備戰(zhàn)2022年高考名師預(yù)測模擬卷(12)

填空題(共12小題)

1.設(shè)全集U=R,若A={x||x—?jiǎng)t4，A=_(-1,5)_.

【解答】解：；A={x|x,-1或x..5},U=R，

.??4=(-1,5).

故答案為：(-1,5).

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=l,使得關(guān)于x的方程2^+2h+2=0有實(shí)根，則這樣的復(fù)數(shù)z的和為

_3

~2~'

【解答】解：設(shè)2=4+〃，(a,be,R,a2+b2=1),

將原方程改為(。+4”2+2(〃-4)x+2=0,

分離實(shí)部與虛部后等價(jià)于:

ax2+2ax+2=QX),bx1-2bx=0@,

若8=0,則/=1,但當(dāng)a=l時(shí)，①無實(shí)數(shù)解，從而a=-1,

此時(shí)存在實(shí)數(shù)x=-1土有滿足①②，

故z=-l滿足條件；

若6x0,則由②知xe{0,2},

但顯然x=0不滿足①，故x=2,

代入①解得：a=~,則方=士巫，

44

故z=W瓦

4

綜上，滿足條件的所有z的和為：一1+二1土巫+二1二叵二一3,

442

故答案為：一3.

2

3.已知;；=°，則直線依+切+c=0的傾斜角為_/一arctang_

【解答】解：由"''=0得：為一6=0;

12

直線"+by+c=0的斜率攵=一;=-g；

故傾斜角為：7T-ai-ctan—；

2

故答案為：7T-arctan—.

2

4.已知向量。=(3,4),b=(sin?,coscr),且M/區(qū)，則taMa+為:7.

4

【解答】解：,向量值=(3,4),b=(sina,cosa),且〃//b,.,.3cosa-4sinof=0,

sina3

tana=-------=—，

cosa4

7

,兀、tana+14

/.tan(a+—)=----------=—=7,

41-tana13

4

故答案為：7.

5.在等差數(shù)列｛%｝中，若生+q=8,貝U其前15項(xiàng)和=60.

【解答】解：由｛對｝是等差數(shù)列，得幾=￡(4+%)=￡(。3+&)=￡*8=6.

故答案為：60.

6.已知函數(shù)/(x)=2+log〃Ma>0且4W1)的反函數(shù)為丫=廣|(幻?若尸］(3)=2,則。=

2.

【解答】解：?.?廣1(3)=2,.*./(2)=3,代入可得3=2+log,2,化為log“2=l,解

得a=2.

故答案為：2.

7.若函數(shù)/(x)=xlog.(X+J4+2,)偶函數(shù),則。=___.

【解答】解：由己知可得/(-?=/*),

2222

即-xloga(-x+^(-x)+2a)=xloga(x+ylx+2a),

2222

即log<l(x+Vx+2a)+loga(-x+\/x+2a)=0,

所以，2a2=1,

因?yàn)閍>0,

故a=g

2

故答案為：顯.

2

8.用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134大的數(shù)字個(gè)數(shù)

為17.(用數(shù)字作答)

【解答】解：根據(jù)題意，用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，

當(dāng)其千位數(shù)字為3或4時(shí)，有2圖=12種情況，即有12個(gè)符合題意的四位數(shù)，

當(dāng)其千位數(shù)字為2時(shí)，有6種情況，其中最小的為2134,則有6-1=5個(gè)比2134大的四位

數(shù)，

故有12+5=17個(gè)比2134大的四位數(shù)，

故答案為：17.

9.若一組樣本數(shù)據(jù)11,9,x,10,8的平均數(shù)為10,則該組樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_夜_.

【解答】解：因?yàn)橐唤M樣本數(shù)據(jù)11,9,x,10,8的平均數(shù)為10,

x=^x(9+8+x+10+ll)=10.

解得元=12,

該組樣本數(shù)據(jù)的方差§2=(X[(11-10)2+(9-10)2+(8-10)2+(12-10)2+(10-10)2]=2.

該組樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為應(yīng)；

故答案為：&.

10.設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S,,,首項(xiàng)4>0,公差d<0,若對任意的總存

在kcN*,使%t=(24-l)S“，則4—3〃的最小值為_-8_.

【解答】解：由題意可得QI),+*)=(2I)S?,

則得=Qk-1)5,,,即ak=S?,

令〃=2得:ak=S2,即q+(4-l)4=2q+"(*),即得無-2=幺,

d

因?yàn)槭醉?xiàng)q>0,公差d<0,貝lj得％-2=?<0,即％<2,

又?.?ZGN*,所以左=1,代入(*)得：d=,

當(dāng)d=-a｝時(shí)，由％=Sn得q-(攵一l)q=na]-^――,

即攵=(〃一])5—2)+],所以％—3〃=,/一2〃+2,

222

1Q77

即k—3n=—[(n--)2，

因此當(dāng)〃=4或5時(shí)，攵一3〃的最小值為一8.

