第第頁第14課平面向量知識系統(tǒng)整合

規(guī)律方法1.本章我們學(xué)習(xí)的向量具有大小和方向兩個(gè)要素.用有向線段表示向量時(shí)，與有向線段的起點(diǎn)位置沒有關(guān)系，同向且等長的有向線段都表示同一向量.數(shù)學(xué)中的向量指的是自由向量，根據(jù)需要可以進(jìn)行平移.2.共線向量條件和平面向量基本定理，揭示了共線向量和平面向量的基本結(jié)構(gòu)，它們是進(jìn)一步研究向量正交分解和用坐標(biāo)表示向量的基礎(chǔ).3.向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)，當(dāng)兩個(gè)向量的夾角是銳角或零角時(shí)，它們的數(shù)量積為正數(shù)；當(dāng)兩個(gè)向量的夾角為鈍角或180°角時(shí)，它們的數(shù)量積為負(fù)數(shù)；當(dāng)兩個(gè)向量的夾角是90°時(shí)，它們的數(shù)量積等于0.零向量與任何向量的數(shù)量積等于0.通過向量的數(shù)量積，可以計(jì)算向量的長度(模)、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離、兩個(gè)向量的夾角，判斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直.4.平面向量的應(yīng)用中，用平面向量解決平面幾何問題，要注意“三部曲”；用向量解決物理問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的要求，要根據(jù)題意結(jié)合物理意義作出圖形，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再通過向量運(yùn)算使問題解決.5.正、余弦定理將三角形邊和角的關(guān)系進(jìn)行量化，為我們解三角形或求三角形的面積提供了依據(jù)，而三角形中的問題常與向量、函數(shù)、方程及平面幾何相結(jié)合，通?？梢岳谜?、余弦定理完成證明，求值問題.(1)解三角形與向量的交匯問題，可以結(jié)合向量的平行、垂直、夾角、模等知識轉(zhuǎn)化求解.(2)解三角形與其他知識交匯問題，可以運(yùn)用三角形的基礎(chǔ)知識，正、余弦定理、三角形的面積公式與三角恒等變換，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化構(gòu)造方程及函數(shù)求解.6.學(xué)習(xí)本章要注意類比，如向量的運(yùn)算法則及運(yùn)算律可與實(shí)數(shù)相應(yīng)的運(yùn)算法則及運(yùn)算律進(jìn)行橫向類比.7.向量是數(shù)形結(jié)合的載體.在本章學(xué)習(xí)中，一方面通過數(shù)形結(jié)合來研究向量的概念和運(yùn)算；另一方面，我們又以向量為工具，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題和物理的相關(guān)問題.同時(shí)，向量的坐標(biāo)表示為我們用代數(shù)方法研究幾何問題提供了可能，豐富了我們研究問題的范圍和手段.思想培優(yōu)向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算包含向量及其坐標(biāo)運(yùn)算的加法、減法、數(shù)乘，向量的加法遵循三角形法則和平行四邊形法則，減法可以轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行運(yùn)算，向量的加法滿足交換律、結(jié)合律，數(shù)乘向量滿足分配律，向量的線性運(yùn)算也叫向量的初等運(yùn)算，它們的運(yùn)算法則在形式上很像實(shí)數(shù)加減法與乘法滿足的運(yùn)算法則，但在具體含義上是不同的.不過由于它們在形式上相類似，因此，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等變形手段在向量的線性運(yùn)算中都可以使用.如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.[典例1]已知線段AB的端點(diǎn)為A(x,5)，B(﹣2，y)，直線AB上的點(diǎn)C(1,1)，且|Aeq\o(C,\s\up6(→))|＝2|Beq\o(C,\s\up6(→))|，求x，y的值.解由|Aeq\o(C,\s\up6(→))|＝2|Beq\o(C,\s\up6(→))|，可得Aeq\o(C,\s\up6(→))＝±2Beq\o(C,\s\up6(→))，又Aeq\o(C,\s\up6(→))＝(1﹣x,1﹣5)，2Beq\o(C,\s\up6(→))＝2(1＋2,1﹣y)＝(6,2﹣2y)，①當(dāng)Aeq\o(C,\s\up6(→))＝2Beq\o(C,\s\up6(→))時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＝6，,－4＝2－2y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝3.))②當(dāng)Aeq\o(C,\s\up6(→))＝﹣2eq\o(BC,\s\up6(→))時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＝－6，,－4＝－2＋2y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝－1.))由①②可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝－1.))向量的數(shù)量積運(yùn)算向量的數(shù)量積運(yùn)算是本章的核心，由于向量數(shù)量積的運(yùn)算及其性質(zhì)涵蓋向量的長度、角度以及不等式等，因此它的應(yīng)用也最為廣泛.利用向量的數(shù)量積可以求長度、也可判斷直線與直線之間的關(guān)系(相交的夾角以及垂直)，還可以通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算將代數(shù)中的有關(guān)函數(shù)、不等式等知識融合在一起.[典例2]平面內(nèi)有向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,7)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(5,1)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2,1)，點(diǎn)M為直線OP上的一動(dòng)點(diǎn).(1)當(dāng)eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))取最小值時(shí)，求eq\o(OM,\s\up6(→))的坐標(biāo)；(2)在(1)的條件下，求cos∠AMB的值.解(1)設(shè)eq\o(OM,\s\up6(→))＝(x，y)，∵點(diǎn)M在直線OP上，∴向量eq\o(OM,\s\up6(→))與eq\o(OP,\s\up6(→))共線，又eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2,1).