點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)5.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢量表示法5.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)表示法5.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然坐標(biāo)表示法思考題

5.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢量表示法

1.運(yùn)動(dòng)方程、軌跡圖5-1

3.加速度

點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,其速度v的大小和方向往往都隨著時(shí)間而變化,速度對(duì)時(shí)間的變化率稱為加速度。

設(shè)在瞬時(shí)t,動(dòng)點(diǎn)在M處速度為v,經(jīng)過(guò)Δt時(shí)間后,動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M'點(diǎn),速度為v',如圖5-2所示。圖5-2圖5-3

5.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)表示法

1.運(yùn)動(dòng)方程、軌跡方程取一固定的直角坐標(biāo)系Oxyz,動(dòng)點(diǎn)M相對(duì)于此坐標(biāo)系做曲線運(yùn)動(dòng),如圖5-4所示。確定點(diǎn)在空間的位置除矢徑外,也可用直角坐標(biāo)系下x,y,z的值來(lái)確定。圖5-4

這種由直角坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)的x,y,z值描述點(diǎn)的位置的方法稱為直角坐標(biāo)法。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),對(duì)應(yīng)坐標(biāo)x,y,z都是隨時(shí)間變化的,并且它們都是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù),即

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程反映了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,進(jìn)而也可求點(diǎn)的軌跡方程。由式(5-6),消去參數(shù)t即得到點(diǎn)的軌跡方程:

2.速度

上式表明動(dòng)點(diǎn)M的速度v在直角坐標(biāo)軸上的投影等于該點(diǎn)相應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。

速度大小為

其方向由方向余弦來(lái)確定:

3.加速度

因此,動(dòng)點(diǎn)的加速度a在直角坐標(biāo)軸上的投影等于速度在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),也等于其相應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。

加速度a的大小為

a的方向余弦為

【例5-2】橢圓規(guī)的曲柄OC可繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng),其端點(diǎn)C與規(guī)尺AB的中點(diǎn)由鉸鏈連接,規(guī)尺兩端A、B可分別沿互相垂直的兩直槽滑動(dòng)。已知OC的轉(zhuǎn)角為φ=ωt,ω為常,OC=AC

=BC=l,CM=a,如圖5-5所示。試求規(guī)尺上M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度。圖5-5

可見,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為一橢圓,其長(zhǎng)軸與x軸重合,短軸與y軸重合。當(dāng)M點(diǎn)在BC段上時(shí),橢圓的長(zhǎng)軸將與y軸重合,短軸將與x軸重合。

5.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然坐標(biāo)表示法

1.運(yùn)動(dòng)方程當(dāng)動(dòng)點(diǎn)相對(duì)參照系的運(yùn)動(dòng)軌跡已知時(shí),比如以地面為參照系,火車的運(yùn)動(dòng)軌跡是已知的,要描述其運(yùn)動(dòng),最常用自然坐標(biāo)來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)的位置、速度和加速度。在動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)曲線上任取一固定點(diǎn)O作為參考點(diǎn)(坐標(biāo)原點(diǎn)),并取一側(cè)為正方向,則動(dòng)點(diǎn)M的位置可由弧長(zhǎng)s確定?；￠L(zhǎng)s稱為動(dòng)點(diǎn)M在軌跡曲線上的弧坐標(biāo),如圖5-6所示。圖5-6

顯然,弧坐標(biāo)s是t的單值連續(xù)函數(shù),即

若已知?jiǎng)狱c(diǎn)軌跡及s=f(t)的函數(shù)關(guān)系式,則動(dòng)點(diǎn)在任意時(shí)刻的位置即可完全確定下來(lái),上式可以描述動(dòng)點(diǎn)在已知軌跡曲線上的位置隨時(shí)間的變化規(guī)律,稱為用弧坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。

2.速度

當(dāng)點(diǎn)沿已知曲線軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí),由于每一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)所處軌跡的位置對(duì)應(yīng)的曲率一般不同,因而速度方向隨時(shí)間的變化率也各有不同。為描述自然坐標(biāo)系下點(diǎn)的速度、加速度,先引入與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡相關(guān)的坐標(biāo)系———自然軸系。

設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡為一空間曲線,以MT和M'T'分別表示曲線在M處和M'處的切線。一般情況下,兩條切線既不平行也不相交?，F(xiàn)過(guò)點(diǎn)M作MT1平行于M'T',則MT與MT1可構(gòu)成一平面。動(dòng)點(diǎn)從M'點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的過(guò)程中,所構(gòu)成的平面圍繞MT不停轉(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)M'無(wú)限趨近點(diǎn)M時(shí),這個(gè)極限位置所構(gòu)成的平面稱為曲線在點(diǎn)M的密切面,如圖5-7所示。圖5-7

由τ、n、b構(gòu)成的正交軸系稱為曲線的自然軸系,如圖5-8所示。圖5-8

圖5-9所示動(dòng)點(diǎn)在空間曲線上運(yùn)動(dòng)。瞬時(shí)t,動(dòng)點(diǎn)位于M點(diǎn),其弧坐標(biāo)為s,位置矢徑為r,經(jīng)Δt時(shí)間后,弧坐標(biāo)為s+Δs,矢徑變?yōu)閞',根據(jù)點(diǎn)的速度公式有圖5-9

3.加速度

將v=vτ

代入式(5-5),得

圖5-10圖5-11

全加速度a的大小為

全加速度的方向可用它與主法線的夾角α進(jìn)行表示,如圖5-12

所示,則有圖5-12

若動(dòng)點(diǎn)做勻速率曲線運(yùn)動(dòng),v為常數(shù),at等于零,則全加速度與法向加速度大小相等,方向相同,并沿著主法線方向,指向曲線凹側(cè)。其運(yùn)動(dòng)方程可通過(guò)對(duì)速度方程求積分得到

【例5-3】圖5-13所示的固定圓圈的半徑為R,搖桿O1A繞O1軸以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。小環(huán)M同時(shí)套在搖桿和圓圈上。運(yùn)動(dòng)開始時(shí),φ=0,搖桿O1A在水平位置。試分別用直角坐標(biāo)法和自然法寫出小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程,并求其速度和加速度。圖5-13

【例5-4】已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為x=75cos4t2,y=75sin4t2,試求點(diǎn)的速度、切向加速度和法向加速度。式中長(zhǎng)度單位為cm,時(shí)間單位為s。

解由題知,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

速度的大小為

從運(yùn)動(dòng)方程中消去參數(shù)t,得軌跡方程為

可看出軌跡為