故答案為：-8.

11.在AABC中，設(shè)角A,B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,,記AABC的面積為S,且

4a2=6+加2,則與的最大值為叵

a2-6—

【解答】解：4a2=b2+2c2,a2=^b2+2c2),

b2+c2-a2b2+c2-^b2+2c2)3b2+2c2

cosA=---------=-----------------=---------=--------

2bc2bc2bcSbc

所+2(?了

>2c2(1一ca*A)222244

bc[l-1_152bc-9b-4c盡

S264/7*

4~-16*bA+4c4+4b2c2'、''一3'

/=a4(6+2,2)2

,i521,8(71),,

則m—r=-4—；--------1]，

a4164/+今+1

人，、7—1，/、11-14/

令gQ)=v^~~w=――-7

4廠+4/+1(2r+1)

所以g⑺在(0,《)遞增，(日,長0)遞減,

所以g(f),皿=g(￡)=*,

所以2的最大值為1

a24

當(dāng)且僅當(dāng)1妨2=1叱時(shí),取等號,

故答案為：叵

6

12.已知點(diǎn)P(0,2),橢圓-F——=1上兩點(diǎn)A(%|,y)，B(x?,%)滿足入戶=幾產(chǎn)質(zhì)，wR)，

168

則12再+3先721+12電+3%T21的最大值為—2(9+V17)

【解答】解：如圖所示

滿足衣=4P瓦XeR),直線/的方程為：2x+3y-l2=0.

點(diǎn)A,3到直線,的距離分別為：4=母嚼⑵,&=|2%+京121

設(shè)線段他的中點(diǎn)為耳(不)，％),點(diǎn)4到直線/點(diǎn)距離為痣.

貝|J4+4=24.

,|2x0+3%-12|

4=—布—'

/.|2玉4-3>^-12|+|2X2+3y2-121=713(^4-J2)=212x0+3%-121.

相減可得：包+比)=0,%=&=2k二.

168x()

可得:李+(%-1)、1，BPy+(y-l)2=l.

設(shè)直線2x+3y+〃?=0與上述橢圓相切，

化為:VJy1+(6m-16)y+?72=0,

令△=(6%-16)2-68，*2=0,

化為：m2+6m-8=0.

解價(jià)〃?=—3±JP7.

取m=一3+JF7,

|-3+a+12|9+V17

的最大值為:

V22+32

2>/13x9+,即2(9+折).

.-J2王+3乂-12|+|2%+3%-12|的最大值為:2^

V13

13.設(shè)a,/7,/是三個(gè)不重合的平面，/是直線，給出下列命題

①若a］。，p］丫，則aJ_/；

②若/上兩點(diǎn)到a的距離相等，貝”//0；

③若IH/3,則a，￡；

④若a//￡,lUp,且〃/a,貝”〃尸.

其中正確的命題是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

【解答】解：若aL。,則a與/可能相交，也可能平行，故①錯(cuò)誤；

若/上兩點(diǎn)到a的距離相等，則/與a可能相交，也可能平行，故②錯(cuò)誤；

若////?,則存在直線au夕，使///a,又/_La,.a,則aJ_p,故③正確；

若a//￡,且〃/a,貝!J/u尸或/〃〃，又山/仁/，；.///￡,故④正確；

故選：D.

14.算籌是在珠算發(fā)明以前我國獨(dú)創(chuàng)并且有效的計(jì)算工具，為我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了很

大貢獻(xiàn).在算籌計(jì)數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數(shù)字，如圖：

數(shù)字123456789

形式

縱式

1IIIII1111IIIIITrrTITmr

一

橫式一三二三XXXX

表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置

_L7T=TTT6728

空，如圖：-LTITT6708

如果把5根算籌以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胗颐娴谋砀裰?，那么可以表示的三位?shù)的個(gè)數(shù)為（

A.46B.44C.42D.40

【解答】解：按每一位算籌的根數(shù)分布一共有15種情況，

如卜(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,

0),(2,2,1),(2,1,2),(2,0,3),

(1,4,0),(1,3,I),(1,2,2),(1,I,3),(1,0,4).

2根以上的算籌可以表示兩個(gè)數(shù)字，運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理,

則上列情況能表示的三位數(shù)字個(gè)數(shù)分別為:

2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2,

根據(jù)分步加法計(jì)數(shù)原理，5根算籌能表示的三位數(shù)字個(gè)數(shù)為：

2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44,

故選：B.

