第十一章三角形壓軸題考點訓(xùn)練1．如圖，在第1個△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點D，延長CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個△A1A2D；在邊A2D上任取一點E，延長A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個△A2A3E，…按此做法繼續(xù)下去，則第2021個三角形中以A2020為頂點的底角度數(shù)是()A．()2020?75° B．()2020?65°C．()2021?75 D．()2021?65°【答案】A【詳解】解∶∵∠B=30°，A1B=CB，∴∠BA1C=∠C，30°+∠BA1C+∠C=180°．∴2∠BA1C=150°．∴∠BA1C=×150°=75°．∵A1A2=A1D，∴∠DA2A1=∠A1DA2．∴∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1．∴∠DA2A1=∠BA1C=××150°．同理可得：∠EA3A2=∠DA2A1=×××150°．…以此類推，以An為頂點的內(nèi)角度數(shù)是．∴以A2021為頂點的內(nèi)角度數(shù)是．故選A．2．如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長線交CE于點E，記∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，則以下結(jié)論①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正確的是()A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④【答案】C【詳解】∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠1，∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠1)=90°-∠1，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-(90°-∠1)=90°+∠1，∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE平分∠ACD，∴∠ECD=∠ACD=(∠ABC+∠1)，∵∠ECD=∠OBC+∠2，∴∠2=∠1，即∠1=2∠2，∴∠BOC=90°+∠1=90°+∠2，∴①④正確，②③錯誤，故選C.3．如圖，在中，平分，于點．的角平分線所在直線與射線相交于點，若，且，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵平分，平分∴，設(shè)∵∴可以假設(shè)，∴∵∴∴設(shè)，則∴∴∵∴故答案選：C4．如圖，AD∥BC，∠D＝∠ABC，點E是邊DC上一點，連接AE交BC的延長線于點H，點F是邊AB上一點，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分線EG交BH于點G．若∠BEG＝40°，則∠DEH的度數(shù)為()A．50° B．75° C．100° D．125°【答案】C【詳解】解：設(shè)∠FBE=∠FEB=α，則∠AFE=2α，∠FEH的角平分線為EG，設(shè)∠GEH=∠GEF=β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD，∵∠BEG=40°，∴∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，∵∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180°-2β，在△AEF中，180°-2β+2α+∠FAE=180°，∴∠FAE=2β-2α=2(β-α)=80°，∵AB∥CD，∴∠CEH=∠FAE=80°，∴∠DEH=180°-∠CEH=100°．故選：C．5．如圖，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的關(guān)系為()A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360°【答案】B【詳解】解：連接AD，在△DMA中，∠DMA+∠MDA+∠MAD＝180°，在△DNA中，∠DNA+∠NDA+∠NAD＝180°，∴∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DMA+∠NDA+∠NAD＝360°，∵∠MAD+∠NAD＝360°﹣∠BAF，∴∠DMA+∠DNA+∠MDN+360°﹣∠BAF＝360°，∵AB⊥AF，∴∠BAF＝90°，∴∠DMA+∠DNA＝90°﹣∠MDN，∵∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，∵∠1＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F，∴∠1+∠2＝360°﹣(∠B+∠C+∠E+∠F)，∴90°﹣∠MDN＝360°﹣(∠B+∠C+∠E+∠F)，∴∠B+∠C+∠E+∠F﹣∠MDN＝270°．故選：B．6．如圖，點D，E分別是△ABC邊BC，AC上一點，BD＝2CD，AE＝CE，連接AD，BE交于點F，若△ABC的面積為18，則△BDF與△AEF的面積之差S△BDF﹣S△AEF等于(

)A．3 B． C． D．6【答案】A【詳解】解：∵，∴，∵，，，∴，∴①，同理，∵，，∴，，∴，∴②，由①-②得：．故選：A．7．如圖，是的中線，點F在上，延長交于點D．若，則______．【答案】【詳解】解：連接ED是的中線，，設(shè)，與是等高三角形，，故答案為：．8．如圖，在中，，、分別平分、，M、N、Q分別在、、的延長線上，、分別平分、，、分別平分、，則_______．【答案】52°【詳解】解：、分別平分、，，，，，即，，，、分別平分、，，，，，∴，∴，、分別平分、，，，∴，，故答案為：52°．9．如圖，在中，點D，點E分別是AC和AB上的點，且滿足，，過點A的直線l平行BC，射線BD交CE于點O，交直線l于點若的面積為12，則四邊形AEOD的面積為____________．【答案】【詳解】如圖，連接AO，∵CD=3AD，∴AD：CD=1：3，∴，，，∵，∴，，∵AF∥BC，∴，∴，∴，，∵AE=2BE，∴BE：AE=1：2，∴，，∴，，∴，即，∴，即，∴，∵，∴，∴S四邊形AEOD．故答案為：．10．如圖，在中，，和的平分線交于點，得和的平分線交于點，得和的平分線交于點，得和的平分線交于點，得，則________度．【答案】【詳解】解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC．∵∠A1=∠A1CD-∠A1BC，∴∠A1=∠ACD?ABC=∠A．同理可證：∠A2=∠A1．∴∠A2=?∠A=()2∠A．以此類推，∠An=()n∠A．當(dāng)n=2022，∠A2021=()2022∠A=()2022?m°=()°．故答案為：．11．如圖，在中，，在邊上取點，使得，連接．點、分別為、邊上的點，且，將沿直線翻折，使點落在邊上的點處，若，則的度數(shù)為_______．【答案】【詳解】折疊，設(shè)，，是的一個外角，，即①即即②②-①得即故答案為：12．已知：在中，平分，平分，、交于點．(1)如圖1：若，求的度數(shù)；(2)如圖2：點是延長線上一點，連接、，，求證：；(3)如圖3：在(2)的條件下，過點作，交于點，點在線段的延長線上，連接，若，，，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)64°【解析】(1)證明：∵、分別平分與∴，，在中，，∴∴∴(2)證明：∵是得一個外角，∴，∵，∴，∴．(3)解：