∴x×1﹣y×2＝0，即x＝2y.∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝(2y，y).又eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))﹣eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,7)，∴eq\o(MA,\s\up6(→))＝(1﹣2y,7﹣y).同理eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))﹣eq\o(OM,\s\up6(→))＝(5﹣2y,1﹣y).于是eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝(1﹣2y)(5﹣2y)＋(7﹣y)(1﹣y)＝5y2﹣20y＋12.可知當(dāng)y＝eq\f(20,2×5)＝2時(shí)，eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))有最小值﹣8，此時(shí)eq\o(OM,\s\up6(→))＝(4,2).(2)當(dāng)eq\o(OM,\s\up6(→))＝(4,2)，即y＝2時(shí)，有eq\o(MA,\s\up6(→))＝(﹣3,5)，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(1，﹣1)，|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝eq\r(34)，|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝(﹣3)×1＋5×(﹣1)＝﹣8.cos∠AMB＝eq\f(\o(MA,\s\up6(→))·\o(MB,\s\up6(→)),|\o(MA,\s\up6(→))||\o(MB,\s\up6(→))|)＝eq\f(－8,\r(34)×\r(2))＝﹣eq\f(4\r(17),17).向量的應(yīng)用向量的應(yīng)用是多方面的，但由于我們所學(xué)的知識范圍較窄，因此我們目前的應(yīng)用主要限于平面幾何以及用來探討函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)等方面，當(dāng)然還有在物理方面的應(yīng)用.[典例3]在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝12，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝15，l為線段BC的垂直平分線，l與BC交于點(diǎn)D，E為l上異于D的任意一點(diǎn).(1)求eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值；(2)判斷eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值是否為一個(gè)常數(shù)，并說明理由.解(1)∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴AB⊥AC.又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝12，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝15，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝9.由已知可得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))﹣eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))﹣eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))2﹣eq\o(AC,\s\up6(→))2)＝eq\f(1,2)×(144﹣81)＝eq\f(63,2).(2)eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值為一個(gè)常數(shù).理由：∵l為線段BC的垂直平分線，l與BC交于點(diǎn)D，E為l上異于D的任意一點(diǎn)，∴eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0.故eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(63,2).[典例4]平面向量a＝(eq\r(3)，﹣1)，b＝(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，若存在不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)k和t，使x＝a＋(t2﹣3)b，y＝﹣ka＋tb，且x⊥y，試求函數(shù)關(guān)系式k＝f(t).解由a＝(eq\r(3)，﹣1)，b＝(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))得a·b＝0，|a|＝2，|b|＝1，由x⊥y，得x·y＝[a＋(t2﹣3)b]·(﹣ka＋tb)＝0，即﹣ka2＋ta·b﹣k(t2﹣3)a·b＋t(t2﹣3)b2＝0，﹣4k＋t3﹣3t＝0，k＝eq\f(1,4)(t3﹣3t)，即k＝f(t)＝eq\f(1,4)(t3﹣3t).[典例5]已知△ABC中，A(2,4)，B(﹣1，﹣2)，C(4,3)，BC邊上的高為AD.(1)求證：AB⊥AC；(2)求點(diǎn)D和向量eq\o(AD,\s\up6(→))的坐標(biāo)；(3)設(shè)∠ABC＝θ，求cosθ；(4)求證：AD2＝BD·CD.解(1)證明：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(﹣1，﹣2)﹣(2,4)＝(﹣3，﹣6)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,3)﹣(2,4)＝(2，﹣1).∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝﹣3×2＋(﹣6)×(﹣1)＝0，∴AB⊥AC.(2)設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x﹣2，y﹣4)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(5,5).∵AD⊥BC，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝5(x﹣2)＋5(y﹣4)＝0.①又eq\o(BD,\s\up6(→))＝(x＋1，y＋2)，而eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線，∴5(x＋1)﹣5(y＋2)＝0，②聯(lián)立①②解得x＝eq\f(7,2)，y＝eq\f(5,2).故D點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(7,2)，eq\f(5,2)).∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\f(7,2)﹣2，eq\f(5,2)﹣4)＝(eq\f(3,2)，﹣eq\f(3,2)).