高三數(shù)學試卷

命題學校：天門中學命題教師：李苗熊珍田文慧審題學校：孝感高中

考試時間：2022年8月23日下午15:00-17:00試卷滿分：150分

注意事項：

L答卷前，考生務必將自己的姓名、考號等填寫在答題卡和試卷指定的位置上。

2.回答選擇題時，選出每題答案后，用鉛筆把答案卡對應題目的答案標號涂黑。如需要改動，先用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知集合4={x|x>l},B=|x|x2+3x-4>0|,則()

A.AC\B=0B.4U8=RC.ACBD.B=A

2.已知點Reos—,1)是角a終邊上一點，則sina=()

3

A.立B.也C.：D.攣

5225

3.火車站有5股岔道,每股岔道只能停放一列火車,現(xiàn)要停放3列不同的火車,則不同的停放方法有()

A.C：種B.A0種C.53種D.3$種

4.sin1090cos296°+cos71°sin64°=()

A.1B.也2D.

C.1

222

2/r

5.要得到g(x)=sin(4x+§)的圖象，只需要將/(x)=cos22x-sin22x的圖象()

A.向左平移或個單位長度向右平移二個單位長度

B.

24

乃jr

C.向左平移;個單位長度D.向右平移77個單位長度

X412

定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x+l)=；/(x),且當

6.xw[0,l)時,/(x)=I-|2x-l|.若對VXG[加,+<?)，

2

都有/(X)<-,則加的取值范圍是()

O1

耳,+8)D.J4、

A.[y,+?)B.冷和)C.[_+00)

7.如圖，某城市的街區(qū)由】2個全等的矩形組成（實線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時不通,

則從4到B的最短路徑有（）

CD

A

A.23條B.24條C.25條D.26條

8.若關于x的不等式（4左一1-lnx）x<lnx—x+3對Wxe（V+8）恒成立，則整數(shù)上的最大值為（

A.-2B.-1C.0D.1

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.下列說法正確的有（）

A.已知集合4=卜卜、x-6=0},5={x|?nx-l=0）,全集。=R,若450/8）=夫,則實數(shù)“組

的集合為，；1

B.命題p:玄€卜2,1],x?+x-加40成立的充要條件是“22

C.設則“就+1=。+6”的充要條件是“a,6都不為I”

D.已知a>0,b>0,a+b=\,則:+二的最小值為2成+2

bab

10.已知函數(shù)/（乃=竺二上比，則下列說法正確的是（）

x+2

A./（x）的定義域為（-8,-2）口（-2,+8）

B.當函數(shù)/（%）的圖象關于點（-2,3）成中心對稱時，a=-

2

C.當時，/（%）在（2,+8）上單調遞減

D.設定義域為R的函數(shù)g（x）關于（-2,2）中心對稱，若a=2,且/（x）與g（x）的圖象共有2022個

點,記為4（巧,匕）?=1,2,…,2022）,則（石+必）+（再+必）+…+（々022+%22）的值為0

11.已知P（/）=；,P（互4）=；,P（即）=',則下列結論正確的是（）

A.尸（即）'B.P（砌M

C.P倒）=|D.尸（神）[

12.已知方程13+狽+6=0,其中①beR.下列條件中使得該三次方程有且僅有一個實根的是()

A.a=Lb=2B.a=-3,6=2

C.。>1，6=-3D.a=—3，b>2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如果函數(shù)/(1)=5111(2%+9)(0<8<2%)是奇函數(shù)，則8的值為.

14.抽樣表明，某地區(qū)新生兒體重X近似服從正態(tài)分布"(〃").假設隨機抽取〃個新生兒體檢，記J表示

抽取的〃個新生兒體重在(〃-3b,〃+3<r)以外的個數(shù).若J的數(shù)學期望￡(4)<0.05,則正的最大值是.

(尸(〃-3b4P4〃+3b)=99.7%)

A_____

15.函數(shù)/(x)=+lg(Vx2+1+x)的最大值為M,最小值為N,則M+N=.

16.己知“〃為實數(shù)，/(%)=產-mx+〃-1,若/(x)N0對VxeK恒成立，則^~~”的最小值為.

m

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)已知(工一加)7=。0+%》+。2*2+…+。7X7的展開式中7的系數(shù)是一35.

