河南省2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷（六）

（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.

1.已知集合乂=區(qū)-44x47},N={X|X2-X-12>0},則MnN為（）

A.{x|-44xV-3或4VxV7}B.{x|-4<x4-3或44xV7}

C.{x|x4-3或x>4}D.{x|x<-3或X24}

2.己知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3?a9=2as2,a2=l,則a[=（）

工行L

A.2B.2C.V2D.2

3.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若$3=9,S6=36,IjliJa7+a8+a9=（）

A.63B.45C.36D.27

4.有下列四個(gè)命題：

①“若x+y=0,貝陵，y互為相反數(shù)"的逆命題；

②“全等三角形的面積相等"的否命題；

③“若q<l,則x2+2x+q=0有實(shí)根"的逆否命題；

④“不等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等"逆命題；

其中真命題為（）

A.①②B.①③C.②③D.③④

1

5.在aABC中，“A>30°”是"sinA>土”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也必要條件

6.設(shè)命題P：3nGN,n2>2n,則「P為（)

A.VneN,n2>2nB.3neN,n242nC.VneN,n242nD.EnEN,n2=2n

7.在aABC中，3=2^3,6=2^2,B=N，則A等于()

7TTT兀_(>，2冗c冗f5冗

A.DB.—C.—-^-=-D.—§!4——

"633366

x>y

8.若x、y滿足條件,x+y<l,則z=-2x+y的最大值為()

y>-1

A.1B.--C.2D.-5

2

22

9.已知橢圓2_"v3尸1(m>0)的左焦點(diǎn)為F](-4,0),則m=()

25加2

A.2B.3C.4D.9

10.己知雙曲線C：3的離心率e至，且其右焦點(diǎn)為F2（5,0）,則雙曲線C的方程為（

a2b24

11.已知點(diǎn)Fi、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過Fi且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B

兩點(diǎn)，若4ABF2為正三角形，則該橢圓的離心率€是（）

A.工B.2/2C1D.立

2233

12.若x,yeR+,且2x+8y-xy=0,則x+y的最小值為()

A.12B.14C.16D.18

填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上。

13.已知(2,0)是雙曲線(b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，貝i]b=

bZ

14.已知不等式x(x+a)Wb的解集是｛x|04xWl｝,那么a+b=

15.在等差數(shù)列｛an｝中，若33+34+35+^+37=25,則a2+a8=

16.觀察下列等式:

1,—1=1—

22

1—?---------1-

23434

23456456

據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.求下列各曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

(1)橢圓E：J+^=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)A(0,-1),且離心率為當(dāng)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)己知雙曲線過點(diǎn)(4,6)，且漸近線方程為y=^x,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

18.已知a,b,c分別為AABC內(nèi)角A,B,C的對邊，b=2asinB,且b>a.

(1)求A；

(2)若a=2,C=2V3,求4ABC的面積.

19.已知數(shù)列多十是等差數(shù)列，｛5｝是等比數(shù)列,且ai=b]=2,b4=54,a1+a2+a3=b2+b3.

(1)求數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列｛aj的前10項(xiàng)和Si。.

20.已知p：方程x2+mx+l=0有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根，q：方程4x2+4(m-2)x+l=0無實(shí)根.若"p或

q"為真，"P且q"為假.求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

21.已知函數(shù)f(x)=x+^-(x>3)

x-3

(I)求函數(shù)f(x)的最小值；

(II)若不等式f(x)》一二+7恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

22.已知橢圓C：x2+3y2=3,過點(diǎn)D(1,0)且不過點(diǎn)E(2,1)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),

直線AE與直線x=3交于點(diǎn)M.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；

(3)試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系，并說明理由.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題

1.A.2.B.3.B.4.B.5.B.6.C.7.C.8.A9.B.10.C.

11.D.12.D.

二、填空題

2_________

13.解：雙曲線x2-七=1(b>0)的焦點(diǎn)為Wi+b2，。)，<-Vl+b2-°)，

解得b=V3.

故答案為：A/3,

14.解:因?yàn)椴坏仁絏(x+a)<b,即x2+ax-bvo的解集為{xiosxwl},

所以方程x2+ax-b=O的兩個(gè)根為0,1.

/.0+1=-a,0x1=-b,

解的a=-1,b=0,

a+b=-1,

故答案為：-1.

