1.3

測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理

測(cè)量誤差的概念和分類(lèi)

精度反映測(cè)量結(jié)果與真值接近程度的量，稱(chēng)為精度，它與誤差的大小相對(duì)應(yīng)。精度可分為：(1)準(zhǔn)確度：反映系統(tǒng)誤差的影響程度(2)精密度：反映隨機(jī)誤差的影響程度(3)精確度(精度)：反映系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差綜合的影響程度對(duì)于具體的測(cè)量，精密度高的而準(zhǔn)確度不一定高，準(zhǔn)確度高的精密度不一定高，但精確度高，那么精密度和準(zhǔn)確度都高。在檢測(cè)過(guò)程中，被測(cè)對(duì)象、檢測(cè)系統(tǒng)、檢測(cè)方法和檢測(cè)人員都會(huì)受到各種變動(dòng)因素的影響。而且，對(duì)被測(cè)量的轉(zhuǎn)換，有時(shí)也會(huì)改變被測(cè)對(duì)象原有的狀態(tài)。這就造成了檢測(cè)結(jié)果和被測(cè)量的客觀真值之間存在一定的差異。這個(gè)差值稱(chēng)為測(cè)量誤差。測(cè)量誤差的主要來(lái)源可以概括為工具誤差、環(huán)境誤差、方法誤差和人員誤差等。在分析測(cè)量誤差時(shí)，人們采用的被測(cè)量真值是指在確定的時(shí)間、地點(diǎn)和狀態(tài)下，被測(cè)量所表現(xiàn)出來(lái)的實(shí)際大小。一般來(lái)說(shuō)，真值是未知的，所以誤差也是未知的。但有些值可以作為真值來(lái)使用。例如理論真值，它是理論設(shè)計(jì)和理論公式的表達(dá)值。還有計(jì)量學(xué)約定真值，它是由國(guó)際計(jì)量學(xué)大會(huì)確定的長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間等根本單位。1.3.3測(cè)量誤差的表示方法(1)絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差是示值與被測(cè)量真值之間的差值。設(shè)被測(cè)量的真值為A0，器具的標(biāo)稱(chēng)值或示值或測(cè)得值為x，那么絕對(duì)誤差為

由于一般無(wú)法求得真值A(chǔ)0，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)常用精度高一級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)器具的示值，即實(shí)際值A(chǔ)代替真值A(chǔ)0。x與A之差稱(chēng)為測(cè)量器具的示值誤差，記為通常以此值來(lái)代表絕對(duì)誤差。如：在檢定工作中，把高一等級(jí)精度的標(biāo)準(zhǔn)所測(cè)得的量值稱(chēng)為實(shí)際值。如用二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量某壓力，測(cè)得值為9000.2N/cm2，假設(shè)該壓力用高一等級(jí)的精確方法測(cè)得值為9000.5N/cm2,那么后者可視為實(shí)際值，此時(shí)二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)的測(cè)量〔絕對(duì)〕誤差為-0.3N/cm2?！步^對(duì)誤差可正可負(fù)〕修正值為了消除系統(tǒng)誤差，用代數(shù)法加到測(cè)量結(jié)果上的值稱(chēng)為修正值，常用C表示。將測(cè)得值加上修正值后可得到真值的近似值，即A0=x+C 由此得C=A0-x在實(shí)際工作中，可以用實(shí)際值A(chǔ)近似真值A(chǔ)0，那么上式變?yōu)镃=A-x=-Δx修正值與誤差值大小相等、符號(hào)相反，測(cè)得值加修正值可以消除該誤差的影響。在計(jì)量工作中，通常采用加修正值的方法來(lái)保證測(cè)量值的準(zhǔn)確可靠，儀表送上級(jí)計(jì)量部門(mén)檢定，其主要目的就是獲得一個(gè)準(zhǔn)確的修正值。絕對(duì)誤差愈小，說(shuō)明指示值愈接近真值，測(cè)量精度愈高。但這一結(jié)論只適用于被測(cè)量值相同的情況，而不能說(shuō)明不同值的測(cè)量精度。例如，某測(cè)量長(zhǎng)度的儀器；測(cè)量10mm的長(zhǎng)度，絕對(duì)誤差為0.001mm。另一儀器測(cè)量200mm長(zhǎng)度，誤差為0.01mm；這就很難按絕對(duì)誤差的大小來(lái)判斷測(cè)量精度上下了，這是因?yàn)楹笳叩慕^對(duì)誤差雖然比前者大，但它相對(duì)于被測(cè)量的值卻顯得較小。為此，引入相對(duì)誤差的概念。(2)相對(duì)誤差相對(duì)誤差是絕對(duì)誤差與被測(cè)量的約定值之比。〔相對(duì)誤差可正可負(fù)〕相對(duì)誤差有以下表現(xiàn)形式：①實(shí)際相對(duì)誤差