(1)求q+a2H-----1"%的值；

(2)求生+%+%+%的值.

18.(12分)己知函數(shù)/(%)=5由2刀+2百$吊工85%+5111(*+工)5出(工一軍).

44

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)若xw[0,幻，求出/(x)的單調遞減區(qū)間.

19.(12分)袋中有同樣的球5個，其中3個紅色，2個黃色，現(xiàn)從中隨機且不放回的摸球，每次摸1個，當

兩種顏色的球都被摸到時，即停止摸球，記隨機變量4為此時己摸球的次數(shù)，求：

⑴尸C=2)的值；

(2)隨機變量4的概率分布列和數(shù)學期望.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=log2(4"+l)+b為偶函數(shù).

(1)求實數(shù)2的值；

(2)解關于m的不等式/(2〃?+1)>/(加一1)；

(3)設g(x)=log2(G2工+。)(。力0),若函數(shù)/(x)與g(x)圖象有2個公共點，求實數(shù)a的取值范圍.

21.(12分)為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進行動物

與人體試驗.研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內，一段時間后

測量小白鼠的某項指標值，按[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),

[80,100]分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗發(fā)現(xiàn)小白鼠體

內產生抗體的共有160只，其中該項指標值不小于60的有110只.

假設小白鼠注射疫苗后是否產生抗體相互獨立.

(I)填寫下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及a=0.05的獨立

性檢驗，判斷能否認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于

60有關.

單位:只

指標值

抗體合計

小于60不小于60

有抗體

沒有抗體

合計

(2)為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產生抗體的40只小白鼠進行第二次

注射疫苗，結果又有20只小白鼠產生抗體.

(i)用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產生抗體的概率P；

(ii)以(i)中確定的概率P作為人體注射2次疫苗后產生抗體的概率，進行人體接種試驗，記〃個

人注射2次疫苗后產生抗體的數(shù)量為隨機變量X.試驗后統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，當X=99時，P(X)取最大

值，求參加人體接種試驗的人數(shù)〃及E(X).

參考公式：公…黑(R)…(其中…+"c+d為樣本容量)

參考數(shù)據(jù)：

P(7認)0.500.400.250.150.1000.0500.025

0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=xlnx,g(x)=x2-l.

(1)求證：當aN；時,|/(x)區(qū)a|g(x)|；

(2)己知函數(shù)6(x)=|/(x)|-b有3個不同的零點玉戶2,毛(玉＜Z＜丫3)，

,22

(i)求證：

e

(ii)求證：Jl+2b-Jl-2b＜--工2＜加(e=2.7l828…是Fl然對數(shù)的底數(shù)).

2022年湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高三上學期起點考試

高三數(shù)學參考答案及評分標準

一、單項選擇題

12345678

CDBBABDC

1.【解析】由已知5={x|x4-4或x3l},=故A錯誤；4U5={x|x4-4或

xMl},故B錯誤；4三B,故C正確，D錯.故選：C.

是角a終邊上一點，所以

：D.

3.【解析】火車站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火車，現(xiàn)要停放3列不同的火車，它

是排列問題，所以不同的停放方法有A；種.故選：B.

4.【解析】原式=sin71°cos640+cos710sin64°=sin(710+64°)=sinl35°=孝.故選:B.

5.[解析]f(x)=cos22x—sin22x=cos4x=sin(4x+—),

2

.*,71、71./A

又sin4(x+—)+—=sin(4x+-),

242

所以將〃X)=cos22x-sin22x的圖像向左平移三個單位長度得到g(x)=sin(4x+」)的

圖像，故選：A.

6.【解析】由題意可得/=當xe[3,4)時，即x-3w[0,l)時，所以

/■(X)=1/(X-1)=^/(X-2)=1/(X-3)=-L(1-|2(X-3)-1|)=-L(1-|2X-7|),令

JJJ4/

^-(l-|2x-7|)=-^-,解得x=?或?，因為對任意xe[m,+e),都有/則相2?,

27o133o13

故選：B.

7.【解析】由題意知從4到B的最短路徑要通過7段馬路，4段水平馬路，3段豎直馬路,

共有C；=35種，又因為經(jīng)過8段的走法有C；?C；=9利故不經(jīng)過。段的最短路徑有

35-9=26條.故選:D.