15.如圖，正方體ABCO-ABCA中，E、E分別是A5、BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)？、E、F

的截面將正方體分割成兩個(gè)部分,記這兩個(gè)部分的體積分別為乂、匕（匕<匕），則匕：匕=（

）

DiCl

c

AEB

A3257

-1B.-C.—D.-

5479

【解答】解：如圖所示,設(shè)正方體的棱長為2〃，則過點(diǎn)R、E、尸的截面下方體枳為

11rrc11

323239

??.另一部分體積為8“一X3,

9

25

V:K=——，

,247

故選：C.

D\G

1

16.拋物線了2=2*（0>0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)4、3在拋物線上，且NAFB=120。，弦4?中

點(diǎn)M在準(zhǔn)線/上的射影為則幽U的最大值為（）

1倜

A.迪B.V3cMD.也

333

【解答】解：設(shè)A尸=a,BF=b,由拋物線定義，2|MM,\=a+b.

而余弦定理，|AB|2=/4-&2-2abcosl200=（a+b）2-ab,

再由〃+h..2\[ab,得至U|A31..三5+h）.

所以幽d的|最大值為由

\AB\3

故選：D.

三.解答題（共5小題）

17.在三棱錐P-A3C中，PA=PB=PC=AC=2應(yīng),BA=BC=2,O是線段AC的中點(diǎn),

M是線段BC的中點(diǎn).

（1）求證：POJ_平面ABC；

（2）求直線PM與平面P8O所成的角的大小.

P

B

【解答】證明：⑴BA=BC=2,AC=2應(yīng),

由于&42+3。2=AC?,

所以=

2

所以3O_LAC,且80=2,

由于APAC為等邊三角形，

所以POJ_AC，PO=R,又PB=2近,

所以而=2+802,

所以/尸。8=生，

2

故POLBO、

故尸O-L平面ABC.

解：(2)過點(diǎn)“作A/W_L8O交80于N,

連接PN，

如圖所示：

得至l」MW_LPO,由于M?VJ_3O，

所以MN平面ABC，

故NMPN為直線PM與平面PBO的夾角，

由(1)知：BOYAC,

從而點(diǎn)N為線段30的中點(diǎn)，

所以MN」OC」AC=也，

242

PM=7PC2-MC2=嶼,

故sin4MPN=&~=叵.

PM14

故直線PM與平面PBO所成的角的大小為arcsin—.

14

18.設(shè)a>0且awl,teR,已知函數(shù)/(x)=log.(x+1),g(x)=21og“(2x+f).

(1)當(dāng)r=-l時(shí)，求不等式/(x),,g(x)的解;

(2)若函數(shù)F(x)=〃u>+芯-2f+l在區(qū)間(-1,2］上有零點(diǎn)，求f的取值范圍.

【解答】解:(1)當(dāng)，=一1時(shí)，不等式f(x),,g(x)可化為log.(x+D?210gli(2*-1),

當(dāng)Ov〃<l時(shí)，則有卜-D"，解得JL<3,

[2x-l>024

所以不等式/??g(x)的解集為§,京；

當(dāng)a>l時(shí)，則有[2+L，(2x-l)2,解得

[2x-l>04

所以不等式/(%)?g(X)的解集為[*,+8).

4

綜上所述，當(dāng)0<。<1時(shí)，不等式/(戲,g(幻的解集為d,京；

當(dāng)a>1時(shí)，所以不等式f(x\,g(x)的解集為[-,+oo).

4

(2)函數(shù)F(x)=af(x)+比？-2,+1=x+1+江？_27+1=比？+x-2,+2,

4tc2+x-2/+2=0,即f(x2-2)=-(x+2),

因?yàn)閤e(-l,2],所以x+2e(l,4],

所以30,X2-2^0,

1r2-22

故-=------=4(X4-2)+——]+4,

tx+2x+2

12

設(shè)加=工+2￡(1,4],則有-=一(m+—)+4,

tm

故-L1<0或0」,,4-20,

2tt

解得—2或

故f的取值范圍為1,,-2或心衛(wèi)史.

4

19.如圖某公園有一塊直角三角形ABC的空地，其中NACB=工，ZABC=~,AC長a千

26

米，現(xiàn)要在空地上圍出一塊正三角形區(qū)域。EF建文化景觀區(qū)，其中￡>、E、F分別在BC、

AC.ABh.設(shè)NDEC=6.

(1)若6>=%,求AD￡F的邊長；

3

(2)當(dāng)6多大時(shí)，AD￡F的邊長最??？并求出最小值.

B

【解答】解：(1)設(shè)的邊長為不千米，由。=工得CE=」x,AE=a--x,

322

AA￡F中，ZFEA=7r-0--=-,ZA=-,

333

/.A4￡F為等邊三角形,AE=x=a——x?

2

故％

3

即ADEF的邊長為生；

3

(2)設(shè)ADEF的邊長為x千米，

所以CE=xcos0，AE=a—xcos0，

AA￡F中，ZFEA=--0,ZA=-,N￡E4=9,

33

.十廿^xa-xcosO

由正弦定理得，------=--------—,

，s.m—冗sin。

3

故X=叢a=瓜,

2sin6+Gcos。臼.

