第02講一元二次函數(shù)、方程和不等式【題型歸納目錄】【知識點梳理】知識點一、符號法則與比較大小實數(shù)的符號：任意，則（為正數(shù)）、或（為負(fù)數(shù)）三種情況有且只有一種成立．兩實數(shù)的加、乘運算結(jié)果的符號具有以下符號性質(zhì)：①兩個同號實數(shù)相加，和的符號不變符號語言：；②兩個同號實數(shù)相乘，積是正數(shù)符號語言：； ③兩個異號實數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)符號語言：④任何實數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，0的平方為0符號語言：，．比較兩個實數(shù)大小的法則：對任意兩個實數(shù)、①；②；③．對于任意實數(shù)、，，，三種關(guān)系有且只有一種成立．知識點二、不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運算性質(zhì)兩部分基本性質(zhì)有：（1）對稱性：（2）傳遞性：（3）可加性：（c∈R）（4）可乘性：a>b，運算性質(zhì)有：（1）可加法則：（2）可乘法則：（3）可乘方性：知識點詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù)．知識點三、比較兩代數(shù)式大小的方法作差法：任意兩個代數(shù)式、，可以作差后比較與0的關(guān)系，進一步比較與的大?。伲虎?；③．作商法：任意兩個值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關(guān)系，進一步比較與的大?。?；②；③．中間量法：若且，則（實質(zhì)是不等式的傳遞性）．一般選擇0或1為中間量．知識點四、基本不等式1、對公式及的理解．（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時取等號”．2、由公式和可以引申出常用的常用結(jié)論①（同號）；②（異號）；③或知識點詮釋：可以變形為：，可以變形為：．知識點五、用基本不等式求最大（?。┲翟谟没静坏仁角蠛瘮?shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三取等．①一正：函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值．知識點詮釋：1、兩個不等式：與成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實數(shù)，后者要求a，b都是正數(shù)．2、兩個不等式：與都是帶有等號的不等式，對于“當(dāng)且僅當(dāng)……時，取“=”號這句話的含義要有正確的理解．3、基本不等式的功能在于“和積互化”．若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮使用平均不等式；若對于所給的“和式”中的各項的“積”為定值，則“和”有最小值，對于給出的“積式”中的各項的“和”為定值，則“積”有最大值．4、利用兩個數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個條件：①各項都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③各項能取得相等的值．5、基本不等式在解決實際問題中有廣泛的應(yīng)用，在應(yīng)用時一般按以下步驟進行：①先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大或最小值；④寫出正確答案．知識點六、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系對于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關(guān)系也分為三種情況．因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集．二次函數(shù)（）的圖象有兩相異實根有兩相等實根無實根知識點七、一元二次不等式恒成立問題（1）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立（2）分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題．【典型例題】題型一：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)例1．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】對于A，當(dāng)時，，A錯誤；對于B，當(dāng)時，，B錯誤；對于C，由，得，即成立，C正確；對于D，當(dāng)時，，D錯誤.故選：C例2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）下列不等式中成立的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【解析】對于A，若，則錯誤，如時，，所以A錯誤；對于B，若，則，所以B正確；對于C，若，則，所以C錯誤；對于D，若，則，所以D錯誤.故選：B例3．（2024·廣東廣州·高一廣州市白云中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】A：當(dāng)時，，故A錯誤；B：令，則，所以不成立，故B錯誤；C：由，得且，所以不成立，故C錯誤；D：由，得，又，所以，故D正確.故選：D變式1．（2024·浙江杭州·高一?？迹┫铝姓f法正確的是（

）A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】D【解析】對于A，當(dāng)時，則，故A錯誤；對于B，若，，則，故B錯誤；對于C，若，，則，所以，故C錯誤；對于D，若，，則，所以，所以，故D正確.故選：D.題型二：利用基本不等式求最值例4．（2024·浙江杭州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若正數(shù)滿足.(1)求的最大值；(2)求的最小值.【解析】（1）因為正數(shù)滿足，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時，有最大值（2）因為正數(shù)滿足，所以有，于是有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值.例5．（2024·新疆阿克蘇·高一?？计谀┰O(shè)，且(1)若，求的最大值；(2)若，求的最小值【解析】（1）由題設(shè)知，而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以最大值為.（2）由題設(shè)知，即，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故最小值是4.例6．（2024·江蘇南京·高一江蘇省高淳高級中學(xué)校聯(lián)考）已知.(1)求的最小值(2)求的最小值.【解析】（1）由得，即，，則，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得“=”，所以的最小值為.