(3)cosθ＝eq\f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(3×5＋6×5,\r(32＋62)×\r(52＋52))＝eq\f(3\r(10),10).(4)證明：∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\f(3,2)，﹣eq\f(3,2))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\f(9,2)，eq\f(9,2))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝eq\f(9,2)，|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(9\r(2),2)，|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(2),2).∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(DC,\s\up6(→))|，即AD2＝BD·CD.[典例6]在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量m＝(a＋c，b)與向量n＝(a﹣c，b﹣a)互相垂直.(1)求角C；(2)求sinA＋sinB的取值范圍.解(1)由已知可得，(a＋c)(a﹣c)＋b(b﹣a)＝0?a2＋b2﹣c2＝ab，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,3).(2)由C＝eq\f(π,3)，得A＋B＝eq\f(2π,3)，sinA＋sinB＝sinA＋sin(eq\f(2π,3)﹣A)＝sinA＋sineq\f(2π,3)cosA﹣coseq\f(2π,3)sinA＝eq\f(3,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＝eq\r(3)(eq\f(\r(3),2)sinA＋eq\f(1,2)cosA)＝eq\r(3)sin(A＋eq\f(π,6))，由0＜A＜eq\f(2π,3)，eq\f(π,6)＜A＋eq\f(π,6)＜eq\f(5π,6)?eq\f(1,2)＜sin(A＋eq\f(π,6))≤1.所以sinA＋sinB的取值范圍是(eq\f(\r(3),2)，eq\r(3)].數(shù)形結(jié)合思想向量本身既有大小，又有方向，可以用幾何法表示，而向量又有良好的運(yùn)算性質(zhì)——坐標(biāo)運(yùn)算，可把向量與數(shù)聯(lián)系起來，這樣向量具備了“數(shù)”與“形”的兩方面特征.兩條直線平行、垂直，三點(diǎn)共線等幾何問題，可通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算這種代數(shù)手段實(shí)現(xiàn)證明，還可利用向量的數(shù)量積處理線段的長度、角度等問題.[典例7]已知向量a與b不共線，且|a|＝|b|≠0，則下列結(jié)論正確的是()A.向量a＋b與a﹣b垂直B.向量a﹣b與a垂直C.向量a＋b與a垂直D.向量a＋b與a﹣b共線解析如圖所示，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，以O(shè)A和OC為鄰邊作?OABC.由于|a|＝|b|≠0，則四邊形OABC是菱形.所以必有AC⊥OB.又因?yàn)閍＋b＝eq\o(OB,\s\up6(→))，a﹣b＝eq\o(CA,\s\up6(→))，所以(a＋b)⊥(a﹣b).答案A[典例8]已知向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2,0)，向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝(2,2)，向量eq\o(CA,\s\up6(→))＝(eq\r(2)cosα，eq\r(2)sinα)，則向量eq\o(OA,\s\up6(→))與向量eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角的取值范圍為()A.[0，eq\f(π,4)]B.[eq\f(π,4)，eq\f(5π,12)]C.[eq\f(5π,12)，eq\f(π,2)]D.[eq\f(π,12)，eq\f(5π,12)]解析如圖，向量eq\o(CA,\s\up6(→))的終點(diǎn)A在以點(diǎn)C(2,2)為圓心、半徑為eq\r(2)的圓上，OA1，OA2是圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A1，A2.在Rt△OCA1中，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，|eq\o(CA1,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，所以∠COA1＝eq\f(π,6).所以∠COA2＝∠COA1＝eq\f(π,6).因?yàn)椤螩OB＝eq\f(π,4)，所以∠A1OB＝eq\f(π,4)﹣eq\f(π,6)＝eq\f(π,12)，∠A2OB＝eq\f(π,4)＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,12).所以向量eq\o(OA,\s\up6(→))與向量eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角的取值范圍是[eq\f(π,12)，eq\f(5π,12)].答案D[典例9]如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的兩個(gè)觀測點(diǎn).現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20eq\r(3)海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時(shí)間？解由題意知AB＝5(3＋eq\r(3))(海里)，∠DBA＝90°﹣60°＝30°，∠DAB＝90°﹣45°＝45°，∴∠ADB＝180°﹣(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得eq\f(DB,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，∴DB＝eq\f(ABsin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)sin45°,sin45°cos60°＋cos45°sin60°)＝10eq\r(3)(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°﹣60°)＝60°，BC＝20eq\r(3)(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2﹣2BD×BCcos∠DBC＝300＋1200﹣2×10eq\r(3)×20eq\r(3)×eq\f(1,2)＝900，∴CD＝30(海里)，則需要的時(shí)間t＝eq\f(30,30)＝1(小時(shí)).答：該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí).單元鞏固練習(xí)卷一、單選題1.下列各組平面向量中，可以作為基底的是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】因?yàn)锳，C，D選項(xiàng)中的兩個(gè)向量均存在實(shí)數(shù)使得SKIPIF1<0，所以兩向量均共線，故不可作為基底.因?yàn)锽選項(xiàng)中的兩個(gè)向量不存在實(shí)數(shù)使得SKIPIF1<0，所以兩向量不共線，所以可以作為一組基底.故B正確.2.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線B.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線C.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線D.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線【答案】A【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)共線.故選：SKIPIF1<0.3.如果向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0()A.6B.5C.4D.3【答案】B【解析】由已知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B.4.設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個(gè)不共線的平面向量，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.2B.-2C.6D.-6【答案】D【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個(gè)不共線的平面向量，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：D5.在SKIPIF1<0中，下列各式正確的是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】對于選項(xiàng)A：由正弦定理有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：SKIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0得SKIPIF1<0；故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：由正弦定理可得SKIPIF1<0，再根據(jù)誘導(dǎo)公式可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選項(xiàng)D正確；故選：D6.在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在對角線SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.4C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C.7.已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的一個(gè)內(nèi)角，向量SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則角SKIPIF1<0()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,選C.8.海倫公式是利用三角形的三條邊的邊長SKIPIF1<0直接求三角形面積S的公式，表達(dá)式為：SKIPIF1<0；它的特點(diǎn)是形式漂亮，便于記憶.中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年獨(dú)立提出了“三斜求積術(shù)”，雖然它與海倫公式形式上有所不同，但它與海倫公式完全等價(jià)，因此海倫公式又譯作海倫－秦九韶公式.現(xiàn)在有周長為SKIPIF1<0的SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則用以上給出的公式求得SKIPIF1<0的面積為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.12【答案】C【解析】在SKIPIF1<0中，因?yàn)镾KIPIF1<0，由正弦定理可得：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C.二、多選題9.已知兩點(diǎn)SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0平行，且方向相反的向量SKIPIF1<0可能是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】AD【解析】SKIPIF1<0，A選項(xiàng)，SKIPIF1<0，故滿足題意D選項(xiàng)，SKIPIF1<0，故滿足題意,B、C選項(xiàng)中的SKIPIF1<0不與SKIPIF1<0平行,故選：AD10.已知向量SKIPIF1<0(2，1)，SKIPIF1<0(1，﹣1)，SKIPIF1<0(m﹣2，﹣n)，其中m，n均為正數(shù)，且(SKIPIF1<0)∥SKIPIF1<0，下列說法正確的是（）A.a與b的夾角為鈍角B.向量a在b方向上的投影為SKIPIF1<0C.2m＋n＝4D.mn的最大值為2【答案】CD【解析】對于A，向量SKIPIF1<0(2，1)，SKIPIF1<0(1，﹣1)，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的夾角為銳角，錯(cuò)誤；對于B，向量SKIPIF1<0(2，1)，SKIPIF1<0(1，﹣1)，則向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影為SKIPIF1<0，錯(cuò)誤；對于C，向量SKIPIF1<0(2，1)，SKIPIF1<0(1，﹣1)，則SKIPIF1<0(1，2)，若(SKIPIF1<0)∥SKIPIF1<0，則(﹣n)＝2(m﹣2)，變形可得2m＋n＝4，正確；對于D，由C的結(jié)論，2m＋n＝4，而m，n均為正數(shù)，則有mnSKIPIF1<0(2m?n)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)2＝2，即mn的最大值為2，正確；故選：CD.11.對于三角形ABC，有如下判斷，其中正確的判斷是（）A.若sin2A＋sin2B＜sin2C，則三角形ABC是鈍角三角形B.若A＞B，則sinA＞sinBC.若a＝8，c＝10，B＝60°，則符合條件的三角形ABC有兩個(gè)D.若三角形ABC為斜三角形，則SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】對于A，因?yàn)閟in2A＋sin2B＜sin2C，所以由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為鈍角，所以三角形ABC是鈍角三角形，所以A正確；對于B，因?yàn)锳＞B，所以SKIPIF1<0，所以由正弦定理得sinA＞sinB，所以B正確；對于C，由余弦定理得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以符合條件的三角形ABC有一個(gè)，所以C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以D正確，故選：ABD12.