課時知能訓(xùn)練一、選擇題1．(2012·深圳質(zhì)檢)設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，其頂點(diǎn)都在一個球面上，則該球的表面積為()A．3πa2 B．6πa2C．12πa2 D．24πa2【解析】∵2R＝eq\r(a2＋a2＋2a2)＝eq\r(6)a，∴S球＝4πR2＝6πa2.【答案】B圖7－2－92．如圖7－2－9所示，已知三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1—ABC1的體積為()A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)【解析】在△ABC中，BC邊長的高為eq\f(\r(3),2)，即棱錐A—BB1C1上的高為eq\f(\r(3),2)，又S△BB1C1＝eq\f(1,2)，∴VB1—ABC1＝VA—BB1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),12).【答案】A3．某幾何體的三視圖如圖7－2－10所示，其中俯視圖是個半圓，則該幾何體的表面積為()圖7－2－10A.eq\f(3,2)π B．π＋eq\r(3)C.eq\f(3,2)π＋eq\r(3) D.eq\f(5,2)π＋eq\r(3)【解析】由三視圖可知該幾何體為一個半圓錐，底面半徑為1，高為eq\r(3)，∴表面積S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＋eq\f(1,2)×π×12＋eq\f(1,2)×π×1×2＝eq\r(3)＋eq\f(3π,2).【答案】C4．(2011·廣東高考)如圖7－2－11，某幾何體的正視圖(主視圖)，側(cè)視圖(左視圖)和俯視圖分別是等邊三角形，等腰三角形和菱形，則該幾何體體積為()圖7－2－11A．4eq\r(3)B．4C．2eq\r(3)D．2【解析】由三視圖知，該幾何體為四棱錐，如圖所示．依題意AB＝2eq\r(3)，菱形BCDE中BE＝EC＝2.∴BO＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，則AO＝eq\r(AB2－BO2)＝3，因此VA—BCDE＝eq\f(1,3)·AO·S四邊形BCDE＝eq\f(1,3)×3×eq\f(2×2\r(3),2)＝2eq\r(3).【答案】C5．一個幾何體的三視圖如圖7－2－12所示，該幾何體的表面積為()圖7－2－12A．280B．292C．360D．372【解析】該幾何體的直觀圖如圖所示，將小長方體的上底面補(bǔ)到大長方體被遮住的部分，則所求的表面積為小長方體的側(cè)面積加上大長方體的表面積，∴S＝S側(cè)＋S表＝6×8×2＋2×8×2＋(2×8＋2×10＋8×10)×2＝360.【答案】C二、填空題6．一個幾何體的三視圖如圖7－2－13所示，則這個幾何體的體積為________．圖7－2－13【解析】由三視圖知，該幾何體為底面為直角梯形的四棱柱，其高為1，又底面梯形的面積S＝eq\f(1＋2×2,2)＝3，∴V柱＝S·h＝3.【答案】3圖7－2－147．(2011·天津高考)一個幾何體的三視圖如圖7－2－14所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.【解析】由三視圖知，幾何體是由圓錐和長方體組成的簡單組合體，其中圓錐的底面半徑為1，高為3；長方體的長、寬、高分別為3、2、1.則V錐＝eq\f(1,3)π×12×3＝π，V長方體＝3×2×1＝6，故所求幾何體的體積為V＝6＋π.【答案】6＋π圖7－2－158．圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖7－2－15所示)，則球的半徑是________cm.【解析】設(shè)球的半徑為rcm，由等體積法得πr2·6r＝eq\f(4,3)πr3×3＋8πr2，解得r＝4.【答案】4三、解答題9．如圖7－2－16所示，已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，求這個球的表面積．圖7－2－16【解】設(shè)正四棱柱的底面邊長為a，則V＝Sh＝a2h＝a2·4＝16，∴a＝2.由題意知：2R＝|A1C|，|A1C|＝2eq\r(6)，∴R＝eq\r(6)，S＝4πR2＝24π.10．(2011·陜西高考)如圖7－2－17，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.圖7－2－17(1)證明：平面ADB⊥平面BDC；(2)若BD＝1，求三棱錐D—ABC的表面積．【證明】(1)∵折起前AD是BC邊上的高，∴當(dāng)△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.∵DB?平面BCD，DC?平面BCD.又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC.∵AD?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.(2)由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA.∵DB＝DA＝DC＝1，∴AB＝BC＝CA＝eq\r(2)，從而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×sin60°＝eq\f(\r(3),2)，∴三棱錐D—ABC的表面積S＝eq\f(1,2)×3＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3＋\r(3),2).11．如圖7－2－18所示是一幾何體的直觀圖、正視圖、側(cè)視圖、俯視圖．圖7－2－18(1)若F為PD的中點(diǎn)，求證：AF⊥面PCD；(2)求幾何體BEC—APD的體積．【解】(1)證明由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA⊥面ABCD，PA∥EB，PA＝2EB＝4，PA＝AD.∵PA＝AD，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，∴PD⊥AF.又∵CD⊥DA，CD⊥PA，DA?平面PAD，PA?平面PAD，DA∩PA＝A，∴CD⊥平面APD又∵AF?平面APD，∴CD⊥AF.又