湖南省益陽市資陽區(qū)第六中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的離心率為,過其右焦點(diǎn)作斜率為的直線，交雙曲線的兩條漸近線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），則（）A． B． C． D．2．某地區(qū)一次聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績近似地服從正態(tài)分布，已知，現(xiàn)隨機(jī)從這次考試的成績中抽取個樣本，則成績小于分的樣本個數(shù)大約為（）A． B． C． D．3．在空間中，“直線平面”是“直線與平面內(nèi)無窮多條直線都垂直”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件4．（）A．9 B．12 C．15 D．35．已知A,B為平面內(nèi)兩定點(diǎn),過該平面內(nèi)動點(diǎn)M作直線AB的垂線,垂足為.若,其中為常數(shù),則動點(diǎn)M的軌跡不可能是（）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線6．設(shè)奇函數(shù)的最小正周期為，則（）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞增7．函數(shù)在上的最小值和最大值分別是A． B． C． D．8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A． B． C． D．9．函數(shù)()的部分圖象如圖所示，若，且，則（）A．1 B． C． D．10．已知直線（t為參數(shù)）上兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)值分別是，則（）A． B．C． D．11．在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，設(shè)，則A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程是，則直線l被圓C截得的弦長為____________．14．把6個學(xué)生分配到3個班去，每班2人，其中甲必須分到一班，乙和丙不能分到三班，不同的分法共有__________種.15．在等差數(shù)列中，，，則公差__________．16．如圖是棱長為的正方體的平面展開圖，則在這個正方體中，直線與所成角的余弦值為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）觀察下列等式:；；；；；(1)猜想第n(n∈N*)個等式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.18．（12分）某市召開全市創(chuàng)建全國文明城市動員大會，會議向全市人民發(fā)出動員令，吹響了集結(jié)號.為了了解哪些人更關(guān)注此活動，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在15-75歲之間的100人進(jìn)行調(diào)查，并按年齡繪制的頻率分布直方圖如圖所示，其分組區(qū)間為：，，，，，，把年齡落在和內(nèi)的人分別稱為“青少年人”和“中老年人”.經(jīng)統(tǒng)計“青少年人”與“中老年人”的人數(shù)之比為.（1）求圖中，的值，若以每個小區(qū)間的中點(diǎn)值代替該區(qū)間的平均值，估計這100人年齡的平均值；（2）若“青少年人”中有15人關(guān)注此活動，根據(jù)已知條件完成題中的列聯(lián)表，根據(jù)此統(tǒng)計結(jié)果，問能否有99.9%的把握認(rèn)為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注此活動？關(guān)注不關(guān)注合計青少年人15中老年人合計5050100附參考公式及參考數(shù)據(jù)：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.82819．（12分）（1）3個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，一共有多少種不同的放法？（2）3個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，恰有2個空盒的放法共有多少種？20．（12分）在中，已知.（1）求角的余弦值；（2）若，邊上的中線，求的面積.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝a，且點(diǎn)A在直線l上．(1)求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系．22．（10分）一盒中放有的黑球和白球，其中黑球4個，白球5個.（1）從盒中同時摸出兩個球，求兩球顏色恰好相同的概率；（2）從盒中摸出一個球，放回后再摸出一個球，求兩球顏色恰好不同的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由雙曲線的離心率可得a＝b，求得雙曲線的漸近線方程，設(shè)右焦點(diǎn)為（c，0），過其右焦點(diǎn)F作斜率為2的直線方程為y＝2（x﹣c），聯(lián)立漸近線方程，求得B，C的坐標(biāo)，再由向量共線定理，可得所求比值．【題目詳解】由雙曲線的離心率為，可得ca，即有a＝b，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，設(shè)右焦點(diǎn)為（c，0），過其右焦點(diǎn)F作斜率為2的直線方程為y＝2（x﹣c），由y＝x和y＝2（x﹣c），可得B（2c，2c），由y＝﹣x和y＝2（x﹣c）可得C（，），設(shè)λ，即有0﹣2c＝λ（0），解得λ＝1，即則1．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是離心率和漸近線方程，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．2、A【解題分析】分析：根據(jù)正態(tài)分布的意義可得即可得出結(jié)論.詳解：由題可得：又對稱軸為85，故，故成績小于分的樣本個數(shù)大約為100x0.04=4故選A.點(diǎn)睛：本題考查正態(tài)曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，是一個基礎(chǔ)題，解題關(guān)鍵是要知道.3、A【解題分析】若“直線平面”則“直線與平面內(nèi)無窮多條直線都垂直”，正確；反之，若“直線與平面內(nèi)無窮多條直線都垂直”則“直線平面”是錯誤的，故直線平面”是“直線與平面內(nèi)無窮多條直線都垂直”的充分非必要條件.故選A.4、A【解題分析】分析：直接利用排列組合的公式計算.詳解：由題得.故答案為A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查排列組合的計算，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和基本的運(yùn)算能力.(2)排列數(shù)公式：==(，∈，且)．組合數(shù)公式：===(∈，，且)5、C【解題分析】試題分析：以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)M（x，y），A（-a，0）、B（a，0）；因為，所以y2=λ（x+a）（a-x），即λx2+y2=λa2，當(dāng)λ=1時，軌跡是圓．當(dāng)λ＞0且λ≠1時，是橢圓的軌跡方程；當(dāng)λ＜0時，是雙曲線的軌跡方程;當(dāng)λ=0時，是直線的軌跡方程；綜上，方程不表示拋物線的方程．故選C．考點(diǎn)：軌跡方程的求法,圓錐曲線方程。點(diǎn)評：中檔題，判斷軌跡是什么，一般有兩種方法，一是定義法，二是求軌跡方程后加以判斷。6、B【解題分析】分析：利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡，根號函數(shù)的周期和奇偶性即可得到結(jié)論．詳解：，