在SKIPIF1<0中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】AD【解析】∵SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∵A為三角形內(nèi)角，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故A正確，B錯(cuò)誤，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.三、填空題13.已知向量SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影為________.【答案】SKIPIF1<0【解析】∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.又∵SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影為SKIPIF1<0.14.已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號成立，所以SKIPIF1<0。故答案為：SKIPIF1<0.15.在山頂鐵塔上SKIPIF1<0處測得地面上一點(diǎn)SKIPIF1<0的俯角SKIPIF1<0，在塔底SKIPIF1<0處測得點(diǎn)SKIPIF1<0的俯角SKIPIF1<0，已知鐵塔SKIPIF1<0部分高SKIPIF1<0米，山高SKIPIF1<0_______.【答案】SKIPIF1<0米【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.16.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)M為SKIPIF1<0三邊上的動(dòng)點(diǎn)，PQ是SKIPIF1<0外接圓的直徑，則SKIPIF1<0的取值范圍是_______________________【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)外接圓的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0M為SKIPIF1<0三邊上的動(dòng)點(diǎn)，可知SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0到三角形頂點(diǎn)的距離，即為半徑SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0到SKIPIF1<0邊的距離，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.四、解答題17.已知向量SKIPIF1<0（cosx，SKIPIF1<0cosx），SKIPIF1<0（cosx，sinx）.（1）若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求x的值；（2）若f（x）SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求f（x）的最大值及相應(yīng)x的值.【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0【解析】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴cosx＝0或SKIPIF1<0，即cosx＝0SKIPIF1<0或tanxSKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故f（x）的最大值為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0.18.已知SKIPIF1<0是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，且A，E，C三點(diǎn)共線.（1）求實(shí)數(shù)λ的值；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的坐標(biāo)；（3）已知SKIPIF1<0，在（2）的條件下，若SKIPIF1<0四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A的坐標(biāo).【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）(－7，－2)；（3）(10，7).【解析】（1）SKIPIF1<0.因?yàn)锳，E，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k，使得SKIPIF1<0＝kSKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0.（3）因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，所以SKIPIF1<0.設(shè)A(x，y)，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10，7).19.SKIPIF1<0的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0.（1）求角A；（2）從三個(gè)條件：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0中任選一個(gè)作為已知條件，求SKIPIF1<0周長的取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）答案不唯一，具體見解析.【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）分三種情況求解：選擇①SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的周長SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0周長的取值范圍是SKIPIF1<0.選擇②SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0的周長SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0周長的取值范圍是SKIPIF1<0.選擇③SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的周長SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號成立，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0周長的取值范圍是SKIPIF1<0.20.在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0