1.如圖，在三棱柱甌-他￡中，4I4=4B"BC=90"側

面“幽，底面神

(1)求證：網，平面公嗎

(H)若M=5，BC=3,4，B=60",求二面角B—&C—G的

余弦值.

1.解：(I)證明：在側面“附中，

--A1A=AB

二四邊形MB比為菱形，

二對角線倜U】B.

■:側面底面4B"BC=90。，

二CBJ_側面Ai'BBi內，

CB±ABi

---ABi1_平面ABC

([[)在Rt&ABC中，AC=^,BC=3,-.AB=4

=600

又菱形“幽中，???AArAB?

二回加為正三角形.

如圖，以菱形中幽的對角線交點。為坐標原點

。外方向為X軸，?！狈较驗槭S，過。且與BC平行的

方向為碎由建立如圖空間直角坐標系，

貝U4式2,0,0)乃(一2,0,0),C(—2,0,3)4JO,一2b,O)￡i(O,一2倔3),

二方=(-2,2V3,O),CX=(2,湄-3,

設a(Q)為平面4m的方向量，貝心黑=2

.I"-2x+2y/3y=0,

[2x+2V3y-3z=0.

令a3,得戶(3痣4)為平面Ag的一個法向量.

又西=(0,一2倔。)為平面為BC的一個法向量，

cos卜閑==T

二二面角BTGG的余弦值為F

2.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐產一A6CZ)中，平面P4Q，平面ABC。，PA±PD,

PA=PD,ABLAD,AB=1,AD=2,AC=CD=^.

(1)求證：P。，平面加8：

(2)求直線P3與平面PC。所成角的正弦值.

第19題圖

19.(1)證明：因為平面PAD_L平面ABCD,平面PADC平面ABCD=AD,AB±AD,

所以AB_L平面PAD,所以AB_LPD.---------------2分

又PAJ_PD,ABDPA=A,所以PD_L平面PAB.---------------4分

(2)解：取AD的中點。，連接PO,CO.---------------6分

因為PA=PD,所以PO_LAD,P。既平面PAD,平面PADJL平面ABCD,

所以POJ_平面ABCD.因為C01平面ABCD,所以P01C0.

因為AC=CD,所以CO_LAD.--------------8分

如圖，建立空間直角坐標系O-xyz.由題意得，

A(0,1,0),B(l,1,0),C(2,0,0),D(0,一1,0),P(0,0,1).

設平面PCD的一個法向量為〃=(x,y,z),則

n?雨=0,[-y-z=O,

〈即----------10分

=0,12x-z=0,

令z=2,則x=l,y=-2.所以JI=(1,—2,2).

又成=(1,1,—1),所以cos〈〃，PB)="PB=一坐

\n\\PB\

所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為坐.---------12分

19.[2018?濟南期末]如圖，在三棱柱ABC-A4G中，△A8G為邊長為2的等邊

三角形，平面_L平面A41G。，四邊形A4CC為菱形，NA41G=60°，Ag與

AC相交于點。.

(1)求證：BD1A.C；

（2）求二面角G-AB-C的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）正.

5

【解析】（1）已知側面44.GC是菱形，。是AC；的中點,

BA=BG，：.BD1AC,,.....2分

因為平面ABC11平面A41cle，且5￡>u平面ABC,,

平面ABG0平面A4.C.C=AC,,

二3。_L平面AAGC，BD1A,C.14分

(2)如圖,

以。為原點，以DA,DB,。。所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角

坐標系，由已知可得A￡=2,AD=\,BD—AiD=DC—V3,BC-\/6,

.?.0(0,0,0),A(l,0,0),40,0,同，q(-1,0,0),C(0,V3,0).?…6分

設平面ABC的一個法向量加=(x,y,z),AB=^-1,0,73j,BC=',6,-6),

由Z瓦，"=0,BCm=0>得<［十°,可得加=(6,1,1)，..........8分

V3y-V3z=0、'

因為平面A80，平面A4.CC，AC,1A.C,

，CDJ_平面A8G，

所以平面ABG的一個法向量是反=（0,6,0），..........10分

cos<wi,BD>=m,...........11分

阿兇5

即二面角G-AB-C的余弦值是好......12分

'5

19.[2018?遼師附中]如圖,在直三棱柱A8C-AAG中，E、尸分別為4￡、BC

的中點，AB=BC=2,QFA.AB.

