2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院1曲線與曲面曲線、曲面的研究狀況曲線、曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識(shí)常用的參數(shù)曲線的生成常用的參數(shù)曲面的生成2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2幾種典型的自由曲線拋物線參數(shù)樣條曲線Hermite曲線三次參數(shù)樣條曲線Bezier曲線B樣條曲線Bezier曲線2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院4

貝塞爾曲線和B樣條曲線來源：上一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了拋物線樣條和三次樣條曲線，他們的共同特點(diǎn)是經(jīng)過每一個(gè)型值點(diǎn)，并且達(dá)到了一階和二階連續(xù)，因此得到了廣泛應(yīng)用。然而，在一些外型設(shè)計(jì)的工作中，由于所給的型值點(diǎn)并不準(zhǔn)確，因此每一個(gè)點(diǎn)通過是意義不是非常必要，特別是，為了便于局部修改和交互，前兩種樣條曲線是不夠的。2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院5

由于幾何外形設(shè)計(jì)的要求越來越高，傳統(tǒng)的曲線曲面表示方法,已不能滿足用戶的需求。

1962年，法國(guó)雷諾汽車公司的P.E.Bezier構(gòu)造了一種以逼近為基礎(chǔ)的參數(shù)曲線和曲面的設(shè)計(jì)方法，并用這種方法完成了一種稱為UNISURF的曲線和曲面設(shè)計(jì)系統(tǒng)，1972年，該系統(tǒng)被投入了應(yīng)用。Bezier方法將函數(shù)逼近同幾何表示結(jié)合起來，使得設(shè)計(jì)師在計(jì)算機(jī)上就象使用作圖工具一樣得心應(yīng)手。Bezier曲線優(yōu)點(diǎn)：能比較直觀地反映所給條件與曲線間的關(guān)系；比較方便的通過修改輸入?yún)?shù)來改變曲線的形狀和階次。所用數(shù)學(xué)工具比較簡(jiǎn)單2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院6Bezier曲線的定義和性質(zhì)定義：（1）Bezier曲線是由一組多邊折線的各頂點(diǎn)唯一地定義出來的，或稱之為Bezier特征多邊形來定義的。（2）曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)與該多邊形的起點(diǎn)、終點(diǎn)重合，且多邊形的第一條邊和最后一條邊表示了曲線在起點(diǎn)和終點(diǎn)處的切矢量方向。（3）多邊形的其他各頂點(diǎn)則用來定義曲線的階次和形狀。曲線的形狀趨向于多邊折線的形狀。2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院7（4）ｎ次的Bezier曲線：當(dāng)給定空間n+1個(gè)點(diǎn)的位置矢量時(shí)，則Bezier曲線上各點(diǎn)坐標(biāo)的插值公式為：

其中，

構(gòu)成該Bezier曲線的特征多邊形n+1個(gè)頂點(diǎn)的位置向量，Bi,n(t)是n次Bernstein基函數(shù)：0°=1,0!=1注意：當(dāng)i=0，t=0時(shí)，ti=1，i!=1。即

2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院8（5）控制頂點(diǎn)頂點(diǎn)P1、P2

、P3

、P4（6）控制多邊形將連接有一定次序控制點(diǎn)的直線序列稱為控制多邊形或特征多邊形頂點(diǎn)P1

、P2

、P3

、P4構(gòu)成的多邊形2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院9依次用直線段連接相鄰的兩個(gè)控制點(diǎn)Pi，Pi+1，（i=0,1,…,n–1），便得到一條n邊的折線P0P1P2…Pn，將這樣一條n邊的折線稱為Bezier控制多邊形（或特征多邊形），簡(jiǎn)稱為Bezier多邊形。Bezier曲線和它的控制多邊形十分逼近，通常認(rèn)為控制多邊形是對(duì)Bezier曲線的大致勾畫，因此在設(shè)計(jì)中可以通過調(diào)整控制多邊形的形狀來控制Bezier曲線的形狀。2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院10Bezier曲線的例子2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院11（1）一次Bezier曲線(n=1,k=0,1)常用Bezier曲線的矩陣表示矩陣表示為：顯然，一次Bezier曲線是連接起點(diǎn)P0