②示值相對(duì)誤差

對(duì)于相同的被測(cè)量，絕對(duì)誤差可以評(píng)定其測(cè)量精度的上下，但對(duì)于不同的被測(cè)量以及不同的物理量，絕對(duì)誤差就難以評(píng)定其測(cè)量精度的上下，而采用相對(duì)誤差來(lái)評(píng)定較為確切。例：用兩種方法測(cè)量L1＝100mm的尺寸，其測(cè)量誤差分別為Δx1＝±10μm，Δx2＝±8μm，根據(jù)絕對(duì)誤差的大小，可知后者的測(cè)量精度高。但假設(shè)用第三種方法測(cè)量L2＝80mm的尺寸，其測(cè)量誤差為Δx3＝±7μm，此時(shí)用絕對(duì)誤差就難以評(píng)定它與前兩種方法精度的上下，必須采用相對(duì)誤差來(lái)評(píng)定。第一種方法的相對(duì)誤差為：Δr1＝Δx1/L1=±10μm/100mm=±0.01%第二種方法的相對(duì)誤差為：Δr2＝Δx2/L1=±8μm/100mm=±0.008%第三種方法的相對(duì)誤差為：Δr3＝Δx3/L2=±7μm/80mm≈±0.009%由此可知，第一種方法精度最低，第二種方法精度最高。使用相對(duì)誤差來(lái)評(píng)定測(cè)量精度，也有局限性。它只能說(shuō)明不同測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度，但不適用于衡量測(cè)量?jī)x表本身的質(zhì)量。因?yàn)橥慌_(tái)儀表在整個(gè)測(cè)量范圍內(nèi)的相對(duì)誤差不是定值。隨著被測(cè)量的減小相對(duì)誤差變大。為了更合理地評(píng)價(jià)儀表質(zhì)量；采用了引用誤差的概念。③滿(mǎn)度〔引用〕相對(duì)誤差對(duì)一臺(tái)確定的儀表或一個(gè)檢測(cè)系統(tǒng)，最大引用誤差就是一個(gè)定值如果以測(cè)量?jī)x表整個(gè)量程中，可能出現(xiàn)的絕對(duì)誤差最大值δm代替δ，那么可得到最大引用誤差r0m。測(cè)量?jī)x表一般采用最大引用誤差不能超過(guò)的允許值〔最大允許誤差〕作為劃分精度等級(jí)的尺度。工業(yè)儀表常見(jiàn)的精度等級(jí)有0.1級(jí)，0.2級(jí)，0.5級(jí)，1.0級(jí)，1.5級(jí)，2.0級(jí)，2.5級(jí)，5.0級(jí)。精確度等級(jí)為1.0的儀表，在使用時(shí)它的最大引用誤差不超過(guò)±1.0％，也就是說(shuō)，在整個(gè)量程內(nèi)它的絕對(duì)誤差最大值不會(huì)超過(guò)其量程的±1％。在具體測(cè)量某個(gè)量值時(shí)，相對(duì)誤差可以根據(jù)精度等級(jí)所確定的最大絕對(duì)誤差和儀表指示值進(jìn)行計(jì)算。最大允許誤差指示儀表的最大滿(mǎn)度誤差不許超過(guò)該儀表準(zhǔn)確度等級(jí)的百分?jǐn)?shù)，即