（1）求證：平面4龍，平面々BCG；

（2）若直線GF和平面ACGA所成角的正弦值等于巫，求二面角A-BE-C

的平面角的正弦值.

2瓜

【答案】（1）見解析；（2）

~5~

【解析】（1）在直三棱柱中CG_LA6,

又C/1AB,G￡GCu平面8。。出，CC,QC.F=C,,

/.AB_L平面BCC|B|,

又；ABu平面E84,平面ABEL平面B/CG.??…5分

（2）由（1）可知AB_LBC,

以8點為坐標原點，BC為X軸正方向，84為F軸正方向，SB1為Z軸正方向,

建立坐標系.設A4,=a,8（0,0,0）,C（2,0,0）,A（0,2,0）,B］（0,0,a）,

￡（2,0,a）,4（0,2,a）,E（\,\,a）,尸（1,0,0）,??…6分

直線FG的方向向量a=（l，0，a），平面ACQA的法向量加=（1,1,0），

可知1^=^，"2'??…8分

麗=（0,2,0）,麗=（1,1,2）,前=（2,0,0）,

設平面的法向量〃]=（x,y,z）,

2y=0

I.%=（2,0,-1）,??…10分

x+y+2z=0

設平面CBE的法向量〃2=（x,y,z）,

2x=0

二叼=（（）,2,—1）,??…11分

x+y+2z=0

記二面角A—3E-C的平面角為。，|cos6|=]

..a2指

??sin。=---,

5

...二面角A-BE-C的平面角的正弦值為乎.??…12分

19.［2018?南寧［中］如圖，四棱錐P-A3CD中，△24。為正三角形，AB//CD,

AB=2CD,ZBAD=90°,PALCD,E為棱P8的中點.

（1）求證：平面PA6,平面CDE；

（2）若直線PC與平面PA￡＞所成角為45。，求二面角A-DE-C的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）-名晝.

19

【解析】（1）取AP中點尸，連接EF,DF.

為P8中點，：.EFIL、AB,又CDCAB,：.CDI1EF,

~2-2一

.?.C。/石為平行四邊形，.....2分

：.DFHCE...........3分

又△B4￡）為正三角形，.?.PA_L￡厲，從而.....4分

又小_LCD,CDCCE=C,平面CDE,............5分

又Q4u平面上山，；.平面PLB_L平面CDE...........6分

（2）AB//CD,PAICD^PAIAB,又PAp\AD=A,r.45_1平

面PAD..?.CZ）_L平面BWnNCP。為PC與平面B4。所成的角，即

ZCPD=45°,:.CD=AD.

/?

以A為原點，建系如圖，設A￡>=4,則8(8,0,0),尸(0,2,2⑹,D(0,4,0),

￡(4,1,⑹,

8分

.?.通=卜,1,6),而=(0,4,0).設〃=(x,y,z)為平面ADE的法向量,

〃,丐4”后=°,令I,得…of

則10分

n-AD=4y=0

由⑴知，衣=2e,1,@為平面CDE的一個法向量.11分

.?.cos</,〃>=總畢=一2叵，即二面角4一。石一。的余弦值為一名巨.……12

|AP|n|1919

分

19.[2018?九江一中]如圖,在梯形ABC。中，AB//CD,AD=DC=CB=2,

ZABC=60°,平面ACEFJ_平面ABC。，四邊形ACE戶是菱形，ZCAF=60°.

(1)求證：BF±AE；

(2)求二面角3-砂-。的平面角的正切值.

B

9

【答案】⑴證明見解析；⑵亍

【解析】（1）依題意，在等腰梯形ABC。中，AC=2A/LAB=4,

VBC=2,AAC2+BC2=AB2,BPBCLAC,.........1分

?.?平面ACEEJ_平面ABC。，，5C_L平面ACEF,........2分

而AEu平面ACEF,/.AE±BC.........3分

連接CF,?.?四邊形ACE尸是菱形，.尸C,........4分

，AEJ_平面BCE,

「Mu平面3CE,BFLAE..........6分

（2）取EF的中點M,連接MC,因為四邊形ACEE是菱形，且NC4/=60。.

