江西省2020-2022年中考數(shù)學(xué)真題匯編之九年級(jí)試題

一.根的判別式（共1小題）

1.（2022?江西）關(guān)于x的方程f+2x+A=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則上的值為.

二.根與系數(shù)的關(guān)系（共2小題）

2.（2021?江西）已知xi,X2是一元二次方程f-4x+3=0的兩根，則xi+%2-xix2=.

3.（2020?江西）若關(guān)于x的一元二次方程7-fee-2=0的一個(gè)根為x=l,則這個(gè)一元二次

方程的另一個(gè)根為.

三.反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共1小題）

4.（2022?江西）已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=」2（x>0）的圖象上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，

x

若AOAB為等腰三角形，且腰長(zhǎng)為5,則AB的長(zhǎng)為.

四.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式（共2小題）

5.（2022?江西）如圖，點(diǎn)A（加，4）在反比例函數(shù)y=K（x>0）的圖象上，點(diǎn)B在y軸

X

上，08=2,將線段A8向右下方平移，得到線段CO,此時(shí)點(diǎn)。落在反比例函數(shù)的圖象

上，點(diǎn)。落在x軸正半軸上，且。。=1.

（1）點(diǎn)5的坐標(biāo)為,點(diǎn)D的坐標(biāo)為,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（用含

m的式子表示）；

（2）求攵的值和直線AC的表達(dá)式.

6.(2020?江西)如圖，RtZ\A8C中，NACB=90°,頂點(diǎn)A,B都在反比例函數(shù)y=K(x

X

>0)的圖象上，直線軸，垂足為O,連接。A,OC,并延長(zhǎng)OC交A5于點(diǎn)R

當(dāng)AB=2OA時(shí)，點(diǎn)E恰為A8的中點(diǎn)，若NAO￡>=45°,OA=2近.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)求NEO。的度數(shù).

五.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題(共1小題)

7.(2021?江西)如圖，正比例函數(shù))，=x的圖象與反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象交于點(diǎn)

x

A(1,?),在△4BC中，ZACB=90°,C4=CB,點(diǎn)C坐標(biāo)為(-2,0).

(1)求)的值;

(2)求A8所在直線的解析式.

六.二次函數(shù)的圖象(共1小題)

8.(2021?江西)在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與一次函數(shù)y=Z?x+c的圖象如

圖所示，則二次函數(shù)y=a/+法+c的圖象可能是（)

七.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共1小題）

9.（2020?江西）已知拋物線（a,b,c是常數(shù)，aWO）的自變量x與函數(shù)值y

的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

X…-2-1012…

y…m0-3n-3…

（1）根據(jù)以上信息，可知拋物線開口向,對(duì)稱軸為；

（2）求拋物線的表達(dá)式及加，〃的值；

（3）請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出所求的拋物線.設(shè)點(diǎn)尸為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，OP的中點(diǎn)為產(chǎn)，描出

相應(yīng)的點(diǎn)P,再把相應(yīng)的點(diǎn)P用平滑的曲線連接起來，猜想該曲線是哪種曲線？

（4）設(shè)直線（W>-2）與拋物線及（3）中的點(diǎn)P所在曲線都有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)從

左到右依次為4,42,A3,4,請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出線段A1A2,MA4之間的數(shù)量關(guān)

系

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11（備用圖）

八.拋物線與X軸的交點(diǎn)（共1小題）

10.（2020?江西）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=7-2x-3與y軸交

于點(diǎn)A,與x軸正半軸交于點(diǎn)8,連接4B,將RtAOAB向右上方平移，得到RtZ\ONE,

且點(diǎn)。，4落在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)9落在拋物線上，則直線A5的表達(dá)式為（）

A.y=xB.y=x+lC.y=x+」D.y—x+2

2

九.二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

11.（2022?江西）跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)可分為助滑、起跳、飛行和落地四個(gè)階段，運(yùn)動(dòng)員起跳后飛

行的路線是拋物線的一部分（如圖中實(shí)線部分所示），落地點(diǎn)在著陸坡（如圖中虛線部分

所示）上，著陸坡上的基準(zhǔn)點(diǎn)K為飛行距離計(jì)分的參照點(diǎn)，落地點(diǎn)超過K點(diǎn)越遠(yuǎn)，飛行

距離分越高.2022年北京冬奧會(huì)跳臺(tái)滑雪標(biāo)準(zhǔn)臺(tái)的起跳臺(tái)的高度OA為66〃?，基準(zhǔn)點(diǎn)K

到起跳臺(tái)的水平距離為75〃?，高度為歷為定值）.設(shè)運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)A起跳后的高

度y（m）與水平距離x（M之間的函數(shù)關(guān)系為（aWO）.