和終點(diǎn)P1

的直線段2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院12（2）二次Bezier曲線(n=2，k＝0，1，2)

矩陣表示為：顯然，二次Bezier曲線是P0

、P1和終點(diǎn)P2

的拋物線2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院13相應(yīng)的基函數(shù)為同時(shí)我們有：2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院142024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院15（3）三次Bezier曲線(n=3，k＝0，1，2，3)其中四個(gè)Bezier基函數(shù)：2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院16三次Bzier曲線四個(gè)Bezier基函數(shù)任何三次Bzier曲線都是這4條曲線的線性組合

程序演示：Bernstein基函數(shù)2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院17矩陣形式表示為：可知，三次Bezier曲線是一條以P0為起點(diǎn)、以P3為終點(diǎn)的自由曲線。2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院182024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院19三次Bezier曲線舉例已知4控制頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：P0(1,1),P1(2,3),P2(4,3),P3(3,1)分別計(jì)算當(dāng)t=0，0.15，0.35，0.5，0.65，1時(shí)，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)值，并用光滑曲線連接該6點(diǎn)。先計(jì)算t=0.5時(shí)，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)P(0.5)。

x=,y=2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院202024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院21Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)1．正性

2．端點(diǎn)性質(zhì)

2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院223.權(quán)性（規(guī)范性）

由二項(xiàng)式定理可知：2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院234.對(duì)稱性

因?yàn)?/p>

2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院245.遞推性。

即高一次的Bernstein基函數(shù)可由兩個(gè)低一次的Bernstein調(diào)和函數(shù)線性組合而成。因?yàn)椋?024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院256.導(dǎo)函數(shù)

7.最大值。在處達(dá)到最大值。2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院268.升階公式

9.積分2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院27Bezier曲線的性質(zhì)1)端點(diǎn)性質(zhì)a）端點(diǎn)位置矢量：把t=0和1代入數(shù)學(xué)公式中，則有：

令T表示參數(shù)矩陣，Mb表示常數(shù)矩陣，Gb表示位置矢量矩陣。即：P(t)=T·Mb·Gb2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院28那么上述結(jié)果說明，曲線經(jīng)過起點(diǎn)和終點(diǎn)。也就是說Bezier曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)與相應(yīng)的特征多邊形的起點(diǎn)、終點(diǎn)重合。2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院29b)端點(diǎn)切矢量：對(duì)上面的表達(dá)式關(guān)于參數(shù)t求導(dǎo)：2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院30在起始點(diǎn)，t=0，時(shí)，P’(0)=n(P1-P0)，在終止點(diǎn)，t=1，時(shí)，P’(1)=n(Pn-Pn-1)，2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院31

三次Bezier曲線段在起始點(diǎn)和終止點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)為：

說明Bezier曲線在始點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線方向與特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致端點(diǎn)處切線長(zhǎng)度等于特征多邊形首、末邊長(zhǎng)的n倍。工程上所使用的曲線一般次數(shù)不大于3。2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院32c）二階導(dǎo)數(shù)上式表明：2階導(dǎo)矢只與相鄰的3個(gè)頂點(diǎn)有關(guān)，事實(shí)上，r階導(dǎo)矢只與(r+1)個(gè)相鄰點(diǎn)有關(guān)，與更遠(yuǎn)點(diǎn)無關(guān)。

三次Bezier曲線段在起始點(diǎn)和終止點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為：當(dāng)t=0時(shí)，當(dāng)t=1時(shí)，2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院33將、及、代入曲率式，可以得到Bezier曲線在端點(diǎn)的曲率分別為：2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院34d）k階導(dǎo)函數(shù)的差分表示n次Bezier曲線的k階導(dǎo)數(shù)可用差分公式為：