所以由平面幾何易知MC_LAC,?.?平面ACEEJ,平面43CD,二MCJ_平面

ABCD.

故此可以C4、CB、CM分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，各點的坐標

依次為:C（0,0,0）,A（260,0）,8（020）,。（石,-1,0）,E（—6,0,3）,

F（73,03）.……7分

設平面3EF和平面OEF的法向量分別為=（《，4，q）,n2=（4也,G），

,喬=（G，-2,3）,EF=（2V3,0,0）.

,BF-n,-0\[3a,-2b.+3c.=0fa.=Q.?,

...由―1='>1nJ。，令b、=3,則

EFnt=02島1=0124=3。|

%=（0,3,2）,“9分同理，求得〃2=（03-1）.........10分

.?.8$6=甯\=—=,故二面角3-￡尸一。的平面角的正切值為2.??…12

同佃|V1307

分

19.[2018?天-大聯考]棱臺ABC。-A8CQ的三視圖與直觀圖如圖所示?

（1）求證：平面ACC,4，平面BDD】B\；

（2）在線段。。上是否存在一點Q,使CQ與平面BOQ4所成的角的正弦值為

半？若存在，指出點。的位置，若不存在，說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）點Q在。0的中點位置，理由見解析.

【解析】（1）根據三視圖可知AAJ?平面ABC。，A3CD為正方形，

所以AC_L8D.........1分

因為BOu平面ABC。，所以A411BD,........2分

又因為AAnAC=A,所以6O_L平面4CCM.4分

因為BDu平面BDD4，所以平面ACGAJ?平面BOQ4.........5分

（2）以A為坐標原點，AB,AD,所在直線分別為x,y,z軸建立空間

直角坐標系，

如圖所示，

根據三視圖可知A3CD為邊長為2的正方形，A4G2為邊長為I的正方形,

4Al，平面A3CD,且41t=1.

所以4（1,0,1）,"（0,1,1）,8（2,0,0）,0（0,2,0）,C（2,2,0）.

因為Q在。.上，所以可設而=4西（0W/IW1）.

因為西=（0,-1,1）,

所以而=而+而=而+4西=（0,2,0）+/1（0,-1,1）=（0,2-4/1）.

所以Q（0,2-4/1）,?…?…7分

函=(—2,—4")........8分

設平面8。"用的法向量為〃=(x,y,z),

根據卜?麗=0,0卜y,z)-(-2,2,0)=0,

令x=l,可得y=z=l,所以〃=(1,1,1)........9分

設CQ與平面BD。鳥所成的角為。，

所以

sin^=1cos<CQ.n>1國,,M

一2-丸+/12276

V3x^(-2)2+(-/l)2+/l2-V3XV4+2/L2-9,

所以2=即點Q在。0的中點位置.…??…12分

19.[2018?海南期末]如圖，是一個半圓柱與多面體A8BMC構成的幾何體，平面

A8C與半圓柱的下底面共面，且AC_LBC,P為弧4瓦上(不與4，瓦重合)

的動點.

(1)證明：出，平面P網；

(2)若四邊形A88M為正方形，且AC=BC,/2瓦4=2,求二面角「一44一。

的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)-乎.

【解析】（1）在半圓柱中，Bq_L平面PAB「所以84，巴4.2分

因為A耳是上底面對應圓的直徑,所以PA-L尸.....4分

因為PqnBq=4，Pgu平面「陰，BB\UPBB\,

所以尸4,平面PBB-.....5分

（2）以C為坐標原點，以C4,CB為x,y軸，過C作與平面ABC垂直的直線

為z軸，建立空間直角坐標系C-孫z.如圖所示，

設CB=1,則8(1,0,0),4(0,1,0),4,(0,l,V2),B,(1,0,VI),P(1,1,⑹.-6

分

所以西=僅,1,&),西=(1,0,四).