（1）c?的值為；

（2）①若運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)恰好到達(dá)K點(diǎn)，且此時(shí)a=--L,b=?,求基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度

5010

h；

②若。=-工時(shí)，運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)要超過K點(diǎn)，則。的取值范圍為；

50

（3）若運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為25根時(shí)，恰好達(dá)到最大高度76根，試判斷他的落地點(diǎn)能

否超過K點(diǎn)，并說明理由.

12.（2021?江西）二次函數(shù)y=W-2/ra■的圖象交x軸于原點(diǎn)。及點(diǎn)A.

感知特例

（1）當(dāng)他=1時(shí)，如圖1,拋物線L：y=/-2x上的點(diǎn)8,O,C,A,。分別關(guān)于點(diǎn)A

中心對(duì)稱的點(diǎn)為B',O',C',A',,如表：

???5(-1,3)0(0,0)C(1,-1)A(_______,_______)D(3,3)…

???B'(5,-3)O'(4,0)C(3,1)A'(2,0)D1(1,-…

3)

①補(bǔ)全表格;

②在圖1中描出表中對(duì)稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為廣

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圖1

形成概念

我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象，上的點(diǎn)和拋物線L上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱，則稱，是L

的“孔像拋物線”.例如，當(dāng)?=-2時(shí)，圖2中的拋物線，是拋物線L的“孔像拋物線”.

TTTW

Illi

I

n

一

圖2

探究問題

（2）①當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，若拋物線L與它的“孔像拋物線”，的函數(shù)值都隨著x的增大而

減小，則x的取值范圍為;

②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)相取不同值時(shí)，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函

數(shù)y=7-2,nr的所有“孔像拋物線”〃都有唯一交點(diǎn)，這條拋物線的解析式可能是

（填^,y—ax1+bx+c^^或^y—a^+bx"或''y—a^+c''或uy—a^'',其中abc^O）；

③若二次函數(shù)y=7-Imx及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，求m

的值.

一十一.正多邊形和圓（共1小題）

13.（2021?江西）如圖，在邊長(zhǎng)為6?的正六邊形ABCDEF中，連接BE,CF,其中點(diǎn)

N分別為BE和CF上的動(dòng)點(diǎn).若以M,N,。為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為

整數(shù)，則該等邊三角形的邊長(zhǎng)為.

一十二.利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案（共1小題）

14.（2021?江西）如圖是用七巧板拼接成的一個(gè)軸對(duì)稱圖形（忽略拼接線）小亮改變①的位

置，將①分別擺放在圖中左，下，右的位置（擺放時(shí)無縫隙不重疊），還能拼接成不同軸

對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)為（）

下

A.2B.3C.4D.5

一十三.作圖-旋轉(zhuǎn)變換（共2小題）

15.（2021?江西）已知正方形A8CD的邊長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，請(qǐng)僅用

無刻度直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡）.

（1）在圖1中，將直線4c繞著正方形ABC。的中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°；

（2）在圖2中，將直線AC向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度.

16.（2020?江西）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上.請(qǐng)僅用無刻度直尺完

成以下作圖（保留作圖痕跡）.

（1）在圖1中，作△A8C關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱的△A5C；

（2）在圖2中，作△A8C繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，頂點(diǎn)仍在格點(diǎn)上的9C.

17.（2022?江西）如圖，四邊形ABC。為菱形，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，ZACD^ZABE.

(1)求證：△4BCS/\AEB；

(2)當(dāng)AB=6,AC=4時(shí)，求AE的長(zhǎng).

一十五.解直角三角形的應(yīng)用（共3小題）

18.（2022?江西）圖1是某長(zhǎng)征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知

AB//CD//FG,A,D,H,G四點(diǎn)在同一直線上，測(cè)得NFEC=NA=72.9°,AD=\.6m,

EF=6.2m.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

（1）求證：四邊形OEFG為平行四邊形：

（2）求雕塑的高（即點(diǎn)G到AB的距離）.

