2020北京市高級(jí)中等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)模擬試題（含答案全解全析）第Ⅰ卷(選擇題,共32分)一、選擇題(本題共32分,每小題4分)下面各題均有四個(gè)選項(xiàng),其中只有一個(gè)是符合題意的.1.2的相反數(shù)是()A.2 B.-2 C.-12 D.2.據(jù)報(bào)道,某小區(qū)居民李先生改進(jìn)用水設(shè)備,在十年內(nèi)幫助他居住小區(qū)的居民累計(jì)節(jié)水300000噸.將300000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為()A.0.3×106 B.3×105 C.3×106 D.30×1043.如圖,有6張撲克牌,從中隨機(jī)抽取一張,點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率是()A.16 B.14 C.13 4.如圖是某幾何體的三視圖,該幾何體是()A.圓錐 B.圓柱 C.正三棱柱 D.正三棱錐5.某籃球隊(duì)12名隊(duì)員的年齡如下表所示:年齡(歲)18192021人數(shù)5412則這12名隊(duì)員年齡的眾數(shù)和平均數(shù)分別是()A.18,19 B.19,19 C.18,19.5 D.19,19.56.園林隊(duì)在某公園進(jìn)行綠化,中間休息了一段時(shí)間.已知綠化面積S(單位:平方米)與工作時(shí)間t(單位:小時(shí))的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示,則休息后園林隊(duì)每小時(shí)綠化面積為()A.40平方米 B.50平方米 C.80平方米 D.100平方米7.如圖,☉O的直徑AB垂直于弦CD,垂足是E,∠A=22.5°,OC=4,CD的長(zhǎng)為()A.22 B.4 C.42 D.88.已知點(diǎn)A為某封閉圖形邊界上一定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿其邊界順時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)一周.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x,線段AP的長(zhǎng)為y,表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖所示,則該封閉圖形可能是()第Ⅱ卷(非選擇題,共88分)二、填空題(本題共16分,每小題4分)9.分解因式:ax4-9ay2=.

10.在某一時(shí)刻,測(cè)得一根高為1.8m的竹竿的影長(zhǎng)為3m,同時(shí)測(cè)得一根旗桿的影長(zhǎng)為25m,那么這根旗桿的高度為m.

11.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,正方形OABC的邊長(zhǎng)為2.寫出一個(gè)函數(shù)y=kx(k≠0),使它的圖象與正方形OABC有公共點(diǎn),這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對(duì)于點(diǎn)P(x,y),我們把點(diǎn)P'(-y+1,x+1)叫做點(diǎn)P的伴隨點(diǎn).已知點(diǎn)A1的伴隨點(diǎn)為A2,點(diǎn)A2的伴隨點(diǎn)為A3,點(diǎn)A3的伴隨點(diǎn)為A4,…,這樣依次得到點(diǎn)A1,A2,A3,…,An,….若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(3,1),則點(diǎn)A3的坐標(biāo)為,點(diǎn)A2014的坐標(biāo)為;若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(a,b),對(duì)于任意的正整數(shù)n,點(diǎn)An均在x軸上方,則a,b應(yīng)滿足的條件為.