平面「481的一個法向量勺=(0,0,1)......8分

y=-y/2

設平面C44的一個法向量〃,=(x,y,2),則卜+?z=°，令z=i4ij<

x-—>/2,

x+v2z=0

z=1

所以可取〃2=卜3，-3，1），.....1。分

所以COS<〃|,=—^-==^-.......11分

-1x755

由圖可知二面角P--。為鈍角，

所以所求二面角的余弦值為-乎......12分

19.[2018?煙臺期末]已知四棱錐S-ABC。，SAL平面ABC。，底面ABCO為直

角梯形，AB//DC,ZZMB=90°,AB=2DC,AD<DC,例是SB中點.

(1)求證：CM〃平面夕⑦；

(2)若直線QM與平面所成角的正切值為正，尸是SC的中點，求二面角

2

。一4尸一。的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)也.

13

【解析】(1)證明：取SA中點N,連接MN,DN,

在中，MN//AB,MN=-AB,NM//DC,NM=DC,

2

.??四邊形COMW為平行四邊形.....2分

CM//DN,....3分

又?.?CMU平面&W,DNu平面S4),

.?.CM〃平面&W.....4分

(2)由已知得：AB,AD,A5兩兩垂直，以A8,AD,AS所在直線分別為x

軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.....5分

?/AD15?1,AD±AB,SAC\AB=A,二ADJ_平面5AB,

NDM4就是DM與平面SA5所成的角.

在RtAAMZ）中，tanZAMD=—,即絲=走,

7分

2AM2

設AB=2,則49=6DC=1,：.AM=2；

中，M為斜邊S3中點，：.SB=4,

：.AS=^2-22=273.

則A（0,0,0）,8（2,0,0）,C（l,V3,0）,D（0,?0）,5（0,0,2^）,F,73

（22

所以而=（0,G,0）,AC=（l,V3,0）,AF=.

設機=(X，X，zJ是平面ACE的一個法向量，則

玉+也義-0

m-AC=0

；玉+平X+6z|=0

m-Af=Q

、乙乙

令M=l，得加=(-6,1,0).....9分

設〃=(W，%,Z2)是平面尸的一個法向量，則

n-AD=0回=。

_____n<

n-AF=0—尤2+~~~%+~0

、22

令Z2=l,/.n=^-2\/3,0,l）?....11分

m-n_6_3>/13

/.cos<mn>-

y同V13-213

二面角C-AF-E的余弦值為3叵.....12分

13

19.[2018?周口期末]如圖，已知△￡>￡1?與人鉆。分別是邊長為1與2的正三角

形，AC//DF,四邊形BC0E為直角梯形，SLDE//BC,BCJ_8,點G為"BC

的重心，N為A8中點，AG_L平面3CDE,M為線段A尸上靠近點尸的三等分

點.

(1)求證：GM〃平面。KV；

(2)若二面角3C-。的余弦值為立，試求異面直線MN與C。所成角的

余弦值.

【答案】⑴見解析；⑵乎.

【解析】(1)解：在ZXABC中，連AG延長交5C于。，因為點G為八45。的重

心

所以49=2,且。為BC中點，又㈤彳=2而，

A033

所以迫=些=2,所以GM〃竹；....2分

AOAF3

又N為AB中點、,所以NO〃AC,又AC〃/5E,

所以可?！?。/，

所以O,D,F,N四點共面，....4分

又OFu平面DFN,GW平面。下N,

所以GM〃平面OKV..........5分

(2)由題意，AGJ?平面BCOE,所以A0_LBC,平面ABCJ_平面BCDE,且

交線為BC,

因為5C_LCQ,所以CO,平面ABC,

又四邊形BCDE為直角梯形，BC=2,DE=1,所以0石〃CD,所以OE_L平面

ABC

因為AC〃。歹，DE//BC,所以平面ABC//平面。￡/，

又△￡>?與AABC分別是邊長為1與2的正三角形，

故以。為原點，0C為x軸，0E為y軸，04為z軸建立空間直角坐標系，

設C￡）=根，則C（1,O,O）,D（1,/?,O）,A（0,0,V3）,

因為麗y=2而，所以加工1,上2二m2百42m2為、

,5C=（2,0,0）,BM=

33'333萬，亍,

BC=0?/廠\八

設平面MBC的法向量〃=(a,0,c),則＜___,取〃=（0,6,-加），8分

BM=0'7

平面BCD的法向量D=(0,0,1),.........9分

所以二面角M—3C-。的余弦值85。=附=下2==也，

|n|-HV3W4

19.[2018?德州期末]已知四棱錐P—ABCD中，/%_!_平面ABQD,底面ABC。為

菱形，NABC=60。，石是5c中點，M是尸。的中點，尸是PC上的點.

