我們首先引入的計(jì)算概率的數(shù)學(xué)模型，是在概率論的發(fā)展過(guò)程中最早出現(xiàn)的研究對(duì)象，通常稱為古典概型一、古典概型

假定某個(gè)試驗(yàn)有有限個(gè)可能的結(jié)果

假定從該試驗(yàn)的條件及實(shí)施方法上去分析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果例如ei，比任一其它結(jié)果，例如ej,更有優(yōu)勢(shì)，則我們只好認(rèn)為所有結(jié)果在試驗(yàn)中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會(huì)，即1/N的出現(xiàn)機(jī)會(huì).e1,e2,…，eN

,常常把這樣的試驗(yàn)結(jié)果稱為“等可能的”.e1,e2,…，eN試驗(yàn)結(jié)果你認(rèn)為哪個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性大？23479108615

例如，一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的球.將球編號(hào)為1－10.把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.

因?yàn)槌槿r(shí)這些球是完全平等的，我們沒(méi)有理由認(rèn)為10個(gè)球中的某一個(gè)會(huì)比另一個(gè)更容易取得.也就是說(shuō)，10個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)是相等的，均為1/10.1324567891010個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)都是1/1023479108615

我們用i表示取到i號(hào)球，i=1,2,…,10.稱這樣一類隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型.34791086152且每個(gè)樣本點(diǎn)(或者說(shuō)基本事件)出現(xiàn)的可能性相同.S={1,2,…,10},則該試驗(yàn)的樣本空間如i=2

稱這種試驗(yàn)為有窮等可能隨機(jī)試驗(yàn)

或古典概型.定義1

若隨機(jī)試驗(yàn)滿足下述兩個(gè)條件：

(1)它的樣本空間只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)；

(2)每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同.

二、古典概型中事件概率的計(jì)算記

A={摸到2號(hào)球}

P(A)=?

P(A)=1/10記

B={摸到紅球}

P(B)=?

P(B)=6/10223479108615132456這里實(shí)際上是從“比例”轉(zhuǎn)化為“概率”記B={摸到紅球}

P(B)=6/10靜態(tài)動(dòng)態(tài)

當(dāng)我們要求“摸到紅球”的概率時(shí)，只要找出它在靜態(tài)時(shí)相應(yīng)的比例.23479108615

這樣就把求概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問(wèn)題.定義2

設(shè)試驗(yàn)E是古典概型,其樣本空間S由n個(gè)樣本點(diǎn)組成,事件A由k個(gè)樣本點(diǎn)組成.則定義事件A的概率為：稱此概率為古典概率(ClassicalProbabilities).這種確定概率的方法稱為古典方法.

A包含的樣本點(diǎn)數(shù)

P(A)＝k/n＝

S中的樣本點(diǎn)總數(shù)排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具.請(qǐng)回答：1、怎樣的一類隨機(jī)試驗(yàn)稱為古典概型？2、如何計(jì)算古典概型中事件的概率？為什么這樣計(jì)算？下面我們就來(lái)介紹如何計(jì)算古典概率.基本計(jì)數(shù)原理

這里我們先簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)一下計(jì)算古典概率所用到的1.加法原理設(shè)完成一件事有m種方式，第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法,…；第m種方式有nm種方法,無(wú)論通過(guò)哪種方法都可以完成這件事，則完成這件事總共有n1+n2+…+nm

種方法.例如，某人要從甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火車,也可以乘輪船.火車有兩班輪船有三班乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法?3

+2

種方法回答是基本計(jì)數(shù)原理則完成這件事共有種不同的方法.2.乘法原理設(shè)完成一件事有m個(gè)步驟，第一個(gè)步驟有n1種方法，第二個(gè)步驟有n2種方法,…；第m個(gè)步驟有nm種方法,必須通過(guò)每一步驟,才算完成這件事，例如，若一個(gè)男人有三頂帽子和兩件背心，問(wèn)他可以有多少種打扮？可以有種打扮

加法原理和乘法原理是兩個(gè)很重要計(jì)數(shù)原理，它們不但可以直接解決不少具體問(wèn)題，同時(shí)也是推導(dǎo)下面常用排列組合公式的基礎(chǔ).三、排列、組合的幾個(gè)簡(jiǎn)單公式排列和組合的區(qū)別：順序不同是不同的排列3把不同的鑰匙的6種排列而組合不管順序從3個(gè)元素取出2個(gè)的排列總數(shù)有6種從3個(gè)元素取出2個(gè)的組合總數(shù)有3種1、排列:

從n個(gè)不同元素取k個(gè)（1kn)的不同排列總數(shù)為：k=n時(shí)稱全排列排列、組合的幾個(gè)簡(jiǎn)單公式ABDC例如：n=4,k=3第1次選取第2次選取第3次選取BDCBCDBDC……從n個(gè)不同元素取k個(gè)（允許重復(fù)）（1kn)的不同排列總數(shù)為：例如：從裝有4張卡片的盒中有放回地摸取3張3241n=4,k=3123第1張4123第2張4123第3張4共有4.4.4=43種可能取法2、組合:從n個(gè)不同元素取

k個(gè)（1kn)的不同組合總數(shù)為：常記作，稱為組合系數(shù)。你能證明嗎？組合系數(shù)又常稱為二項(xiàng)式系數(shù)，因?yàn)樗霈F(xiàn)在下面的二項(xiàng)式展開的公式中：3、組合系數(shù)與二項(xiàng)式展開的關(guān)系令

a=-1,b=1利用該公式，可得到許多有用的組合公式：令

a=b=1,得4、n個(gè)不同元素分為k組，各組元素?cái)?shù)目分別為r1,r2,…,rk的分法總數(shù)為r1個(gè)元素r2個(gè)元素rk個(gè)元素…n個(gè)元素因?yàn)檎?qǐng)回答：對(duì)排列組合，我們介紹了幾個(gè)計(jì)算公式？排列：選排列，全排列，下面我們就用這些公式來(lái)計(jì)算.分組分配.

組合；

允許重復(fù)的排列;四、古典概率計(jì)算舉例例1

把C、C、E、E、I、N、S七個(gè)字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設(shè)排列結(jié)果恰好拼成一個(gè)英文單詞：CISNCEE問(wèn)：在多大程度上認(rèn)為這樣的結(jié)果是奇怪的，甚至懷疑是一種魔術(shù)？拼成英文單詞SCIENCE

的情況數(shù)為故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為：

這個(gè)概率很小，這里算出的概率有如下的實(shí)際意義：如果多次重復(fù)這一抽卡試驗(yàn)，則我們所關(guān)心的事件在1260次試驗(yàn)中大約出現(xiàn)1次.解：七個(gè)字母的排列總數(shù)為7！

這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗(yàn)中就發(fā)生了，人們有比較大的把握懷疑這是魔術(shù).

具體地說(shuō)，可以99.9%的把握懷疑這是魔術(shù).解：=0.3024允許重復(fù)的排列問(wèn)：錯(cuò)在何處？例2

某城市的電話號(hào)碼由5個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可能是從0-9這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，求電話號(hào)碼由五個(gè)不同數(shù)字組成的概率.計(jì)算樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)和所求事件所含樣本點(diǎn)數(shù)計(jì)數(shù)方法不同.從10個(gè)不同數(shù)字中取5個(gè)的排列例3

設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.這是一種無(wú)放回抽樣.解：令B={恰有k件次品}P(B)=？次品正品……M件次品N-M件正品解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法總數(shù)為而出現(xiàn)事件A的分法數(shù)為n!,故例4

n雙相異的鞋共2n只，隨機(jī)地分成n堆，每堆2只.問(wèn):“各堆都自成一雙鞋”(事件A)的概率是多少？例5

假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64個(gè)人中至少有2人生日相同的概率.

64個(gè)人生日各不相同的概率為故64個(gè)人中至少有2人生日相同的概率為解課堂練習(xí)1o

電話號(hào)碼問(wèn)題在7位數(shù)的電話號(hào)碼中,第一位不能為0，求數(shù)字0出現(xiàn)3次的概率.

2o骰子問(wèn)題擲3顆均勻骰子,求點(diǎn)數(shù)之和為4的概率.“等可能性”是一種假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)實(shí)際情況去判斷是否可以認(rèn)為各基本事件或樣本點(diǎn)是等可能的.1、在應(yīng)用古典概型時(shí)必須注意“等可能性”的條件.需要注意的是：

在許多場(chǎng)合，由對(duì)稱性和均衡性，我們就可以認(rèn)為基本事件是等可能的并在此基礎(chǔ)上計(jì)算事件的概率.2、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏.例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？下面的算法錯(cuò)在哪里？錯(cuò)在同樣的“4只配成兩雙”算了兩次.97321456810從5雙中取1雙，從剩下的8只中取2只例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？正確的答案是：請(qǐng)思考：還有其它解法嗎？2、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏.3、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：

有n個(gè)人，每個(gè)人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在

N間房的每一間中，求指定的n間房中各有一人的概率.人房3、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：

有n個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概率為1/365.求這n(n≤365)個(gè)人的生日互不相同的概率.人任一天3、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：

有n個(gè)旅客，乘火車途經(jīng)N個(gè)車站，設(shè)每個(gè)人在每站下車的概率為1/N(N≥n)，求指定的n個(gè)站各有一人下車的概率.旅客車站3、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：

某城市每周發(fā)生7次車禍，假設(shè)每天發(fā)生車禍的概率相同.求每天恰好發(fā)生一次車禍的概率.車禍天你還可以舉出其它例子，留作課下練習(xí).2o

生日問(wèn)題某班有20個(gè)學(xué)生都是同一年出生的,求有10個(gè)學(xué)生生日是1月1日,另外10個(gè)學(xué)生生日是12月31日的概率.