8.【解析】由題意分離變量可得4左＜絲姐5對Vxe(l,+8)恒成立,

X

湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體*數(shù)學答案(共9頁)第1頁

人、(x+l)lnx+3Z1.ni,.x-lnx-2

令/(x)=------------”(1,+8),則/'(x)=-----s——，

XX

|x—1

令g(x)=x-lnx-2,xe(l,+oo),則g[x)=l--——>0,

xx

r.g(x)在(1,+8)上單調遞增，fig(3)=l-ln3<0,g(4)=2-21n2>0,

;與唯一的「€（3,4）,使8伉）=0,

可得》€(wěn)（1,工0）/3<0,/3在（1,%）單調遞減,

xw,+8）/（x）>0J（X）在（x（）,+8）單調遞增,

./(()_f〈x)—(~)+1)In%+3_(“o+1)(%-2)+3=/-x()+1

=x0+-

34

X。x0

7

:.k<一,可得整數(shù)女的最大取值是0,故選:C.

12

二、多項選擇題

9101112

CDACDADACD

9.【解析】對于A：^=|X|X2+X-6=0|={-3,2},B={x|zwx-l=0|,

由4U（C^B）=R得BqA,則4=0或3={-3}或B={2},即m=0或一3加一1=0或

2加一1=0,解得加=0或加=-;或加=g,即實數(shù)加組成的集合為{。，=一3},故A錯誤;

對于B：命題p:土?￡[-2,1],公+工一加工o為真命題，即一十工工加在xw[-2,1]上成立，

令g(x)=x?+x=(x+Jxe[-2,l],所以g(x)m,n=g

所以故B錯誤；

4

對于C：。6+1-(。+6)=(。-力,故C正確；

1111..

對,于_D:—ai---=\---b--1-a--+--b-=—2I----1=(.—2I—)(z々+6)x-1t=-2-a-1--b-F2>25/2+2,

hahhahhahaba

當且僅當〃=&-1,6=2-0時，等號成立.故D正確.故選：CD.

10.【解析】對于A：要使函數(shù)八的=竺1畀有意義，則x+200,即XR-2,

二f(x)的定義域為(-8,-2)u(-2,+oo),故A正確；

jTCax-a+\a(x+2)-2a-a+\1—3a

對于B：Vf(x)=--------=--------------------=a+——-,

湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體*數(shù)學答案（共9頁）第2頁

.../■。)的圖象關于點(-2,°)成中心對稱，

...當函數(shù)/'(x)的圖象關于點(-2,3)成中心對稱時，。=3,故B錯誤;

對于C：由B知/'(x)=a+^^,當a<g時，1-3“>0,

x+23

f(x)=a+L1-3Y/7在(-2,長0)單調遞減，故C正確；

x+2

對于D：?：a=2,f(x)=——=2+——,

x+2x+2

??./'*)的圖象關于(-2,2)對稱，又函數(shù)g(x)的圖象關于(-2,2)對稱,

???/⑴與g(x)圖象的交點成對出現(xiàn)，且每一對均關于(-2,2)對稱，

?e?(X1+必)+(工2+J；2)+，，，+(X2022+%022)

—(X[+x2H---HX2022)+(Vi+^2+?,??Vzozz)=2022x(―2)+2022x2=—4044+4044=0,

故D正確.故選：ACD.

"【解析】明上栗M，因為「砰卜黑=5帑I,所以p網(wǎng)小

7

一

因此尸他)=「(萬句+P僅N)=；+|=g,P(5)=l-P(5「

214

2一

3

7一

故

又?出司=i一尸回可=:所以尸(彳忸)=-選

x一7AD

424

12.【解析】令/Xx)=丁+依+6,求導得f'(X)=3X2+a,當。之。時,/'(x)>0,所以/"(x)

單調遞增，且至少存在一個數(shù)使f(x)<0,至少存在一個數(shù)使/Xx)>0,所以f(x)=x3+ax+b

必有一個零點，即方程/+辦+6=0僅有一根，故A、C正確；當。<0時，若。=-3,則

f'(x)=3x2-3=3(x+l)(x-l),易知，/'(x)在(-co,-1),(1,+oo)上單調遞增，在［-1,1］上單調遞

減，所以/U)極大=f(-l)=-l+3+b=6+2,

f(X)極小=/(D=1-3+6=6-2,要使方程僅有一根，貝IJf(x)極大J(-1)=-1+3+6=6+2<°或

者/'(x)極小=/'(1)=1-3+b=b-2>0,解得b<-2或6>2,故B錯誤，D正確.故選：ACD.