三、解答題(本題共30分,每小題5分)13.如圖,點(diǎn)B在線段AD上,BC∥DE,AB=ED,BC=DB.求證:∠A=∠E.14.計(jì)算:(6-π)0+-15-1-3tan15.解不等式12x-1≤23x-1216.已知x-y=3,求代數(shù)式(x+1)2-2x+y(y-2x)的值.17.已知關(guān)于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0).(1)求證:方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù),求正整數(shù)m的值.18.列方程或方程組解應(yīng)用題:小馬自駕私家車從A地到B地,駕駛原來(lái)的燃油汽車所需油費(fèi)108元,駕駛新購(gòu)買的純電動(dòng)汽車所需電費(fèi)27元.已知每行駛1千米,原來(lái)的燃油汽車所需的油費(fèi)比新購(gòu)買的純電動(dòng)汽車所需的電費(fèi)多0.54元,求新購(gòu)買的純電動(dòng)汽車每行駛1千米所需的電費(fèi).四、解答題(本題共20分,每小題5分)19.如圖,在?ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于點(diǎn)E,BF平分∠ABC,交AD于點(diǎn)F,AE與BF交于點(diǎn)P,連結(jié)EF,PD.(1)求證:四邊形ABEF是菱形;(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°,求tan∠ADP的值.20.根據(jù)某研究院公布的2009—2013年我國(guó)成年國(guó)民閱讀調(diào)查報(bào)告的部分相關(guān)數(shù)據(jù),繪制的統(tǒng)計(jì)圖表如下:2013年成年國(guó)民傾向的閱讀方式人數(shù)分布統(tǒng)計(jì)圖2009—2013年成年國(guó)民年人均閱讀圖書(shū)數(shù)量統(tǒng)計(jì)表年份年人均閱讀圖書(shū)數(shù)量(本)20093.8820104.1220114.3520124.5620134.78根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題:(1)直接寫出扇形統(tǒng)計(jì)圖中m的值;(2)從2009到2013年,成年國(guó)民年人均閱讀圖書(shū)的數(shù)量每年增長(zhǎng)的幅度近似相等,估算2014年成年國(guó)民年人均閱讀圖書(shū)的數(shù)量約為本;

(3)2013年某小區(qū)傾向圖書(shū)閱讀的成年國(guó)民有990人,若該小區(qū)2014年與2013年成年國(guó)民的人數(shù)基本持平,估算2014年該小區(qū)成年國(guó)民閱讀圖書(shū)的總數(shù)量約為本.

21.如圖,AB是☉O的直徑,C是AB的中點(diǎn),☉O的切線BD交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,E是OB的中點(diǎn),CE的延長(zhǎng)線交切線DB于點(diǎn)F,AF交☉O于點(diǎn)H,連結(jié)BH.(1)求證:AC=CD;(2)若OB=2,求BH的長(zhǎng).22.閱讀下面材料:小騰遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖1,在△ABC中,點(diǎn)D在線段BC上,∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=2,BD=2DC,求AC的長(zhǎng).小騰發(fā)現(xiàn),過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,通過(guò)構(gòu)造△ACE,經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算能夠使問(wèn)題得到解決(如圖2).請(qǐng)回答:∠ACE的度數(shù)為,AC的長(zhǎng)為.

參考小騰思考問(wèn)題的方法,解決問(wèn)題:如圖3,在四邊形ABCD中,∠BAC=90°,∠CAD=30°,∠ADC=75°,AC與BD交于點(diǎn)E,AE=2,BE=2ED,求BC的長(zhǎng).圖3五、解答題(本題共22分,第23題7分,第24題7分,第25題8分)23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=2x2+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,-2),B(3,4).(1)求拋物線的表達(dá)式及對(duì)稱軸;(2)設(shè)點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C,點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),記拋物線在A,B之間的部分為圖象G(包含A,B兩點(diǎn)).若直線CD與圖象G有公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,求點(diǎn)D縱坐標(biāo)t的取值范圍.24.在正方形ABCD外側(cè)作直線AP,點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為E,連結(jié)BE,DE,其中DE交直線AP于點(diǎn)F.