當(dāng)示值為x時(shí)可能產(chǎn)生的最大相對(duì)誤差為

用儀表測(cè)量示值為x的被測(cè)量時(shí)，比值越大，測(cè)量結(jié)果的相對(duì)誤差越大。選用儀表時(shí)要考慮被測(cè)量的大小越接近儀表上限越好。被測(cè)量的值應(yīng)大于其測(cè)量上限的2/3。

隨機(jī)誤差

1.正態(tài)分布隨機(jī)誤差是以不可預(yù)定的方式變化著的誤差，但在一定條件下服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律

正態(tài)分布的隨機(jī)誤差分布規(guī)律(2)標(biāo)準(zhǔn)差

①

測(cè)量列中單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差在等精度測(cè)量列中，單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差

〔〕式中，n——測(cè)量次數(shù)；——每次測(cè)量中相應(yīng)各測(cè)量值的隨機(jī)誤差。實(shí)際工作中用殘差來(lái)近似代替隨機(jī)誤差求標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值，即：貝塞爾〔Bessel〕公式3.測(cè)量的極限誤差

測(cè)量的極限誤差是極端誤差，檢測(cè)量結(jié)果的誤差不超過(guò)該極端誤差的概率為P，并使出現(xiàn)概率為〔１-P〕，誤差超過(guò)該極端誤差的檢測(cè)量的測(cè)量結(jié)果可以忽略。

〔1〕單次測(cè)量的極限誤差隨機(jī)誤差在－δ至＋δ范圍內(nèi)概率為：經(jīng)變換，〕式為假設(shè)某隨機(jī)誤差在±t范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為2Φ(ｔ),那么超出該誤差范圍的概率為幾個(gè)典型t值的概率情況分析t|δ|=tσ不超出|δ|的概率2Φ（ｔ）超出|δ|的概率1-2Φ（ｔ）0.670.67σ0.49720.502811σ0.68260.317422σ0.95440.045633σ0.99730.002744σ0.99990.0001當(dāng)t=3時(shí)，即|δ|=3時(shí),誤差不超過(guò)|δ|的概率為99.73%,通常把這個(gè)誤差稱(chēng)為單次測(cè)量列的極限誤差δlimx,即δlimx

=±3最后得實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差為：

假設(shè)t取2，那么測(cè)量列的隨機(jī)誤差為土2s(xk)=土0.1016(V)。通常取t=3,那么

系統(tǒng)誤差

1.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)理論分析及計(jì)算實(shí)驗(yàn)比照法剩余誤差觀察法剩余誤差校核法計(jì)算數(shù)據(jù)比較法〔1〕理論分析及計(jì)算 因測(cè)量原理或使用方法不當(dāng)引入系統(tǒng)誤差時(shí)，可以通過(guò)理論分析和計(jì)算的方法加以修正。〔2〕實(shí)驗(yàn)比照法 實(shí)驗(yàn)比照法是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件進(jìn)行不同條件的測(cè)量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，這種方法適用于發(fā)現(xiàn)恒定系統(tǒng)誤差?！?〕剩余誤差觀察法 根據(jù)測(cè)量列的各個(gè)剩余誤差的大小和符號(hào)變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線(xiàn)圖形來(lái)判斷有無(wú)系統(tǒng)誤差，這種方法主要適用于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差?！?〕剩余誤差校核法①用于發(fā)現(xiàn)累進(jìn)性系統(tǒng)誤差 馬利科夫準(zhǔn)那么：設(shè)對(duì)某一被測(cè)量進(jìn)行n次等精度測(cè)量，按測(cè)量先后順序得到測(cè)量值x1，x2，…，xn，相應(yīng)的殘差為v1，v2，…，vn。把前面一半和后面一半數(shù)據(jù)的殘差分別求和，然后取其差值②用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差 阿卑-赫梅特準(zhǔn)那么：那么認(rèn)為測(cè)量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。當(dāng)存在

