2024屆云南省曲靖市沾益區(qū)第四中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．的展開式中的系數(shù)為（）A．100 B．80 C．60 D．402．現(xiàn)有下面三個(gè)命題常數(shù)數(shù)列既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列；；直線與曲線相切.下列命題中為假命題的是（）A． B．C． D．3．在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓與直線交于兩點(diǎn)，則以線段為直徑的圓的極坐標(biāo)方程為（）A． B．C． D．4．2只貓把5只老鼠捉光,不同的捉法有()種.A． B． C． D．5．若焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率為，則該雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為()A． B． C． D．6．如圖，平面與平面所成的二面角是，是平面內(nèi)的一條動(dòng)直線，，則直線與所成角的正弦值的取值范圍是（）A． B．C． D．7．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．8．已知，若為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值是()A． B． C． D．9．某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，，則A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.310．二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．211．設(shè)滿足約束條件，則的最大值是（）A．-3 B．2 C．4 D．612．某產(chǎn)品的銷售收入（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（千臺(tái)）的函數(shù)為；生產(chǎn)成本（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（千臺(tái)）的函數(shù)為，為使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A．9千臺(tái) B．8千臺(tái) C．7千臺(tái) D．6千臺(tái)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中系數(shù)之和為______________.(結(jié)果用數(shù)值表示)14．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁4類產(chǎn)品共計(jì)3000件已知甲、乙、丙、丁4類產(chǎn)品數(shù)量之比為1：2：4：現(xiàn)要用分層抽樣的方法從中抽取150件進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，則乙類產(chǎn)品抽取的件數(shù)為______．15．若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為____________16．函數(shù)的圖像在處的切線方程為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為,過右焦點(diǎn)作垂直于橢圓長(zhǎng)軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),若.①求的值；②求的面積的最小值.18．（12分）已知函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)（）均在函數(shù)的圖像上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù).19．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)與相切于點(diǎn)，求的值；（2）若是函數(shù)圖象的切線，求的最小值.20．（12分）是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物.根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，日均值在微克/立方米以下，空氣質(zhì)量為一級(jí)；在微克應(yīng)立方米微克立方米之間，空氣質(zhì)量為二級(jí)：在微克/立方米以上，空氣質(zhì)量為超標(biāo).從某市年全年每天的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表：日均值（微克/立方米）頻數(shù)（天）（1）從這天的日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出天，求恰有天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；（2）從這天的數(shù)據(jù)中任取天數(shù)據(jù)，記表示抽到監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求的分布列.21．（12分）已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)與上下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，以橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為直徑的圓與直線相切．1求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；2設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)且不重合于x軸的動(dòng)直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，探究在x軸上是否存在定點(diǎn)E，使得為定值？若存在，試求出定值和點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．22．（10分）如圖，在圓心角為，半徑為的扇形鐵皮上截取一塊矩形材料，其中點(diǎn)為圓心，點(diǎn)在圓弧上，點(diǎn)在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鐵皮卷成一個(gè)以為母線的圓柱形鐵皮罐的側(cè)面(不計(jì)剪裁和拼接損耗)，設(shè)矩形的邊長(zhǎng)，圓柱形鐵皮罐的容積為.（1）求圓柱形鐵皮罐的容積關(guān)于的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)為何值時(shí)，才使做出的圓柱形鐵皮罐的容積最大？最大容積是多少？(圓柱體積公式：，為圓柱的底面枳，為圓柱的高）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由二項(xiàng)式項(xiàng)的公式，直接得出x2的系數(shù)等于多少的表達(dá)式，由組合數(shù)公式計(jì)算出結(jié)果選出正確選項(xiàng)．【題目詳解】因?yàn)榈恼归_式中含的項(xiàng)為,故的系數(shù)為40.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)項(xiàng)的公式正確寫出x2的系數(shù)是解題的關(guān)鍵，對(duì)于基本公式一定要記憶熟練．2、C【解題分析】分析：首先確定的真假，然后確定符合命題的真假即可.詳解：考查所給命題的真假：對(duì)于，當(dāng)常數(shù)列為時(shí)，該數(shù)列不是等比數(shù)列，命題是假命題；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，該命題為真命題；對(duì)于，由可得，令可得，則函數(shù)斜率為的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，即，切線方程為，即，據(jù)此可知，直線與曲線不相切，該命題為假命題.考查所給的命題：A.為真命題；B.為真命題；C.為假命題；D.為真命題；本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查命題真假的判斷，符合問題問題，且或非的運(yùn)算法則等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3、A【解題分析】試題分析：以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，則由題意，得圓的直角坐標(biāo)方程，直線的直角坐標(biāo)方程．由，解得或，所以，從而以為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程為，即．將其化為極坐標(biāo)方程為：，即故選A．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．4、B【解題分析】分析：利用乘法分步計(jì)數(shù)原理解決即可.詳解：由于每只貓捉老鼠的數(shù)目不限，因此每一只老鼠都可能被這2只貓中其中一只捉住，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有不同的捉法有種.故選：B.點(diǎn)睛：(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．5、C【解題分析】