（參考數(shù)據(jù)：sin72.9°弋0.96,cos72.9°弋0.29,tan72.9°?=3.25）

圖1圖2

19.（2021?江西）圖1是疫情期間測(cè)溫員用“額溫槍”對(duì)小紅測(cè)溫時(shí)的實(shí)景圖，圖2是其側(cè)

面示意圖，其中槍柄BC與手臂始終在同一直線上，槍身BA與額頭保持垂直.量得

胳膊MN=28a",MB=42cm,肘關(guān)節(jié)M與槍身端點(diǎn)A之間的水平寬度為25.3c〃z（即MP

的長(zhǎng)度），槍身8A=8.5。〃.

（1）求NABC的度數(shù)；

（2）測(cè)溫時(shí)規(guī)定槍身端點(diǎn)4與額頭距離范圍為3?5cm.在圖2中，若測(cè)得NBMN=

68.6°,小紅與測(cè)溫員之間距離為50cm.問此時(shí)槍身端點(diǎn)A與小紅額頭的距離是否在規(guī)

定范圍內(nèi)？并說明理由.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

（參考數(shù)據(jù)：sin66.4°弋0.92,cos66.4°七0.40,sin23.6°弋0.40,&七1.414）

20.（2020?江西）如圖1是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托

板上，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖.量得托板長(zhǎng)AB=120,〃〃?，支撐板長(zhǎng)8=80〃加，底座

長(zhǎng)DE=90mm.托板AB固定在支撐板頂端點(diǎn)C處，且C8=40wn,托板AB可繞點(diǎn)C

轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板CZ）可繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng).（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

（1）若/。CB=80°,ZCDE=60°,求點(diǎn)A到直線QE的距離；

（2）為了觀看舒適，在（1）的情況下，把AB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)10°后，再將CO繞

點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在直線DE上即可，求CO旋轉(zhuǎn)的角度.（參考數(shù)據(jù)：sin40°

~0.643,cos40°g0.766,tan40°g0.839,sin26.6°心0.448,cos26.6°七0.894,tan26.6°

-0.500,?Q1.732)

一十六.簡(jiǎn)單組合體的三視圖（共2小題）

21.（2022?江西）如圖是四個(gè)完全相同的小正方體搭成的幾何體，它的俯視圖為（）

主視

一十七.列表法與樹狀圖法（共3小題）

23.（2022?江西）某醫(yī)院計(jì)劃選派護(hù)士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護(hù)士積極

報(bào)名參加，其中甲是共青團(tuán)員，其余3人均是共產(chǎn)黨員.醫(yī)院決定用隨機(jī)抽取的方式確

定人選.

（1）“隨機(jī)抽取1人，甲恰好被抽中”是事件；

A.不可能

B.必然

C.隨機(jī)

（2）若需從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，請(qǐng)用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護(hù)

士都是共產(chǎn)黨員的概率.

24.（2021?江西）為慶祝建黨100周年，某大學(xué)組織志愿者周末到社區(qū)進(jìn)行黨史學(xué)習(xí)宣講，

決定從A,B,C,。四名志愿者中通過抽簽的方式確定兩名志愿者參加.抽簽規(guī)則：將

四名志愿者的名字分別寫在四張完全相同不透明卡片的正面，把四張卡片背面朝上，洗

勻后放在桌面上，先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下名字，再?gòu)氖Ｓ嗟娜龔埧ㄆ须S機(jī)抽

取第二張，記下名字.

（1）“A志愿者被選中”是事件（填“隨機(jī)”或“不可能”或“必然”）：

（2）請(qǐng)你用列表法或畫樹狀圖法表示出這次抽簽所有可能的結(jié)果，并求出A,8兩名志

愿者被選中的概率.

25.（2020?江西）某校合唱團(tuán)為了開展線上“百人合唱一首歌”的“云演出”活動(dòng)，需招收

新成員.小賢、小晴、小藝、小志四名同學(xué)報(bào)名參加了應(yīng)聘活動(dòng)，其中小賢、小藝來自

七年級(jí)，小志、小晴來自八年級(jí).現(xiàn)對(duì)這四名同學(xué)采取隨機(jī)抽取的方式進(jìn)行線上面試.

（1）若隨機(jī)抽取一名同學(xué)，恰好抽到小藝同學(xué)的概率為；

（2）若隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，請(qǐng)用列表法或樹狀圖法求兩名同學(xué)均來自八年級(jí)的概率.

九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)培優(yōu)綜合練習(xí)-人教版九年級(jí)中考

數(shù)學(xué)真題匯編（江西省）

參考答案與試題解析

一.根的判別式（共1小題）

1.（2022?江西）關(guān)于x的方程/+2x+A=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為1.

