2014年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.1．（5分）設(shè)集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，則M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2} 2．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1=2+i，則z1z2=（）A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i 3．（5分）設(shè)向量，滿足|+|=，|﹣|=，則?=（）A．1 B．2 C．3 D．5 4．（5分）鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC=，則AC=（）A．5 B． C．2 D．1 5．（5分）某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 6．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1（表示1cm），圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（）A． B． C． D． 7．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x，t均為2，則輸出的S=（）A．4 B．5 C．6 D．7 8．（5分）設(shè)曲線y=ax﹣ln（x+1）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y=2x，則a=（）A．0 B．1 C．2 D．3 9．（5分）設(shè)x，y滿足約束條件，則z=2x﹣y的最大值為（）A．10 B．8 C．3 D．2 10．（5分）設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為（）A． B． C． D． 11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BM與AN所成角的余弦值為（）A． B． C． D． 12．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=sin，若存在f（x）的極值點(diǎn)x0滿足x02+[f（x0）]2＜m2，則m的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.（第13題~第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22題~第24題為選考題，考生根據(jù)要求作答）13．（5分）（x+a）10的展開式中，x7的系數(shù)為15，則a=．14．（5分）函數(shù)f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值為．15．（5分）已知偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，則x的取值范圍是．16．（5分）設(shè)點(diǎn)M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或驗(yàn)算步驟.17．（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1．（Ⅰ）證明{an+}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：++…+＜．18．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）設(shè)二面角D﹣AE﹣C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E﹣ACD的體積．19．（12分）某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如表：年份2007200820092010201120122013年份代號(hào)t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：=，=﹣．20．（12分）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N．（1）若直線MN的斜率為，求C的離心率；（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（2x）﹣4bf（x），當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估計(jì)ln2的近似值（精確到0.001）．請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào).【選修41：幾何證明選講】22．（10分）如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與⊙O相交于點(diǎn)B，C，PC=2PA，D為PC的中點(diǎn)，AD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，證明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD?DE=2PB2．【選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】23．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的參數(shù)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)D在半圓C上，半圓C在D處的切線與直線l：y=x+2垂直，根據(jù)（1）中你得到的參數(shù)方程，求直線CD的傾斜角及D的坐標(biāo)．六、解答題（共1小題，滿分0分）24．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）證明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范圍．2014年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.1．（5分）設(shè)集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，則M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2} 【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【專題】5J：集合．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)．2．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1=2+i，則z1z2=（）A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i 【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出z2，即可得到結(jié)論．【解答】解：z1=2+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），∵復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，∴（2，1）關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，1），則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，z2=﹣2+i，則z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，利用復(fù)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．3．（5分）設(shè)向量，滿足|+|=，|﹣|=，則?=（）A．1 B．2 C．3 D．5 【考點(diǎn)】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】將等式進(jìn)行平方，相加即可得到結(jié)論．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分別平方得+2?+=10，﹣2?+=6，兩式相減得4?=10﹣6=4，即?=1，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的基本運(yùn)算，利用平方進(jìn)行相加是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．4．（5分）鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC=，則AC=（）A．5 B． C．2 D．1 【考點(diǎn)】HR：余弦定理．