

+cn

Xn

)=c12

D(X1

)+…

+

cn2

D(Xn

).(3)D(X)=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)C,即P{X=C}=1.例:則解:X表示n重伯努利試驗(yàn)中“成功〞的次數(shù),

p為每次試驗(yàn)成功的概率,那么X~B(n,p);引入1,假設(shè)第i次試驗(yàn)成功,0,假設(shè)第i次試驗(yàn)失敗.i=1,2,…,n,那么X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,且而Xi

的分布律為

Xi

01

P

q

p故E(Xi)=p,

E(Xi2)=p,

D(Xi)=E(Xi2)?[E(Xi)]2=pq,從而例:

有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布,若且它們相互獨(dú)立,則解:五.

隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)X具有為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.E(Y

)=0,D(Y)=1.那么叫六.

切比雪夫(Chebyshev)不等式對(duì)X,假設(shè)E(X),D(X)都存在,那么對(duì)或(1)方差確實(shí)能衡量隨機(jī)變量取值的離散程度.(2)該不等式能在X的分布未知的情況下對(duì)的概率的下限作一估計(jì),假設(shè)記那么等等.

一、協(xié)方差隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差,對(duì)于多維隨機(jī)變量，反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征中,最重要的就是協(xié)方差和相關(guān)系數(shù).§3協(xié)方差(Covariance)和相關(guān)系數(shù)1.定義:(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常數(shù)(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)2.簡(jiǎn)單性質(zhì):3.協(xié)方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式:

Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)可見(jiàn)，假設(shè)X與Y獨(dú)立,那么Cov(X,Y)=0.4.隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)二、相關(guān)系數(shù)1.定義:設(shè)D(X)>0,D(Y)>0,稱為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù).注:相關(guān)系數(shù)也叫標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差,其實(shí)是標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的協(xié)方差.與2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):存在常數(shù)a,b使即X和Y以概率1線性相關(guān).可見(jiàn)相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關(guān)〞的程度.的值越接近于1,Y與X的線性相關(guān)程度越高;的值越接近于0,Y與X的線性相關(guān)程度越弱;則Y與X有嚴(yán)格線性關(guān)系;若若則Y與X無(wú)線性關(guān)系,叫做X與Y不相關(guān).注意:假設(shè)X與Y獨(dú)立,那么Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)=0,但由X與Y不相關(guān),不一定能推出X與Y獨(dú)立.而對(duì)下述情形,獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià):假設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,那么X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān).從而X與Y不相關(guān);例:

設(shè)X在(?1/2,1/2)內(nèi)服從均勻分布,而Y=cosX,試考察X與Y的相關(guān)性及獨(dú)立性?解:而Y與X有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系,因此Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)=0,故X和Y不相關(guān).即X和Y不獨(dú)立.

一、矩為X的k階原點(diǎn)矩,可見(jiàn):X的期望是X的1

階原點(diǎn)矩;在隨機(jī)變量的數(shù)字特征中,更一般的是矩.§4矩、協(xié)方差矩陣為X的k階中心矩,為X和Y的k+l階混合原點(diǎn)矩,為X和Y的k+l階混合中心矩.X的方差是X的2

階中心矩;X和Y的協(xié)方差是X和Y的2

階混合中心矩.二、協(xié)方差矩陣

對(duì)n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn),稱矩陣為(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣.因?qū)λ衖,j成立cij=cji,記

i,j=1,2,…,n,故CT

=C,C為對(duì)稱矩陣.引入(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣,可更好地處理多維隨機(jī)變量.比方,我們可從二維正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度推廣出n維正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度