【解答】解：???關(guān)于x的方程/+2x+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

，△=22-4XlX%=0,

解得：k=l.

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)A=0時(shí).，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”是解題

的關(guān)鍵.

二.根與系數(shù)的關(guān)系（共2小題）

2.（2021?江西）已知xi,k是一元二次方程/-4x+3=0的兩根，則xi+mx2=1.

【解答】解：’."i,也是一元二次方程/-4x+3=0的兩根，

Axi+X2=4,XIX2=3.

則X\+X2-X\X2=4-3=1.

故答案是：L

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程o?+版+c=o（〃wo）的根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握

XI,X2是一元二次方程/+法+（?=0（〃W0）的兩根時(shí)，Xl+X2=-—,XI*X2=—.

aa

3.（2020?江西）若關(guān)于x的一元二次方程/-履-2=0的一個(gè)根為尤=1,則這個(gè)一元二次

方程的另一個(gè)根為x=-2.

【解答】解：?.?a=Lb=-k,c=-2,

.\x\*X2=-=-2.

a

關(guān)于x的一元二次方程x1-kx-2=0的一個(gè)根為x=1,

???另一個(gè)根為x=-2+1=-2.

故答案為：x=-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，牢記兩根之積等于￡是解

題的關(guān)鍵.

三.反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共1小題）

4.（2022?江西）已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)（x>0）的圖象上，點(diǎn)8在x軸正半軸上,

X

若△OAB為等腰三角形，且腰長(zhǎng)為5,則A3的長(zhǎng)為5或2人或J75.

【解答】解：當(dāng)AO=AB時(shí)，AB=5；

當(dāng)AB=B。時(shí)，AB=5；

當(dāng)04=08時(shí)，設(shè)A（“，超）（a>0）,B（5,0）,

a

???OA=5,

；《2+號(hào)）2=5,

解得：41=3,612=4,

???A（3,4）或（4,3）,

???AB=7⑶5）2+42=2代或/lB=7（4-5）2+32=5^;

綜上所述，AB的長(zhǎng)為5或2遙或

故答案為：5或2標(biāo)或百5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，考查分類討

論的思想，當(dāng)0A=0B時(shí)，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

四.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式（共2小題）

5.（2022?江西）如圖，點(diǎn)4Cm,4）在反比例函數(shù)y=K（x>0）的圖象上，點(diǎn)B在y軸

x

上，OB=2,將線段AB向右下方平移，得到線段CD,此時(shí)點(diǎn)C落在反比例函數(shù)的圖象

上，點(diǎn)。落在x軸正半軸上，且00=1.

（1）點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,2）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為5+1,

2）（用含加的式子表示）；

（2）求人的值和直線AC的表達(dá)式.

【解答】解：(1)由題意得：B(0,2),D(1,0),

由平移可知：線段AB向下平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，

;點(diǎn)A(m,4),

：.C(w+1,2),

故答案為：(0,2),(1,0),(w+1,2)；

(2)?..點(diǎn)A和點(diǎn)C在反比例函數(shù))，=K的圖象上，

X

，z=4m=2(m+1),

??m=1,

???A(1,4),C(2,2),

"=1X4=4,

設(shè)直線AC的表達(dá)式為：y=nx+b,

(n+b=4

I2n+b=2

解得：，片-2,

1b=6

直線AC的表達(dá)式為：y=-2x+6.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平移的性質(zhì)，根據(jù)08

和0。的長(zhǎng)得出平移的規(guī)律是解題關(guān)鍵.

6.(2020?江西)如圖，RtZ\ABC中，/ACB=90°,頂點(diǎn)A,3都在反比例函數(shù)>=區(qū)(x

x

>0)的圖象上，直線ACLx軸，垂足為Q,連接OA,OC,并延長(zhǎng)OC交AB于點(diǎn)E,

當(dāng)AB=2OA時(shí)，點(diǎn)E恰為AB的中點(diǎn)，若NAO￡>=45°,OA=2&.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)求NE。。的度數(shù).

yt

o\DX

【解答】解：(1)?.,直線AC_Lx軸，垂足為D,ZAOD=45°,

...△AO。是等腰直角三角形，

V04=2721

：.OD=AD=2,

；.A(2,2),

；頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象上，

X

??.A=2X2=4,

...反比例函數(shù)的解析式為y=9(x>0)；

X

(2)???A8=2O4,點(diǎn)E恰為48的中點(diǎn)，

：.OA=AEf

：.ZAOE=ZAEO,

?.?RlZ\A8C中，ZACB=90°,

：?CE=AE=BE,

：./ECB=/EBC,

???/AE0=NECB+/EBC=2/EBC,

■BC〃不軸,

：.ZEOD=ZECB,

：.ZA0E=2ZE0Df

VZAOD=45°,

：.ZEOD=150.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，

三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證得NA0E=2NE0D,是解題的關(guān)鍵.