(1)依題意補(bǔ)全圖1;(2)若∠PAB=20°,求∠ADF的度數(shù);(3)如圖2,若45°<∠PAB<90°,用等式表示線段AB,FE,FD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.25.對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義:若存在實(shí)數(shù)M>0,對(duì)于任意的函數(shù)值y,都滿足-M≤y≤M,則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù).在所有滿足條件的M中,其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界值.例如,下圖中的函數(shù)是有界函數(shù),其邊界值是1.(1)分別判斷函數(shù)y=1x(x>0)和y=x+1(-4<x≤2)是不是有界函數(shù)?若是有界函數(shù),求其邊界值(2)若函數(shù)y=-x+1(a≤x≤b,b>a)的邊界值是2,且這個(gè)函數(shù)的最大值也是2,求b的取值范圍;(3)將函數(shù)y=x2(-1≤x≤m,m≥0)的圖象向下平移m個(gè)單位,得到的函數(shù)的邊界值是t,當(dāng)m在什么范圍時(shí),滿足34≤t≤答案全解全析：一、選擇題1.B∵2+(-2)=0,∴2的相反數(shù)為-2.故選B.2.B300000=3×105.故選B.3.D6張撲克牌中,點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的有3張,所以抽到點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率是36=12.4.C選項(xiàng)A、B中的幾何體,三視圖中一定有一個(gè)圓,與所給的三視圖不符,排除A,B;選項(xiàng)D中的幾何體的三視圖是三個(gè)三角形,與所給的三視圖也不相符,排除D.只有選項(xiàng)C中的幾何體與所給的三視圖相符,故選C.5.A年齡為18歲的隊(duì)員最多,故眾數(shù)為18;12名隊(duì)員年齡的平均數(shù)為18×5+19×6.B休息的過(guò)程中是不進(jìn)行綠化工作的,即綠化面積S不變化,由圖象可知第1~2小時(shí)為園林隊(duì)休息時(shí)間,則休息后園林隊(duì)的綠化面積為160-60=100(平方米),所用的時(shí)間為4-2=2(小時(shí)),所以休息后園林隊(duì)每小時(shí)綠化面積為100÷2=50(平方米).故選B.7.C∵CO=AO,∴∠COE=2∠A=45°.∵OC=4,∴CE=OC·sin∠COE=4×22=22.∵AB⊥CD,∴CD=2CE=42.故選8.A由圖象可知,AP先由短變長(zhǎng),然后略微變短再變長(zhǎng),最后AP由長(zhǎng)變短.選項(xiàng)A與題目要求相符;選項(xiàng)B是先由短變長(zhǎng),然后略微變短再變長(zhǎng),接著再略微變短再變長(zhǎng),最后由長(zhǎng)變短,與題目要求不符;選項(xiàng)C是先由短變長(zhǎng),到達(dá)第一個(gè)頂點(diǎn)后繼續(xù)變長(zhǎng),到達(dá)第二個(gè)頂點(diǎn)后開(kāi)始變短,到達(dá)第三個(gè)頂點(diǎn)后繼續(xù)變短,與題目要求不符;選項(xiàng)D是先由短變長(zhǎng),在經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直徑與圓的另一個(gè)交點(diǎn)處時(shí)最長(zhǎng),然后開(kāi)始變短,與題目要求不符.故選A.評(píng)析解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形特征分析函數(shù)圖象隨自變量變化的趨勢(shì),結(jié)合圖形性質(zhì)通過(guò)定性分析來(lái)確定選項(xiàng).屬中檔題.二、填空題9.答案a(x2+3y)(x2-3y)解析ax4-9ay2=a(x4-9y2)=a(x2+3y)(x2-3y).10.答案15解析設(shè)旗桿的高度為xm,則1.83=x25,解得x=15.11.答案y=4x(答案不唯一,滿足0<k≤4即可解析要使反比例函數(shù)的圖象與正方形有交點(diǎn),則至少要經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,且k>0,而點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2),所以k的最大值為4,即0<k≤4.12.答案(-3,1);(0,4);-1<a<1,0<b<2解析由題意可知,點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)A3的坐標(biāo)為(-3,1),點(diǎn)A4的坐標(biāo)為(0,-2),點(diǎn)A5的坐標(biāo)為(3,1),…,所以每四個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為一個(gè)循環(huán).∵2014÷4=503……2,∴點(diǎn)A2014的坐標(biāo)與點(diǎn)A2的坐標(biāo)一致,為(0,4).因?yàn)槊克膫€(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為一個(gè)循環(huán),所以要求a,b應(yīng)滿足的條件,只需要知道前4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可.