專題04直線方程綜合應用難題一、鞏固提升練【題型一】斜率幾何意義型應用【題型二】斜率與傾斜角應用【題型三】直線平行與垂直求參數(shù)【題型四】隱藏型垂直求最值【題型五】利用斜率解三角形【題型六】直線方程理論【題型七】光學性質【題型八】最小面積求直線【題型九】切線型求面積最值【題型十】數(shù)形結合求最值：距離公式【題型十一】數(shù)形結合求最值：絕對值型轉化【題型十二】直線最值范圍綜合應用二、能力培優(yōu)練熱點好題歸納【題型一】斜率幾何意義型應用1.（2021春·天津薊州·高二?？计谀┤鐖D，過點作直線：的垂線，垂足為點，過點作軸，垂足為點，過點作，垂足為點，…，如此依次下去，得到一組線段：，，，……，則線段的長為（

）A． B． C． D．2.（2023·全國·高二專題練習）1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點．有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點與四顆小星中心點的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（

）

A．0° B．1° C．2° D．3°3.（2022秋·江蘇徐州·高一校考階段練習）已知函數(shù)，若滿足的整數(shù)解恰有3個，則實數(shù)的范圍為（

）A． B． C． D．4.（2023·全國·高二課堂例題）若函數(shù)，且a＞b＞c＞0，則、、的大小關系是（

）A．＞＞ B．＞＞C．＞＞ D．＞＞5.（2021·江蘇·高二專題練習）已知正三角形的三個頂點均在拋物線上，其中一條邊所在直線的斜率為，則的三個頂點的橫坐標之和為．【題型二】斜率與傾斜角應用1.（2023·全國·高二專題練習）已知點，，則直線的傾斜角為．2.（2023·全國·高二專題練習）已知實數(shù)x，y滿足方程，當]時，的取值范圍為.3.（2020·高二課時練習）已知直線過原點且傾斜角為，其中，若在上，且滿足條件，則的值等于.4.（2021·高二課時練習）已知坐標平面內兩個不同的點，（），若直線的傾斜角是鈍角，則的取值范圍是5.．（2023·全國·高二專題練習）已知過點，的直線l的傾斜角為，若，則實數(shù)m的取值范圍為.【題型三】直線平行與垂直1.（2019·北京·高二?？紡娀媱潱┰Oa為實數(shù)，若直線兩兩相交，且交點恰是直角三角形的三個頂點，則這樣的有（

）A．2組 B．3組 C．4組 D．5組2.（2022·高二課時練習）設直線（、不同時為零），（、不同時為零），則“、相交”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要3.（2022·全國·高二專題練習）已知，，直線：，：，且，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．4.（2023秋·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習）已知直線：，：互相垂直，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5.（2022秋·遼寧沈陽·高二沈陽市第八十三中學?？奸_學考試）已知，為正整數(shù)，且直線與直線互相平行，則的最小值為（

）A．7 B．9 C．11 D．16【題型四】兩動直線隱藏型垂直求最值1.．（2023·高二課時練習）設直線與直線的交點為；分別為上任意兩點，點為的中點，若，則的值為A． B． C． D．2.（2021·高二課時練習），動直線過定點動直線過定點，若與交于點（異于點，），則的最大值為A． B． C． D．3.（2023秋·山西大同·高二大同一中?？茧A段練習）將一張坐標紙折疊一次，使得點與點重合，點與點重合，則．3.（2021·江蘇·高二專題練習），動直線過定點，動直線過定點，則點坐標為；若直線與相交于點（異于點,），則周長的最大值為．4.（2021·江蘇·高二專題練習）設分別是△中的對邊邊長，則直線與直線的位置關系是．5.（2022秋·貴州貴陽·高二貴陽一中?？茧A段練習）已知，若過定點的動直線：和過定點的動直線：交于點（與，不重合），則以下說法錯誤的是（

）A．點的坐標為 B．C． D．的最大值為5【題型五】利用斜率解三角形三大線1.（2023·全國·高二專題練習）已知在中，其中，，的平分線所在的直線方程為，則的面積為（

）A． B． C．8 D．2.（2022·全國·高二）已知的三個頂點，則的高CD所在的直線方程是（

）A． B．C． D．3.（2022·河南·高二階段練習）若等邊三角形的一條中線所在直線的斜率為1，則該等邊三角形的三邊所在直線的斜率之和為___________.4.（2022·全國·高二課時練習）如圖，在中，，所在直線方程分別為和，則的角平分線所在直線的方程為（

