第一次月考數(shù)學理試題【天津版】一、選擇題：1．已知是實數(shù)，是純虛數(shù)，則等于A.；B.；C.；D.2．已知的展開式中的系數(shù)為,則 A． B． C． D．3．若實數(shù)滿足且的最小值為，則實數(shù)的值為A.；B．；C.；D.4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值是A．3 B．—6C．10 D．—155．如圖所示,圓的直徑，為圓周上一點，,過點作圓的切線，過點作的垂線，垂足為,則∠A.B.C.D.6．已知，，則使成立的一個充分不必要條件是 A． B． C． D．7．已知實數(shù)，的等差中項為，設(shè)，則的最小值為A．3 B．4 C．5 D．68．對于函數(shù)，若，為某一三角形的三邊長，則稱為“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，已知函數(shù)是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．二、選擇題：9．已知有若干輛汽車通過某一段公路，從中抽取輛汽車進行測速分析，其時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時速在區(qū)間上的汽車大約有輛.80時速（km/h）001時速（km/h）001002003004組距4050607080頻率O3336正視圖側(cè)視圖俯視圖10．如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是18 11．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則=．12．已知平面上的三個向量，滿足，則的最大值是313．在中，角的對邊分別為，且，若的面積為，則的最小值為1214．設(shè)函數(shù)若，則函數(shù)的零點個數(shù)有個.4三、解答題：15．已知函數(shù)，其中，.（Ⅰ）求函數(shù)的最大值和最小正周期；（Ⅱ）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別是，且，，若，求的面積。解：（=1\*ROMANI）……………2分=……4分的最大值為0；最小正周期為.………6分（Ⅱ），又，解得…8分又，由正弦定理---------------①，…………9分由余弦定理，即-------------②…………10分由①②解得：，.…………………12分16．盒中裝有個零件，其中個是使用過的，另外個未經(jīng)使用.（Ⅰ）從盒中每次隨機抽取個零件，每次觀察后都將零件放回盒中，求次抽取中恰有次抽到使用過的零件的概率；（Ⅱ）從盒中隨機抽取個零件，使用后放回盒中，記此時盒中使用過的零件個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.（Ⅰ）解：記“從盒中隨機抽取個零件，抽到的是使用過的零件”為事件，則.………………2分所以次抽取中恰有次抽到使用過的零件的概率.……5分（Ⅱ）解：隨機變量的所有取值為.………………7分；；.………………10分所以，隨機變量的分布列為:………………11分.………………13分16．已知數(shù)列中，，前項的和是滿足：都有：其中數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列；（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，求.都有：，令得：從而，又因為數(shù)列是公差為1，所以，得：，當時，，檢驗：時，不滿足題設(shè)；故通項公式是：（Ⅱ）當時,，當時,，所以，符合，故.18．在四棱錐中，底面是直角梯形，∥，，，平面平面.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求平面和平面所成二面角（小于）的大??；（Ⅲ）在棱上是否存在點使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.（Ⅰ）證明：因為，所以.………1分因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.………3分（Ⅱ）解：取的中點，連接.因為，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.………4分如圖，以為原點，所在的直線為軸，在平面內(nèi)過垂直于的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標系．不妨設(shè).由直角梯形中可得，，.所以，.設(shè)平面的法向量.因為所以即令，則.所以.………7分取平面的一個法向量n.所以.所以平面和平面所成的二面角（小于）的大小為.………9分（Ⅲ）解：在棱上存在點使得∥平面，此時.理由如下：………10分取的中點，連接，，.則∥，.因為，所以.因為∥，所以四邊形是平行四邊形.所以∥.因為，所以平面∥平面.………13分因為平面，所以∥平面.………14分19．（本小題滿分14分）已知函數(shù)（1）當時，比較與1的大?。唬?）當時，如果函數(shù)僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）求證：對于一切正整數(shù)，都有解：（1）當時，，其定義域為…1分因為，所以在上是增函數(shù)…………3分故當時，；當時，；當時，…4分（2）當時，，其定義域為，令得，…………6分因為當或時，；當時，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增且的極大值為，極小值為…7分又當時，；當時，因為函數(shù)僅有一個零點，所以函數(shù)的圖象與直線僅有一個交點。所以或…9分（3）方法一：根據(jù)（1）的結(jié)論知當時，即當時，，即…12分令，則有從而得，，…13分故得即所以…14分20．已知數(shù)列.如果數(shù)列滿足，，其中，則稱為的“衍生數(shù)列”.（Ⅰ）若數(shù)列的“衍生數(shù)列”是，求；（Ⅱ）若為偶數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，證明：的“衍生數(shù)列”是；（Ⅲ）若為奇數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，的“衍生數(shù)列”是，….依次將數(shù)列，，，…的第項取出，構(gòu)成數(shù)列.證明：是等差數(shù)列.（Ⅰ）解：.………………3分（Ⅱ）證法一：證明：由已知，，.因此，猜想.………………4分①當時，，猜想成立；②假設(shè)時，.當時，故當時猜想也成立.由①、②可知，對于任意正整數(shù)，有.………………7分設(shè)數(shù)列的“衍生數(shù)列”為，則由以上結(jié)論可知，其中.由于為偶數(shù)，所以，所以，其中.因此，數(shù)列即是數(shù)列.………………9分證法二：因為，，，……，由于為偶數(shù)，將上述個等式中的第這個式子都乘以，相加得即，.………………7分由于，，根據(jù)“衍生數(shù)列”的定義知，數(shù)列是的“衍生數(shù)列”.………………9分（Ⅲ）證法一：證明：設(shè)數(shù)列,,中后者是前者的“衍生數(shù)列”.欲證成等差數(shù)列，只需證明成等差數(shù)列，即只要證明即可.……10分由（Ⅱ）中結(jié)論可知，，所以，，即成等差數(shù)列，所以是等差數(shù)列.………………13分證法二：因為，所以.所以欲證成等差數(shù)列，只需證明成等差數(shù)列即可.………………10分對于數(shù)列及其“衍生數(shù)列”，因為，，，……，由于為奇數(shù)，將