五.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題(共1小題)

7.(2021?江西)如圖，正比例函數(shù)y=x的圖象與反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象交于點(diǎn)

x

A(1,a),在△ABC中，NACB=90°,C4=C8,點(diǎn)C坐標(biāo)為(-2,0).

(1)求人的值；

(2)求A8所在直線的解析式.

【解答】解：(1)1?正比例函數(shù)y=x的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(1,a),

??。=1,

(1,1),

丁點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象上,

x

k=1X1=1；

(2)作AQLx軸于點(diǎn)O,軸于點(diǎn)￡

VA(1,1),C(-2,0),

：.AD=\,CD=3,

VZACB=90°,

AZACD+ZBCE=90°,

VZACD+ZCAD=90°,

：.ZBCE=ZCAD,

在△8為和△CAO中，

2BCE=NCAD

,ZBEC=ZCDA=90°，

CB=AC

:?/\BCEm4CAD(A4S),

：.CE=AD=[fBE=CD=3,

：.B(-3,3),

設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n,

=J_

.,./m+n=1，解得12.

I-3m+n=3

,2

，直線AB的解析式為），=-lx+2.

【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特

征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，求得8的坐標(biāo)是解題

的關(guān)鍵.

六.二次函數(shù)的圖象（共1小題）

8.（2021?江西）在同一平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)>=/與一次函數(shù)y=bx+c的圖象如

圖所示，則二次函數(shù)y=a）+6x+c的圖1象可能是（）

VU

c.D.

【解答】解：觀察函數(shù)圖象可知：a>0,b>0,c<0,

.?.二次函數(shù)y=ax2+6x+c的圖象開口向上，對(duì)稱軸x=-_P_VO,與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)

2a

半軸.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)圖象和一次函

數(shù)圖象經(jīng)過的象限，找出。>0、b>0、c<0是解題的關(guān)鍵.

七.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共1小題）

9.（2020?江西）已知拋物線）=蘇+法+0（a,b,c是常數(shù)，的自變量x與函數(shù)值y

的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

X…-2-1012???

y…m0-3n-3…

（1）根據(jù)以上信息，可知拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x=l；

（2）求拋物線的表達(dá)式及〃?，"的值；

（3）請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出所求的拋物線.設(shè)點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，OP的中點(diǎn)為產(chǎn)，描出

相應(yīng)的點(diǎn)P,再把相應(yīng)的點(diǎn)P用平滑的曲線連接起來，猜想該曲線是哪種曲線？

（4）設(shè)直線y=,w（/?>-2）與拋物線及（3）中的點(diǎn)嚴(yán)所在曲線都有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)從

左到右依次為4,A2,A3,A4,請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出線段A1A2,A3A4之間的數(shù)量關(guān)系

A3A4-AlA2=l.

脩用圖）

【解答】解：（1）根據(jù)表格信息，可知拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x=l；

故答案為：上，直線x=l；

(2)把(-1,0),(0,-3),(2,-3)代入丫="2+及+心得:

a-b+c=O

<c=-3，

4a+2b+c=_3

解得：<b=-21

c="3

二拋物線解析式為y=/-2x-3,

當(dāng)x=-2時(shí)，加=4+4-3=5；

當(dāng)x=1時(shí)，n=\-2-3=-4；

(4)方法一：不妨假設(shè)交點(diǎn)在x軸上，則Ai(-1,0),A2(-A,0),A2(1.5,0),

2

A4(3,0),

1?A3A4=1.5,AIA2=0.5,

AA3A4-AIA2=1.

方法二：如圖2,設(shè)點(diǎn)4,A2,A3，4對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為XI,X2fX3,X4,

.\A\A2=X2-XI,A3A4=尤4-工3,

AA3A4-A\A2=X4-X3-(X2-XI)=X4+X]-(X3+X2),

令y=7-2x-3="，可得x2-2x-3-〃7=0,它對(duì)應(yīng)的兩個(gè)根應(yīng)為xi,工4,

.??XI+X4=2,

令yulr2-2JV-可得2/-2x-e-加=0,它對(duì)應(yīng)的兩個(gè)根應(yīng)為X2,孫

22

/.JC2+X3=1,

?'A3A4-AIA2=2-1=1.