）A． B． C． D．5.（2021·黑龍江·寶泉嶺高級中學高二階段練習）若△ABC的頂點A（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，則直線BC的方程為________.6.（2022·江蘇·高二單元測試）已知為等腰直角三角形，C為直角頂點，AC中點為，斜邊上中線CE所在直線方程為，且點C的縱坐標大于點E的縱坐標，則AB所在直線的方程為_______________________.【題型六】直線方程理論1.（2021·江蘇·高二專題練習）在平面直角坐標系內，設，為不同的兩點，直線l的方程為，，下面四個命題中的假命題為（

）A．存在唯一的實數(shù)δ，使點N在直線上B．若，則過M，N兩點的直線與直線l平行C．若，則直線經(jīng)過線段M，N的中點；D．若，則點M，N在直線l的同側，且直線l與線段M，N的延長線相交；2.（2022·江蘇·高二專題練習）設是直線:的一個方向向量，是直線的一個法向量.設向量與向量的夾角為，則為（

）A． B．C． D．3.（2022·江蘇·高二專題練習）設，為不同的兩點，直線.記，則下列結論中正確的個數(shù)是（）①不論為何值，點都不在直線上；②若，則過的直線與直線相交；③若，則直線經(jīng)過的中點.A．0個 B．1個C．2個 D．3個.4.（2023·全國·高二專題練習）已知與是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點，則關于和的交點情況是（

）A．無論，，如何，總有唯一交點 B．存在，，使之有無窮多個交點C．無論，，如何，總是無交點 D．存在，，使之無交點5.（2020秋·上海浦東新·高二華師大二附中?？计谥校┮阎侵本€上一點，是外一點，則方程表示的直線（

）A．與重合 B．與交于點 C．過與平行 D．過與相交【題型七】光學性質1.（2022秋·全國·高二期中）已知，，從點射出的光線經(jīng)直線反射后，再射到直線上，最后經(jīng)直線反射后又回到點，則光線所經(jīng)過的路程是（

）A． B．6 C． D．2.（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考階段練習）在等腰直角三角形中，，點是邊上異于的一點，光線從點出發(fā)，經(jīng)反射后又回到點，如圖，若光線經(jīng)過的重心，則（

）A． B． C．1 D．23..（2021·廣東·廣州市第十六中學高二期中）已知直線和點，，若直線上存在點使得最小，則的最小值是（

）A． B． C． D．4.（2021·廣東·廣州奧林匹克中學高二期中）已知點，O為坐標原點，P，Q分別在線段上運動，則的周長的最小值是（

）A． B． C．5 D．5.（2021·江蘇·高二專題練習）如圖，平面上兩點，在直線上取兩點使，且使的值取最小，則的坐標為____________．【題型八】最小面積求直線1.（2023·全國·高二對口高考）在平面直角坐標系中，是坐標原點，設函數(shù)的圖象為直線，且與軸、軸分別交于、兩點，給出下列四個命題：①存在正實數(shù)，使的面積為的直線僅有一條；②存在正實數(shù)，使的面積為的直線僅有二條；③存在正實數(shù)，使的面積為的直線僅有三條；④存在正實數(shù)，使的面積為的直線僅有四條．其中，所有真命題的序號是．A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④2.（2021·江蘇·高二專題練習）已知直線與兩坐標軸圍成一個三角形，該三角形的面積記為.當時，的最小值為（

）A． B． C． D．3.（2023秋·遼寧葫蘆島·高二?？奸_學考試）已知，直線和直線與兩坐標軸圍成一個四邊形，則使得這個四邊形面積最小的k值為（

）A． B． C． D．14.（2022秋·河北邢臺·高二統(tǒng)考階段練習）已知直線的斜率小于0，且經(jīng)過點，并與坐標軸交于，兩點，，當?shù)拿娣e取得最小值時，直線的斜率為（

）A． B． C． D．5.（2023·全國·高二專題練習）直線，動直線，動直線．設直線與兩坐標軸分別交于兩點，動直線l1與l2交于點P，則的面積最大值（

）A． B． C． D．11【題型九】切線型求面積最值1.（2023·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預測）已知拋物線，點在上，直線與坐標軸交于兩點，若面積的最小值為1，則（

）A．1 B． C．1或 D．或2.（2022春·全國·高二期中）設函數(shù)的圖象為曲線C，為C上任意一點，過點R的直線PQ與C相切，且與x軸交于點P，與y軸交于點Q，當三角形POQ的面積取得最小值時，的值為（