（2）法一：令，則，，故由可得，整理得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時取“=”，所以的最小值為2.法二：由可得，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得“=”，所以的最小值為2.變式2．（2024·浙江·高一校聯(lián)考）已知實數(shù)，均為正實數(shù)．(1)若，求的最小值；(2)若，求的最小值．【解析】（1）因為實數(shù)，均為正實數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為9.（2）由題意得，解得或（舍去），則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.則的最小值為25.變式3．（2024·山西大同·高一山西省陽高縣第一中學(xué)校?？计谀┮阎?(1)當(dāng)時，求的最小值；(2)當(dāng)時，求的最小值.【解析】（1）當(dāng)時，，即，即，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為16.（2）當(dāng)時，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以的最小值為.變式4．（2024·江蘇淮安·高一淮陰中學(xué)?？迹┤魧崝?shù)，且滿足．(1)求的最大值；(2)求x+y的最小值．【解析】（1）∵x>0，y>0，∴，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，∴xy的最大值為4．（2），∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．即x+y的最小值為4．題型三：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式例7．（多選題）（2024·全國·高一期末）若不等式的解集是，則下列結(jié)論正確的是（

）A．且B．C．關(guān)于的不等式的解集是D．關(guān)于的不等式的解集是【答案】ACD【解析】對于A項：由題意可知，，和1是方程的兩根，可得，，所以，，即故A項正確．對于B項：因為是方程的根，所以，故B項錯誤．對于C項：由A項知：，即，因為，得：，故C項正確.對于D項：不等式即，化簡得，解得或，故D正確.故選：ACD.例8．（多選題）（2024·廣東佛山·高一佛山一中?？茧A段練習(xí)）已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．的解集為【答案】ACD【解析】由不等式和解集的形式可知，，且方程的實數(shù)根為或，那么，所以，所以，且，故A、C正確，B錯誤；不等式，即，解得:,所以不等式的解集為，故D正確.故選：ACD例9．（多選題）（2024·湖北孝感·高一湖北省孝感市第一高級中學(xué)校聯(lián)考）已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．的解集為【答案】ACD【解析】由題意知，和3是方程的兩根，且，所以，，則，，因為，所以，，，故AC正確，B錯誤；不等式為，即，解得，所以的解集為，故D正確．故選：ACD．變式5．（多選題）（2024·陜西西安·高一統(tǒng)考）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則以下選項正確的有（）A．B．不等式的解集為C．D．不等式的解集為或【答案】ABD【解析】關(guān)于的不等式的解集為或，則和是方程的二根，且則，解之得，由，可得選項A判斷正確；選項B：不等式可化為，解之得，則不等式解集為.判斷正確；選項C：.判斷錯誤；選項D：不等式可化為，即，解之得或.則不等式的解集為或.判斷正確.故選：ABD題型四：恒成立與有解問題例10．（2024·全國·高一期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的解集；(2)是否存在實數(shù)，使得不等式對滿足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）時，函數(shù)，不等式即為，即，解得，∴不等式的解集為.（2）設(shè)，，根據(jù)題意知，在上恒成立，①當(dāng)時，解得，若，則在上單調(diào)遞增，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，則，不符合題意；②當(dāng)，即時，的圖像為開口向下的拋物線，要使在上恒成立，需，即，解得或，又∵，∴此時無解；③當(dāng)，即或時，的圖像為開口向上的拋物線，其對稱軸方程為，（i）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，∴，解得或，∵，，∴此時無解；（ii）當(dāng)，即或時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，此時無解；（iii）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，∴，解得或，∵，，∴此時無解；綜上，不存在符合題意的實數(shù).例11．（2024·江蘇宿遷·高一?？迹┮阎瘮?shù)，，(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)和實數(shù)的值；(2)若對，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）依題意，，即解集為，所以，是方程的兩個實數(shù)根，將代入方程得，此時方程，另一根，即，所以實數(shù)，.（2）若對，恒成立，即，恒成立，當(dāng)時，上述不等式恒成立；當(dāng)時，上述不等式恒成立等價于，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即函數(shù)在上有最小值為4，則；綜上，實數(shù)的取值范圍是.例12．（2024·陜西西安·高一西安市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）若正數(shù)，滿足，求的最小值．（2）已知，，且，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；（2）由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，由恒成立，故，解得，即實數(shù)的取值范圍為.變式6．（2024·安徽亳州·高一校考期末）（1）已知，求的最大值；（2）若恒成立，求的取值范圍．【解析】（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以最大值為．（2）由題意知，，解得，所以的取值范圍是.變式7．（2024·西藏林芝·高一?？迹?）二次不等式的解集為，求的取值范圍（2）設(shè)函數(shù)；若對于一切實數(shù)恒成立，求的取值范圍【解析】（1）由二次不等式的解集為，，即，解得,所以實數(shù)的取值范圍為.（2）當(dāng)時，滿足題意；當(dāng)時，對于一切實數(shù)，恒成立，則，即，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍為.