∵點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(a,b),∴點(diǎn)A2、A3、A4的坐標(biāo)依次為(-b+1,a+1)、(-a,-b+2)、(b-1,-a+1).∵點(diǎn)An均在x軸上方,∴b>評(píng)析解決本題的關(guān)鍵是讀懂題目要求,并按照題目要求正確操作.尤其是“在x軸上方”即為“縱坐標(biāo)>0”.屬中檔題.三、解答題13.證明∵BC∥DE,∴∠ABC=∠D.在△ABC和△EDB中,AB∴△ABC≌△EDB.∴∠A=∠E.14.解析原式=1-5-3×33+=-4.15.解析去分母,得3x-6≤4x-3,移項(xiàng),得3x-4x≤6-3.合并同類項(xiàng),得-x≤3,系數(shù)化為1,得x≥-3.不等式的解集在數(shù)軸上表示如下:16.解析(x+1)2-2x+y(y-2x)=x2+2x+1-2x+y2-2xy=x2-2xy+y2+1.∵x-y=3,∴原式=(x-y)2+1=4.17.解析(1)證明:∵m≠0,∴mx2-(m+2)x+2=0是關(guān)于x的一元二次方程.∴Δ=[-(m+2)]2-4×2m=(m-2)2.∵(m-2)2≥0,∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(2)由求根公式,得x=(m∴x1=1,x2=2m∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù),且m為正整數(shù),∴m=1或2.18.解析設(shè)新購(gòu)買的純電動(dòng)汽車每行駛1千米所需的電費(fèi)為x元.由題意,得27x=108解得x=0.18.經(jīng)檢驗(yàn),x=0.18是原方程的解,且符合題意.答:新購(gòu)買的純電動(dòng)汽車每行駛1千米所需的電費(fèi)為0.18元.四、解答題19.解析(1)證明:∵BF是∠ABC的平分線,∴∠ABF=∠EBF.∵AD∥BC,∴∠AFB=∠EBF.∴∠AFB=∠ABF.∴AB=AF.同理,AB=BE.∴AF=BE.又∵AF∥BE,∴四邊形ABEF是平行四邊形.∵AB=AF,∴四邊形ABEF是菱形.(2)過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AD于點(diǎn)G,如圖.∵四邊形ABEF是菱形,∠ABC=60°,∴△ABE是等邊三角形.∵AB=4,∴AE=AB=4,∴AP=12在Rt△AGP中,可求得∠PAG=60°.∴AG=AP·cos60°=1,GP=AP·sin60°=3.∵AD=6,∴DG=5,∴tan∠ADP=GPDG=320.解析(1)66.0.(2)5.00±0.02.(3)7500±30.(990÷66.0%×5=7500)21.解析(1)證明:連結(jié)BC.∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵C是AB的中點(diǎn),∴AC=BC.∴AC=BC.∴∠CAB=∠CBA=45°.∵BD是☉O的切線,∴∠ABD=90°.可得∠CBD=∠D=45°.∴BC=CD.∴AC=CD.(2)連結(jié)OC.∵OA=OC,∴∠OCA=∠CAB=45°.∴∠COE=90°.∵E是OB的中點(diǎn),∴OE=BE.∵∠CEO=∠FEB,∴Rt△COE≌Rt△FBE.∴BF=OC.∵OB=2,∴BF=2.由勾股定理,得AF=25.∵∠ABF=∠AHB=90°,∴BH=AB·BFAF22.解析∠ACE的度數(shù)為75°,AC的長(zhǎng)為3.解決問(wèn)題:過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB交AC于點(diǎn)F,如圖.∴∠DFE=∠BAC=90°,又∠AEB=∠FED,∴△ABE∽△FDE.∴BEDE=AEFE=∵BE=2ED,AE=2,∴FE=1,∴AF=3.∵∠CAD=30°,∴FD=3,AD=23.∵ABFD=2,∴AB=23∵∠ADC=75°,∠CAD=30°,∴∠ACD=75°,∴AC=AD=23.在Rt△ABC中,由勾股定理可得BC=26.評(píng)析本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí).解決本題的關(guān)鍵是讀懂題目中給出的操作方法,由平行想到相似三角形.屬中檔題.五、解答題23.解析(1)∵點(diǎn)A,B在拋物線y=2x2+mx+n上,∴-2=n∴拋物線的表達(dá)式為y=2x2-4x-2.∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1.(2)由題意可知,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,-4).設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b(k≠0).∴4=3k+∴直線BC的表達(dá)式為y=43∴當(dāng)x=1時(shí),y=43結(jié)合圖象可知,點(diǎn)A在直線BC的下方,且拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4),∴-4≤t≤4324.解析(1)補(bǔ)全圖形,如圖所示.(2)連結(jié)AE,如圖.∵點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于直線AP對(duì)稱,∴AE=AB,∠EAP=∠BAP=20°.∵AB=AD,∴AE=AD,∴∠AED=∠ADF.又∠BAD=90°,