（1）求證：平面A￡F1平面尸AD；

（2）當尸是PC中點，且鉆=”時，求二面角/一AE-M的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）等.

【解析】（1）連接AC,

?.?底面ABC。為菱形，ZABC=60°,

，△ABC是正三角形，

OE是8c中點,AAELBC,

5LAD//BC,：.AE1AD,......1分

：Q4，平面ABCD,他匚平面48?！辏?APA1AE,.....3分

又尸AfW=A,：.AE1^PAD,.....4分

又A￡u平面

，平面AEF1平面PAD.....5分

（2）解：由（1）得AE,AD,AP兩兩垂直,

以AE,AD,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角

坐標系;

不妨設AB="=2,則AE=5

則A（0,0,0）,C（V3,1,O）,￡>（0,2,0）,P（0,0,2）,￡（73,0,0）,

（出i、

F^,-,1,M（0,1,1）,..........7分

kJ

.,.AE=（73,0,0）,AF^—,-,l,初=（0,1,1）,

122,

設/n=（x,y,z）是平面AEF的一個法向量，

m?AE=\/3x=0

則1_、八1，取z=l,得根=（0,-2,1）,...........9分

m?AF=尤+—y+z=0

22」

同理可求，平面AME的個法向量，n=（O,-l,l）,..........10分

ml3屈

則cos</n,n>=?一r-j-r

\m\-\n\10

觀察可知，二面角的平面角為銳角,

二面角F-AE-M的平面角的余弦值為明.

12分

18.(本小題滿分12分)四棱錐尸-58CD中,底面工BCD是邊長為2的菱形，側面EAZ)_L

底面工aCZ),NBCD=60，PA=PD=^2t￡是8c中點，點。在側棱FC上.

(I)求證：ADLPB-

(ID若Q是尸。中點，求二面角/-QQ-c的余弦值；

FQ

cm)是否存在Q,使以〃平面Q微？若存在，求出PC的值;若不存在，說明理由.

Din

18.(I)見解析；(ID—.(Ill)A=-.

73

解析：

(I)取AO中點。，連接OP,OB,50.

因為Q4=7Y),所以PO_LAO.

因為菱形ABC。中，ZBC￡>=60,所以AB=BD.

所以80LAZ).

因為BOcPO=O,且BO,POu平面POB,所以AD_L平面POB.

所以ADJ.FE.

（II）由（I）可知I,BO±AD,PO±AD,

因為側面PAD_L底面ABC。,且平面Q4T>c底面ABCD=AD,所以P。，底面ABCD.

以。為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系。-肛z.

則。（一1,0,0）,且一1,6,0）,P（0,0,1）,c（—2,6,0）,因為Q為PC中點，所以

Q-1,T，2?

所以歷=（0,6,0）,風=，所以平面OEQ的法向量為1=（1,0,0）.

0,4，g],設平面OQC的法向量為元=(x,y,z),

因為雙=(—1,6,0),迎=

寸一一x+島=0

則｛竺勺=°，即(省1

DQn-1—0-——?yH——z=0

2-2

令x=6,則y=l,z=-百，即〃2=(6,1,—6).

V21

所以cos(T石)=

歷

由圖可知,二面角E-OQ-C為銳角，所以余弦值為當一.

(III)設迎=2前(0W/IW1)

由(H)可知定=卜2,6,-1),麗=(1,0,—1).

設。(x,y,z),則①=(x,y,z-l),

x=-2%

又因為用=2定=(一246/1,—/1),所以｛y=^3A，即。(一2464一/1+1).

z=-A+1

所以在平面DEQ中，D￡=(0,V3,0),Dg=(l-2A,V3A,1-A),

所以平面。EQ的.法向量為1=(1—4,0,24-1),

又因為P4//平面。EQ,所以⑸n=0,

即(1一幾)+(—1)(2/1—1)=0,解得＞1=(.

