專題強(qiáng)化練十一空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系一、選擇題1．(2018·浙江卷)已知平面α，直線m，n滿足m?α，n?α，則“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：若m?α，n?α，m∥n，由線面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m?α，n?α，不一定推出m∥n，直線m與n可能異面．故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要條件．答案：A2．(2017·全國卷Ⅲ)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則(A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC解析：如圖，由題設(shè)知，A1B1⊥平面BCC1B1，從而A1B1⊥BC1.又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.答案：C3．(2018·河南開封一模)在空間中，a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是()A．若a∥α，b∥α，則a∥bB．若a?α，b?β，α⊥β，則a⊥bC．若a∥α，a∥b，則b∥αD．若α∥β，a?α，則a∥β解析：對(duì)于A，若a∥α，b∥α，則a，b可能平行，可能相交，可能異面，故A是假命題；對(duì)于B，設(shè)α∩β＝m，a，b均與m平行，則a∥b，故B是假命題；對(duì)于C，b∥α或b在平面α內(nèi)，故C是假命題；對(duì)于D，若α∥β，a?α，則a與β沒有公共點(diǎn)，則a∥β，故D是真命題．答案：D4．(2018·全國卷Ⅱ)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為(A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(\r(7),2)解析：因?yàn)镃D∥AB，所以∠BAE即為異面直線AE與CD所成的角．設(shè)正方體的棱長為2，則BE＝eq\r(5).因?yàn)锳B⊥平面BB1C所以AB⊥BE.在Rt△ABE中，tan∠BAE＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2).所以異面直線AE與CD所成角的正切值為eq\f(\r(5),2).答案：C5．(2018·長沙雅禮中學(xué)聯(lián)考)對(duì)于四面體A-BCD，有以下命題：①若AB＝AC＝AD，則AB，AC，AD與底面所成的角相等；②若AB⊥CD，AC⊥BD，則點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影是△BCD的內(nèi)心；③四面體A-BCD的四個(gè)面中最多有四個(gè)直角三角形；④若四面體A-BCD的6條棱長都為1，則它的內(nèi)切球的表面積為eq\f(π,6).其中正確的命題序號(hào)是()A．①③B．③④C．①②③D．①③④解析：①正確，若AB＝AC＝AD，則AB，AC，AD在底面的射影相等，即與底面所成角相等；②不正確，如圖1，點(diǎn)A在平面BCD的射影為點(diǎn)O，連接BO，CO，可得BO⊥CD，CO⊥BD，所以點(diǎn)O是△BCD的垂心；③正確，如圖2，若AB⊥平面BCD，∠BCD＝90°，則四面體A-BCD的四個(gè)面均為直角三角形；④正確，設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為r，棱長為1，高為eq\f(\r(6),3)，根據(jù)等體積公式eq\f(1,3)×S×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(1,3)×4×S×r，解得r＝eq\f(\r(6),12)，那么內(nèi)切球的表面積S＝4πr2＝eq\f(π,6).故正確的命題是①③④.答案：D二、填空題6.如圖，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)M∈AB，點(diǎn)N∈AD，若eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是________．解析：由eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，得MN∥BD.而BD?平面BDC，MN?平面BDC，所以MN∥平面BDC.答案：平行7．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段B1D1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是________(填序號(hào))①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱錐E-ABC的體積為定值；④直線B1E⊥直線BC1.解析：因AC⊥平面BDD1B1，故①正確；因B1D1∥平面ABCD，故②正確；記正方體的體積為V，則VE-ABC＝eq\f(1,6)V，為定值，故③正確；B1E與BC1不垂直，故④錯(cuò)誤．答案：①②③8．直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長都為1，AB＝BC＝1，且直線AB與平面BB1C1C所成的角為60°，則異面直線A1B，解析：由于ABC-A1B1C1為直三棱柱，則AB與平面BB1C1C依題設(shè)，AB＝BC＝1，∠ABC＝60°，則△ABC為正三角形．由AC∥A1C1，知∠BA1C1為異面直線A1B與由于A1C1＝1，A1B＝eq\r(2)，C1B＝eq\r(2).由余弦定理得：cos∠BA1C1eq\f(BAeq\o\al(2,1)＋A1Ceq\o\al(2,1)－BCeq\o\al(2,1),2BA1·A1C1)＝eq\f(2＋1－2,2×\r(2)×1)＝eq\f(\r(2),4).答案：eq\f(\r(2),4)三、解答題9．(2018·湖南益陽模擬)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝2BC，∠DAB＝∠ABP＝90°.(1)求證：AD⊥平面PAB；(2)求證：AB⊥PC；(3)若點(diǎn)E在棱PD上，且CE∥平面PAB，求eq\f(PE,PD)的值．(1)證明：因?yàn)椤螪AB＝90°，所以AD⊥AB.因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以AD⊥平面PAB.(2)證明：由(1)知AD⊥AB，因?yàn)锳D∥BC，所以BC⊥AB.又因?yàn)椤螦BP＝90°，所以PB⊥AB.因?yàn)镻B∩BC＝B，所以AB⊥平面PBC，因?yàn)镻C?平面PBC，所以AB⊥PC.(3)解：過E作EF∥AD交PA于F，連接BF.如圖所示．因?yàn)锳D∥BC，所以EF∥BC.所以E，F(xiàn)，B，C四點(diǎn)共面．又因?yàn)镃E∥平面PAB，且CE?平面BCEF，平面BCEF∩平面PAB＝BF，所以CE∥BF，所以四邊形BCEF為平行四邊形，所以EF＝BC＝eq\f(1,2)AD.在△PAD中，因?yàn)镋F∥AD，所以eq\f(PE,PD)＝eq\f(EF,AD)＝eq\f(1,2)，即eq\f(PE,PD)＝eq\f(1,2).10．(2018·北京卷)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn)．(1)求證：PE⊥BC；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD；(3)求證：EF∥平面PCD.證明：(1)因?yàn)镻A＝PD，E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AB⊥AD.又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD，且PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如圖，取PC中點(diǎn)G，連接FG，DG.因?yàn)镕，G分別為PB，PC的中點(diǎn)，所以FG∥BC，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BC.因?yàn)锳BCD為矩形，且E為AD的中點(diǎn)，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四邊形DEFG為平行四邊形．所以EF∥DG.又因?yàn)镋F?平面PCD，DG?平面PCD，所以EF∥平面PCD.11．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M為DC的中點(diǎn)，將△ADM沿AM折起使平面ADM⊥平面ABCM.(1)當(dāng)AB＝2時(shí)，求三棱錐M-BCD的體積；(2)求證：BM⊥AD.(1)解：取AM的中點(diǎn)N，連接DN.如圖所示．因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，M為DC的中點(diǎn)，AB＝2AD，所以DM＝AD.又N為AM的中點(diǎn)，所以DN⊥AM.又因?yàn)槠矫鍭DM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，DN?平面ADM.所以DN⊥平面ABCM.因?yàn)锳D＝1，所以DN＝eq\f(\r(2),2).又S△BCM＝eq\f(1,2)·CM·CB＝eq\f(1,2).所以V三棱錐M-BCD＝V三棱錐D-BCM＝eq\f(1,3)S△BCM×