《應(yīng)用隨機(jī)過程》讀書筆記早期的概率論和分析是兩個(gè)截然不同的領(lǐng)域.1933年，Kolmogorov建立了概率論公理基礎(chǔ)，這標(biāo)志著概率論成為一個(gè)嚴(yán)密的分支.此后學(xué)者們更感興趣于用概率方法來解決分析問題.于是上世紀(jì)40到50年代間，隨機(jī)分析學(xué)迅速發(fā)展成為一門新的學(xué)科，被譽(yù)為“隨機(jī)王國中的牛頓定律”.隨機(jī)分析學(xué)的理論受到了眾多領(lǐng)域?qū)＜?、學(xué)者的研究和關(guān)注。它的發(fā)展是迅速的，也是巨大的，其應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛，緊密聯(lián)系著數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，也是近代概率論中最活躍的分支之一。隨著其內(nèi)容的不斷豐富，隨機(jī)分析己被廣泛應(yīng)用于點(diǎn)過程、估計(jì)理論等理論分支。在放假期間，我看了《應(yīng)用隨機(jī)過程》第六章---鞅的內(nèi)容。鞅是一類特殊的隨機(jī)過程，鞅的初始概念是源于公平競爭的思想，也就是在競爭中付出與所期望的收入相匹配。直觀地講，在公平競爭中我們無法憑空創(chuàng)造則富。鞅僅描述現(xiàn)在所擁有的價(jià)值，離散時(shí)間鞅僅僅是對過程有個(gè)大致的描述，而連續(xù)時(shí)間鞅則是對招個(gè)過程的一個(gè)綜合把握，可以細(xì)致而緊湊地研究過程的走向。下面就簡單介紹一下鞅的基本概念及其相關(guān)性質(zhì)。定義1隨機(jī)過程｛x,n>0｝稱為關(guān)于｛y,n>0｝的下鞅，如果對nnn>0,X時(shí)(Y，…,Y)的函數(shù)，EX+vs，并且E(XIY，…,Y)>X，這里TOC\o"1-5"\h\zn 0 n n n+10 n nX+=max｛0,X｝。我們稱過程｛x,n>0｝為關(guān)于｛y,n>0｝的上鞅，如果對n n n nn>0,X是(Y，…,Y)的函數(shù)，EX-vs，并且E(XIY，…,Y)<X，這里n 0 n n n+10 n nX一=max｛0,-X｝。若｛x,n>0｝兼為關(guān)于｛y,n>0｝的下鞅與上鞅，則稱n n n n之為關(guān)于｛y,n>0｝的鞅。n根據(jù)鞅的定義，我們可以直接推出以下命題：適應(yīng)列｛x,F,n>0｝是下鞅當(dāng)且僅當(dāng)｛-X,F,n>0｝是上鞅。nn nn如果｛x,F｝，｛y,F｝是兩個(gè)下鞅，a,b是兩個(gè)正常數(shù)，則nn nn｛aX+bY,F｝是下鞅。nnn(3)如果｛X,F｝， ｛Y,F｝是兩個(gè)下鞅(或上鞅)，則nn nn｛max(X,Y),F｝或｛min(X,Y),F｝是下鞅(上鞅)。nnn nnn下面以一個(gè)例子加以說明：考慮一個(gè)公平博弈的問題，設(shè)X,X…12獨(dú)立同分布，分布函數(shù)為P｛x二1｝=P｛x=—1｝=丄，于是，可以將ii2X(i二1,2,…)看做一個(gè)投硬幣的游戲的結(jié)果：如果出現(xiàn)正面就贏1元，i出現(xiàn)反面就輸1元。假設(shè)我們按以下的規(guī)則來賭博，每次投擲硬幣之前的賭注都比上一次翻一倍，直到贏了賭博即停。令W表示第n次賭n博后所輸(或贏)的總錢數(shù)，W二0，無論如何，只要贏了就停止賭0博，從而W從贏了之后起就不再變化，于是有P｛w=11W=1｝=1。假n n+1 n設(shè)前n次投出的硬幣都出現(xiàn)了反面，按照規(guī)定，我們已經(jīng)輸了+2+4+???+2n-1二2n-1(元)，即W=—(2n—1)，假如下一次硬幣出現(xiàn)的n是正面，按規(guī)定W二2n—(2n—1)二1，由公平的前提知道n+1P二11W=—(2n—1)｝=丄，P =—2n—2n+11W=—(2"—1)｝=1，易證n+1 n 2 n+1 n 2E(WIF)=W，這里F二b(X，…,X)，從而｛w｝是關(guān)于｛f｝的鞅。n+1n n n 1 n n n鞅的停時(shí)定理1(停時(shí))設(shè)｛x,n>0｝是一隨機(jī)變量序列，稱隨機(jī)函數(shù)T是關(guān)n于｛X,n>0｝的停時(shí)，如果T在｛0丄2,…,^｝中取值，而且對每個(gè)n>0，n{t=n}ec(X,X，…,X)。0 1 n(鞅停時(shí)定理)設(shè)M,M,M，…是一個(gè)關(guān)于{f=b(X,X，…,X)}0 1 2 n 0 1 n的鞅，T是停時(shí)且滿足：P{t<a}=1；E(|M』<g；limE(IMI)二0；n”I"{T>/則有 EM二EMT01939年法國概率學(xué)家Levy第一次提出鞅，并作了理論的奠基工作。