2024屆四川大學(xué)附中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)A、B為非空集合,定義集合A*B為如圖非陰影部分表示的集合，若則A*B=（）A．（0，2） B．[0,1]∪[2，+∞） C．（1,2] D．[0,1]∪（2，+∞）2．一個樣本數(shù)據(jù)從小到大的順序排列為，，，，，，，，其中，中位數(shù)為，則（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)4．將3本相同的小說，2本相同的詩集全部分給4名同學(xué)，每名同學(xué)至少1本，則不同的分法有（）A．24種 B．28種 C．32種 D．36種5．用反證法證明某命題時，對結(jié)論：“自然數(shù)中恰有一個偶數(shù)”正確的反設(shè)為（）A．中至少有兩個偶數(shù) B．中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)C．都是奇數(shù) D．都是偶數(shù)6．如圖分別是橢圓的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該左半橢圓的兩個交點，且是等邊三角形，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．7．在一組樣本數(shù)據(jù)為，，，（，，，，，不全相等）的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為（）A． B． C．1 D．-18．在5張撲克牌中有3張“紅心”和2張“方塊”，如果不放回地依次抽取2張牌，則在第一次抽到“紅心”的條件下，第二次抽到“紅心”的概率為A．625 B．310 C．39．命題：，的否定是（）A．， B．，C．， D．，10．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為，得2分的概率為，不得分的概率為（、、），已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2（不計其它得分情況），則的最大值為A． B． C． D．11．“”是“方程表示焦點在軸上的雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，，則______.14．在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則的最大值為__________．15．已知是方程的一個根，則________16．?dāng)?shù)列中，已知，50為第________項.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線上的每一個點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的，得到曲線，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的參數(shù)方程；(2)過原點且關(guān)于軸對稱的兩條直線與分別交曲線于和，且點在第一象限，當(dāng)四邊形周長最大時，求直線的普通方程.18．（12分）如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值．19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）化簡：；（2）已知：，求的表達式；（3），請用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.20．（12分）已知數(shù)列滿足（且），且，設(shè)，，數(shù)列滿足.（1）求證：是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.21．（12分）已知橢圓，若在，，，四個點中有3個在上．（1）求橢圓的方程；（2）若點與點是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩個點，且，求的取值范圍．22．（10分）設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）求函數(shù)的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】因為，所以A*B=[0,1]∪（2，+∞）.2、A【解題分析】

數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)個，則中位數(shù)為中間兩個數(shù)的平均數(shù).【題目詳解】因為數(shù)據(jù)有個，所以中位數(shù)為：，所以解得：，故選：A.【題目點撥】本題考查中位數(shù)的計算問題，難度較易.當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)時（從小到大排列），中位數(shù)等于中間兩個數(shù)的平均數(shù)；當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)時（從小到大排列），中位數(shù)等于中間位置的那個數(shù).3、A【解題分析】分析：討論函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.詳解：函數(shù)的定義域為，且即函數(shù)是奇函數(shù)，又在都是單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在R上是增函數(shù)．故選A.點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】試題分析：第一類：有一個人分到一本小說和一本詩集，這種情況下的分法有：先將一本小說和一本詩集分到一個人手上，有種分法，將剩余的本小說，本詩集分給剰余個同學(xué)，有種分法，那共有種；第二類：有一個人分到兩本詩集，這種情況下的分法有：先兩本詩集分到一個人手上，有種情況，將剩余的本小說分給剩余個人，只有一種分法，那共有：種，第三類：有一個人分到兩本小說，這種情況的分法有：先將兩本小說分到一個人手上，有種情況，再將剩余的兩本詩集和一本小說分給剩余的個人，有種分法，那共有：種，綜上所述：總共有：種分法，故選B.考點：1、分布計數(shù)乘法原理；2、分類計數(shù)加法原理.【方法點睛】本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.5、B【解題分析】

用反證法證明某命題時,應(yīng)先假設(shè)命題的反面成立，求出要證的命題的否定，即為所求.【題目詳解】解：用反證法證明某命題時,應(yīng)先假設(shè)命題的反面成立，及要證的命題的否定成立，而命題：“自然數(shù)中恰有一個偶數(shù)”的否定為“中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)”，故選：B.【題目點撥】本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，求一個命題的否定，屬于中檔題.6、D【解題分析】

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求得A點坐標(biāo)，代入橢圓方程，結(jié)合橢圓離心率的取值范圍，即可求得橢圓的離心率．【題目詳解】由題意知A，把A代入橢圓(a＞b＞0)，得，∴，整理，得，∴，∵0＜e＜1，∴，故選D.【題目點撥】本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．7、D【解題分析】

根據(jù)回歸直線方程可得相關(guān)系數(shù)．【題目詳解】根據(jù)回歸直線方程是yx+2，可得這兩個變量是負(fù)相關(guān)，故這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為負(fù)值，且所有樣本點（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直線上，則有|r|＝1，∴相關(guān)系數(shù)r＝﹣1．故選D．【題目點撥】本題考查了由回歸直線方程求相關(guān)系數(shù)，熟練掌握回歸直線方程的回歸系數(shù)的含義是解題的關(guān)鍵．8、D【解題分析】

因為是不放回抽樣，故在第一次抽到“紅心”時，剩下的4張撲克中有2張“紅心”和2張“方塊”，根據(jù)隨機事件的概率計算公式，即可計算第二次抽到“紅心”的概率．【題目詳解】因為是不放回抽樣，故在第一次抽到“紅心”的條件下，剩下的4張撲克中有2張“紅心”和2張“方塊”，第二次抽取時，所有的基本事件有4個，符合“抽到紅心”的基本事件有2個，則在第一次抽到“紅心”的條件下，第二次抽到“紅心”的概率為12故答案選D【題目點撥】本題給出無放回抽樣模型，著重考查抽樣方法的理解和隨機事件的概率等知識，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，即可進行選擇.【題目詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，故可得，的否定是，.故選：C.【題目點撥】本題考查全稱命題的否定，屬基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】3a+2b+0c=2即3a+2b=2,所以，因此．11、B【解題分析】