，，∵平分，平分，∴設(shè)，，∴，∵，∴，∵，∴∴，∴∵，，而∴∴∴13．如圖，ABCD，垂足為O，點P、Q分別在射線OC、OA上運(yùn)動(點P、Q都不與點O重合)，QE是∠AQP的平分線．(1)如圖1，在點P、Q的運(yùn)動過程中，若直線QE交∠DPQ的平分線于點H．①當(dāng)∠PQB＝60°時，∠PHE＝°；②隨著點P、Q分別在OC、OA的運(yùn)動，∠PHE的大小是否是定值？如果是定值，請求出∠PHE的度數(shù)；如果不是定值，請說明理由；(2)如圖2，若QE所在直線交∠QPC的平分線于點E時,將△EFG沿FG折疊，使點E落在四邊形PFGQ內(nèi)點E′的位置，猜測∠PFE′與∠QGE′之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)①45°；②∠PHE

是一個定值，∠PHE

=45°，理由見解析(2)，理由見解析【解析】(1)解：①∵AB⊥CD，∴∠POQ=90°，∴∠PQO+∠QPO=90°，∵∠PQB=60°，∴∠QPO=30°，∠AQP=120°，∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，∴，，∴，故答案為：45；②∠PHE是一個定值，∠PHE=45°，理由如下：∵AB⊥CD，∴∠POQ=90°，∴∠PQO+∠QPO=90°，∴∠QPO=90°-∠PQO，∠AQP=180°-∠PQO，∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，∴，，∴；(2)解：，理由如下：如圖所示，連接，∵AB⊥CD，∴∠POQ=90°，∴∠PQO+∠QPO=90°，∵∠CPQ+∠QPO=180°，∠PQA+∠PQO=180°，∴180°-∠CPQ+180°-∠PQA=90°，∴∠CPQ+∠PQA=270°，∵QE，PE分別平分∠PQA，∠CPQ，∴，∴，∴∠PEQ=180°-∠EPQ-∠EQP=45°，由折疊的性質(zhì)可知，∵，∴，∴，∵，∴．14．閱讀下列材料：陽陽同學(xué)遇到這樣一個問題：如圖1，在中，是的高，是邊上一點，、分別與直線，垂直，垂足分別為點、．求證：．陽陽發(fā)現(xiàn)，連接，有，即．由，可得．他又畫出了當(dāng)點在的延長線上，且上面問題中其他條件不變時的圖形，如圖2所示，他猜想此時、、之間的數(shù)量關(guān)系是：．請回答：(1)請補(bǔ)全陽陽同學(xué)證明猜想的過程；證明：連接．________，________________．，．(2)參考陽陽同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：在中，，是的高．是所在平面上一點，、、分別與直線、、垂直，垂足分別為點、、．①如圖3，若點在的內(nèi)部，猜想、、、之間的數(shù)量關(guān)系并寫出推理過程．②若點在如圖4所示的位置，利用圖4探究得此時、、、之間的數(shù)量關(guān)系是：_______．(直接寫出結(jié)論即可)【答案】(1)S△APB；PN；PM；(2)①BD＝PM＋PN＋PQ，證明見解析②BD＝PM＋PQ?PN．【詳解】解：(1)證明：連接AP．∵S△ABC＝S△APC?S△APB，∴AC?BD＝AC?PN?AB?PM．∵AB＝AC，∴BD＝PN?PM．故答案為：S△APB；PN；PM；(2)①BD＝PM＋PN＋PQ；如圖3，連接AP、BP、CP，∵S△ABC＝S△APC＋S△APB＋S△BPC，∴AC?BD＝AC?PN＋AB?PM＋BC?PQ，∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PN＋PQ；②BD＝PM＋PQ?PN；如圖4，連接AP、BP、CP，∵S△ABC＝S△APB＋S△BPC?S△APC．∴AC?BD＝AB?PM＋BC?PQ?AC?PN，∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PQ?PN．15．如圖1，AB與CD相交于點O，若，，和的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試求：(1)的度數(shù)；(2)設(shè)，，，，其他條件不變，如圖2，試問與、之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系(用、表示)，直接寫出結(jié)論．【答案】(1)33°；(2)．【詳解】解：(1)∵AP是∠DAB的角平分線，CP是∠