第四節(jié)基本幾何體的投影

1一、平面立體的投影及表面取點(diǎn)二、曲面立體的投影及表面取點(diǎn)三、基本體的尺寸標(biāo)注主要內(nèi)容2

本節(jié)研究基本立體的畫法及立體表面取點(diǎn)、取線的問題。從畫立體投影開始，不再畫投影軸。

基本立體由其表面（平面和曲面）圍成。按表面性質(zhì)，可以分為平面立體和曲面立體（最常見的是回轉(zhuǎn)體）兩類。

圓柱圓錐圓球棱柱棱錐平面立體回轉(zhuǎn)體

機(jī)器上的零件，不論形狀多么復(fù)雜，都可以看作是由基本立體按照不同的方式組合而成的。3一、平面立體的投影及表面取點(diǎn)

1.棱柱

上底面棱面

棱柱由兩個底面和三個以上棱面圍成，各表面的交線稱為棱線，側(cè)棱線互相平行，并且與底面垂直

。側(cè)棱線底棱線4(1)棱柱的組成

由兩個底面和幾個側(cè)棱面組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫側(cè)棱線，側(cè)棱線相互平行。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影

正六棱柱，其頂面、底面均為水平面，它們的水平投影反映實(shí)形，正面及側(cè)面投影重影為一直線。5(2)棱柱的投影分析（以正放的六棱柱為例）2）六個棱面中的前、后兩個為正平面，其正面投影重合并反映實(shí)形，另外兩個積聚為直線。1）上、下兩底面均為水平面，它們的水平投影重合并反映真形，正面及側(cè)面投影積聚為兩條平行投影軸的直線。3）其他四個棱面均為鉛垂面，其水平投影積聚為直線，正面和側(cè)面投影均為類似形，且兩棱面投影對應(yīng)重合。

特點(diǎn)：正放的棱柱投影時，必有一個投影為多邊形并反映底面實(shí)形，另外兩個投影為矩形組合。6a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影

棱柱有六個側(cè)棱面，前后棱面為正平面，它們的正面投影反映實(shí)形，水平投影及側(cè)面投影重影為一條直線。7a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影

棱柱的其它四個側(cè)棱面均為鉛垂面，其水平投影均重影為直線。正面投影和側(cè)面投影均為類似形。8(3)作圖步驟1）畫對稱中心線、對稱線。2）畫棱柱水平投影（一般先畫棱柱底面投影）

注意棱線投影與對稱線重合時應(yīng)畫成粗實(shí)線。3）根據(jù)棱柱高度和投影關(guān)系，畫正面投影、側(cè)面投影。9a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影圖a(b)d(c)ea’b’d’c’e’a”b”d”c”XZYHYW

作投影圖時，先畫出正六棱柱的水平投影正六邊形，再根據(jù)其它投影規(guī)律畫出其它的兩個投影。如圖所示。10（a）投影特點(diǎn)（b）繪圖過程五棱柱的投影圖練習(xí)：五棱柱的投影圖11

(4)棱柱表面上取點(diǎn)

平面立體表面上取點(diǎn)實(shí)際就是在平面上取點(diǎn)。首先應(yīng)確定點(diǎn)位于立體的哪個表面上，并分析該表面的投影特性，然后再根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律求得。

棱柱表面取點(diǎn)可利用積聚性投影作圖（因?yàn)檎诺睦庵母鱾€面都處于特殊位置）。a′Aa″(b′)bb″例：已知正六棱柱上兩點(diǎn)A、B的正面投影，求作水平投影和側(cè)面投影a12a

aa

(b’)bb’’CC’C’’13棱錐臺底面錐頂2.棱錐

由一個底面和多個（至少三個）側(cè)棱面圍成，各側(cè)棱線交于一點(diǎn)（錐頂）。棱面?zhèn)壤饩€14

棱錐的投影分析（以正放的正三棱錐為例）2）左右兩個側(cè)棱面為一般位置平面，三面投影都不反映實(shí)形，并且兩棱面的側(cè)面投影重合。1）底面為水平面，水平投影反映真形，其正面及側(cè)面投影積聚為平行于相應(yīng)投影軸的直線。3）后側(cè)棱面為側(cè)垂面，側(cè)面投影積聚成斜向直線，正面和水平面投影均不反映實(shí)形，正面投影與左右兩棱面投影重合。s4）三個側(cè)棱面的水平投與底面投影重合，側(cè)棱面投影都可見。15SABCWVa's'b's"abcb"a"c"sXYZ正三棱錐的投影