2

所以當4=§時，/%//平面。七。.

21.如圖，已知多面體EA8C。尸的底面A8CO是邊長為2的正方形，￡A_L底面

ABCD,FD//EA,且尸O=，￡A=1.

2

(1)記線段BC的中點為K,在平面A8C￡＞內過點K作一條直線與平面EC戶平行，要求

保留作圖痕跡，并寫出該直線與b所成角的余弦值.但不要求證和解答過程.

(2)求直線笈8與平面ECR所成角的正弦值.

21.(1)取線段CQ的中點，連接K。，直線K。即所求，余弦值為平，如圖所示:

(2)以點為原點，AB所在直線為x軸，AO所在的直線為y軸，AE所在的直線為z軸

建立空間直角坐標系，如圖，由已知可得A(0,0,0),E(0,0,2),3(2,0,0),C(2,2。)，尸(0,2,1),

;.￡1"=(2,2,-2),

扇=(2,0,-2),=(0,2-1),

(I

f12x+2y—2z=0,

設平面ECF的法向量為〃=(羽乂z),得《.取y=l,得平面EC尸的一個

2y-z=0,

-V3

法向量為n=(1,1,2),設直線￡3與平面ECR所成的角的正弦值為—.

6

18.如圖，在四棱錐P—A3CD中，四邊形ABCO為正方形，％，平面ABC。，PA=AB,

M是PC上一點，且8M_LPC.

(1)求證：「。，平面兒"。；

(2)求直線依與平面"8。所成角的正弦值.

18.(1)證明：連接AC,由PAJ_平面ABC。，8。0平面ABC。得BOJ_Q4,

又BDLAC,PAflAC=A,

平面PAC,得PC工BD,

又PC工BM,BDC\BC=B,

：.PC_L平面MB。.

(2)由(1)知尸CL平面MB。，即是直線P3與平面“30所成角，易證

PBLBC,而5MLPC,

不妨設94=1,則8C=1,PC=超,尸6=0,

在Rt\PBC中，由射影定理得PM:MC=PB2:BC2=2:1,

可得「加=2尸。=述，所以sin/P3M=W=逅，

33PB3

故直線PB與平面所成角的正弦值為好.

3

p

法2：取A為原點，直線MB,MD,MP分別為x,y,z軸，建立坐標系4—肛z,不

妨設B4=AB=1,則RO,0,1),3(1,0,0),C(l,l,0),

由(1)知平面得法向量定而而=(1,0,—1),

cos<PB,PC>^駁?圣心=".

V2.V33

故直線PB與平面M3。所成角的正弦值為理.

法3：設A月=Q,AD=b,AP-c,|^|=1^1=|c|=1,

a'b=b-c=c-a=Q,

則尸8=。-c,

由（1）知平面M8D得法向量定=￡+石一"，

???兩定=（力）.0+12）=@+￡不一￡”工.力.石+同=2,

|PB|=V2,|PC|=V3,

:.cos<PB,PC>=—T=—產=——'.

叵忑3

故直線PB與平面所成角的正弦值為直.

3

19.如圖，。是4c的中點，四邊形尸是菱形，平面平面ABC,

NEBO=60,ABLBC,AB=BC=4i.

(1)若點M是線段BE的中點，證明：3F_L平面AMC；

(2)求平面AEF與平面8cb所成的銳二面角的余弦值.

19.解：(1)連接MD,FD.

?四邊形8?！晔瑸榱庑危襈FB￡>=60,

:.ADBF為等邊三角形.

?.?“為^^的中點，，。^，^/7.

■：AB1BC,AB=BC=C,又。是AC的中點，

BDA.AC.

???平面89砂0平面4?。=3。，平面ABC_L平面6?！耆f，ACu平面ABC,

AC上平面BDEF.

又BFu平面BDEF,：.ACtBF.

由短MLBE,ACrBF,DMC\AC=D,

：.3尸_1_平面AMC.

