2024華師一附中高二數(shù)學(xué)《數(shù)列》專題試卷1．已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其前項和為.是公比為的等比數(shù)列..(1)求和的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.2．已知等差數(shù)列的前項和為，，.(1)求及；(2)若，求數(shù)列的前項和.3．已知為數(shù)列的前項和，，，記.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，記數(shù)列的前項和為，求證：.4．已知數(shù)列滿足．(1)求的通項公式．(2)記，數(shù)列的前n項和為，是否存在實數(shù)m，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．5．已知數(shù)列滿足(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和，若在上恒成立，求的取值范圍．6．已知數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，記數(shù)列的前n項和為．(1)求；(2)設(shè)數(shù)列對，有，求；7．已知數(shù)列的前項和滿足，且數(shù)列中的第2項、第5項、第14項依次組成某等比數(shù)列的連續(xù)3項（公比不等于1）．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，且數(shù)列的前項和為，求的最大值與最小值．8．已知正項數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列前n項和；(3)若，數(shù)列的前項和為，求的取值范圍.9．已知數(shù)列滿足:.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和為.10．已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，證明：．11．已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，數(shù)列是等比數(shù)列，且．(1)求和的通項公式；(2)令，求證：；(3)記其中，求數(shù)列的前項和．12．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．13．已知數(shù)列的前n項和為，，．(1)求，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前n項和．14．已知數(shù)列的前項和為且；等差數(shù)列前項和為滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和；(3)設(shè)，若，對任意的正整數(shù)都有恒成立，求的最大值.15．已知數(shù)列滿足，其前8項的和為64；數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)記，，求數(shù)列的前項和；(3)記，求．16．已知數(shù)列是首項為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且滿足，，（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）令，記數(shù)列的前n項和為，求證：對任意的，都有；（3）若數(shù)列滿足，，記，是否存在整數(shù)，使得對任意的都有成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．17．已知數(shù)列的前項和為，且滿足:(1)證明：是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式.(2)設(shè)，若數(shù)列是等差數(shù)列，求實數(shù)的值；(3)在(2)的條件下，設(shè)記數(shù)列的前項和為，若對任意的存在實數(shù),使得,求實數(shù)的最大值.18．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為；數(shù)列的前項和為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的能項和；(3)若，，求．華師一附中高二數(shù)學(xué)《數(shù)列》專題參考答案1．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等差、等邊數(shù)列的通項公式列式求解即可；（2）利用分組求和，結(jié)合裂項相消法和錯位相減法運算求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得：，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可得，當(dāng)為奇數(shù)時，則，設(shè)，則，兩式相減得，所以；當(dāng)為偶數(shù)時，則，設(shè)，所以；綜上所述：，當(dāng)為奇數(shù)時，則；當(dāng)為偶數(shù)時，則；綜上所述：.2．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算可得公差和首項，即可求解，（2）根據(jù)裂項求和即可求解.【詳解】（1）設(shè)公差為，則由，可得：，解得，所以，（2），故3．(1)(2)證明見解析【分析】（1）借助構(gòu)造等比數(shù)列算出，即可求出；（2）將裂項后求和，再分奇偶討論即可得證.【詳解】（1）由，得，，則，，，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，，.（2），，，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，由，可知是遞增數(shù)列，，綜上，.4．(1)(2)存在，.