高中數(shù)學(xué)常見函數(shù)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)與對勾函數(shù)匯報(bào)人：XXX2024-01-22目錄函數(shù)概念與性質(zhì)正比例函數(shù)反比例函數(shù)對勾函數(shù)函數(shù)圖像變換與組合函數(shù)在實(shí)際問題中應(yīng)用函數(shù)概念與性質(zhì)01設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。解析法、列表法和圖象法。函數(shù)定義函數(shù)的表示方法函數(shù)定義及表示方法單調(diào)性一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，當(dāng)x1<x2時都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x1<x2時都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。奇偶性一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。周期性對于函數(shù)y=f（x），如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函數(shù)y=f（x）叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。函數(shù)性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)。如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、正比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等都是初等函數(shù)。復(fù)合函數(shù)設(shè)y=f(μ),μ=φ(x),當(dāng)x在μ=φ(x)的定義域Dφ中變化時，μ=φ(x)的值在y=f(μ)的定義域Df內(nèi)變化，因此變量x與y之間通過變量μ形成的一種函數(shù)關(guān)系，記為y=f(μ)=f[φ(x)]稱為復(fù)合函數(shù)，其中x稱為自變量，μ為中間變量，y為因變量（即函數(shù)）。復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)正比例函數(shù)02正比例函數(shù)是形如y=kx（k為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)。其中，x是自變量，y是因變量，k是比例系數(shù)。正比例函數(shù)的圖像是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線，其斜率為k。當(dāng)k>0時，圖像位于第一、三象限；當(dāng)k<0時，圖像位于第二、四象限。定義圖像特征正比例函數(shù)定義及圖像特征01比例性正比例函數(shù)中，y與x的比值是一個常數(shù)，即y/x=k。02線性關(guān)系正比例函數(shù)的圖像是一條直線，表示y與x之間存在線性關(guān)系。03過原點(diǎn)正比例函數(shù)的圖像必定經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。正比例函數(shù)性質(zhì)分析物理學(xué)中的應(yīng)用01在物理學(xué)中，許多物理量之間的關(guān)系可以用正比例函數(shù)來表示，如速度與時間的關(guān)系、力與加速度的關(guān)系等。02經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，正比例函數(shù)可以用來描述某些經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系，如收入與消費(fèi)的關(guān)系、投資與收益的關(guān)系等。03工程學(xué)中的應(yīng)用在工程學(xué)中，正比例函數(shù)可以用來描述某些工程參數(shù)之間的關(guān)系，如電壓與電流的關(guān)系、壓力與流量的關(guān)系等。正比例函數(shù)應(yīng)用舉例反比例函數(shù)03形如$y=frac{k}{x}$(其中$k$為非零常數(shù))的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，且以原點(diǎn)為對稱中心。當(dāng)$k>0$時，圖像位于第一、三象限；當(dāng)$k<0$時，圖像位于第二、四象限。反比例函數(shù)定義及圖像特征圖像特征定義123$k$的絕對值決定了雙曲線與坐標(biāo)軸的遠(yuǎn)近程度，$k$的正負(fù)決定了雙曲線所在的象限。比例系數(shù)$k$的意義反比例函數(shù)在各自象限內(nèi)，隨著$x$的增大而減小。增減性反比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，即對于任意一點(diǎn)$(x,y)$在圖像上，點(diǎn)$(-x,-y)$也在圖像上。對稱性反比例函數(shù)性質(zhì)分析速度問題若一個物體沿直線做勻速運(yùn)動，其速度$v$與時間$t$之間的關(guān)系可以表示為$v=frac{s}{t}$，其中$s$為定值，這也是一個反比例函數(shù)關(guān)系。面積問題若一個矩形的面積為定值$S$，則其長$l$與寬$w$之間的關(guān)系可以表示為$l=frac{S}{w}$，這是一個反比例函數(shù)關(guān)系。電阻問題在電路中，若電壓$U$保持不變，則電阻$R$與電流$I$之間的關(guān)系可以表示為$R=frac{U}{I}$，這也是一個反比例函數(shù)關(guān)系。