隨著K.ito對brown運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分理論的發(fā)展，30年代末至50年代初，Levy和美國概率學(xué)家Doob就創(chuàng)立了鞅論，并且由Doob將其發(fā)揚(yáng)光大.1953年，Doob在其名著StochasticProcesses中首次系統(tǒng)地介紹了鞅論及其應(yīng)用成果，這部歷史性專著促使鞅成為隨機(jī)過程理論的一個(gè)獨(dú)立分支.突飛猛進(jìn)的研究成果使其在理論和應(yīng)用上的重要性也日益凸顯.Doob極大不等式定理設(shè){z,Z，…,Z}是一個(gè)鞅，M=max{Z|,…,|Z}。TOC\o"1-5"\h\z0 1 n n 0 n對VX>0，P{M>X}<1E(IZ11 )/(|Z」)；n X n{M>X} Xn如果E(Z2)<g，則對VX>0，nP{m>九}<丄E(Z21 )<，n X2 n{M>X} X2n并且 E(M2)<4E(Z2)nn一致可積性定義1假設(shè)有一列隨機(jī)變量X,X，…,稱它們是一直可積的，如12果對Vs>0，存在6>0，使得對任意A,當(dāng)P(A)<§時(shí)，E(|xI)<￡對nAVn成立。因?yàn)橐恢驴煞e的條件比較難驗(yàn)證，下面給出兩個(gè)一致可積的充分條件。1假設(shè)X,X，…是一列隨機(jī)變量，并且存在常數(shù)C5，使得12E(X2)<C對所有的n成立，則此序列是一致可積的。n2設(shè)｛m｝是關(guān)于｛F｝的鞅。如果存在一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量Y,滿足nnE(Y)<g，且M|<Y，對Vn成立，則｛m｝是一致可積鞅。n n鞅收斂定理定理(鞅收斂定理)設(shè)M,M，…是關(guān)于X,X，…的鞅，并且存在0101常數(shù)C<g使得E(|M|)<C對任意n成立，則當(dāng)nTa時(shí)，｛m｝收斂到n n一個(gè)隨機(jī)變量Ma根據(jù)上面的定理，我們可以得出以下結(jié)論：如果｛m｝是關(guān)于nX，X，…的一致可積鞅，貝UlimM存在，記為M，并且EM二EM?0 1 n a a 0nTa生活舉例1設(shè)X是一個(gè)賭徒n次拋擲公平硬幣后的財(cái)產(chǎn)，如果硬幣正n面朝上，則賭徒贏得1美元，硬幣反面朝上，則賭徒輸?shù)?美元。已知?dú)v史上所擁有的財(cái)產(chǎn)，且下一次試驗(yàn)后賭徒財(cái)產(chǎn)的條件期望與其現(xiàn)在的財(cái)產(chǎn)相等，故這一隨機(jī)過程是鞅。這個(gè)例子稱為賭徒謬誤。令Y=X2n,其中X是上例中賭徒的財(cái)產(chǎn)，則隨機(jī)過nn n程｛Yn:n=1,2,3,...｝是鞅。這一例子可以表明賭徒的全n部收益或損失大致在拋擲次數(shù)的正負(fù)平方根之間變化。(棣莫弗鞅)設(shè)拋擲的是有偏硬幣(或稱為不公平硬幣)，正面向上的概率為p,反面向上的概率為q二1-P。令X仇+i=Xn±1

正面情況用“+”，反面情況用“-”。令匚=■：■；.；<■■■<則｛Y:n=1,2,3,...｝是關(guān)於｛X:n=1,2,3,...｝的nn鞅。證明如下：S[K+i| =p(q/p)Xn+1+q｛q/p)Xn~r=p^/p)^/p)Xn+q?/q)(q/p產(chǎn)=q(MXn+p(q/p)Xn=(q/p)Xn=K服從正態(tài)分布mn-:(波利亞罐子模型)一個(gè)罐子中最初裝有r個(gè)紅球和b個(gè)藍(lán)球。某人隨機(jī)取出一個(gè)球，然后將此球與另一個(gè)與此球顏色相同的球放回罐子中。令X為重復(fù)上述步驟n次后罐子中的紅球數(shù)，令y=nnX/(n+r+b)o這時(shí)隨機(jī)過程｛y:n=1,2,3,...｝是鞅。nn(統(tǒng)計(jì)學(xué)中的似然比檢驗(yàn))某一總體可能是按照概率密度f分布，也可能是按照概率密度g分布。從總體中取出一個(gè)隨機(jī)樣本，數(shù)據(jù)為X.,x。令Y為“似然比”：1nny_TTg(X)(上式在應(yīng)用中用作檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。)若總體實(shí)際上是按照概率密度f而不是g分布，則｛Yn:n=1,2,3,...｝是關(guān)n于｛X:n=1,2,3,...｝的鞅。n設(shè)每一變形蟲不是以概率p分裂成兩個(gè)變形蟲，就是以概率1p最終死亡。令X為n代后變形蟲的存活數(shù)目（若種群在某一時(shí)n刻滅絕，則這一時(shí)刻的X=0）。令r為最終滅絕的概率。（找出r關(guān)n于p的函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中是非常有用的。提示：已知最初的一個(gè)變形蟲已經(jīng)分裂了，則這個(gè)變形蟲的后代最終滅絕的概率等於其分裂直接得到的兩個(gè)后代中任何一個(gè)死亡的概率。）則｛rV1:^=1,2,3,...｝是關(guān)于｛X：n=1,2,3,...的鞅。n當(dāng)前靴論及隨機(jī)積分理論己廣泛應(yīng)用于金融系統(tǒng)、隨機(jī)微分方程、估計(jì)理