棱面△SAB、△SBC是一般位置平面，它們的各個投影均為類似形。

棱面△SAC為側(cè)垂面，其側(cè)面投影s”a”c”重影為一直線。

棱錐的三視圖

正三棱錐，錐頂為S，其底面為△ABC，呈水平位置，水平投影△abc反映實(shí)形。16

底邊AB、BC為水平線，AC為側(cè)垂線，棱線SB為側(cè)平線，SA、SC為一般位置直線，它們的投影可根據(jù)不同位置直線的投影特性進(jìn)行分析。SABCWVa's'b's"abcb"a"c"sXYZ正三棱錐的投影17

棱錐作圖步驟1）畫基準(zhǔn)線：底面（正三角形）外接圓中心線、底面。2）畫棱錐底面投影4）連接錐頂和底面正三角形的三個頂點(diǎn)的投影，得三棱錐的三面投影。3）畫錐頂?shù)娜齻€投影18

棱錐表面取點(diǎn)

若點(diǎn)在立體特殊位置平面上，可利用該平面積聚性投影作圖，若點(diǎn)在立體一般位置平面上，可通過作輔助線法求得。方法一方法二

作輔助線的方法有二種：()19

連接s’m’并延長，與a’c’交于2’，2’m2

在投影ac上求出Ⅱ點(diǎn)的水平投影2。

連接s2，即求出直線SⅡ的水平投影。

根據(jù)在直線上的點(diǎn)的投影規(guī)律，求出M點(diǎn)的水平投影m。

再根據(jù)知二求三的方法，求出m”。m”a’sbc正三棱錐的三面投影圖s’ac’b’a”(b”)c”s”m’XYHZYW201’1m

過m’作m’1’∥a’c’，交s’a’于1’。

求出Ⅰ點(diǎn)的水平投影1。

過1作1m∥ac，再根據(jù)點(diǎn)在直線上的幾何條件，求出m。

再根據(jù)知二求三的方法，求出m”。（具體步驟略)sc’b’正三棱錐的三面投影圖s’abca’a”(b”)c”s”m’21s(b

)s

a

Bac

b

c

cs

bCASa

2

2

2Ⅱ正三棱錐表面點(diǎn)的投影223s(b

)s

a

Bac

b

c

cs

bCASa

Ⅲ(3)3

正三棱錐表面點(diǎn)的投影23二、曲面立體的投影及表面取點(diǎn)

回轉(zhuǎn)體由回轉(zhuǎn)面或回轉(zhuǎn)面與平面圍成。回轉(zhuǎn)面是由母線（直線或曲線）繞某一軸線旋轉(zhuǎn)而形成的。常見的回轉(zhuǎn)體有：圓柱圓錐圓球圓環(huán)素線緯線轉(zhuǎn)向輪廓線

母線的任一位置稱為素線，母線上各點(diǎn)的運(yùn)動軌跡都是垂直于軸線的圓，稱為緯線或緯圓。根據(jù)這一性質(zhì)可在回轉(zhuǎn)面上作素線、緯線取點(diǎn)。

回轉(zhuǎn)面上的轉(zhuǎn)向輪廓素線，就是在某一投影方向觀察曲面立體時可見與不可見部分的分界素線。241.圓柱（1）投影分析（以圓柱軸線處于鉛垂線位置為例）1）上下底面的水平投影重合并反映真形，其正面及側(cè)面投影積聚為兩條平行投影軸的直線，其長度等于直徑。2）圓柱面因其軸線為鉛垂線，故圓柱面上所有素線必為鉛垂線，圓柱面為鉛垂面。其水平投影積聚為一圓，并與兩底面水平投影的圓周重合。3）圓柱面正面投影應(yīng)畫出正面轉(zhuǎn)向輪廓線的投影，即最左、最右的素線投影。4）圓柱面?zhèn)让嫱队皯?yīng)畫出側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線的投影，即最前、最后的素線投影。