V7sin(n0+arctan)

當(dāng)0=--arctan正時(shí)x取得最小Hi華=叵，即4DEF的邊長最小值囪a.

22V777

20.已知函數(shù)/*)=1嗎、e°其中P,A7是非空數(shù)集，且">=0,設(shè)

[-xi+2x,xeM11

f(P)={y\y=fM，xeP},f(M)={y\y=f(x)fxeM].

(I)若尸=(F,0),M=[0,4],求/(P)U〃M)；

(H)是否存在實(shí)數(shù)a>-3,使得網(wǎng)」仞=[-3，a],且/(P)|J/(M)=~3,2a-3]?若存

在，請求出滿足條件的實(shí)數(shù)4；若不存在，請說明理由；

(III)若P|jM=R，且Oe"，/eP,f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，求集合P,M.

【解答】解：(/)?.?P=(-<?,0),■-f(.P)-{y\y=l^l>0)}=(0,+oo),

vAf=[O,4],f(M)={y\y^-x2+2x,xe[O,4]}=[-8,1].

???/(尸)U/(")=[-8,R)

(〃)若一3eM,貝1]/(-3)=-15史[—3,加一3],不符合要求

:.-3GP,從而/(-3)=3

..?/(-3)=3e[-3,2a-3]

2a—3..3,得a..3

若a>3,則2a-3>3>-(1)"=-爐+2彳

PQM=0,.?.Za—B的原象且3<%,”

得與前提矛盾

x0=2a-3?a,a,3,

4Z—3

此時(shí)可取尸=[一3,T)|J[。，3],M=[-l,0),滿足題意

(/〃)???/(幻是單調(diào)遞增函數(shù)，.?.對任意xvO,有/(x)v/(O)=O,

(-oo,0)qA/,同理可證：(l,+oo)qP

若存在使得則2

0<%v1,x0eM,1>/(x0)=-x0+2x()>x(),

于是[%,2

-x0+2x0]cM

記入=22

-x0+2x0e(0,1),x2=-Xj+2%,...

同理可知

xJeM,A，x2]eM,...

由％=-X?2+2x?,得1-X向=1+x；-2x?=(1-X?)2;

22

?'-l-xn=(l-x#.1)=(1-X?,2)2=...=(1-^)2"

對于任意xw[題，1],取[log21og<|_Xo)(I-x)-1,logJog"_Xo)(l-X)]中的自然數(shù)凡，則

G

x[xnx,xnx+1]cA/

[xQ,l)cM

綜上所述，滿足要求的P，M必有如下表示：

P=(O,/)|J[1,+00),A/=(-oo,oi|j[r,1),其中o<f<l

或者尸=(0,z]|J[l,+oo),M=y,()||J(f，l)，其中0<，<1

或者p=[l,+00),M=(ro,l)

或者尸=(o,??),M=(ro,0]

21.若數(shù)列｛a,,｝滿足“對任意正整數(shù)i,j,i手j,都存在正整數(shù)4,使得ak=率％”，則

稱｛q｝具有“性質(zhì)P”.

(1)判斷各項(xiàng)均等于。的常數(shù)列是否具有“性質(zhì)尸”，并說明理由；

(2)若公比為2的無窮等比數(shù)列｛4｝具有“性質(zhì)P”，求首項(xiàng)q的值；

(3)證明：首項(xiàng)為2的無窮等差數(shù)列｛4｝具有“性質(zhì)P”的充要條件是公差4=1或d=2.

【解答】(1)解：若數(shù)列｛4｝具有“性質(zhì)P”，“對任意正整數(shù)i,j,Tj,

都存在正整數(shù)大，使得4=4"/',所以”

所以〃=0或I,

故當(dāng)a=0或1時(shí)，各項(xiàng)均等于a的常數(shù)列具有“性質(zhì)P”；

當(dāng)awO且0聲1時(shí)，各項(xiàng)均等于a的常數(shù)列不具有“性質(zhì)尸”.

(2)解：對任意正整數(shù)i,j,i/j,

都存在正整數(shù)k，使得ak=a,?a.,即2皿=2一?q?，

所以4=2*+ir,

令k+l—i—j=mwZ,則q=2"',

1

當(dāng)…-1且帆eZ時(shí)，an=cif-2"-=2"""T,

對任意正整數(shù)i,j,i豐j,由4—,得2，"+I=2"L2"'+H,

所以Z=i+j+m-\,

向i+./+機(jī)-1是正整數(shù)，所以存在正整數(shù)々=i+/+m-l,使得成立，數(shù)列具有

“性質(zhì)P”；

當(dāng)稗，