課堂練習(xí)1o分房問(wèn)題將張三、李四、王五3人等可能地分配到3間房中去,試求每個(gè)房間恰有1人的概率.

這一講，我們介紹了古典概型.古典概型雖然比較簡(jiǎn)單，但它有多方面的應(yīng)用.是常見的幾種模型.箱中摸球分球入箱隨機(jī)取數(shù)分組分配課下可通過(guò)作業(yè)進(jìn)一步掌握.

早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識(shí)到，只考慮有限個(gè)等可能樣本點(diǎn)的古典方法是不夠的.

把等可能推廣到無(wú)限個(gè)樣本點(diǎn)場(chǎng)合,人們引入了幾何概型.由此形成了確定概率的另一方法——幾何方法.幾何方法的要點(diǎn)是：1、設(shè)樣本空間S是平面上某個(gè)區(qū)域，它的面積記為μ(S);2、向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，這里“隨機(jī)投擲一點(diǎn)”的含義是指該點(diǎn)落入S內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān).3、設(shè)事件A是S的某個(gè)區(qū)域，它的面積為μ(A)，則向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在區(qū)域A的概率為（*）4、假如樣本空間S可用一線段，或空間中某個(gè)區(qū)域表示，并且向S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)的含義如前述，則事件A的概率仍可用（*）式確定，只不過(guò)把

理解為長(zhǎng)度或體積即可.蒲豐投針試驗(yàn)

法國(guó)自然哲學(xué)家蒲豐先生經(jīng)常搞點(diǎn)有趣的試驗(yàn)給朋友們解悶。數(shù)學(xué)家蒲豐(Buffon，GeorgesLouis）(1707-1788)1777年的一天，蒲豐先生又在家里為賓客們做一次有趣的試驗(yàn)，他先在一張白紙上畫滿了一條條距離相等的平行線。然后，他抓出一大把小針，每根小針的長(zhǎng)度都是平行線之間距離的一半。蒲豐說(shuō)：“請(qǐng)諸位把這些小針一根一根地往紙上隨便扔吧?！笨腿藗兒闷娴匕研♂樢桓桓赝埳蟻y扔。最后蒲豐宣布結(jié)果：大家共投針2212次，其中與直線相交的就有704次。用704去除2212，得數(shù)為3.142。他笑了笑說(shuō)：“這就是圓周率π的近似值。”這時(shí)，眾賓客嘩然：“圓周率π?這根本和圓沾不上邊呀?”蒲豐先生卻好像看透了眾人的心思，斬釘截鐵地說(shuō)：“諸位不用懷疑，這的確就是圓周率π的近似值。你們看，連圓規(guī)也不要，就可以求出π的值來(lái)。只要你有耐心，投擲的次數(shù)越多，求出的圓周率就越精確。”這就是數(shù)學(xué)史上有名的“投針試驗(yàn)”。下面我們來(lái)看蒲豐先生是怎樣求出的：蒲豐投針試驗(yàn)例6

1777年,法國(guó)科學(xué)家蒲豐(Buffon)提出了投針試驗(yàn)問(wèn)題.平面上畫有等距離為a(a>0)的一些平行直線,現(xiàn)向此平面任意投擲一根長(zhǎng)為b(b<a)的針,試求針與某一平行直線相交的概率.解由投擲的任意性可知,這是一個(gè)幾何概型問(wèn)題.蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出利用蒙特卡羅(MonteCarlo)法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬.

實(shí)際上，許多隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果并不都是有限個(gè)，而且，即使是有限個(gè)，也未必是等可能的.

而幾何方法的正確運(yùn)用，有賴于“等可能性”的正確規(guī)定.

考慮用一個(gè)天平稱物時(shí)的誤差，這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果就有無(wú)限多個(gè)，而且這些結(jié)果也不具有前述幾何概率定義中的“等可能性”.

那么，如何知道誤差落在某個(gè)范圍內(nèi)的概率呢？

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)了下一講后，你就能回答了.

再如，一射手向一目標(biāo)射擊，“中靶”與“脫靶”一般不是等可能的，那么，又如何知道他中靶的概率呢？

那么

兩人會(huì)面的充要條件為例