【分析】（1）根據(jù)求出通項公式；（2），裂項相消法求和得到，變形得到，假設(shè)存在實數(shù)m，使得數(shù)列為等差數(shù)列，從而根據(jù)等差數(shù)列的定義得到.【詳解】（1）①中，令得，，解得，當(dāng)時，②，①-②得，，故，當(dāng)時，，滿足要求，綜上，的通項公式為（2），，，假設(shè)存在實數(shù)m，使得數(shù)列為等差數(shù)列，故當(dāng)時，，只有當(dāng)，即時，為常數(shù)，其他值均不合要求，故當(dāng)時，是等差數(shù)列.5．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可得證；（2）由（1）求得，得到，進而求得，結(jié)合題意，轉(zhuǎn)化為即恒成立，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）證明：由，可得，整理得為常數(shù)，又由，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.（2）解：由（1）可得，所以，又由，則，因為若在上恒成立，即，所以，又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成成立，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為.6．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比中項結(jié)合等差數(shù)列基本量的求解即可得首項，由等差求和公式即可求解，（2）根據(jù)作差法可得時，即可利用裂項相消法求解和.【詳解】（1）由題意可得，所以，解得，所以，（2），由得：當(dāng)時，，兩式相減可得，所以，當(dāng)時，，從而7．(1)，；(2)最大值，最小值.【分析】（1）分和兩種情況，利用關(guān)系及等差數(shù)列定義，再由等比中項、等差通項公式列方程求公差，即可得通項公式．（2）由（1）得通項公式，裂項相消求，分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論求最值．【詳解】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，，，則①，故②，由②－①得，即，所以(，且)，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，，．又，則，解得或（舍去），所以，又也符合上式，故數(shù)列的通項公式為，．（2）由題得，．當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時有最大值，且；當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)時有最小值，且．綜上，有最大值，最小值．8．(1)(2)(3)【分析】（1）利用，求得數(shù)列的通項公式.（2）由（1）得，然后利用錯位相減法求得前n項和（3）由（1）求得的表達式，然后利用裂項求和法求得的前項和，利用差比較法證得數(shù)列遞增，進而求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，由，得，得，由，得，兩式相減，得，即，即因為數(shù)列各項均為正數(shù)，所以，所以所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.因此，，即數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）得，兩式相減得.（3）由（1）知，所以.所以.所以.令，則所以是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列遞增，所以，又，所以的取值范圍為.9．(1)(2)【分析】（1）由遞推關(guān)系取可求，當(dāng)時，取遞推關(guān)系中的可求，由此可得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，利用裂項相消法求數(shù)列的前項和為.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，則，兩式相減得，即；當(dāng)時也成立，所以數(shù)列的通項公式為.（2）因為，所以，所以.10．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式得到關(guān)于首項和公差的方程組，求得首項和公差，然后利用通項公式求出結(jié)論；（2）利用等差數(shù)列前項和公式，求得，進而得到，然后利用裂項相消求和法求得，最后利用不等式的基本性質(zhì)證明結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)已知數(shù)列的公差為d，依題意有，解得，，.（2）由（1）可得，，∴，，，，，累加相消得.故.11．(1)，(2)證明見解析(3)【分析】（1）結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及題目條件，用基本量表達條件中的式子，即可求得兩數(shù)列的首項與公差公比，代入通項公式即可；（2）根據(jù)第一問寫出表達式，再用裂項相消法化簡式子，最后放縮即可證明；（3）將前項和分成奇數(shù)項之和加上偶數(shù)項之和，分別求解奇數(shù)項和偶數(shù)項再相加即可.【詳解】（1）∵數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，∴，解得，∴，∴數(shù)列的通項公式為：.數(shù)列是等比數(shù)列，且，設(shè)數(shù)列的公比為，∴，解得，∴，∴數(shù)列的通項公式為：.（2）由（1）知，∴，∴，∵，∴，∴，∴∴（3）由（1）可知，∴，∴，令，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴數(shù)列的前項和.12．【分析】由，將分成兩組，一組為等比數(shù)列求和，一組為裂項相消求和．