∵函數(shù)的周期是，，

∵）是奇函數(shù)，

即∴當(dāng)時，即則在單調(diào)遞減，

故選：B．點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．7、A【解題分析】

求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可．【題目詳解】函數(shù)，cosx，令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，∴f（x）在[0，）遞減，在（，]遞增，∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，故f（x）在區(qū)間[0，]上的最小值和最大值分別是：．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查函數(shù)值的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解題分析】

模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化即可得到答案.【題目詳解】由題意，輸入值，，第一次執(zhí)行，，，不成立；第二次執(zhí)行，，，不成立；第三次執(zhí)行，，，不成立；第四次執(zhí)行，，，不成立；第五次執(zhí)行，，，成立，輸出.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查循環(huán)框圖的應(yīng)用，按照框圖的程序運(yùn)行即可得出正確答案，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

由三角函數(shù)的圖象求得，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【題目詳解】由圖象可知，，即，所以，即，又因為，則，解得，又由，所以，所以，又因為，所以圖中的最高點(diǎn)坐標(biāo)為.結(jié)合圖象和已知條件可知，所以，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了由三角函數(shù)的部分圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】試題分析：依題意，，由直線參數(shù)方程幾何意義得，選C．考點(diǎn)：直線參數(shù)方程幾何意義11、C【解題分析】

先判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，由,利用零點(diǎn)存在定理可得結(jié)果.【題目詳解】因為函數(shù)在上連續(xù)單調(diào)遞增，且,所以函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于簡單題.應(yīng)用零點(diǎn)存在定理解題時，要注意兩點(diǎn)：（1）函數(shù)是否為單調(diào)函數(shù)；（2）函數(shù)是否連續(xù).12、D【解題分析】