【專題】56：三角函數(shù)的求值．【分析】利用三角形面積公式列出關(guān)系式，將已知面積，AB，BC的值代入求出sinB的值，分兩種情況考慮：當(dāng)B為鈍角時(shí)；當(dāng)B為銳角時(shí)，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵鈍角三角形ABC的面積是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，當(dāng)B為鈍角時(shí)，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB=1+2+2=5，即AC=，當(dāng)B為銳角時(shí)，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此時(shí)AB2+AC2=BC2，即△ABC為直角三角形，不合題意，舍去，則AC=．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．5．（5分）某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 【考點(diǎn)】C8：相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】設(shè)隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為p，則由題意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．【解答】解：設(shè)隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為p，則由題意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1（表示1cm），圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】由三視圖判斷幾何體的形狀，通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可．【解答】解：幾何體是由兩個(gè)圓柱組成，一個(gè)是底面半徑為3高為2，一個(gè)是底面半徑為2，高為4，組合體體積是：32π?2+22π?4=34π．底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯的體積為：32π×6=54π切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為：=．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖與幾何體的關(guān)系，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．7．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x，t均為2，則輸出的S=（）A．4 B．5 C．6 D．7 【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【專題】5K：算法和程序框圖．【分析】根據(jù)條件，依次運(yùn)行程序，即可得到結(jié)論．【解答】解：若x=t=2，則第一次循環(huán)，1≤2成立，則M=，S=2+3=5，k=2，第二次循環(huán)，2≤2成立，則M=，S=2+5=7，k=3，此時(shí)3≤2不成立，輸出S=7，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查程序框圖的識(shí)別和判斷，比較基礎(chǔ)．8．（5分）設(shè)曲線y=ax﹣ln（x+1）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y=2x，則a=（）A．0 B．1 C．2 D．3 【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】52：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即f′（x0）表示曲線f（x）在x=x0處的切線斜率，再代入計(jì)算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)在高考中是經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容，一般只要求導(dǎo)正確，就能夠求解該題．在高考中，導(dǎo)數(shù)作為一個(gè)非常好的研究工具，經(jīng)常會(huì)被考查到，特別是用導(dǎo)數(shù)研究最值，證明不等式，研究零點(diǎn)問題等等經(jīng)常以大題的形式出現(xiàn)，學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)要引起重視．9．（5分）設(shè)x，y滿足約束條件，則z=2x﹣y的最大值為（）A．10 B．8 C．3 D．2 【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合確定z的最大值．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直線y=2x﹣z，由圖象可知當(dāng)直線y=2x﹣z經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線y=2x﹣z的截距最小，此時(shí)z最大．由，解得，即C（5，2）代入目標(biāo)函數(shù)z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．10．（5分）設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】K8：拋物線的性質(zhì)．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，由直線的傾斜角求出斜率，寫出過A，B兩點(diǎn)的直線方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的和與積，把△OAB的面積表示為兩個(gè)小三角形AOF與BOF的面積和得答案．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，則F（，0）．∴過A，B的直線方程為y=（x﹣），即x=y+．聯(lián)立，得4y2﹣12y﹣9=0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=3，y1y2=﹣．∴S△OAB=S△OAF+S△OFB=×|y1﹣y2|==×=．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，涉及直線和圓錐曲線關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線和圓錐曲線，然后利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系解題，是中檔題．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BM與AN所成角的余弦值為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角．【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】畫出圖形，找出BM與AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM與AN所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，如圖：BC的中點(diǎn)為O，連結(jié)ON，，則MN0B是平行四邊形，BM與AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，設(shè)BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線對(duì)稱角的求法，作出異面直線所成角的平面角是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查余弦定理的應(yīng)用．12．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=sin，若存在f（x）的極值點(diǎn)x0滿足x02+[f（x0）]2＜m2，則m的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 【考點(diǎn)】H4：正弦函數(shù)的定義域和值域．【專題】57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由題意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈Z，再由題意可得當(dāng)m2最小時(shí)，|x0|最小，而|x0|最小為|m|，可得m2＞m2+3，由此求得m的取值范圍．