E

（2）設線段EF的中點為N,連接。N.易證￡>N_L平面48c.以。為坐標原點，DB,

DC,ON所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則

4(0,-1,0),￡(-1,0,y-),F(p0,y-),8(1,0,0),C(0,l,0).

.?.荏=(一(,1,弓)，前=(1,0,0),而=(一；,0,弓)，fiC=(-1,1,0).

設平面AE尸，平面8CF的法向量分別為加=（3，x，Z［）,n=（x2,y2,z2）.

173

AE-m=0n-產+凹+彳4=0

由

EF-m=0

—x=0

,21

解得M=—

取4=-2,/.in=(0,V3,—2).

\BC-n^0+r

又由<_._=>S173解得力=V3Z2.

BF-n^O--x,+—z,=0

II2-2'

取Z2=l,；.〃=(G,石』).

m-n11

cos<m,n>=|_||_i=—>=~T==—.

硼V7-V77

...平面AEF與平面BCF所成的銳二面角的余弦值為

7

E

ly

/x

18.在如圖所示的幾何體中，E4J_平面ABC。，四邊形ABC。為等腰梯形，ADIIBC,

(1)證明：ABICF；

(2)當二面角B-EF—O的余弦值為巫時，求線段CE的長.

10

18.解：⑴由題知EA_L平面45CD,

氏4(=平面48。。，

BAA.AE

過點A作A/7L3C于"點，在R/AA3H中，NABH=60°,BH,得A3=l,

2

在A4BC中，AC2=AB2+BC2-2AB-BCcos60°=3

AB2+AC^BC2

：.A3，AC^.ACnE4=A,

A6_L平面ACFE

又,:C尸u平面ABE

:.AB±CF.

(2)以A為坐標原點，4氏4。,4后分別為乂％2軸，建立空間直角坐標系,

設AE=a(a>0),

cin

則8(1,0,0),E(0,0,a),尸(0,半a),D(--，Y，°)>

...礪=(—1,0,a),麗=(一1,*,a),麗=(g,-*,a),而=(g,0,a)

設〃=(x,y,z)為平面3瓦1的一個法向量,

n-BE=-%+az=0

則4_____百，令X=a得〃=(a,0,l),

n-BF=-x4-——y+az=0

2.

同理可求得平面OE廠的一個法向量蔡=(2。,0,-1)，

m-n2a2—1|=回,

|cos<m,72>1=1H

\m\\n\Ja?+1x,4/+110

化簡得4〃4—5/+1=0

解得。=1或4='

2

???二面角8—石尸一。為銳二面角，經驗證舍去，

2

??。=1?

作EWLAC于M點，則”為AC中點，

.萬

CF=^FM2+CM2=—.

2

18.如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的菱形，zBAD=60°＞四邊形BDEF是

矩形，G和H分別是CE和CF的中點.

B

（1）求證：平面BDGHII平面AEF；

（2）若平面BDEFJ■平面ABCD,BF=3,求平面CED與平面CEF所成角的余弦值.

【答案】（D見解析.

⑵叵

4

【解析】分析：（1）連接AC交BD于點O，由三角形中位線定理可得。G〃AE'由線面平行的判定定理

可得OG〃平面AEF,同理BD〃平面AEF'從而可得結論；⑶過點。在平面BDEF中作z軸JLBD,，以

OBQC為X,V軸，建立空間直角坐標系'分別利用向量垂直數量積為零列方程組，求出?平面CDE與平

面CDF法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結果?

學+科+網…學+科+網...學+科+網…學+科+網…學+科+網學+科+網…學+科+網.”

詳解：（1）連接/C交3D于點0，顯然0GiZ平面4即-dEu平面

AEF，可得0G"平面4即，同理的平面/即，OGI又BD,0Gu平

面BDGH,可得：平面EZJGK7平面dEF

（2）過點0在平面BD即中作?軸顯然石軸、OB0C兩兩垂直，如圖所示建

立空間直角坐標

系c（o，衣0）尸QA3）PC-W）國

歷■-g.，而設平面CDE與平面CD尸法向量分別為

用=（匕，％馬）K■（均,加?）

尸乃:0設心血_皿伙二儼X。,設號通色

1一$—43yl■0