其中高階向前差分矢量由低階向前差分矢量遞推地定義：例如：2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院35若保持原全部頂點(diǎn)的位置不變，只是把次序顛倒過來，即由控制頂點(diǎn)構(gòu)造出的新Bezier曲線，與原Bezier曲線形狀相同，走向相反。因?yàn)椋哼@個(gè)性質(zhì)說明Bezier曲線在起點(diǎn)處有什么幾何性質(zhì)，在終點(diǎn)處也有相同的性質(zhì)。2）對(duì)稱性2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院363）凸包性由于，且，這一結(jié)果說明當(dāng)t在[0，1]區(qū)間變化時(shí)，對(duì)某一個(gè)t值，P(t)是特征多邊形各頂點(diǎn)的加權(quán)平均，權(quán)因子依次是。P(t)是多邊形各頂點(diǎn)Ｐ1，Ｐ2，

Ｐn的加權(quán)平均。2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院37

在幾何圖形上有兩重含義：①Bezier曲線P(t)隨著其控制多邊形的變化而變化②Bezier曲線P(t)在中，各點(diǎn)是控制點(diǎn)Pi的凸線性組合，即曲線落在Pi構(gòu)成的凸包之中。凸包是指包含所有頂點(diǎn)的最小凸多邊形。2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院38凸包2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院39B樣條曲線2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院40Bezier曲線的有缺點(diǎn)一是控制多邊形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)決定了Bezier曲線的階次二是不能作局部修改三是Bezier曲線的凸包性較強(qiáng)四是Bezier曲線或曲面的拼接比較復(fù)雜2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院411972年，Gordon、Riesenfeld等人發(fā)展了1946年Schoenberg提出的樣條方法,提出了B樣條方法，在保留Bezier方法全部?jī)?yōu)點(diǎn)的同時(shí)，克服了Bezier方法的弱點(diǎn)。2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院421．B樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式

若給定N=m+n+1個(gè)頂點(diǎn)，則第i段n次等距離分割的B樣條曲線函數(shù)為：

B樣條的遞推定義和性質(zhì)

其中n表示B樣條的次數(shù)，m為最大段號(hào)，t為節(jié)點(diǎn)，i為B樣條的段號(hào)。是第i段曲線控制多邊形的n+1個(gè)頂點(diǎn)(分段混合函數(shù))

2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院43B樣條的遞推定義和性質(zhì)B樣條曲線的方程定義為：

是控制多邊形的頂點(diǎn)

Fi，k(t)(i=0，1，..，k)稱為k階（k-1次)B樣條基函數(shù)

B樣條基函數(shù)是一個(gè)稱為節(jié)點(diǎn)矢量的非遞減的參數(shù)t的序列所決定的n階分段多項(xiàng)式，也即為k階（k-1次)多項(xiàng)式樣條。2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院44

B樣條有多種等價(jià)定義，在理論上較多地采用截尾冪函數(shù)的差商定義。deBoor-Cox遞推定義并約定

該遞推公式表明：欲確定第i個(gè)k階B樣條Fi,k(t)，需要用到ti,ti+1,...,ti+k共k+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，稱區(qū)間[ti,ti+k]為Fi,k(t)的支承區(qū)間。曲線方程中，n+1個(gè)控制頂點(diǎn)Pi(i=0,1,...,n)，要用到n+1個(gè)k階B樣條Fi,k(t)。它們支撐區(qū)間的并集定義了這一組B樣條基的節(jié)點(diǎn)矢量T=[t0,t1,...,tn+k]。

幾個(gè)問題

B樣條基函數(shù)2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院45對(duì)于二次B樣條，我們有2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院46

二次B樣條可以寫成如下形式：2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院473）三次B樣條曲線對(duì)于三次B樣條曲線，n=3,k=0,1,2,3。特征多邊形只有P0

P1P2

P3四個(gè)控制點(diǎn)。有2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院48

所以有2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院491）局部控制

B樣條的基函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，其重要特征是在參數(shù)變化范圍內(nèi)，每個(gè)基函數(shù)在tk到tk+m的子區(qū)間內(nèi)函數(shù)值不為零，在其余區(qū)間內(nèi)均為零，通常也將該特征稱為局部控制。3．B樣條曲線的性質(zhì)2024/2/3蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院50k階B樣條曲線上參數(shù)為的一點(diǎn)至多與k個(gè)控制頂點(diǎn)