【解答】解：由題意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得當(dāng)m2最小時(shí)，|x0|最小，而|x0|最小為|m|，∴m2＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)的定義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.（第13題~第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22題~第24題為選考題，考生根據(jù)要求作答）13．（5分）（x+a）10的展開式中，x7的系數(shù)為15，則a=．【考點(diǎn)】DA：二項(xiàng)式定理．【專題】5P：二項(xiàng)式定理．【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于3，求出r的值，即可求得x7的系數(shù)，再根據(jù)x7的系數(shù)為15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=?x10﹣r?ar，令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系數(shù)為a3?=120a3=15，∴a=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．14．（5分）函數(shù)f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值為1．【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的三角函數(shù)；HW：三角函數(shù)的最值．【專題】56：三角函數(shù)的求值．【分析】由條件利用兩角和差的正弦公式、余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f（x）=sinx，從而求得函數(shù)的最大值．【解答】解：函數(shù)f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函數(shù)f（x）的最大值為1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角和差的正弦公式、余弦公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的最值，屬于中檔題．15．（5分）已知偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，則x的取值范圍是（﹣1，3）．【考點(diǎn)】3N：奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到結(jié)論．【解答】解：∵偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等價(jià)為f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案為：（﹣1，3）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系的應(yīng)用，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（|x﹣1|）＞f（2）是解決本題的關(guān)鍵．16．（5分）設(shè)點(diǎn)M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是[﹣1，1]．【考點(diǎn)】J9：直線與圓的位置關(guān)系．【專題】5B：直線與圓．【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意畫出圖形如圖：點(diǎn)M（x0，1），要使圓O：x2+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則∠OMN的最大值大于或等于45°時(shí)一定存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，而當(dāng)MN與圓相切時(shí)∠OMN取得最大值，此時(shí)MN=1，圖中只有M′到M″之間的區(qū)域滿足MN≤1，∴x0的取值范圍是[﹣1，1]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線與直線設(shè)出角的求法，數(shù)形結(jié)合是快速解得本題的策略之一．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或驗(yàn)算步驟.17．（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1．（Ⅰ）證明{an+}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：++…+＜．【考點(diǎn)】87：等比數(shù)列的性質(zhì)；8E：數(shù)列的求和．【專題】14：證明題；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的定義，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是常數(shù)，即=常數(shù)，又首項(xiàng)不為0，所以為等比數(shù)列；再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)化式，求出{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）將進(jìn)行放大，即將分母縮小，使得構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，從而求和，證明不等式．【解答】證明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴數(shù)列{an+}是以首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列；∴an+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)n≥2時(shí)，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴當(dāng)n=1時(shí)，成立，當(dāng)n≥2時(shí)，++…+＜1+…+==＜．∴對(duì)n∈N+時(shí)，++…+＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等比數(shù)列，用放縮法證明不等式，證明數(shù)列為等比數(shù)列，只需要根據(jù)等比數(shù)列的定義就行；數(shù)列與不等式常結(jié)合在一起考，放縮法是常用的方法之一，通過放大或縮小，使原數(shù)列變成一個(gè)等比數(shù)列，或可以用裂項(xiàng)相消法求和的新數(shù)列．屬于中檔題．18．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）設(shè)二面角D﹣AE﹣C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E﹣ACD的體積．【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；LS：直線與平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】（Ⅰ）連接BD交AC于O點(diǎn)，連接EO，只要證明EO∥PB，即可證明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延長(zhǎng)AE至M連結(jié)DM，使得AM⊥DM，說明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱錐E﹣ACD的體積．【解答】（Ⅰ）證明：連接BD交AC于O點(diǎn)，連接EO，∵O為BD中點(diǎn)，E為PD中點(diǎn)，∴EO∥PB，（2分）EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延長(zhǎng)AE至M連結(jié)DM，使得AM⊥DM，∵四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C為60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E為PD的中點(diǎn)．AE=1，∴DM=，CD==．三棱錐E﹣ACD的體積為：==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判定，幾何體的體積的求法，二面角等指數(shù)的應(yīng)用，考查邏輯思維能力，是中檔題．19．