或工(X14-X4)=1(對(duì)稱軸),

2

倍長(zhǎng)OA2到O4‘2,倍長(zhǎng)OA3到。A3,可知A》（橫坐標(biāo)2X2）和43（橫坐標(biāo)2x3）在原

拋物線上，且關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,

A(2X2+2X3)=1(對(duì)稱軸),

2

可得A3A4-A1A2=1.

方法三：如圖2,設(shè)尸（x,y）,P'（p,q）,

???點(diǎn)P'為OP的中點(diǎn)，

</=Ay,即x=2p,y=2g,代入y=/-3中，得（2〃）2—2X2p—3=2g,

22'

???q=2p2-2p-3,即點(diǎn)P所在的拋物線的表達(dá)式為>=2?-2%-3,

22

;直線y=m與拋物線y=f-2x-3有兩個(gè)交點(diǎn)，

2-匹,或

..y=x-2x-3,解得.x=lx=l+V4+m

y=my=my=m

?Ai(1-74+m，m)，A4(1+V4+m?m),

?直線y=m與拋物線y=2x2-2x-3有兩個(gè)交點(diǎn),

2

932,解得［得小廊苒或hw岳

y=2x-2x--

y=my=mIy=m

?A2(A-—V2m+4>"2),A3<—+—V2m+4,m),

2222

\AIA2=(工-工/2m+4)-(1-V4+m)=-*-2m+4+44+m，

22

A3A4=(1+V4+m)-(--+-^-V2m+4)=/-2m+4+74+m，

AA3/A4-A1^2=C—+74+m)~-2^2in+4+^4+m)=1.

2

故答案為：A3A4-AlA2=l.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)

合并熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

八.拋物線與X軸的交點(diǎn)（共1小題）

10.（2020?江西）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=f-2x-3與y軸交

于點(diǎn)A,與x軸正半軸交于點(diǎn)8,連接AB,將Rt^OAB向右上方平移，得到Rtz^O/E,

且點(diǎn)。，，A'落在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)8落在拋物線上，則直線AE的表達(dá)式為（）

A.y=xB.y=x+lC.y=x+」D.y—x+2

2

【解答】解：如圖，：拋物線y=7-2x-3與y軸交于點(diǎn)A,與x軸正半軸交于點(diǎn)3,

令y=0,解得x=-l或3,

令K=0,求得y=-3,

：.B(3,0),A(0,-3),

,/拋物線-2x-3的對(duì)稱軸為直線x=--l2_=l,

2X1

.??A'的橫坐標(biāo)為1,

設(shè)A'(1,〃)，則B'(4,n+3),

?.?點(diǎn)9落在拋物線上，

.?.”+3=16-8-3,解得"=2,

.?.4'(L2),B'(4,5),

設(shè)直線的表達(dá)式為y=kx+h,

.Jk+b=2,

I4k+b=5

解得心口

Ib=l

直線Ab的表達(dá)式為y=x+\,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，坐標(biāo)和圖形變換-平移，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)

的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，根據(jù)題意表示出A'、B'的坐標(biāo)是解題

的關(guān)鍵.

九.二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

11.（2022?江西）跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)可分為助滑、起跳、飛行和落地四個(gè)階段，運(yùn)動(dòng)員起跳后飛

行的路線是拋物線的一部分（如圖中實(shí)線部分所示），落地點(diǎn)在著陸坡（如圖中虛線部分

所示）上，著陸坡上的基準(zhǔn)點(diǎn)K為飛行距離計(jì)分的參照點(diǎn)，落地點(diǎn)超過K點(diǎn)越遠(yuǎn)，飛行

距離分越高.2022年北京冬奧會(huì)跳臺(tái)滑雪標(biāo)準(zhǔn)臺(tái)的起跳臺(tái)的高度OA為66m,基準(zhǔn)點(diǎn)K

到起跳臺(tái)的水平距離為75〃?，高度為例〃（〃為定值）.設(shè)運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)A起跳后的高

度y(加與水平距離x(相)之間的函數(shù)關(guān)系為了=0?+公+。(〃W0).