對函數(shù)求導(dǎo)，得出函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用中間值法比較、、的大小關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性得出、、三個數(shù)的大小關(guān)系．【題目詳解】，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，即，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)值的大小比較，這類問題需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及自變量的大小，其中單調(diào)性可以利用導(dǎo)數(shù)來考查，本題中自變量的結(jié)構(gòu)不相同，可以利用中間值法來比較，考查推理能力，屬于中等題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】分析：先求出直線的普通方程，再求出圓的直角坐標(biāo)方程，再利用公式求直線被圓C截得的弦長.詳解：由題意得直線l的方程為x-y-4=0,圓C的方程為(x-2)2+y2=4.則圓心到直線的距離d=，故弦長=.故答案為2.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線和圓的弦長的計算，意在考查學(xué)生對這些問題的掌握水平.(2)求直線被圓截得的弦長常用公式.14、1【解題分析】

根據(jù)題意，分3步分析：①、讓甲分到一班，②、再從除了甲、乙、丙之外的3個人種任意選出2個人，分到三班，③、最后再把剩下的3個人選出2個人分到二班，剩余的一個分到一班，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，分3步分析：①、讓甲分到一班，只有1種方法；②、再從除了甲、乙、丙之外的3個人種任意選出2個人，分到三班，有C32＝3種安排方法；③、最后再把剩下的3個人選出2個人分到二班，剩余的一個分到一班，有C32＝3種安排方法；則不同的分法有1×3×3＝1種；故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查分步計數(shù)原理的應(yīng)用，關(guān)鍵是對于有限制的元素要優(yōu)先排，特殊位置要優(yōu)先排．15、2【解題分析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，從而．【題目詳解】因為，故，所以，填．【題目點(diǎn)撥】一般地，如果為等差數(shù)列，為其前項和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）且；（3）且為等差數(shù)列；（4）為等差數(shù)列.16、【解題分析】

結(jié)合正方體的平面展開圖，作出正方體的直觀圖，可知是正三角形，從而可知直線與所成角為，即可得到答案.【題目詳解】作出正方體的直觀圖，連接，，易證三角形是正三角形，而，故直線與所成角為，則直線與所成角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征，考查了異面直線的夾角的求法，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)(i)當(dāng)時,等式顯然成立；(ii)見證明；【解題分析】

（1）猜想第個等式為.（2）先驗證時等式成立，再假設(shè)等式成立，并利用這個假設(shè)證明當(dāng)時命題也成立.【題目詳解】（1）猜想第個等式為.（2）證明：①當(dāng)時，左邊，右邊，故原等式成立；②設(shè)時，有，則當(dāng)時，故當(dāng)時，命題也成立，由數(shù)學(xué)歸納法可以原等式成立.【題目點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)歸納法可用于證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，一般有2個基本的步驟：（1）歸納起點(diǎn)的證明即驗證命題成立；（2）歸納證明：即設(shè)命題成立并證明時命題也成立，此處的證明必須利用假設(shè)，最后給出一般結(jié)論.18、（1）；100人年齡的平均值為.（2）表格數(shù)據(jù)為：25，40，35，25，60；沒有99.9%的把握認(rèn)為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注此活動.【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖求出對應(yīng)的頻率，列方程求得和的值，再計算這組數(shù)據(jù)的平均值；（2）由題意計算“青少年人”與“中老年人”的人數(shù)，完成列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論.【題目詳解】解：（1）由題意知，青少年、中老年人的頻率分別為和，由，，解得：；則這100人年齡的平均值為:；（2）由題意知，青少年人共有人，中老年人共有人；由此完成列聯(lián)表如下，關(guān)注不關(guān)注合計青少年人152540中老年人352560合計5050100根據(jù)此統(tǒng)計結(jié)果，計算，所以沒有99.9%的把握認(rèn)為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注此活動.【題目點(diǎn)撥】本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗的應(yīng)用問題，也考查了頻率分布直方圖應(yīng)用問題，是中檔題.19、（1）64；（2）36【解題分析】

（1）根據(jù)題意，分析可得3個小球，每個小球有4種放法，由分步計數(shù)原理計算可得答案；（2）根據(jù)題意，分2步分析：①，將3個小球分成2組，②，在4個盒子中任選2個，分別放入分好組的兩組小球，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【題目詳解】（1）根據(jù)題意，3個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，每個小球有4種放法，則3個小球有種不同的放法；