設(shè)

(5)計(jì)算數(shù)據(jù)比較法對(duì)同一量進(jìn)行多組測(cè)量，得到很多數(shù)據(jù)，通過(guò)多組計(jì)算數(shù)據(jù)比較，假設(shè)不存在系統(tǒng)誤差，其比較結(jié)果應(yīng)滿(mǎn)足隨機(jī)誤差條件，否那么可認(rèn)為存在系統(tǒng)誤差。任意兩組結(jié)果之間不存在系統(tǒng)誤差的標(biāo)志是2.系統(tǒng)誤差的削弱和消除1.交換法在測(cè)量中，將引起系統(tǒng)誤差的某些條件(如被測(cè)量的位置等)相互交換，而保持其它條件不變，使產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素對(duì)測(cè)量結(jié)果起相反的作用，從而抵消系統(tǒng)誤差。例如，以等臂天平稱(chēng)量時(shí)，由于天平左右兩臂長(zhǎng)的微小差異，會(huì)引起稱(chēng)量的恒值系統(tǒng)誤差。如果被稱(chēng)物與砝碼在天平左右稱(chēng)盤(pán)上交換，稱(chēng)量?jī)纱?，取兩次測(cè)量平均值作為被稱(chēng)物的質(zhì)量，這時(shí)測(cè)量結(jié)果中就含有因天平不等臂引起的系統(tǒng)誤差。2.抵消法改變測(cè)量中的某些條件(如測(cè)量方向)，使前后兩次測(cè)量結(jié)果的誤差符號(hào)相反，取其平均值以消除系統(tǒng)誤差。例如，千分卡有空行程，即螺旋旋轉(zhuǎn)時(shí)，刻度變化，量桿不動(dòng)，在檢定部位產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。為此，可從正反兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向?qū)€(xiàn)，順時(shí)針對(duì)準(zhǔn)標(biāo)志線(xiàn)讀數(shù)為d，不含系統(tǒng)誤差時(shí)值為a，空行程引起系統(tǒng)誤差ε，那么有d=a+ε；第二次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)對(duì)準(zhǔn)標(biāo)志線(xiàn)、讀數(shù)d’，那么有d’=a-ε，于是正確值a=(d+d’)/2，正確值a中不再含有系統(tǒng)誤差。3.代替法

這種方法是在測(cè)量條件不變的情況下，用量替換被測(cè)量，到達(dá)消除系統(tǒng)誤差的目的。仍以天平為例，先使平衡物T與被測(cè)物X相平衡，那么X=(L2/L1)T；然后取下被測(cè)物X，用砝碼P與T到達(dá)平衡，得到P=(L2/L1)T，取砝碼數(shù)值作為測(cè)量結(jié)果。由此得到的測(cè)量結(jié)果中，同樣不存在因L1、L2不等而帶來(lái)的系統(tǒng)誤差。4.對(duì)稱(chēng)測(cè)量法這種方法用于消除線(xiàn)性變化的系統(tǒng)誤差。下面我們通過(guò)利用電位差計(jì)和標(biāo)準(zhǔn)電阻RN，精確測(cè)量未知電阻Rx的例子來(lái)說(shuō)明對(duì)稱(chēng)測(cè)量法的原理和測(cè)量過(guò)程，如以下圖。如果回路電流I恒定不變，只要測(cè)出RN和Rx上的電壓UN和Ux，即可得到Rx值Rx=(Ux/UN)RN。但由于UN和Ux的值不是在同一時(shí)刻測(cè)得的；由于電流I在測(cè)量過(guò)程中的緩慢下降而引入了線(xiàn)性系統(tǒng)誤差。在這里我們把電流的變化看做是均勻地減小，與時(shí)間t

