數(shù)列公式大全設(shè)An為等差數(shù)列,d為公差

性質(zhì)1)An=A1+(n-1)d=Am+(n-m)d

Sn=n(A1+An)/2=nA1+n(n-1)d/2

2)An=Sn-S(n-1),2An=A(n-1)+A(n+1)=A(n-k)+A(n+k)

3)若a+b=c+d,則Aa+Ab=Ac+Ad

設(shè)An為某數(shù)列,Sn為前n項(xiàng)和,則有以下幾點(diǎn)性質(zhì):

4)形如Sn=an^2+bn+c(ab≠0),當(dāng)且僅當(dāng)c=0時(shí),An為等差數(shù)列.即當(dāng)An為等差數(shù),Sn是不含常數(shù)項(xiàng)的關(guān)于n的二次函數(shù).

5)形如aAn=bA(n-1)+c(a≠b)的數(shù)列,總可以化為等比數(shù)列,即令ax=bx+c,即x=c/(a-b),即An-c/(a-b)=a[A(n-1)-c/(a-b)]

所以Bn=An-b/(1-a)為等比數(shù)列

6)形如aAn+bA(n-1)+cA(n-2)=0(abc≠0)的數(shù)列,總可以化為等比數(shù)列,即令ax^2+bx+c=0的根為x1,x2,則

An-x1A(n-1)=x2[A(n-1)-x1A(n-2)]

An-x2A(n-1)=x1[A(n-1)-x2A(n-2)]

令B(n-1)=An-x1A(n-1)..........................(1)

B(n-1)'=An-x2A(n-1)...........................(2)

則Bn,Bn'為等比數(shù)列,從而可以求出Bn,Bn'。再解(1)(2)方程組可求出An。

7)若An>0,形如An^a=cA(n-1)^b的數(shù)列可化為5)的形式,即兩邊取對(duì)數(shù)即:algAn=blgA(n-1)+lgc,令Bn=lgAn,即aBn=bB(n-1)+c

等差數(shù)列：Sn=a1n+n(n-1)d/2

等比數(shù)列：1:q=1時(shí);Sn=na1

2:q#1時(shí);Sn=a1(1-q的n次方）/（1-q）

求和

等差“(首數(shù)+末數(shù))*項(xiàng)數(shù)/2

等比數(shù)列求和公式＝首項(xiàng)*(1-比值^項(xiàng)數(shù))/(1-比值)

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.

1、等差數(shù)列求和公式：

2、等比數(shù)列求和公式：

自然數(shù)方冪和公式：

3、4、

5、

[例]求和1＋x2＋x4＋x6＋…x2n+4(x≠0)

解：∵x≠0

∴該數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為x2的等比數(shù)列而且有n+3項(xiàng)

當(dāng)x2＝1即x＝±1時(shí)和為n+3

評(píng)注：

(1)利用等比數(shù)列求和公式．當(dāng)公比是用字母表示時(shí)，應(yīng)對(duì)其是否為1進(jìn)行討論，如本題若為“等比”的形式而并未指明其為等比數(shù)列，還應(yīng)對(duì)x是否為0進(jìn)行討論．

(2)要弄清數(shù)列共有多少項(xiàng)，末項(xiàng)不一定是第n項(xiàng)．

對(duì)應(yīng)高考考題：設(shè)數(shù)列1，（1+2），…，（1+2+），……的前頂和為，則的值。

二、錯(cuò)位相減法求和

錯(cuò)位相減法求和在高考中占有相當(dāng)重要的位置，近幾年來的高考題其中的數(shù)列方面都出了這方面的內(nèi)容。需要我們的學(xué)生認(rèn)真掌握好這種方法。這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.求和時(shí)一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比；然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，這種方法就是錯(cuò)位相減法。

[例]求和：（）………①

解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n－1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積

設(shè)……….②（設(shè)制錯(cuò)位）

①－②得（錯(cuò)位相減）

再利用等比數(shù)列的求和公式得：

∴

注意、1要考慮當(dāng)公比x為值1時(shí)為特殊情況

2錯(cuò)位相減時(shí)要注意末項(xiàng)

此類題的特點(diǎn)是所求數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘。

對(duì)應(yīng)高考考題：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且。（Ⅰ）求的通項(xiàng)；（Ⅱ）求的前n項(xiàng)和。

三、反序相加法求和

這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè).

[例]求證：

證明：設(shè)…………..①

把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得

（反序）

又由可得

…………..……..②

①+②得（反序相加）

∴

四、分組法求和

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.

若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其中中一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般用分組結(jié)合法。

[例]：求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

分析：數(shù)列的通項(xiàng)公式為，而數(shù)列分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列，求和時(shí)一般用分組結(jié)合法；

[解]：因?yàn)椋?/p>

（分組）

前一個(gè)括號(hào)內(nèi)是一個(gè)等比數(shù)列的和，后一個(gè)括號(hào)內(nèi)是一個(gè)等差數(shù)列的和，因此

五、裂項(xiàng)法求和

這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：

（1）（2）

（3）（4）

（5）

[例]求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

解：設(shè)（裂項(xiàng)）

則（裂項(xiàng)求和）

＝

＝

小結(jié)：此類變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后，其中中間的大部分項(xiàng)都互相抵消了。只剩下有限的幾項(xiàng)。

注意：余下的項(xiàng)具有如下的特點(diǎn)

1余下的項(xiàng)前后的位置前后是對(duì)稱的。

2余下的項(xiàng)前后的正負(fù)性是相反的。

[練習(xí)]在數(shù)列{an}中，，又，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.

六、合并法求和

針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.

[例]在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若