(1)c的值為66；

(2)①若運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)恰好到達(dá)K點(diǎn)，且此時(shí)匕=且，求基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度

5010

h\

②若〃=-」一時(shí)，運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)要超過K點(diǎn)，則學(xué)的取值范圍為b>2；

5010-

(3)若運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為25機(jī)時(shí)，恰好達(dá)到最大高度76根，試判斷他的落地點(diǎn)能

把A(0.66)代入yuox2+bx+c得：

c=66,

故答案為：66；

(2)①6=_2_,

5010

；.y=--L^r2+_^_a+66,

5010

?.?基準(zhǔn)點(diǎn)K到起跳臺(tái)的水平距離為75m,

：.y=--LX752+-^-X75+66=21,

5010

基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度〃為21/n；

②?.,〃=-J-,

50

y=--1L-^+bx+6(>,

50

,??運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)要超過K點(diǎn)，

，x=75時(shí)，y>2\,

即-J^X752+75Z?+66>21,

50

解得b>2,

10

故答案為：b>&；

10

(3)他的落地點(diǎn)能超過K點(diǎn)，理由如下：

;運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為25/時(shí)，恰好達(dá)到最大高度76m,

...拋物線的頂點(diǎn)為(25,76),

設(shè)拋物線解析式為y=a(x-25)2+76,

把(0,66)代入得：

66=?(0-25)2+76,

解得“=-2,

125

二拋物線解析式為y=-二一(x-25)2+76,

125

當(dāng)x=75時(shí)，y=--2-X(75-25)2+76=36,

125

V36>21,

他的落地點(diǎn)能超過K點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能根據(jù)題意把實(shí)際問題轉(zhuǎn)

化為數(shù)學(xué)問題.

一十.二次函數(shù)綜合題(共1小題)

12.(2021?江西)二次函數(shù))，=/-2,nr的圖象交x軸于原點(diǎn)。及點(diǎn)A.

感知特例

(1)當(dāng)時(shí)，如圖1,拋物線L：y=7-2x上的點(diǎn)B,O,C,A,。分別關(guān)于點(diǎn)A

中心對(duì)稱的點(diǎn)為B',O',C',A',,如表：

???B(-1,3)O(0,0)C(1,-1)A(2,0)D(3,3)…

???8(5,-3)O'(4,0)C(3,1)A'(2,0)D'(1,-…

3)

①補(bǔ)全表格；

②在圖1中描出表中對(duì)稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為。.

iii

圖i

形成概念

我們發(fā)現(xiàn)形如(1)中的圖象，上的點(diǎn)和拋物線L上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱，則稱Z是L

的“孔像拋物線”.例如，當(dāng)機(jī)=-2時(shí)，圖2中的拋物線，是拋物線L的“孔像拋物線”.

圖2

探究問題

(2)①當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，若拋物線L與它的“孔像拋物線”，的函數(shù)值都隨著x的增大而

減小，則x的取值范圍為-3WxW-1；

②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)“取不同值時(shí)，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函

數(shù))，=--2爾的所有“孔像拋物線”，都有唯一交點(diǎn)，這條拋物線的解析式可能是v

=/(填uy=aj^+hx+c,>或ay=ax!^+bx,^或uy=ax2+c,'或ay=a^n,其中abc#G)；

③若二次函數(shù)y=x2-2，nr及它的“孔像拋物線”與直線y=，"有且只有三個(gè)交點(diǎn)，求，"

的值.

【解答】解：(1)①(-1,3),B'(5,-3)關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱,

.?.點(diǎn)A為BB'的中點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)A(m,n),

?-1+5-93-3-n

22

故答案為：(2,0)；

②所畫圖象如圖1所示，

(2)①當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，拋物線L：y=/+2x=(x+1)2-1,對(duì)稱軸為直線x=-l,開口