成線(xiàn)性關(guān)系。在t

1、t

2和t

3三個(gè)等間隔的時(shí)刻，按照Ux、UN、Ux的順序測(cè)量。時(shí)間間隔為：t

2-t

1=t

3-t

2=Δt，相應(yīng)的電流變化量為ε。

解此方程組可得:

這樣按照等距測(cè)量法得到的Rx值，已不受測(cè)量過(guò)程中電流變化的影響，消除了因此而產(chǎn)生的線(xiàn)性系統(tǒng)誤差。

5.補(bǔ)償法

在測(cè)量過(guò)程中，由于某個(gè)條件的變化或儀器某個(gè)環(huán)節(jié)的非線(xiàn)性特性都可能引入變值系統(tǒng)誤差。此時(shí)，可在測(cè)量系統(tǒng)中采取補(bǔ)償措施，自動(dòng)消除系統(tǒng)誤差。例如，熱電偶測(cè)溫時(shí)，冷端溫度的變化會(huì)引起變值系統(tǒng)誤差。在測(cè)量系統(tǒng)中采用補(bǔ)償電橋，就可以起到自動(dòng)補(bǔ)償作用。

粗大誤差判別粗大誤差最常用的統(tǒng)計(jì)判別法： 如果對(duì)被測(cè)量進(jìn)行屢次重復(fù)等精度測(cè)量的測(cè)量數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xd,…，xn 其標(biāo)準(zhǔn)差為σ，如果其中某一項(xiàng)殘差vd大于三倍標(biāo)準(zhǔn)差，即 那么認(rèn)為vd為粗大誤差，與其對(duì)應(yīng)的測(cè)量數(shù)據(jù)xd是壞值，應(yīng)從測(cè)量列測(cè)量數(shù)據(jù)中刪除。l.檢測(cè)系統(tǒng)由哪幾局部組成?說(shuō)明各局部的作用。2.傳感器有幾局部組成？各局部有何作用?3.有三臺(tái)測(cè)溫儀表，量程均為0~800℃，精度等級(jí)分別為2.5級(jí)、2.0級(jí)和1.5級(jí)，現(xiàn)要測(cè)量500℃的溫度，要求相對(duì)誤差不超過(guò)2.5％，選那臺(tái)儀表合理?4.什么是系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差?準(zhǔn)確度、精密度和精度的含義是什么?它們各反映何種誤差?作業(yè)題2數(shù)據(jù)處理:從獲得數(shù)據(jù)起到得出結(jié)論為止的整個(gè)數(shù)據(jù)加工過(guò)程。常用方法:列表法、作圖法和最小二乘法擬合。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)研究中，常常要從一組測(cè)量數(shù)據(jù)求得變量間的最正確函數(shù)關(guān)系。如從n對(duì)〔xi，yi〕的測(cè)量值去求得變量x和y間的最正確函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f〔x〕。從圖形上來(lái)看，這個(gè)問(wèn)題就是在平面直角坐標(biāo)上，從給定的n個(gè)點(diǎn)〔xi，yi〕〔i＝1，2，…，n〕，求一條最接近這組數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線(xiàn)，以顯示這些點(diǎn)的總趨向，這一過(guò)程稱(chēng)為曲線(xiàn)擬合，該曲線(xiàn)的方程稱(chēng)為回歸方程。學(xué)習(xí)一種新的數(shù)據(jù)處理方法，寫(xiě)一份報(bào)告，元旦后的第一次課前發(fā)到我郵箱，上課時(shí)交紙質(zhì)版本。要求：按照小論文的格式排版作業(yè)3題目：三個(gè)自變量值x、y、z和一個(gè)函數(shù)值e，通過(guò)新方法求得e與自變量之間的函數(shù)關(guān)系xyzexyze1.24241200-0.0000850400400200-0.05326301.24241350-2.71120004004003500.99089001.242415000.32828004004005001.21440001.24244002000.00271296001200-0.74554001.24244003501.09970006001350-0.57152001.24244005002.79840006001500-0.40540002001200-0.64271006004002