【詳解】因為，所以.13．(1)，證明見解析(2)【分析】（1）由可得答案；（2）求出利用裂項相消可求得其前項和.【詳解】（1）令中，得，，所以，，因為，所以．所以，又時，所以數(shù)列是首項為2、公比為2的等比數(shù)列；（2）由（1）得，，所以．所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點是利用求出是等比數(shù)列.14．(1)，(2)(3)2【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系證明為等比數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)求的首項及公差，再利用等比數(shù)列和等差數(shù)列通項公式求，的通項公式；（2）利用裂項相消法求和即可；（3）由（1）求，由條件可得，判斷數(shù)列的單調(diào)性求其最值，由此可得，結(jié)合基本不等式求的最大值.【詳解】（1）由，得，當(dāng)時，，即，所以，且，所以，所以為首項為，公比為3的等比數(shù)列，所以.設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，，所以.（2）由（1）知，，，則，令為的前項和，則即.（3）因為，，，所以，故恒成立，設(shè)，當(dāng)時，；當(dāng)時，，即，所以，即，所以，所以恒成立，即恒成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，故的最大值為2.15．(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)條件得到等差數(shù)列的公差，利用前項和公式，求出首項，得到通項公式，設(shè)出公比，得到方程，求出公比，寫成通項公式；（2）寫出的通項公式，利用裂項相消法求和；（3）方法一：變形得到，其中利用錯位相減法求和，分為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況求解，最終求出；方法二：變形后，利用裂項相消法求和，分為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況求解，最終求出.【詳解】（1）∵，∴數(shù)列是公差為等差數(shù)列，且，∴，解得，∴；設(shè)等比數(shù)列的公比為（），∵，，，即，解得（舍去）或，∴（2）由（1）得，（3）方法一：∵，①②兩式相減得，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，.方法二：當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，.【點睛】方法點睛：常見的裂項相消法求和類型：分式型：，，等；指數(shù)型：，等，根式型：等，對數(shù)型：，且；16．（1），；（2）證明見解析；（3）存在整數(shù)，使得對任意的都有成立，理由見解析.【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的基本量表示已知條件，解方程組得到基本量，利用等差等比數(shù)列的通項公式得到答案；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得到數(shù)列的通項公式，利用指數(shù)的運算裂項，相消求和后得到的表達式，判定單調(diào)性，然后利用不等式的基本性質(zhì)即可證明；（3）假設(shè)存在滿足要求的整數(shù)，取得到的范圍，進而求得的值為，然后證明當(dāng)時，對任意的，都有成立．為此先要根據(jù)，利用等比數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合，求得，然后利用作差法證明即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為，則，所以，因為，所以．所以，解得所以，．（2）因為所以又因為對任意的，都有單調(diào)遞增，即，所以對任意的，都有成立；（3）假設(shè)存在滿足要求的整數(shù)，令，則，解得；令，則，解得；令，則，解得；所以，又已知，故若存在，則．下證：當(dāng)時，對任意的，都有成立．；；即又；所以則而對任意的，單調(diào)遞增，所以即對任意的都有成立，得證.所以，存在整數(shù)，使得對任意的都有成立．【點睛】本題考查等差比數(shù)列得綜合問題，涉及等差等比數(shù)列的通項公式，求和公式，裂項求和法，存在性問題和探索性方法，考查不等式的證明，屬難題.17．（1）

證明過程見解析

（2）

（3）【分析】（1）由，再得出，兩式作差，得出，，再分奇數(shù)項，偶數(shù)項分別求通項公式即可得解；（2）由等差數(shù)列的等差中項可得恒成立，可得，解得;（3）由已知有，由裂項求和法求數(shù)列前項和得，由分離變量最值法可得，運算即可得解.【詳解】解：（1）因為，①所以，②②-①得：，由易得，即，即，，即數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，4為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項是以為首項，4為公比的等比數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，綜上可得，又，故是等比數(shù)列，且數(shù)列的通項公式.(2)因為，所以，因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以恒成立，即有恒成立，即，解得;(3)因為=，即，又對任意的存在實數(shù),使得,即對任意的恒成立，又當(dāng)時，取最小值3，時，，即,故實數(shù)的最大值為.【點睛】本題考查了由的關(guān)系求數(shù)列的通項、用裂項求和法求數(shù)列前項和及不等式恒成立問題，重點考查了分離變量最值法，屬綜合性較強的題型.18．(1)(2)(3).【分析】（1）利用等差數(shù)列定義可求得，根據(jù)遞推公式可證明數(shù)列