特點(diǎn)：當(dāng)圓柱的軸線垂直某一個投影面時，必有一個投影為圓形，另外兩個投影為兩個相等的矩形。25XZY圓柱的三面投影圖HVWa’a’b’c’d’c’d’acdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”

圓柱表面由圓柱面和頂面、底面所組成。圓柱面是由一直母線繞與之平行的軸線回轉(zhuǎn)而成。

如圖所示，圓柱的軸線垂直于H面，其上下底圓為水平面，水平投影反映實(shí)形，其正面和側(cè)面投影重影為一直線。而圓柱面則用曲面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線表示。

26XZYHWa’a’b’c’d’c’d’acdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”Vaba’a’b’b’a”(b”)a”(b”)c’(d’)c’(d’)cdd’d’c’c’圓柱的投影圓柱投影圖的繪制：

（1）先繪出圓柱的對稱線、回轉(zhuǎn)軸線。（2）繪出圓柱的頂面和底面。（3）畫出正面轉(zhuǎn)向輪廓線和側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線。正面轉(zhuǎn)向輪廓線側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線27（2）作圖步驟1）畫基準(zhǔn)線：軸線和對稱中心。2）畫底面及圓柱面積聚性投影。3）根據(jù)圓柱高度和直徑畫圓柱的另外兩個投影（矩形）（3）圓柱表面上取點(diǎn)a′(b′)例：已知圓柱表面上的兩點(diǎn)A、B的正面投影，求作水平投影和側(cè)面投影aa〞y1y1b(b〞)y2y2

當(dāng)圓柱的軸線垂直某一個投影面時，圓柱體表面都有積聚性投影，可利用積聚性投影在表面上取點(diǎn)。28圓柱表面取點(diǎn)

已知圓柱表面上的點(diǎn)M及N正面投影a’、b’、m′和n′，求它們的其余兩投影。a’a”ab’(b”)b292.圓錐（1)投影分析（以圓錐軸線處于鉛垂線位置為例）1）底面的水平投影反映真形，正面及側(cè)面投影積聚為平行投影軸的直線，長度等于底面直徑。2）圓錐面三個投影均無積聚性，其水平投影為圓，且與底面水平投影重合，圓錐面的水平投影可見。3）圓錐面正面投影應(yīng)畫出正面轉(zhuǎn)向輪廓線的投影，即最左、最右的素線投影。4）圓錐面?zhèn)让嫱队皯?yīng)畫出側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線的投影，即最前、最后的素線投影。

特點(diǎn)：當(dāng)圓錐的軸線垂直某一個投影面時，必有一個投影為圓形，另外兩個投影為兩個相等的等腰三角形。30XZY

圓錐的三面投影圖HVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)圓錐的投影

圓錐表面由圓錐面和底圓組成。它是一母線繞與它相交的軸線回轉(zhuǎn)而成。

圓錐軸線垂直H面，底面為水平面，它的水平投影反映實(shí)形，正面和側(cè)面投影重影為一直線。

對于圓錐面，要分別畫出正面和側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線。正面轉(zhuǎn)向輪廓線側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線31s’a’b’sabcdc”d”c’(d’)s”a’(b’)

（1）先繪出圓錐的對稱線、回轉(zhuǎn)軸線。（2）在水平投影面上繪出圓錐底圓，正面投影和側(cè)面投影積聚為直線。

(3)作出錐頂?shù)恼嫱队昂蛡?cè)面投影并畫出正面轉(zhuǎn)向輪廓線和側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線。圓錐的投影XZYHVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)32(2)圓錐面上取點(diǎn)