（12分）某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如表：年份2007200820092010201120122013年份代號(hào)t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：=，=﹣．【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程．【專題】11：計(jì)算題；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法可得橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，橫標(biāo)和縱標(biāo)的積的和，與橫標(biāo)的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，寫出線性回歸方程．（Ⅱ）根據(jù)上一問做出的線性回歸方程，代入所給的t的值，預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入，這是一個(gè)估計(jì)值．【解答】解：（Ⅰ）由題意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴===0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y關(guān)于t的線性回歸方程為=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．將2015年的年份代號(hào)t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性回歸分析的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是利用最小二乘法認(rèn)真做出線性回歸方程的系數(shù)，這是整個(gè)題目做對(duì)的必備條件，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．20．（12分）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N．（1）若直線MN的斜率為，求C的離心率；（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考點(diǎn)】K4：橢圓的性質(zhì)．【專題】5E：圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（1）根據(jù)條件求出M的坐標(biāo)，利用直線MN的斜率為，建立關(guān)于a，c的方程即可求C的離心率；（2）根據(jù)直線MN在y軸上的截距為2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程組關(guān)系，求出N的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵M(jìn)是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，∴M的橫坐標(biāo)為c，當(dāng)x=c時(shí)，y=，即M（c，），若直線MN的斜率為，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，則，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由題意，原點(diǎn)O是F1F2的中點(diǎn)，則直線MF1與y軸的交點(diǎn)D（0，2）是線段MF1的中點(diǎn)，設(shè)M（c，y），（y＞0），則，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位線，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，則|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即設(shè)N（x1，y1），由題意知y1＜0，則（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入橢圓方程得，將b2=4a代入得，解得a=7，b=．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，利用條件建立方程組，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（2x）﹣4bf（x），當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估計(jì)ln2的近似值（精確到0.001）．【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】16：壓軸題；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】對(duì)第（Ⅰ）問，直接求導(dǎo)后，利用基本不等式可達(dá)到目的；對(duì)第（Ⅱ）問，先驗(yàn)證g（0）=0，只需說明g（x）在[0+∞）上為增函數(shù)即可，從而問題轉(zhuǎn)化為“判斷g′（x）＞0是否成立”的問題；對(duì)第（Ⅲ）問，根據(jù)第（Ⅱ）問的結(jié)論，設(shè)法利用的近似值，并尋求ln2，于是在b=2及b＞2的情況下分別計(jì)算，最后可估計(jì)ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=ex+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)ex=e﹣x即x=0時(shí)，f′（x）=0，∴函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，則g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（ex+e﹣x）2﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（ex+e﹣x﹣2）（ex+e﹣x+2﹣2b）．①∵ex+e﹣x＞2，ex+e﹣x+2＞4，∴當(dāng)2b≤4，即b≤2時(shí)，g′（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，從而g（x）在R上為增函數(shù)，而g（0）=0，∴x＞0時(shí)，g（x）＞0，符合題意．②當(dāng)b＞2時(shí)，若x滿足2＜ex+e﹣x＜2b﹣2即，得，此時(shí)，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，當(dāng)時(shí)，g（x）＜0，不符合題意．綜合①、②知，b≤2，得b的最大值為2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根據(jù)（Ⅱ）中g(shù)（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，為了湊配ln2，并利用的近似值，故將ln即代入g（x）的解析式中，得．當(dāng)b=2時(shí)，由g（x）＞0，得，從而；令，得＞2，當(dāng)時(shí)，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值為0.693．【點(diǎn)評(píng)】1．本題三個(gè)小題的難度逐步增大，考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性深層次的把握能力，對(duì)思維的要求較高，屬壓軸題．2．從求解過程來看，對(duì)導(dǎo)函數(shù)解析式的合理變形至關(guān)重要，因?yàn)檫@直接影響到對(duì)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的判斷，是解決本題的一個(gè)重要突破口．3．本題的難點(diǎn)在于如何尋求ln2，關(guān)鍵是根據(jù)第（2）問中g(shù)（x）的解析式探究b的值，從而獲得不等式，這樣自然地將不等式放縮為的范圍的端點(diǎn)值，達(dá)到了估值的目的．請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào).【選修41：幾何證明選講】22．（10分）如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與⊙O相交于點(diǎn)B，C，PC=2PA，D為PC的中點(diǎn)，AD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，證明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD?DE=2PB2．【考點(diǎn)】N4：相似三角形的判定；NC：與圓有關(guān)的比例線段．【專題】17：選作題；5Q：立體幾何．【分析】（Ⅰ）連接OE，OA，證明OE⊥BC，可得E是的中點(diǎn)，從而BE=EC；（Ⅱ）利用切割線定理證明PD=2PB，PB=BD，結(jié)合相交弦定理可得AD?DE=2PB2．【解答】證明：（Ⅰ）連接OE，OA，則