第十單元相似形第32課時(shí)相似形(60分)一、選擇題(每題5分，共30分)1．麗水市第一座橫跨甌江的單塔斜拉式大橋紫金大橋，比例尺為1∶500的圖紙上的大橋的長度約為1.04m，則大橋的實(shí)際長度約是 (D)A．104m B．1040mC．5200m D．520m【解析】設(shè)大橋的實(shí)際長度為x，依題意，得1∶500＝1.04∶x；得x＝1.04×500＝520(m)．圖32－12．[2015·南京]如圖32－1，在△ABC中，DE∥BC，eq\f(AD,DB)＝eq\f(1,2)，則下列結(jié)論中正確的是 (C)圖32－1A.eq\f(AE,AC)＝eq\f(1,2) B.eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,2)C.eq\f(△ADE的周長,△ABC的周長)＝eq\f(1,3) D.eq\f(△ADE的面積,△ABC的面積)＝eq\f(1,3)圖32－23．[2015·永州]如圖32－2，下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是 (D)圖32－2A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD·AC D.eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,BC)【解析】在△ADB和△ABC中，∠A是它們的公共角，那么當(dāng)eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,AC)時(shí)，才能使△ADB∽△ABC，不是eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,BC).故答案選D.4．[2014·河北]在研究相似問題時(shí)，甲乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下：甲：將邊長為3，4，5的三角形按圖32－3①的方式向外擴(kuò)張，得到新三角形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距為1，則新三角形與原三角形相似．① ②圖32－3乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖32－3②的方式向外擴(kuò)張，得到新矩形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距為1，則新矩形與原矩形相似．對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是 (C)A．兩人都對(duì) B．兩人都不對(duì)C．甲對(duì)，乙不對(duì) D．甲不對(duì)，乙對(duì)圖32－45．如圖32－4，在平行四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，CE和BD交于點(diǎn)O，設(shè)△OCD的面積為m，△OEB的面積為eq\r(5)，則下列結(jié)論中正確的是 (B)圖32－4A．m＝5 B．m＝4eq\r(5)C．m＝3eq\r(5) D．m＝10【解析】∵AB∥CD，∴△OCD∽△OEB，又∵E是AB的中點(diǎn)，∴2EB＝AB＝CD，∴eq\f(S△OEB,S△OCD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BE,CD)))eq\s\up12(2)，即eq\f(\r(5),m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)，解得m＝4eq\r(5).∴m的值為4eq\r(5).圖32－56．[2015·武威]如圖32－5，D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，則S△DOE∶S△AOC的值為 (D圖32－5A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,9) D.eq\f(1,16)【解析】∵S△BDE∶S△CDE＝1∶3，∴BE∶EC＝1∶3，∴BE∶BC＝1∶4，∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，△BED∽△BCA，∴eq\f(DE,AC)＝eq\f(BE,BC)＝eq\f(1,4)，∴S△DOE∶S△AOC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,AC)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16).二、填空題(每題5分，共20分)7．[2015·東莞]若兩個(gè)相似三角形的周長比為2∶3，則它們的面積比是__4∶9__．8．[2015·金華]如圖32－6，直線l1，l2，…，l6是一組等距的平行線，過直線l1上的點(diǎn)A作兩條射線，分別與直線l3，l6相交于B，E，C，F(xiàn)，若BC＝2，則EF的長是__5__.圖32－69．[2015·梅州]如圖32－7，△ABC中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC邊上，若以A，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則需要增加的一個(gè)條件是__AF＝eq\f(1,2)AC或∠AFE＝∠ABC__．(寫出一個(gè)即可)圖32－7【解析】圖32－7①∵△AEF∽△ABC，∴AE∶AB＝AF∶AC，即1∶2＝AF∶AC，∴AF＝eq\f(1,2)AC；②∵△AEF∽△ACB，∴∠AFE＝∠ABC.∴要使以A，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則AF＝eq\f(1,2)AC或∠AFE＝∠ABC.10．