變式8．（2024·福建·高一福建省羅源第一中學(xué)校聯(lián)考）已知函數(shù)(1)若的解集是或，求實數(shù)的值；(2)當(dāng)時，若時函數(shù)有解，求的取值范圍．【解析】（1）依題意，的解集是或，則，且是方程的兩個根，所以，解得．（2）時，在有解，即在有解，法一：因為的開口向上，對稱軸①即時，函數(shù)取得最小值.②即時，當(dāng)取得最小值，此時，解得或.又.③當(dāng)即，當(dāng)時取得最小值，此時不成立，即無解.綜上，．法二：在有解，當(dāng)時不成立，當(dāng)時，即在有解，，令，，當(dāng)且僅當(dāng)即取“”，，.題型五：二次函數(shù)根的分布問題例13．（2024·江蘇連云港·高一江蘇省新海高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知方程的一個實根小于2，另一個實根大于2，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】設(shè)，因為方程的一個實根小于2，另一個實根大于2，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.例14．（2024·北京·高一大峪中學(xué)校考）已知方程有兩個不相等的正根，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】因為有兩個不相等的正根，即有兩個不相等的正根，所以，解得.故答案為：.例15．（2024·湖南·高一校聯(lián)考）已知關(guān)于的方程的兩根分別在區(qū)間，內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】令，根據(jù)題意得，由①得：，由②得：，由③得：，求交集得：故的取值范圍為.故答案為：變式9．（2024·江蘇南通·高一江蘇省南通中學(xué)校考階段練習(xí)）已知一元二次方程的一根在中，另一根在中，則的取值范圍為.【答案】【解析】依題意可設(shè)函數(shù)，因為一元二次方程的一根在中，另一根在中，所以，即，解得，所以的取值范圍為.故答案為：.題型六：不等式在實際問題中的應(yīng)用例16．（2024·全國·高一專題練習(xí)）某汽車公司因發(fā)展需要，需購進一批汽車，計劃使用不超過1000萬元的資金購買單價分別為40萬元、90萬元的型汽車和型汽車，根據(jù)需要，型汽車至少買5輛，型汽車至少買6輛，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式（組）.【解析】設(shè)購買型汽車和型汽車分別為輛，輛，根據(jù)題意可得.例17．（2024·云南·高一云南師大附中校考期末）甲、乙兩地相距1000km，貨車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100（km/h），若貨車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變成本和固定成本組成，可變成本是速度的平方的倍，固定成本為元.(1)將全程運輸成本（元）表示為速度的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運輸成本最小，貨車應(yīng)以多大的速度行駛?【解析】（1）由題意得可變成本為元，固定成本為a元，所用時間為，則，定義域為．（2）由（1）得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時，貨車以km/h的速度行駛，全程運輸成本最??；當(dāng)時，貨車以100km/h的速度行駛，全程運輸成本最?。?8．（2024·廣東深圳·高一?？计谀┠彻緸榱颂岣呱a(chǎn)效率，決定投入160萬元買一套生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)計使用該設(shè)備后，前年的支出成本為萬元，每年的銷售收入98萬元.使用若干年后對該設(shè)備處理的方案有兩種，方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時，該設(shè)備以20萬元的價格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時，該設(shè)備以30萬元的價格處理.哪種方案較為合理？并說明理由.（注：年平均盈利額）【解析】方案二更合理，理由如下：設(shè)為前年的總盈利額，單位：萬元；由題意可得，方案一：總盈利額，當(dāng)時，取得最大值；此時處理掉設(shè)備，則總利潤為萬元；方案二：平均盈利額為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；即時，平均盈利額最大，此時，此時處理掉設(shè)備，總利潤為萬元；綜上，兩種方案獲利都是萬元，但方案二僅需要4年即可，故方案二更合適.變式10．（2024·上海浦東新·高一華師大二附中校考階段練習(xí)）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點，已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關(guān)，炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標(biāo).(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。滹w行高度為3.2千米，若炮彈可以擊中它，求的取值范圍.【解析】（1）令，則或，∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此時，最大射程為千米.（2）炮彈可以擊中目標(biāo)等價于存在，使得成立，即關(guān)于x的方程有正根，即,解得，此時方程恰有兩個正根，符合題意，因此.變式11．（2024·甘肅臨夏·高一?？计谀┠硢挝唤ㄔ煲婚g地面面積為12平方米的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長度x不得超過5米，房屋正面的造價為400元/平方米，房屋側(cè)面的造價為150元/平方米，屋頂和地面的造價費用合計為5800元，如果墻高為3米，且不計房屋背面的費用，當(dāng)側(cè)面的長度為多少時，總造價最低？最低總造價是多少元？【解析】由題可知因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以在時取最小值，于是當(dāng)側(cè)面的長度為米時，總造價最低．最低總造價是元．題型七：含參數(shù)不等式例19．（2024·河北石家莊·高一?？迹┰O(shè)．(1)若不等式對于任意恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式．【解析】（1）因為，所以不等式可化為，若對于任意，不等式恒成立，當(dāng)時，不等式化為，不滿足題意，當(dāng)時，則必有且,解得，所以實數(shù)a的取值范圍為.（2）不等式化為，即，，因為，所以當(dāng)，即時，解得或，不等式的解集為或;當(dāng)，即時，不等式恒成立，解集為；當(dāng)，即時，解得或，