上海中學2024屆數學高二下期末學業(yè)質量監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知關于的方程，，若對任意的，該方程總存在唯一的實數解，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A． B． C． D．3．設集合，，，則中的元素個數為（）A． B． C． D．4．對于實數，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．若復數，則復數在復平面內的對應點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．下列函數中，與函數的奇偶性相同，且在上單調性也相同的是（）A． B． C． D．7．對于命題“正三角形的內切圓切于三邊的中點”，可類比猜想出正四面體的內切球切于四面體（）A．各正三角形內的點B．各正三角形的中心C．各正三角形某高線上的點D．各正三角形各邊的中點8．等于（）A．B．C．1D．9．在等比數列{an}中，Sn是它的前n項和，若q＝2，且a2與2a4的等差中項為18，則S5＝()A．－62 B．62 C．32 D．－3210．已知數列的前n項和為，滿足，，若，則m的最小值為（）A．6 B．7 C．8 D．911．在數列中，若，，則（）A．108 B．54 C．36 D．1812．已知函數的定義域是，則的展開式中的系數是（）A． B．192 C． D．230二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，對于任意，都存在，使得，則的最小值為________.14．已知函數的最小正周期為，則當時函數的一個零點是________15．已知函數y=fx的圖象在點M2,f2處的切線方程是y=x+4，則16．用數學歸納法證明時，由的假設到證明時，等式左邊應添加的式子是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）互聯網正在改變著人們的生活方式，在日常消費中手機支付正逐漸取代現金支付成為人們首選的支付方式.某學生在暑期社會活動中針對人們生活中的支付方式進行了調查研究.采用調查問卷的方式對100名18歲以上的成年人進行了研究，發(fā)現共有60人以手機支付作為自己的首選支付方式，在這60人中，45歲以下的占，在仍以現金作為首選支付方式的人中，45歲及以上的有30人.（1）從以現金作為首選支付方式的40人中，任意選取3人，求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率；（2）某商家為了鼓勵人們使用手機支付，做出以下促銷活動：凡是用手機支付的消費者，商品一律打八折.已知某商品原價50元，以上述調查的支付方式的頻率作為消費者購買該商品的支付方式的概率，設銷售每件商品的消費者的支付方式都是相互獨立的，求銷售10件該商品的銷售額的數學期望.18．（12分）已知函數f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的定義域為實數集R.(1)當a＝5時，解關于x的不等式f(x)>9；(2)設關于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集為A,若B＝{x∈R||2x－1|≤3},當A∪B＝A時，求實數a的取值范圍．19．（12分）己知集合,（1）若，求實數a的取值范圍；（2）若，求實數a的取值范圍．20．（12分）已知曲線的極坐標方程為，直線的參數方程為（為參數，），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）若直線截曲線所得的弦長為，求的值.21．（12分）某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日銷量（單位：千克）與銷售價格（單位：元千克）滿足關系式，其中，為常數，已知銷售價格為元/千克時，每日可售出該商品千克.（1）求的值：（2）若該商品的成本為元千克，試確定銷售價格的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.22．（10分）有20件產品，其中5件是次品，其余都是合格品，現不放回的從中依次抽2件.求:（1）第一次抽到次品的概率；（2）在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】由成立，得，設，，則則時，，函數單調遞減；時，，函數單調遞增；且，使得對于任意，對任意的，方程存在唯一的解，則，即，即，所以，所以實數得取值范圍是，故選B．點睛：本題主要考查了導數在函數中的綜合應用問題，其中解得中涉及到利用導數研究函數的單調性，利用導數研究函數的最值和函數與方程等知識點的綜合應用，試題有一定的難度，屬于難題，解答中把方程存在唯一的解轉化為函數的最值問題是解答的關鍵．2、C【解題分析】