先由雙曲線的離心率的值求出的值，然后求出雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出結(jié)果【題目詳解】解：因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率為，所以，解得，所以雙曲線方程為，其頂點(diǎn)為，漸近線方程為由雙曲線的對(duì)稱性可知，只要求出其中一個(gè)頂點(diǎn)到一條漸近線的距離即可不妨求點(diǎn)到直線的距離故選：C【題目點(diǎn)撥】此題考查了雙曲線的有關(guān)知識(shí)和點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題6、B【解題分析】

假定ABCD和BCEF均為正方形，過D作，可證平面BCEF，進(jìn)而可得直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，即直線與所成角的正弦值的最小值，當(dāng)直線與異面垂直時(shí)，所成角的正弦值最大.【題目詳解】過D作，垂足為G，假定ABCD和BCEF均為正方形，且邊長(zhǎng)為1則平面CDG，故又，平面BCEF故直線BD在平面BCEF內(nèi)的射影為BG，由已知可得，則以直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，所以直線BD與平面BCEF內(nèi)直線所成的角正弦值最小為，而直線與所成角最大為（異面垂直），即最大正弦值為1.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了立體幾何中線面角，面面角找法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.7、C【解題分析】分析：由題意，該幾何體是一個(gè)正四棱柱切了四個(gè)角（小三棱錐），從而利用體積公式計(jì)算即可.詳解：由題意，該幾何體是一個(gè)正四棱柱切了四個(gè)角（小三棱錐），則.故選：C.點(diǎn)睛：(1)解決組合體問題關(guān)鍵是分清該幾何體是由哪些簡(jiǎn)單的幾何體組成的以及這些簡(jiǎn)單的幾何體的組合情況；(2)由三視圖求幾何體的面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原幾何體，同時(shí)還需掌握求體積的常用技巧如：割補(bǔ)法和等價(jià)轉(zhuǎn)化法．8、B【解題分析】

先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)確定取法，再根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行取舍，進(jìn)而確定選項(xiàng).【題目詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以因?yàn)椋砸虼诉xB.【題目點(diǎn)撥】本題考查冪函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，考查基本判斷選擇能力.9、B【解題分析】分析：判斷出為二項(xiàng)分布，利用公式進(jìn)行計(jì)算即可．或，,可知故答案選B.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)分布相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．10、A【解題分析】

利用二項(xiàng)式定理的展開式可得a，再利用微積分基本定理即可得出．【題目詳解】二項(xiàng)式（ax+）6的展開式中通項(xiàng)公式：Tr+2=（ax）r，令r=2，則T6=××a2x2．∵x2的系數(shù)為，∴×a2=，解得a=2．則x2dx=x2dx==．故選：A．【題目點(diǎn)撥】用微積分基本定理求定積分，關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)．此外，如果被積函數(shù)是絕對(duì)值函數(shù)或分段函數(shù)，那么可以利用定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性，將積分區(qū)間分解，代入相應(yīng)的解析式，分別求出積分值相加11、D【解題分析】

先由約束條件畫出可行域，再利用線性規(guī)劃求解.【題目詳解】如圖即為，滿足約束條件的可行域，由，解得，由得，由圖易得：當(dāng)經(jīng)過可行域的時(shí)，直線的縱截距最大，z取得最大值，所以的最大值為6，故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線性規(guī)劃求最值，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解題分析】

根據(jù)題意得到利潤(rùn)關(guān)于產(chǎn)量的函數(shù)式，再由導(dǎo)數(shù)求得使利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量，即可求解出答案?！绢}目詳解】設(shè)利潤(rùn)為萬元，則，，令，得，令，得，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，故為使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)8千臺(tái)．選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值來解決實(shí)際問題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

令求解展開式的系數(shù)和即可.【題目詳解】令可得展開式的系數(shù)和為：.故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式展開式的系數(shù)和的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