三、填空題

13.兀14.1615.616.-1

湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體*數(shù)學答案(共9頁)第3頁

13.【解析】???函數(shù)f(x)=sin(2x+/)(0<e<2兀)是奇函數(shù)，

,f(-x)=-f(x),即sin(-2x+(p)=—sin(2x+夕)=sin(-2x-夕),

：,一2x+(p=-2x-(p+2kn,keZ,解得：(p=kit,keZ,又???0<夕<2兀，：.(p=R.

故答案為：兀.

14.【解析】根據(jù)正態(tài)分布的3b原則可知：E(/=0.003〃<0.05,得：〃<5,

因為〃為正整數(shù)，故〃的最大值為16.故答案為：16.

15.【解析】由題意可知，f(x)=—-+lg(Vx2+1+x)=3-————+lg(>/x2+1+x)>

eA+1ex+l

設g(X)=2fcj)+]g(F7+X),則g(x)的定義域為(-8,+00),

ev+l

所以g(r)=_3(e：)+但(&+[7)=---"二j)+lg(&+l+x)=-g(x),

e+1e+1

所以g(x)為奇函數(shù),所以g(x)max+g(x)miB=0,

所以/.(x)g+〃x)mi?=M+N=g(xL+3+g(x)*+3=6.故答案為：6.

16.【解析】?.?廣(x)=]-m,若加40J'(x)>0恒成立，/(x)在R上單調遞增,

當X->-00,/(X)->-8,不合題意；

則〃z>0,令/”(x)=0,x=ln加J(x)在(一8/n加)上單調遞減,(inm,+8)單調遞增，

f(x)mm=f(\n=m-m\nm+n-1>0,n>m\nm-m+l.n-m>mlnm-2m+1,

n-mmInm-2m4-1-1人，、，-1小、

z.----->---------------=Itn/H-2H——,令g(x)=lnx-2+—,xc(0,+oo),

mmmx

_.，/、11x—1

則g(x)=-----F=

XXX

可得工￡(0,1)送")<0過(切在(0,1)單調遞減,

X￡(l,4~oo),g，(x)>0,g(x)在(L+oo)單調遞增，

二?g(X)min=g6=T.故答案為："I.

四、解答題

7rr

17.V7；+1=C；x-(-/w),0<r<7,reZ,

湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體*數(shù)學答案（共9頁）第4頁

；?C；(—〃=—35,/.TH=1,...........................................................................................2分

7

(1)令x=l時，aQ+a}+a2+---+a7=(1-1)=0,①

7

令x=0時，aQ=(-l)=-l.

q+/+…+%=1;......................................................................................................6分

(2)令x=7時，/一％+.??一％=(—1一1)7=—27②

①■②得/+%+%+%=26=64..........................................................................................10分

18.(1)/(x)=sin2x+2>/3sinxcosx+sin(x+—)sin(x----)

44

1-COS2xrr.V2.J2.

=------------+V3sin2x+——(sinx+cosx)——(sinx-cosx)

222

=10°s2'4-V3sin2x--(cos2x-sin2x)

22

1-cos2x\?.c1G

=------------+V3sin2x——cos2x

22

=6sin2x-cos2x+—

2

K1

=2sin(2x----)+—

62

2萬

???f(x)的最小正周期為且=乃；..............................................6分

2

「八1A—7T—17rlITT

(2)*/xG[0,TT],t=2x----，則-r---,----]N,

666

IJr37r7t7t37r

又??,函數(shù)y=2sinf+-在Z￡[一,—]上單調遞減，即2x-一4一,一]時，“外的單調

222622

遞減，

...當xe[0,汨時，f(x)的單調減區(qū)間為[生,學]................................12分

36

19.(1)%=2)=年華=3；...................................................................................4分

GC5

c；c；c；_3

隨機變量彳可取的值為

(2)2,3,4.P&=2)=GC=5

Z；C；+/；C；_31

尸4=3)=p(D=10分

clclc]clTo

得隨機變量4的概率分布列為:

湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體*數(shù)學答案(共9頁)第5頁

4234

P333

51010

3315

隨機變量4的數(shù)學期望為：^)=2x-+3x—+4x—=-.................12分

510102

20.(1)函數(shù)的定義或為R,

v

V函數(shù)/(X)=log2(4+1)+去為偶函數(shù).

r

:.f(-x)=/(x)?即log2(4-+V)-kx=log2(4+1)+Ax,

4、1

2kx=log,(V+1)-log,(4、+1)=log-—=log4-*=-2x,

24+12

.?.左=—1；.........................................................4分

4'in44V-1

A

(2)v/(x)=log2(4+l)-x,.?.f(x)=-—1

(4v+l)ln24、+l

當xNO時,4X>1,/7x)20,.?./(x)在［0,+00)上單調遞增，

f(2/n+l)>/(/77-I),

|2M?+1|>,/.|2w+l|2,解得加>0或加<-2,

...所求不等式的解集為(―8,—2)D(0,+8)；...................................8分

4*+11

xv

(3)g(x)=log2(a-2+a)=/(x)=log?(4、+l)-x=log2——=log2(2+—),

a?2V+a=2'+'->0在R上有兩個不相等的實根，

2X

令，=2">0,則R+a=E+-，

t

/.{a—1)/+"—1=0有兩個不相等的正實根，

'a-1^0

A=a2+4(a-l)>0

__^>0，解得20—2<a<l,

a-\

實數(shù)a的取值范圍為(2A/2-2,1).....................................12分

湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體*數(shù)學答案(共9頁)第6頁

21.（1）由頻率分布直方圖，知200只小白鼠按指標值分布為:

在［0,20）內有0.0025x20x200=10（只）；

在［20,40）內有0.00625x20x200=25（只）；

在［40,60）內有0.00875x20x200=35（只）；

在［60,80）內有0.025*20*200=100（只）；

在［80,100］內有0.0075x20x200=30（只）.

由題意，有抗體且指標值小于60的有50只；而指標值小于60的小白鼠共有10+25+35=70

只，所以指標值小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，同理，指標值不小于60且沒有抗體

的小白鼠有20只，故列聯(lián)表如下：

單位：只

指標值

抗體合計

小于60不小于60

有抗體50110160

沒有抗體202040

合計70130200

零假設為"o：注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60無關聯(lián).

2

根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得*=200x（50x20-20x110）*4.945>3.841=:

160x40x70x130

根據(jù)a=0.05的獨立性檢驗，推斷，。不成立，即認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值

不小于60有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.................................4分

（2）（i）令事件/="小白鼠第一次注射疫苗產生抗體”，事件8="小白鼠第二次注射疫苗

產生抗體”，事件C="小白鼠注射2次疫苗后產生抗體”.

記事件4B,C發(fā)生的概率分別為P（/）,P（B）,P（C）,

則/（1）=詈=0.8,P（B）=—=0.5,P（C）=l-Pp）P（B）=l-0.2x0.5=0.9.

所以一只小白鼠注射2次疫苗后產生抗體的概率p=0.9........................8分

湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體*數(shù)學答案（共9頁）第7頁

(ii)由題意，知隨機變量x~5(a,0.9),P(X=A)=C：XO.9"XO」T(4=0,1,2,-.,〃).

因為尸(X=99)最大所以卜汴叱血產冷隈驍心叱典

口為(-)取人，所以/'。.嗎。.尸wCrx0.9項xOf

解得1094〃4110,因為〃是整數(shù)，所以〃=109或〃=110,所以接受接種試驗的人數(shù)為109

或110.

①當接種人數(shù)為109時，E(jr)=?p=109x0.9=98.1；

②當接種人數(shù)為110時，￡(%)=??=110x0.9=99.......................................................12分

22.(1)證明：①當x21,g(x)20,/(x)N0,即證/'(x)Wag(x),

令尸(x)=xln九一a(x2-1),F/(x)=l+lnx-2ax,

令G(x)=F'(x),G'(x)=』—2a<0,尸(x)在(1,+oo)上單調遞減，

則有F(x)<F(l)=l-2a<0,.-.尸(x)在(1,+8)上單調遞減,F(x)<F(1)=O,

.?J(x)4ag(x)成立；