反比例函數(shù)應(yīng)用舉例對勾函數(shù)04對勾函數(shù)是一種形如$f(x)=ax+frac{x}$（$a,b$為常數(shù)，且$ab>0$）的函數(shù)。定義對勾函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，且當(dāng)$x>0$時，函數(shù)圖像在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)$x<0$時，函數(shù)圖像在第三象限內(nèi)單調(diào)遞減。圖像特征對勾函數(shù)定義及圖像特征03值域當(dāng)$x>0$時，對勾函數(shù)的值域?yàn)?[2sqrt{ab},+infty)$；當(dāng)$x<0$時，對勾函數(shù)的值域?yàn)?(-infty,-2sqrt{ab}]$。01奇偶性對勾函數(shù)是奇函數(shù)，即滿足$f(-x)=-f(x)$。02單調(diào)性在$(0,+infty)$和$(-infty,0)$上，對勾函數(shù)都是單調(diào)遞增的。對勾函數(shù)性質(zhì)分析利用對勾函數(shù)的單調(diào)性，可以求出其在指定區(qū)間內(nèi)的最大值或最小值。求最值通過對勾函數(shù)的性質(zhì)，可以解出與對勾函數(shù)相關(guān)的不等式。解不等式對勾函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)等領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用，如描述成本、收益等經(jīng)濟(jì)指標(biāo)與自變量之間的關(guān)系。實(shí)際應(yīng)用對勾函數(shù)應(yīng)用舉例函數(shù)圖像變換與組合05正比例函數(shù)平移01將正比例函數(shù)圖像沿x軸或y軸平移，得到新的函數(shù)圖像。例如，將y=kx（k>0）的圖像沿x軸向右平移a個單位，得到新的函數(shù)y=k（x-a）。反比例函數(shù)平移02將反比例函數(shù)圖像沿x軸或y軸平移，得到新的函數(shù)圖像。例如，將y=k/x（k>0）的圖像沿x軸向右平移a個單位，得到新的函數(shù)y=k/（x-a）。對勾函數(shù)平移03將對勾函數(shù)圖像沿x軸或y軸平移，得到新的函數(shù)圖像。例如，將y=x+k/x（k>0）的圖像沿x軸向右平移a個單位，得到新的函數(shù)y=（x-a）+k/（x-a）。平移變換通過改變正比例函數(shù)的比例系數(shù)，實(shí)現(xiàn)圖像的伸縮變換。例如，將y=kx（k>0）的圖像沿x軸方向拉伸為原來的2倍，得到新的函數(shù)y=2kx。正比例函數(shù)伸縮通過改變反比例函數(shù)的比例系數(shù)，實(shí)現(xiàn)圖像的伸縮變換。例如，將y=k/x（k>0）的圖像沿x軸方向壓縮為原來的1/2，得到新的函數(shù)y=2k/x。反比例函數(shù)伸縮通過改變對勾函數(shù)的系數(shù)，實(shí)現(xiàn)圖像的伸縮變換。例如，將y=x+k/x（k>0）的圖像在保持形狀不變的情況下整體放大2倍，得到新的函數(shù)y=2（x+k/x）。對勾函數(shù)伸縮伸縮變換對稱變換對勾函數(shù)的圖像不具有原點(diǎn)對稱性。但是，它關(guān)于直線y=x對稱。這意味著如果點(diǎn)(a,b)在對勾函數(shù)的圖像上，那么點(diǎn)(b,a)也在其圖像上。對勾函數(shù)對稱正比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱。當(dāng)k>0時，圖像位于第一、三象限；當(dāng)k<0時，圖像位于第二、四象限。正比例函數(shù)對稱反比例函數(shù)的圖像也關(guān)于原點(diǎn)對稱。當(dāng)k>0時，圖像位于第一、三象限；當(dāng)k<0時，圖像位于第二、四象限。反比例函數(shù)對稱函數(shù)在實(shí)際問題中應(yīng)用06在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，成本函數(shù)通常表示為生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的成本。正比例函數(shù)可以用于描述固定成本與總產(chǎn)量之間的關(guān)系，而反比例函數(shù)則可以描述變動成本與總產(chǎn)量之間的關(guān)系。成本函數(shù)收益函數(shù)表示銷售產(chǎn)品或提供服務(wù)所獲得的收入。正比例函數(shù)可以用于描述銷售量與總收入之間的線性關(guān)系，而對勾函數(shù)則可以描述價(jià)格與銷售量之間的非線性關(guān)系。收益函數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用：成本、收益等模型建立速度與時間關(guān)系在物理學(xué)中，速度可以表示為距離與時間的比值。正比例函數(shù)可以用于描述勻速直線運(yùn)動中速度與時間的關(guān)系，而反比例函數(shù)則可以描述某些非勻速運(yùn)動中的速度與時間的關(guān)系。加速度與時間關(guān)系加速度是速度的變化率，也可以表示為時間的函數(shù)。對勾函數(shù)可以描述某些復(fù)雜運(yùn)動中的加速度與時間的關(guān)系，如簡諧振動等。物理學(xué)中應(yīng)用：速度、加速度等關(guān)系描述工程學(xué)在工程學(xué)中，正比例函數(shù)可以用于描述某些材料的應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系，而反比例函數(shù)則可以描述某些電子元件的