《數(shù)值分析復(fù)習(xí)》ppt課件2023REPORTING緒論插值法函數(shù)逼近與擬合數(shù)值積分與微分常微分方程的數(shù)值解法線性方程組的數(shù)值解法目錄CATALOGUE2023PART01緒論2023REPORTING數(shù)值分析的定義與重要性數(shù)值分析的定義數(shù)值分析是一門研究數(shù)值計(jì)算方法及其應(yīng)用的學(xué)科，旨在解決各種數(shù)學(xué)問題，如微積分、線性代數(shù)、微分方程等。數(shù)值分析的重要性在實(shí)際應(yīng)用中，許多數(shù)學(xué)問題無法得到精確解，而數(shù)值分析提供了近似解的方法，對(duì)于科學(xué)研究、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域具有重要意義。數(shù)值分析的背景隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)值計(jì)算方法的應(yīng)用越來越廣泛，數(shù)值分析成為解決實(shí)際問題的重要工具。數(shù)值分析的發(fā)展數(shù)值分析經(jīng)歷了從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從低效到高效的演變過程，不斷有新的數(shù)值計(jì)算方法被提出和改進(jìn)。數(shù)值分析的背景與發(fā)展數(shù)值近似數(shù)值近似是數(shù)值分析的核心概念，指通過計(jì)算得到近似解代替精確解的方法。誤差控制誤差控制是數(shù)值分析的重要手段，通過誤差估計(jì)和修正，提高近似解的精度。迭代法迭代法是數(shù)值分析中常用的方法之一，通過不斷迭代逼近精確解。數(shù)值分析的基本概念030201PART02插值法2023REPORTING插值法是一種通過已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，估計(jì)未知數(shù)據(jù)點(diǎn)的方法。插值法定義插值法基于最小二乘原理，通過已知數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，使得該函數(shù)在已知數(shù)據(jù)點(diǎn)上的取值與實(shí)際數(shù)據(jù)一致，從而對(duì)未知數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行估計(jì)。插值法原理插值法廣泛應(yīng)用于科學(xué)計(jì)算、工程技術(shù)和金融等領(lǐng)域，用于數(shù)據(jù)擬合、預(yù)測(cè)和估計(jì)等。插值法的應(yīng)用插值法的定義與原理拉格朗日插值法的原理拉格朗日插值法基于拉格朗日插值基函數(shù)，通過構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，使得該函數(shù)在已知數(shù)據(jù)點(diǎn)上的取值與實(shí)際數(shù)據(jù)一致。拉格朗日插值法的步驟首先選取適當(dāng)?shù)牟逯祷瘮?shù)，然后根據(jù)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)確定基函數(shù)的系數(shù)，最后構(gòu)造出多項(xiàng)式函數(shù)。拉格朗日插值法的定義拉格朗日插值法是一種通過已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的方法。拉格朗日插值法牛頓插值法的定義牛頓插值法是一種通過已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的方法。牛頓插值法的原理牛頓插值法基于差商的性質(zhì)，通過構(gòu)造一個(gè)差分方程組，求解得到多項(xiàng)式函數(shù)的系數(shù)。牛頓插值法的步驟首先計(jì)算差商，然后根據(jù)差商構(gòu)造差分方程組，最后求解差分方程組得到多項(xiàng)式函數(shù)的系數(shù)。牛頓插值法差商的定義差商是指在給定自變量的一組取值下，函數(shù)值的差與其對(duì)應(yīng)的自變量的差的比值。差商的性質(zhì)差商具有線性性質(zhì)、差商的差商等于該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等性質(zhì)。差分的定義差分是指兩個(gè)相鄰自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的差。差分的性質(zhì)差分具有線性性質(zhì)、差分的差分等于該點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)等性質(zhì)。差商與差分PART03函數(shù)逼近與擬合2023REPORTING函數(shù)逼近用已知的簡(jiǎn)單函數(shù)來近似表示未知的復(fù)雜函數(shù)。逼近方法基于代數(shù)多項(xiàng)式、三角多項(xiàng)式、樣條函數(shù)等。逼近原理通過選取適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)單函數(shù)，使得該函數(shù)在某種度量下的誤差最小。函數(shù)逼近與擬合的定義與原理03非線性最小二乘法適用于非線性回歸問題，通過迭代或優(yōu)化算法來找到最佳參數(shù)。01最小二乘法通過最小化誤差的平方和來尋找最佳函數(shù)匹配。02線性最小二乘法適用于線性回歸問題，通過求解線性方程組來找到最佳參數(shù)。