由題意結合正態(tài)分布的對稱性得到關于a的方程，解方程即可求得實數a的值.【題目詳解】隨機變量服從正態(tài)分布，則正態(tài)分布的圖象關于直線對稱，結合有，解得：.本題選擇C選項.【題目點撥】關于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內取值的概率求法：①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.3、C【解題分析】分析：由題意列表計算所有可能的值，然后結合集合元素的互異性確定集合M，最后確定其元素的個數即可.詳解：結合題意列表計算M中所有可能的值如下：2341234246836912觀察可得：，據此可知中的元素個數為.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查集合的表示方法，集合元素的互異性等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.4、A【解題分析】

先判斷和成立的條件，然后根據充分性和必要性的定義可以選出正確答案.【題目詳解】成立時，需要；成立時，需要，顯然由能推出，但由不一定能推出，故“”是“”的充分不必要條件，故本題選A.【題目點撥】本題考查了充分不必要條件的判斷，掌握對數的真數大于零這個知識點是解題的關鍵.5、B【解題分析】

把復數為標準形式，寫出對應點的坐標．【題目詳解】，對應點，在第二象限．故選B．【題目點撥】本題考查復數的幾何意義，屬于基礎題．6、A【解題分析】

先分析的奇偶性以及在的單調性，然后再對每個選項進行分析.【題目詳解】函數為偶函數,且在上為增函數，對于選項,函數為偶函數，在上為増函數，符合要求；對于選項,函數是偶函數，在上為減函數，不符合題意；對于選項,函數為奇函數，不符合題意；對于選項,函數為非奇非偶函數，不符合要求；只有選項符合要求，故選.【題目點撥】奇偶函數的判斷：（滿足定義域關于原點對稱的情況下）若，則是奇函數；若，則是偶函數.7、B【解題分析】四面體的面可以與三角形的邊類比，因此三邊的中點也就類比成各三角形的中心，故選擇B.8、A【解題分析】試題分析：因為，故選A．考點：定積分的運算．9、B【解題分析】

先根據a2與2a4的等差中項為18求出，再利用等比數列的前n項和求S5.【題目詳解】因為a2與2a4的等差中項為18，所以，所以.故答案為：B【題目點撥】(1)本題主要考查等比數列的通項和前n項和，考查等差中項，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本的計算能力.(2)等比數列的前項和公式：.10、C【解題分析】

根據an＝sn﹣sn﹣1可以求出{an}的通項公式，再利用裂項相消法求出sm，最后根據已知，解出m即可．【題目詳解】由已知可得，，，，（n≥2），1，即，解之得，或7.5，故選：C．【題目點撥】本題考查前n項和求通項公式以及裂項相消法求和，考查了分式不等式的解法，屬于中等難度．11、B【解題分析】

通過，可以知道數列是公比為3的等比數列，根據等比數列的通項公式可以求出的值.【題目詳解】因為，所以數列是公比為的等比數列，因此，故本題選B.【題目點撥】本題考查了等比數列的概念、以及求等比數列某項的問題，考查了數學運算能力.12、A【解題分析】

函數的定義域是可知，-1和2是方程的兩根，代入可求得值，再根據二項式定理的通項公式進行求解即可【題目詳解】因為的定義域，所以-1和2是方程的兩根，將-1代入方程可得，則二項式定理為根據二項式定理的通項公式，，的系數答案選A【題目點撥】本題考察了一元二次方程根與系數的關系，二項式定理通項公式的求法及二項式系數的求法，難度不大，但綜合性強二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】試題分析：由知，；由f（m）=g（n）可化為；故；令，t≤1；則，則；故在（-∞，1]上是增函數，且y′=0時，t=0；故在t=0時有最小值，故n-m的最小值為1；考點：函數恒成立問題；全稱命題14、【解題分析】

