積分5-1定積分的概念與基本性質(zhì)2024-01-26匯報(bào)人：AAcontents目錄定積分的基本概念定積分的基本性質(zhì)定積分的計(jì)算定積分的應(yīng)用定積分的拓展與延伸CHAPTER定積分的基本概念01

定積分的定義定積分是函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的積分，其結(jié)果是一個(gè)數(shù)值。定積分的表示方法：$int_{a}^f(x)dx$，其中$a$和$b$分別為積分的下限和上限，$f(x)$為被積函數(shù)。定積分的計(jì)算可以理解為求曲邊梯形的面積。定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積。當(dāng)$f(x)leq0$時(shí)，定積分$int_{a}^f(x)dx$表示上述曲邊梯形的面積的負(fù)值。當(dāng)$f(x)geq0$時(shí)，定積分$int_{a}^f(x)dx$表示由曲線$y=f(x)$，直線$x=a$，$x=b$及$x$軸所圍成的曲邊梯形的面積。當(dāng)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上有正有負(fù)時(shí)，定積分$int_{a}^f(x)dx$表示$x$軸上方的面積減去$x$軸下方的面積。定積分的幾何意義定積分還可以用來(lái)計(jì)算液體的壓力、物體的質(zhì)心等物理量。定積分在物理中可以用來(lái)計(jì)算變力沿直線所做的功。如果物體在變力$F(x)$的作用下沿直線從點(diǎn)$A$移動(dòng)到點(diǎn)$B$，且力$F(x)$的大小與物體移動(dòng)的距離$x$有關(guān)，則變力沿直線所做的功可以用定積分$int_{A}^{B}F(x)dx$來(lái)表示。定積分的物理意義CHAPTER定積分的基本性質(zhì)02如果函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$和$[b,c]$上都可積，那么$f(x)$在區(qū)間$[a,c]$上也可積，且$int_{a}^{c}f(x)dx=int_{a}^f(x)dx+int_^{c}f(x)dx$。這一性質(zhì)表明，定積分具有區(qū)間可加性，即可以將一個(gè)較大的積分區(qū)間分割成若干較小的子區(qū)間，然后分別對(duì)每個(gè)子區(qū)間進(jìn)行積分，最后將結(jié)果相加得到原積分的值。積分區(qū)間可加性如果在區(qū)間$[a,b]$上，函數(shù)$f(x)leqg(x)$，那么$int_{a}^f(x)dxleqint_{a}^g(x)dx$。這一性質(zhì)表明，被積函數(shù)的大小關(guān)系決定了其定積分值的大小關(guān)系。如果在一個(gè)區(qū)間上，一個(gè)函數(shù)始終小于等于另一個(gè)函數(shù)，那么前者的定積分值也一定小于等于后者的定積分值。積分不等式性質(zhì)如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，那么在$(a,b)$內(nèi)至少存在一點(diǎn)$xi$，使得$int_{a}^f(x)dx=f(xi)(b-a)$。積分中值定理揭示了定積分與被積函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。它表明，在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)的定積分值等于該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)處的函數(shù)值與區(qū)間長(zhǎng)度的乘積。積分中值定理CHAPTER定積分的計(jì)算03∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)。具體表達(dá)式為找到被積函數(shù)的原函數(shù)、在原函數(shù)的積分區(qū)間上求值并相減。使用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算定積分的步驟包括牛頓-萊布尼茲公式換元積分法是一種通過(guò)變量代換簡(jiǎn)化定積分計(jì)算的方法。具體步驟包括：選擇合適的代換變量，將原積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于新變量的定積分，然后利用基本積分公式或其他方法計(jì)算新變量的定積分。常見(jiàn)的代換變量包括三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，需要根據(jù)被積函數(shù)的性質(zhì)選擇合適的代換變量。換元積分法分部積分法是一種通過(guò)將被積函數(shù)拆分為兩個(gè)函數(shù)的乘積，然后利用乘積的求導(dǎo)法則和積分法則進(jìn)行計(jì)算的方法。具體步驟包括：將被積函數(shù)拆分為兩個(gè)函數(shù)的乘積，對(duì)其中一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)另一個(gè)函數(shù)求積分，然后將求導(dǎo)結(jié)果和求積分結(jié)果相乘并加上常數(shù)C。分部積分法適用于被積函數(shù)可以拆分為兩個(gè)函數(shù)乘積的情況，需要根據(jù)具體情況選擇合適的拆分方式。分部積分法CHAPTER定積分的應(yīng)用04利用定積分可以方便地計(jì)算規(guī)則圖形（如矩形、三角形、梯形等）的面積。規(guī)則圖形面積對(duì)于不規(guī)則圖形，可以通過(guò)將其劃分為多個(gè)小規(guī)則圖形，然后利用定積分分別計(jì)算每個(gè)小圖形的面積，最后求和得到總面積。不規(guī)則圖形面積定積分還可以用于計(jì)算由曲線和坐標(biāo)軸所圍成的面積，例如拋物線、橢圓等。曲線所圍面積面積的計(jì)算通過(guò)定積分可以計(jì)算由平面圖形繞某一直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積，例如圓柱、圓錐、圓臺(tái)等。旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)于某些立體圖形，可以通過(guò)計(jì)算其截面面積和截面間距離的乘積，然后利用定積分求和得到總體積。截面體積體積的計(jì)算利用定積分可以計(jì)算平面曲線的弧長(zhǎng)，例如圓、橢圓、拋物線等。對(duì)于空間曲線，可以通過(guò)將其投影到某一平面上，然后利用定積分計(jì)算該投影曲線的弧長(zhǎng)，從而得到空間曲線的弧長(zhǎng)?；￠L(zhǎng)的計(jì)算空間曲線弧長(zhǎng)平面曲線弧長(zhǎng)CHAPTER定積分的拓展與延伸05無(wú)窮限反常積分被積函數(shù)在積分區(qū)間上的上限或下限為無(wú)窮大。無(wú)界函數(shù)反常積分（瑕積分）被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)存在無(wú)界點(diǎn)（瑕點(diǎn)）。反常積分的概念無(wú)窮限反常積分的計(jì)算通過(guò)變量替換將無(wú)窮限反常積分轉(zhuǎn)化為普通定積分進(jìn)行計(jì)算。要點(diǎn)一要點(diǎn)二無(wú)界函數(shù)反常積分的計(jì)算通過(guò)分割積分區(qū)間，將無(wú)界函數(shù)反常積分轉(zhuǎn)化為普通定積分進(jìn)行計(jì)算。反常積分的計(jì)算如果反常積分的