最小二乘法擬合通過迭代更新參數(shù)，使得誤差函數(shù)逐漸減小，直至達(dá)到局部最小值。梯度下降法利用泰勒級(jí)數(shù)展開，通過求解二階導(dǎo)數(shù)矩陣來找到最佳參數(shù)。牛頓法改進(jìn)牛頓法，通過迭代更新二階導(dǎo)數(shù)矩陣來近似牛頓法的二階導(dǎo)數(shù)矩陣。擬牛頓法曲線擬合的參數(shù)優(yōu)化方法PART04數(shù)值積分與微分2023REPORTING數(shù)值積分的定義與原理數(shù)值積分是一種通過近似方法計(jì)算定積分的近似值的方法。數(shù)值積分原理通過將積分區(qū)間劃分為若干小區(qū)間，然后在每個(gè)小區(qū)間上選擇一個(gè)代表點(diǎn)，并計(jì)算這些代表點(diǎn)上函數(shù)的值的加權(quán)和，得到定積分的近似值。數(shù)值積分方法常見的數(shù)值積分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。數(shù)值積分定義牛頓-萊布尼茲公式定義01牛頓-萊布尼茲公式是微積分中的一個(gè)基本公式，用于計(jì)算定積分的值。牛頓-萊布尼茲公式形式02如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則定積分∫f(x)dx=F(b)-F(a)。牛頓-萊布尼茲公式的應(yīng)用03牛頓-萊布尼茲公式是計(jì)算定積分的常用方法之一，尤其適用于已知原函數(shù)的積分。牛頓-萊布尼茲公式復(fù)化求積法定義復(fù)化求積法是一種通過將積分區(qū)間劃分為若干小區(qū)間，并在每個(gè)小區(qū)間上應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式來計(jì)算定積分的近似值的方法。復(fù)化求積法步驟首先將積分區(qū)間劃分為n個(gè)等長(zhǎng)的子區(qū)間，然后在每個(gè)子區(qū)間上選擇一個(gè)代表點(diǎn)，并應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算這些代表點(diǎn)上函數(shù)的值的加權(quán)和，得到定積分的近似值。復(fù)化求積法的收斂性當(dāng)劃分的小區(qū)間數(shù)目趨于無窮時(shí)，復(fù)化求積法的近似值將收斂于定積分的真實(shí)值。復(fù)化求積法數(shù)值微分定義數(shù)值微分是一種通過近似方法計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的近似值的方法。數(shù)值微分原理通過在函數(shù)圖像上取兩點(diǎn)，并計(jì)算這兩點(diǎn)之間函數(shù)的值的平均變化率，得到函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的近似值。數(shù)值微分方法常見的數(shù)值微分方法包括中點(diǎn)法、差分法等。數(shù)值微分的方法PART05常微分方程的數(shù)值解法2023REPORTING數(shù)值解法是求解常微分方程近似解的方法，通過離散化微分方程，用差分代替微分，將連續(xù)問題轉(zhuǎn)化為離散問題，從而得到數(shù)值解。定義數(shù)值解法基于有限差分近似原理，通過構(gòu)造離散點(diǎn)上的數(shù)值近似解，逼近原微分方程的真解。原理常微分方程的數(shù)值解法的定義與原理VS歐拉方法是常微分方程數(shù)值解法中的一種簡(jiǎn)單方法，通過已知初值和步長(zhǎng)，逐步逼近微分方程的解。原理歐拉方法基于線性化微分方程的思想，將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程，通過迭代求解。定義歐拉方法龍格-庫塔方法龍格-庫塔方法是常微分方程數(shù)值解法中的一種常用方法，通過已知初值和步長(zhǎng)，逐步逼近微分方程的解。定義龍格-庫塔方法基于泰勒級(jí)數(shù)展開的思想，將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程，通過迭代求解。原理步長(zhǎng)是離散化過程中相鄰兩個(gè)離散點(diǎn)之間的距離，步長(zhǎng)的大小直接影響數(shù)值解的精度和穩(wěn)定性。誤差控制是數(shù)值解法中的重要概念，通過控制誤差的大小來保證數(shù)值解的精度和穩(wěn)定性。常用的誤差控制方法有后驗(yàn)誤差估計(jì)和步長(zhǎng)自適應(yīng)調(diào)整等。步長(zhǎng)誤差控制步長(zhǎng)與誤差控制PART06線性方程組的數(shù)值解法2023REPORTING定義線性方程組的數(shù)值解法是指通過數(shù)值計(jì)算方法求解線性方程組的方法。原理基于數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的基本原理，通過迭代或直接方法求解線性方程組，得到近似解。線性方程組的數(shù)值解法的定義與原理概述高斯消元法是一種直接求解線性方程組的方法，通過消元和回代過程求解未知數(shù)。適用范圍適用于系數(shù)矩陣為方陣且主元存在的情況。步驟將線性方程組轉(zhuǎn)化為上三角矩陣，然后通過回代過程求解未知數(shù)。高斯消元法概述迭代法是一種求解線性方程組的迭代過程，通過不斷迭代逼近解。雅可比迭代法利用已知的迭代初值和迭代公式，不斷迭代求解未知數(shù)。高斯-賽德爾迭代法利用已知的迭代初值和迭代公式，通過逐次更新解向量逼近解。適用范圍適用于系數(shù)矩陣為稀疏矩陣或系數(shù)矩陣難以直接計(jì)算的情況。迭代法（雅可比、高斯-