圓錐上的點(diǎn)，若在圓錐底面或轉(zhuǎn)向輪廓線上，可直接求出，而處于圓錐表面的一般位置的點(diǎn)，必須通過作輔助線法求得。BA方法一輔助素線法方法二輔助緯線（圓）法33方法一：素線法

過M點(diǎn)及錐頂S作一條素線SⅠ,先求出素線SⅠ的投影,再求出素線上的M點(diǎn)。XZY圓錐的三面投影圖HVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)mm’m”M34

已知圓錐表面的點(diǎn)M的正面投影m’,求出M點(diǎn)的其它投影。

過m’s’作圓錐表面上的素線，延長交底圓為1’。1’11”mm”a’(b’)

圓錐的投影及表面上的點(diǎn)ss”abcdc”d”s’a’b’c’(d’)m’

求出素線的水平投影s1及側(cè)面投影s”1”。

求出M點(diǎn)的水平投影和側(cè)面投影。35XZY圓錐的三面投影圖HVWacdba’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)ACBS方法二：輔助圓法

過M點(diǎn)作一平行與底面的水平輔助圓，該圓的正面投影為過m’且平行于a’b’的直線2’3’，它們的水平投影為一直徑等于2’3’的圓，m在圓周上，由此求出m及m”。mMm’m”36mmmnn()n()

例：已知圓錐表面上點(diǎn)M及N的正面投影m′和n′，求它們的其余兩投影。在圓錐表面上定點(diǎn)a’a(a”)373.圓球

圓球可以看作由一圓母線，繞其過圓心且在同一平面的軸線旋轉(zhuǎn)而形成。

(1)投影分析

圓球的三面投影均為等直徑的圓，它們的直徑為球的直徑。它們分別是圓球三個方向的轉(zhuǎn)向輪廓線。38

球的表面是球面。球面是一條園母線繞過圓心且在同一平面上的軸線回轉(zhuǎn)而形成的。

球的三個投影均為圓，其直徑與球直徑相等，但三個投影面上的圓是不同的轉(zhuǎn)向輪廓線?；剀?yán)^續(xù)39(2)圓球表面上取點(diǎn)

圓球表面上取點(diǎn)，若點(diǎn)在圓球轉(zhuǎn)向輪廓線上，可直接求出，而處于一般位置的點(diǎn)，必須通過作輔助緯線（圓）求得。b〞B(b′)(b)a′Aaa〞404.圓環(huán)

圓環(huán)面是由圓母線，繞與其共面但不過圓心的軸線回轉(zhuǎn)而形成。其中內(nèi)半圓ADC形成內(nèi)環(huán)面，外半圓ABC形成外環(huán)面。(1)投影分析1）水平投影的三個同心圓，點(diǎn)畫線圓是母線圓心軌跡的水平投影，內(nèi)、外粗實(shí)線圓是圓環(huán)面上最小、最大的緯線圓。2）正面投影上的兩個小圓（一半粗實(shí)線，一半虛線）是內(nèi)、外環(huán)正面的轉(zhuǎn)向輪廓素線。

上下兩條直線是圓環(huán)上面最高、最低的兩條緯線圓。3）側(cè)面投影上的兩個小圓（一半粗實(shí)線，一半虛線）是內(nèi)、外環(huán)側(cè)面的轉(zhuǎn)向輪廓素線。41

(2)圓環(huán)表面上取點(diǎn)

圓環(huán)表面上取點(diǎn)，若點(diǎn)在圓環(huán)轉(zhuǎn)向輪廓線上，可直接求出，而其余處于一般位置的點(diǎn)，必須通過作輔助緯線（圓）求得。a′aa〞A42mm'（n'）（n）圓環(huán)表面取點(diǎn)43三、基本體的尺寸標(biāo)注

組合體尺寸標(biāo)注的基本要求是：正確、齊全、清晰。首先介紹常見基本體的尺寸標(biāo)注。1.平面體的尺寸標(biāo)注四棱柱正六棱柱三棱柱正三棱錐四棱錐臺

平面體一般要標(biāo)