[2015·泰州]如圖32－8，△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，則CD的長為__5__．【解析】∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，圖32－8∴eq\f(BA,BC)＝eq\f(BD,BA).圖32－8∵AB＝6，BD＝4，∴eq\f(6,BC)＝eq\f(4,6)，∴BC＝9，∴CD＝BC－BD＝9－4＝5.三、解答題(共20分)11．(10分)[2015·泰安]如圖32－9，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P，D分別是BC，AC邊上的點(diǎn)，且∠APD＝∠B.(1)求證：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，當(dāng)PD∥AB時(shí)，求BP的長．圖32－9解：(1)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴eq\f(BP,CD)＝eq\f(AB,PC)，∴AB·CD＝PC·BP.∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP；(2)∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴eq\f(BA,BC)＝eq\f(BP,BA).∵AB＝10，BC＝12，∴eq\f(10,12)＝eq\f(BP,10)，∴BP＝eq\f(25,3).圖32－1012．(10分)[2015·濱州]如圖32－10，已知B，C，E三點(diǎn)在同一條直線上，△ABC與△DCE都是等邊三角形，其中線段BD交AC于點(diǎn)G，線段AE交CD于點(diǎn)F，求證：圖32－10(1)△ACE≌△BCD；(2)eq\f(AG,GC)＝eq\f(AF,FE).證明：(1)∵△ABC與△DCE都為等邊三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠ACE＝∠BCD，,CE＝CD，))∴△ACE≌△BCD(SAS)；(2)∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC＝∠AEC，在△GCD和△FCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠GCD＝∠FCE＝60°，,CD＝CE，,∠BDC＝∠AEC，))∴△GCD≌△FCE(ASA)，∴CG＝CF，∴△CFG為等邊三角形，∴∠CGF＝∠ACB＝60°，∴GF∥CE，∴eq\f(AG,GC)＝eq\f(AF,FE).(20分)圖32－1113．(10分)如圖32－11，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.圖32－11(1)寫出圖中兩對(duì)相似三角形(不得添加輔助線)；(2)請分別說明兩對(duì)三角形相似的理由．【解析】由兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等得兩三角形相似，關(guān)鍵是得到∠BAC＝∠DAE.解：(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；(2)∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.又∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE.∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE).又∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.圖32－1214．(10分)[2014·資陽]如圖32－12，AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)A作⊙O的切線并在其上取一點(diǎn)C，連結(jié)OC交⊙O于點(diǎn)D，BD的延長線交AC于E，連結(jié)AD.圖32－12(1)求證：△CDE∽△CAD；(2)若AB＝2，AC＝2eq\r(2)，求AE的長．解：(1)∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.又∵AC是⊙O的切線，∴AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAD.∵∠ABD＝∠BDO＝∠CDE，∴∠CAD＝∠CDE，又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD；(2)在Rt△OAC中，∠OAC＝90°，∴OA2＋AC2＝OC2，即12＋(2eq\r(2))2＝OC2，∴OC＝3，則CD＝2.又∵△CDE∽△CAD，得eq\f(CD,CE)＝eq\f(CA,CD)，即eq\f(2,CE)＝eq\f(2\r(2),2)，∴CE＝eq\r(2)，∴AE＝AC－CE＝2eq\r(2)－eq\r(2)＝eq\r(2).(10分)15．(10分)[2015·巴中]如圖32－13，AB是⊙O的直徑，OD⊥弦BC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)CE，AE，CD，若∠AEC＝∠ODC.(1)求證：直線CD為⊙O的切線；圖32－13(2)若AB＝5，BC＝4，求線段CD圖32－13解：(1)證明：如答圖，連結(jié)CO，∵圓周角∠AEC與∠ABC所對(duì)弧相同，∴∠ABC＝∠AEC.又∠AEC＝∠ODC，∴∠ABC＝∠ODC.∵OC＝OB，OD⊥BC，∴∠OCB＝∠OBC，且∠OCB＋∠COD＝90°.第15題答圖∴∠ODC＋∠COD＝90°.∴∠OCD＝180°－∠ODC－∠COD＝90°，即OC⊥CD.第15題答圖又OC為半徑，∴直線CD為⊙O的切線；(2)在⊙O中，OD⊥弦BC于