根據(jù)甲乙丙丁的數(shù)量之比，利用分層抽樣的定義即可得到結(jié)論．【題目詳解】解：甲、乙、丙、丁4類產(chǎn)品共計(jì)3000件，已知甲、乙、丙、丁4類產(chǎn)品的數(shù)量之比為1：2：4：8，用分層抽樣的方法從中抽取150件，則乙類產(chǎn)品抽取的件數(shù)為，故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分層抽樣的定義和應(yīng)用，熟練掌握分層抽樣的定義是解決問題的關(guān)鍵．15、【解題分析】

因?yàn)辄c(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值是過點(diǎn)P的切線與直線平行的時(shí)候，則，即點(diǎn)（1，1）那么可知兩平行線間的距離即點(diǎn)（1，1）到直線的距離為16、【解題分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，把分別代入原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中分別求出切點(diǎn)坐標(biāo)與切線斜率，進(jìn)而求得切線方程?！绢}目詳解】，函數(shù)的圖像在處的切線方程為，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線的點(diǎn)斜式，關(guān)鍵求出某點(diǎn)處切線的斜率即該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）①，②.【解題分析】

（1）利用橢圓的離心率公式，通徑的長(zhǎng)和橢圓中a，b，c的關(guān)系，求得a，b，c的值，進(jìn)而可得橢圓的方程.(2)①通過聯(lián)立直線和橢圓方程，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求出，再結(jié)合向量表示垂直得，進(jìn)而求解；②設(shè)直線OA的斜率為.分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，通過聯(lián)立直線與橢圓方程和三角形面積公式，將面積的最小值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題求解，再結(jié)合時(shí)的情況，得面積的取值范圍，進(jìn)而求得最小值.【題目詳解】(1)已知橢圓的離心率為，可知，根據(jù)橢圓的通徑長(zhǎng)為，結(jié)合橢圓中，可解得，故橢圓C的方程為.（2）①已知直線AB的方程為,設(shè)與橢圓方程聯(lián)立有,消去y,得,所以，因,所以，即，所以.整理得,所以為②設(shè)直線OA的斜率為.當(dāng)時(shí),則的方程OA為,OB的方程為，聯(lián)立得,同理可求得,故△AOB的面積為.令，則令,所以.所以，當(dāng)時(shí),可求得S=1,故,故S的最小值為【題目點(diǎn)撥】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及了橢圓的離心率方程，通徑的長(zhǎng)和橢圓中a，b，c的關(guān)系；考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了橢圓中的最值問題；函數(shù)中求最值的常用方法有函數(shù)法和數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)法：利用函數(shù)最值的探究方法，將橢圓中的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來處理，解題過程中要注意橢圓中x，y的范圍.18、（1）；（2）1．【解題分析】分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出，由此能求出；（2）由，利用裂項(xiàng)求和法求出，由此能求出滿足要求的最小整數(shù).詳解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，符合上式綜上，（2）所以由對(duì)所有都成立，所以，得,故最小正整數(shù)的值為.點(diǎn)睛：利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等．19、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用函數(shù)與相切于點(diǎn)，切線即可求的值.（2）若是函數(shù)圖象的切線，設(shè)切點(diǎn)，表達(dá)函數(shù)的切線方程，表達(dá)，構(gòu)造新函數(shù)，求其最小值即可.【題目詳解】（1）由函數(shù)，則，，.所以，.（2）設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，即，亦即，由題意得.∴令.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；∴∴的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于中檔題.20、（1）；（2）分布列見解析.【解題分析】

（1）由表格可知：這天的日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，只有天達(dá)到一級(jí)，然后利用組合計(jì)數(shù)原理與古典概型的概率公式可計(jì)算出所求事件的概率；（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，然后利用超幾何分布即可得出隨機(jī)變量的分布列.【題目詳解】（1）由表格可知：這天的日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，只有天達(dá)到一級(jí)．隨機(jī)抽取天，恰有天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率為；（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，，，，.因此，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：【題目點(diǎn)撥】本題考查了概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了超幾何分布及其分布列等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，屬于中檔題．21、（1）；（2）定點(diǎn)為.【解題分析】分析：（1）根據(jù)一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直，以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑的圓與直線相切，結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于、、的方程組，求出、、，即可得結(jié)果；(2)設(shè)直線聯(lián)立，得.假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，由韋達(dá)定理，利用平面向量數(shù)量積公式可得，要使為定值，則的值與無關(guān)，所以，從而可得結(jié)果.詳解：（1）由題意知，，解得則橢圓的方程是（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線聯(lián)立，得所以假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，使得為定值。所以