15.解：由33+34+35+05+37=(33+37)+(a^a^)+a5=5a5=25,

得到a5=5,

則a2+ag=2a5=10.

故答案為：10.

16.解：由已知可得：第n個(gè)等式含有2n項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)為不三，偶數(shù)項(xiàng)為其等式右邊為

2n-12n

后n項(xiàng)的絕對值之和.

.?.第n個(gè)等式為：+…/7-4A

2342n-12nn+1n+22n

三、解答題

17.解：(1)橢圓經(jīng)過點(diǎn)A；

，b=l；

離心率為

2

.cV2

.?一—；

a2

?，.a2=2c2；

又a2=b2+c2=l+c2；

.\c2=l,a2=2；

2C

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為今+丫2=1；

2

2

(2)根據(jù)雙曲線的漸近線方程為y=±2x，可設(shè)雙曲線的方程為毛-y

又雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(4,6)；

泮-35；

4

I.m=l；

2八

.?.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為工-2.

4y=1

18.

解：(1)解：根據(jù)正弦定理化簡b=2asinB得：sinB=2sinAsinB,

VsinB*O,在等式兩邊同時(shí)除以sinB得sinA=—,

2

又A為三角形的內(nèi)角，

則A=30。或150。.

Vb>a,A為銳角，

...A=30°.

(2)?.?由正弦定理可得：sinC=CsinA-2^X2=2^,

a-2-2

...由CW(0,180°),可得：C=60。或120。，

.?.B=180。-A-C=90?；?0。(b>a,故舍去)，即sinB=l.

：?SAABC=^acsinB=jX2X2?X1=2“.

3

19.解:(1)因?yàn)椋鸼n｝是等比數(shù)列，且b]=2,b4=b|?q=54,

所以q=3,

n1

所以等比數(shù)列｛、｝的通項(xiàng)公式為bn=2.3.

(2)又因?yàn)閍1+a2+a3=b2+b3,

所以a2=8,所以d=6,

所以等差數(shù)列｛a"的通項(xiàng)公式為an=6n-4.

所以數(shù)列｛an｝的前10項(xiàng)和S1/I。-?56)-290.

20.解：由題意p,q中有且僅有一為真，一為假,

士”解可得，皿2

若P為真，則其等價(jià)于，

若q為真，則其等價(jià)于△<(),即可得

11^2Ef

若P假q真，則l<m<3，解可得l〈mg2；

呼2f一解可得臉3；

若P真q假，則

綜上所述：me(1,2]U[3,+=).

21.解：(I)\x>3,

Ax-3>0.

.\f(x)=x+YT3=x-3+~3+2^2]J(X-3)?-^+3=9.

q

當(dāng)且僅當(dāng)x-3=一

即(x-3)2=9時(shí)上式取得等號，

XVx>3,

.\x=6,

.?.當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是9.…

(II)由(I)知，當(dāng)x>3時(shí)，f(x)的最小值是9,

要使不等式f(x)>卡+7恒成立，只需9>味+

..4一2《即舒〈0

解得區(qū)-2或t>-1

二實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-8,-2]U(-1,+OO).

22.解：(1),?橢圓C：x2+3y2=3,

2°

二橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：2L+y2=l,

3

a=V3>b=l,C=A/2>

橢圓C的離心率e=l漁

a3

(2)TAB過點(diǎn)D(1,0)且垂直于x軸，

，可設(shè)A(1,yP,B(1,-yi),

1),.?.直線AE的方程為：y-l=(l-yi)(x-2)，

令x=3,得M(3,2-yi),

二直線BM的斜率1<BM=22；2=1；

(3)結(jié)論：直線BM與直線DE平行.

證明如下：

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由(2)知!<BM=1，

1-0

又?.?直線DE的斜率kDE=^q=l，，BM〃DE；

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k(x-1)(krl),

設(shè)A(xpyi),B(X2，y2)，

y,-1

則直線AE的方程為y-1=—i--(x-2),

x「2

x<+y.-3

令x=3,則點(diǎn)M(3,——L—),

x「2

X[+y「3

，直線BM的斜率1<BM=x]-2

3-x2

'22

聯(lián)立|X+3y=3,得(i+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0,

y=k(x-1)

由韋達(dá)定理，得X]+X2=6k0,X1x2=^-