向上，當(dāng)時(shí)，L的函數(shù)值隨著x的增大而減小，

拋物線L'：＞=-/_旅-8=-(x+3)2+1,對(duì)稱軸為直線x=-3,開口向下，當(dāng)X》

-3時(shí)，L'的函數(shù)值隨著x的增大而減小，

.?.當(dāng)-1時(shí)，拋物線A與它的“孔像拋物線”，的函數(shù)值都隨著x的增大而減小,

故答案為：-3WxW-1；

②拋物線-2mx的“孔像拋物線”是y=-7+6〃吠-8，/,

???設(shè)符合條件的拋物線〃解析式為y=a'/+，x+c',

令x^+b'x+c'=-X1+ftmx-87n2,

整理得(a'+1)/+(h1-6m)x+(c'+8m2)=0,

：拋物線M與拋物線L'有唯一交點(diǎn)，

分下面兩種情形：

/)當(dāng)a'=-1時(shí)，無論，為何值，都會(huì)存在對(duì)應(yīng)的，〃使得，-6m=0,此時(shí)方程無

解或有無數(shù)解，不符合題意，舍去；

")當(dāng)a'￥-1時(shí)，A=(b'-6w)2-4(a'+l)(c'+8川)=0,

即〃'272b，，什36加2-4(a'+l)*8m2-4c'(a'+1)=0,

整理得[36-32(a'+1)]m2-12b'm+b'2-4c'Ca'+1)=0,

?.?當(dāng)〃?取不同值時(shí)，兩拋物線都有唯一交點(diǎn)，

當(dāng)機(jī)取任意實(shí)數(shù)，上述等式都成立，即：上述等式成立與機(jī)取值無關(guān)，

'36-32(a'+1)=0

-12b'=0,

,b'2-4C'(a'+1)=0

解得/=A,b'=0,c'=0,

8

則y—Xx2-,

8

故答案為：y=/；

③拋物線乙：y—x1-2mx—(x-m)2-m1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(m,

其“孔像拋物線"C為：y=-(x-3m')2+/M2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為N(3m,in2),

拋物線Z,與其“孔像拋物線”〃有一個(gè)公共點(diǎn)A(2m0),

.?.二次函數(shù)y=7-2,內(nèi)及它的“孔像拋物線”與直線>=用有且只有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有三

種情況：

/)直線經(jīng)過何(/?,-w2),

/?tn=-機(jī)2,

解得：m--I或加=0(舍去)，

z7)直線經(jīng)過N(3〃7,%P),

解得：相=1或機(jī)=0(舍去)，

iii)直線經(jīng)過A(2m,0),

*,?陽=0,

但當(dāng)機(jī)=0時(shí)，y=f與y=-7只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，舍去，

綜上所述，〃?=±1.

【點(diǎn)評(píng)】本題是關(guān)于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，中心對(duì)稱性質(zhì)

及應(yīng)用，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，新定義理解及應(yīng)

用等，解題關(guān)鍵是理解題意，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想、方程思想思考解決問

題.

一十一.正多邊形和圓（共1小題）

13.（2021?江西）如圖，在邊長(zhǎng)為6我的正六邊形ABCQEF中，連接BE,CF,其中點(diǎn)M,

N分別為8E和CF上的動(dòng)點(diǎn).若以M,N,。為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為

整數(shù)，則該等邊三角形的邊長(zhǎng)為9或10或18.

【解答】解：連接DF,DB,BF.則△OB尸是等邊三角形.

設(shè)BE交QF于■

:六邊形ABCDEF是正六邊形，

.?.由對(duì)稱性可知，DF工BE,NJEF=60°,EF=ED=6如,

：.FJ=DJ^EF-sm60a=6代義亞=9,

2

.?.￡）尸=18,

當(dāng)點(diǎn)〃與B重合，點(diǎn)N與尸重合時(shí)，滿足條件，

.,.△OA/N的邊長(zhǎng)為18,

如圖，當(dāng)點(diǎn)N在。C上，點(diǎn)〃在OE上時(shí)，

BL——

'D

等邊△OMN的邊長(zhǎng)的最大值為6y210.39,最小值為9,

...△OMN的邊長(zhǎng)為整數(shù)時(shí)，邊長(zhǎng)為10或9,

綜上所述，等邊的邊長(zhǎng)為9或10或18.

故答案為：9或10或18.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是判斷出△BC尸是等邊三角形，屬于中考?？碱}型.

一十二.利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案（共1小題）

14.（2021?江西）如圖是用七巧板拼接成的一個(gè)軸對(duì)稱圖形（忽略拼接線）小亮改變①的位

置，將①分別擺放在圖中左，下，右的位置（擺放時(shí)無縫隙不重疊），還能拼接成不同軸

對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)為（）

下

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：觀察圖象可知，能拼接成不同軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)為3個(gè).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是理解軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，屬于中

考?？碱}型.

一十三.作圖-旋轉(zhuǎn)變換（共2小題）

15.（2021?江西）已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)E是8的中點(diǎn)，請(qǐng)僅用

無刻度直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡）.

（1）在圖1中，將直線AC繞著正方形ABC。的中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°；

（2）在圖2中，將直線AC向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度.

【解答】解：（1）如圖1,直線/即為所求;

圖2、

（2）如圖2中，直線“即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，作圖-平移變換，正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)

鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平移的性質(zhì).

16.（2020?江西）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△