解得方程表示焦點在軸上的雙曲線的m的范圍即可解答.【題目詳解】表示焦點在軸上的雙曲線?,解得1<m<5,故選B.【題目點撥】本題考查雙曲線的方程，是基礎(chǔ)題，易錯點是不注意12、C【解題分析】

先求，再求【題目詳解】,故選C.【題目點撥】本題考查了集合的并集和補集，屬于簡單題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

直接利用余弦定理得到答案.【題目詳解】，，（舍去）故答案為2【題目點撥】本題考查了余弦定理，意在考查學(xué)生的計算能力.14、【解題分析】

∵圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圓C是以（4，0）為圓心，1為半徑的圓；又直線y=kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，∴只需圓C′：（x-4）2+y2=4與直線y=kx-2有公共點即可．設(shè)圓心C（4，0）到直線y=kx-2的距離為d，即3k2≤4k，∴0≤k≤，故可知參數(shù)k的最大值為.15、14【解題分析】

利用實系數(shù)的一元二次方程的虛根成對原理即可求出?！绢}目詳解】是關(guān)于方程的一個根，也是關(guān)于方程的一個根，，，解得，，故答案為：14【題目點撥】本題考查一元二次方程的虛根成對原理、韋達定理，屬于基礎(chǔ)題。16、4【解題分析】

方程變?yōu)?，設(shè)，解關(guān)于的二次方程可求得?！绢}目詳解】，則，即設(shè)，則，有或取得，，所以是第4項?！绢}目點撥】發(fā)現(xiàn)，原方程可通過換元，變?yōu)殛P(guān)于的一個二次方程。對于指數(shù)結(jié)構(gòu)，，等，都可以通過換元變?yōu)槎涡问窖芯?。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）(為參數(shù))；（2）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）首先求得的普通方程，由此可求得的參數(shù)方程；（Ⅱ）設(shè)四邊形的周長為，點，然后得到與的關(guān)系式，從而利用輔助角公式求得點的直角坐標(biāo)點，從而求得的普通方程．試題解析：（Ⅰ），（為參數(shù)）．（Ⅱ）設(shè)四邊形的周長為，設(shè)點，，且，，所以，當(dāng)（）時，取最大值，此時，所以，，，此時，，的普通方程為．點睛：將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消去其中的參數(shù)，此時要注意其中的(它們都是參數(shù)的函數(shù))的取值范圍，即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性．18、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）先證平面CMD,得,再證，進而完成證明．（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，然后判斷出的位置，求出平面和平面的法向量，進而求得平面與平面所成二面角的正弦值．【題目詳解】解：（1）由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因為BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因為M為上異于C，D的點,且DC為直徑，所以DM⊥CM.又BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.（2）以D為坐標(biāo)原點,的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz.當(dāng)三棱錐M?ABC體積最大時，M為的中點.由題設(shè)得，設(shè)是平面MAB的法向量,則即可取.是平面MCD的法向量,因此，，所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.【題目點撥】本題主要考查面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直，第二問主要考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角，考查數(shù)形結(jié)合，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行求解，考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）；（3）證明見解析.【解題分析】

（1）利用組合數(shù)公式化簡后可得出結(jié)果；（2）由（1）得出，令可得，化簡得出，代入函數(shù)的解析式，利用二項式定理進行化簡得出，于此可得出的表達式；（3）先由（2）中的結(jié)論，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)得出，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明出不等式成立即可.【題目詳解】（1）；（2）由（1）得，令可得，即，所以，，因此，；（3），所以，，即，①，②①②得，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.（i）當(dāng)時，則有，結(jié)論成立；（ii）假設(shè)當(dāng)時，，那么當(dāng)時，，所以當(dāng)時，結(jié)論也成立.根據(jù)（i）（ii）恒成立.【題目點撥】本題考查組合數(shù)的性質(zhì)與計算、以及二項式定理的逆向應(yīng)用，同時也考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，證明時要適當(dāng)利用放縮法進行證明，考查推理能力，綜合性較強，屬于難題.20、（1）證明見解析，；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)，構(gòu)造，即可證明是等比數(shù)列，進而可求出通項公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，求出，得到，再由錯位相減法，即可得出結(jié)果.【題目詳解】（1），，，是等比數(shù)列，其中首項是，公比為.，即.（2）（），，由（1）知，，，，（），，兩式相減得，.【題目點撥】本題主要考查由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列，求數(shù)列通項公式，以及數(shù)列的求和，熟記等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的通項公式，以及錯位相減法求數(shù)列的和即可，屬于常考題型.21、(1)．(2)【解題分析】

（1）由于橢圓是對稱圖形，得點，必在橢圓上，故，再分別討論在上時和在上時橢圓的方程，根據(jù)題意進行排除，最后求解出結(jié)果．（2）設(shè)，，利用向量的坐標(biāo)運算表達出的值，根據(jù)對稱性分類討論設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達定理，將轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，從而求解出的范圍．【題目詳解】解：（1）與關(guān)于軸對稱，由題意知在上，當(dāng)在上時，，，，當(dāng)在上時，，，∴與矛盾，∴橢圓的方程為．（2）設(shè)，，、關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，，，．當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得，，，由于可以取任何實數(shù)，故．當(dāng)與