）A． B．C． D．3.（2023·全國·高二專題練習）若直線與拋物線相切，且切點在第一象限，則與坐標軸圍成三角形面積的最小值為.【題型十】數(shù)形結合求最值：距離公式知識點與技巧：求解形如的式子的最小值思路：（1）先將問題轉化為點到點的距離之和問題；（2）畫出圖示，必要時借助點關于直線的對稱點知識進行分析；（3）根據(jù)距離之和的最小值得到原式的最小值.1.（2023·全國·高二專題練習）我國著名數(shù)學家華羅庚曾說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休.”事實上，很多代數(shù)問題可以都轉化為幾何問題加以解決，列如，與相關的代數(shù)問題，可以轉化為點與點之間的距離的幾何問題.已知點在直線，點在直線上，且，結合上述觀點，的最小值為（

）A． B． C． D．52.（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù)，給出下列四個結論：①函數(shù)的圖像是軸對稱圖形；

②函數(shù)在上單調遞減；③函數(shù)的值域是；

④方程有4個不同的實數(shù)解．其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3.（2022·全國·高二專題練習）已知，則的最小值為（

）A． B．3C． D．64.（2022秋·山東日照·高二山東省日照實驗高級中學?？茧A段練習）已知，為實數(shù)，代數(shù)式的最小值是.5.（2022·全國·高二專題練習）已知二元函數(shù)的最小值為，則正實數(shù)a的值為．【題型十一】數(shù)形結合：絕對值--點到直線距離公式1.（2023·全國·高二專題練習）已知實數(shù)，則的取值范圍是.2.（2023·全國·高二專題練習）若恰有三組不全為0的實數(shù)對,滿足關系式，則實數(shù)t的所有可能的值為．3.（2021·高二單元測試）已知直線交圓于，兩點，則的取值范圍為.4.（2021·湖北·武漢市洪山高級中學高二階段練習）已知滿足方程，則M的軌跡為（

）A．直線 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線【題型十二】直線最值范圍綜合應用1.（2022秋·四川綿陽·高二三臺中學?？茧A段練習）過點作直線l：的垂線，垂足為點Q，則點Q到直線的距離的最小值為．2.（2021秋·湖北武漢·高二武漢市第一中學?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，已知直線：與曲線從左至右依次交于、、三點，若直線：上存在滿足，則實數(shù)的取值范圍是．3.（2023·全國·高二專題練習）在平面直線坐標系中,定義為兩點的“切比雪夫距離”，又設點P及上任意一點Q,稱的最小值為點P到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個命題:（

）①對任意三點A、B、C，都有②已知點P(3,1)和直線則③到原點的“切比雪夫距離”等于的點的軌跡是正方形；④定點動點滿足則點P的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有2個公共點．其中真命題的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．14.（2022秋·四川內江·高二威遠中學校校考階段練習）已知點，，，直線將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．5.（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學?？茧A段練習）已知直線：，：，直線垂直于，，且垂足分別為A，B，若，，則的最小值為（

）A． B． C． D．8培優(yōu)練一、單選題1．（2023·全國·高二專題練習）設，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高二專題練習）人臉識別，是基于人的臉部特征信息進行身份識別的一種生物識別技術．在人臉識別中，主要應用距離測試檢測樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．設，，則曼哈頓距離，余弦距離，其中（O為坐標原點）．已知，，則的最大值近似等于（

）（參考數(shù)據(jù)：，．）A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.9483．（2023·全國·高二專題練習）函數(shù)的最大值為（

）.A． B． C． D．34．（2022秋·湖北武漢·高二武漢市第三中學校考階段練習）設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·湖南懷化·高二?？茧A段練習）已知：，，，，，一束光線從點出發(fā)射到上的點經(jīng)反射后，再經(jīng)反射，落到線段上（不含端點）.則斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學?？茧A段練習）已知直線：，：，直線垂直于，，且垂足分別為A，B，若，，則的最小值為（

）A． B． C． D．87．（2022·全國·高二專題練習）設平面點集包含于，若按照某對應法則，使得中每一點都有唯一的實數(shù)與之對應，則稱為在上的二元函數(shù)，且稱為的定義域，對應的值為在點的函數(shù)值，記作，若二元函數(shù)，其中，，則二元函數(shù)的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．88．（2023秋·全國·高二階段練習）在平面直角坐標系中，已知點滿足，記為點到直線的距離.當變化時，的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．（2023秋·全國·高二隨堂練習）已知直線，則下列結論正確的是（）A．原點到直線l距離等于2B．若點在直線l上，則C．點到直線l距離的最大值等于D．點到直線l距離的最小值等于10．（2023·全國·高二專題練習）已知平面上三條直線，，，若這三條直線將平面分為六部分，則的可能取值為（

）A．-2 B．-1 C．0