本題可以先對函數進行化簡，然后通過最小正周期得出的值，最后得出零點?！绢}目詳解】因為最小正周期為所以所以當時函數的一個零點是。【題目點撥】本題的計算是要注意未知數的取值范圍以及題目給出的定義域。15、7.【解題分析】試題分析：由函數y=f(x)的圖象在點M(2,f(2))處的切線方程是y=x+4，則f'(2)=1，且f(2)=2+4=6，所以考點：導數的幾何意義．16、【解題分析】分析：根據等式左邊的特點，各項數字先遞增再遞減，分別寫出與的結論，即可得到答案.詳解：根據等式左邊的特點，各項數字先遞增再遞減，得時，左邊時，左邊比較兩式，等式左邊應添加的式子是故答案為點睛：本題主要考查數學歸納法，由的假設到證明時，等式左邊應添加的式子.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）440【解題分析】

（1）先計算出選取的人中，全都是高于歲的概率，然后用減去這個概率，求得至少有人的年齡低于歲的概率.（2）首先確定“銷售的10件商品中以手機支付為首選支付的商品件數”滿足二項分布，求得銷售額的表達式，然后利用期望計算公式，計算出銷售額的期望.【題目詳解】（1）設事件表示至少有1人的年齡低于45歲，則.（2）由題意知，以手機支付作為首選支付方式的概率為.設表示銷售的10件商品中以手機支付為首選支付的商品件數，則，設表示銷售額，則，所以銷售額的數學期望（元）.【題目點撥】本小題主要考查利用對立事件來計算古典概型概率問題，考查二項分布的識別和期望的計算，考查隨機變量線性運算后的數學期望的計算.18、(1){x∈R|x<－6或x>3}．(2)[－1,0]．【解題分析】分析：（1）當a＝5時，把要解的不等式等價轉化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求；（2）由題意可得B?A，區(qū)間B的端點在集合A中，由此求得a的取值范圍.詳解：(1)當a＝5時，f(x)＝|x＋5|＋|x－2|.①當x≥2時，由f(x)>9，得2x＋3>9，解得x>3；②當－5≤x<2時，由f(x)>9，得7>9，此時不等式無解；③當x<－5時，由f(x)>9，得－2x－3>9，解得x<－6.綜上所述，當a＝5時，關于x的不等式f(x)>9的解集為{x∈R|x<－6或x>3}．(2)∵A∪B＝A，∴B?A.又B＝{x||2x－1|≤3}＝{x∈R|－1≤x≤2},關于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集為A，∴當－1≤x≤2時，f(x)≤|x－4|恒成立．由f(x)≤|x－4|得|x＋a|≤2.∴當－1≤x≤2時，|x＋a|≤2恒成立，即－2－x≤a≤2－x恒成立．∴實數a的取值范圍為[－1,0]．點睛：本題主要考查絕對值不等式的解法，集合間的包含關系.19、（1）；（2）或【解題分析】

（1）求出集合或，由，列出不等式組，能求出實數a的取值范圍．（2）由，得到，由此能求出實數a的取值范圍．【題目詳解】解：（1）∵集合，或，，∴，解得∴實數a的取值范圍是（2）或，解得或．∴實數a的取值范圍是或【題目點撥】本題考查實數的取值范圍的求法，考查交集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．將集合的運算轉化成子集問題需注意，若則有，進而轉化為不等式范圍問題.20、（1）（2）【解題分析】

（1）利用即得解.（2）將直線的參數方程代入，利用直線參數方程的幾何意義弦長為，代入即得解.【題目詳解】解：（1）曲線的極坐標方程為又由于，曲線的直角坐標方程為，即，（2）將直線的方程代入，得：，整理得：，設方程的兩根分別為，則且弦長為=則，又，，因此.【題目點撥】本題考查了極坐標，參數方程綜合應用，考查了學生轉化劃歸，綜合分析，數學運算的能力，屬于中檔題.21、(1)(2)當元/千克時，商場每日銷售該商品所獲最大利潤【解題分析】

（1）銷售價格為元/千克時，每日可售出該商品千克代入函數解得.（2）求出利潤的表達式，求導，根據單調性計算函數的最值.【題目詳解】解：（1）當元/千克時，解得（2）設商場每日銷售該商品的利潤為，則，因為當時，，單調遞增，當時，，單調遞減所以當元/千克時