湘豫聯(lián)考2021屆高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（理科）（3月份）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.設(shè)集合4={(x,>1)1y=-4x+6},B={(x,y)|y=5x-3],則AnB為

A.{1,2}B.[(1,2))

C.{x=1,y=2}D.(1,2)

2.設(shè)i是虛數(shù)單位，若焉為純虛數(shù),則實數(shù)研）

A.-2B-D.2

3.命題：若a>0,則a2>0的逆命題為（）

A.若a>0,則a2<0B.若a2>0,則a>0

C.若a<0,則a2>0D.若a<0,則a2>0

4.若偶函數(shù)區(qū)在區(qū)上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（）

A.回B.0C.0D.0

5.如圖，在直二面角4-BD-C中，△4BD、ACBD均是以8。為斜邊

的等腰直角三角形，取A。中點E,將AABE沿BE翻折到AAiBE,

在AABE的翻折過程中，下列不可能成立的是（）

A.BC與平面&BE內(nèi)某直線平行

B.CD〃平面48E

C.8c與平面4BE內(nèi)某直線垂直

D.BClA^B

6.己知函數(shù)/(x)=(ax+By為偶函數(shù)，則向量落方可以是（）

A.a—(1,0),b—(—1,1)B.a=(-1,1)>b=(2,—2)

C.a—(1,1)>b-(2,—2)D.a=(1,-1),b—(0,—1)

x—y—1W0

7.x+2y+220時，z=x+y的最大值為()

Iy<0

A.-2.B.-1C.1D.2

8.周期為n?的函數(shù)y=cos（tox+（p）（a）>0,0<（p<乃）的部分圖象如

圖所示，則9=（）

c-

D.當

6

9.已知數(shù)軸上A,B兩點的坐標分別為號則線段A8的長為()

A.0B.~|C.~D.g

10.設(shè)雙曲線條一\=19>0為>0)的右焦點為尸，右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于

B,C兩點，過B,C分別作AC,AB的垂線，兩垂線交于點D,若。到直線BC的距離小于a+=笆,

則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()

A.(-1,0)U(0,1)B.(-c?,-l)u(1,+8)

C.(-V2,0)U(0,V2)D.(-co,-V2)U(V2,+oo)

11.已知正方體的體積是64,則其外接球的表面積是()

A.32V3TTB.1927TC.48兀D.無法確定

12.在曲線C上的動點P(a,a2+2a)與動點Q(b/2+26)(a<b<0)的切線互相垂直,則b-a最小

值為()

A.1B.2C.V2D.-V2

二、單空題(本大題共4小題，共20.()分)

13.經(jīng)過點(0,0)的曲線丫=峭的切線方程為.

14.(2-修)(1一’5的展開式中的常數(shù)項為.

15.等比數(shù)列｛an｝中，ar+a2+a3=2,a4+a5+a6=4,則a］。++%2=.

16.有一拋物線形拱橋，中午假點時，拱頂離水面緣米，橋下的水面寬4米；下午香點，水位下降

了口米，橋下的水面寬米.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.在44BC中,角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足275absinC=a?+b?—c?.

⑴求C；

(2)若asinB=bcosA,且a=2,求/4BC的面積.

18.2018年俄羅斯世界杯是第21屆世界杯足球賽，比賽于2018年6月14日至7月15日在俄羅斯

境內(nèi)11座城市中的12座球場內(nèi)進行.為了了解喜愛足球運動是否與性別有關(guān)，隨機抽取200

名群眾進行統(tǒng)計，得到如下2x2列聯(lián)表:

男女合計

喜愛90150

不喜愛40

合計200

(1)將2x2列聯(lián)表補充完整，并判斷能否有99.9%的把握認為喜愛足球運動與性別有關(guān)？

(2)從上述150名喜愛足球運動的群眾中，按性別用分層抽樣的方式抽取10人，再從這10人中

隨機抽取2人前往俄羅斯觀看世界杯比賽.用X表示抽取2人中的女性人數(shù)，求X的分布列及

數(shù)學(xué)期望E(X).

參考公式和數(shù)據(jù)：K2=…圖晨)…)，其中n=a+b+c+心

P(K2>k0)0.050.0100.001

k。3.8416.63510.828

19.如圖，在四棱錐「一A8C。中，底面為平行四邊形，點P在面ABC。內(nèi)的射影為A,PA=

48=1,點A到平面P8C的距離為爭且直線AC與P8垂直.

(1)在棱夕。上找一點已使直線PB與平面ACE平行，并說明理由;

(II)在(/)的條件下，求二面角B-4C-E的大小.

B

20.已知橢圓C：谷+卷=1(Q>b>0)的長軸長是短軸長的2倍，且過點(遮3)

a”O(jiān)'n

(I)求橢圓C的方程

(H)若在橢圓上有相異的兩點A,8(4,0,3三點不共線)，0為坐標原點，且直線A3,直線0A,直

線0B的斜率滿足居B=5■喻海8>0)

(i)求證：|。*2+QB|2是定值

(ii)設(shè)AAOB的面積為5,當S取得最大值時，求直線AB的方程

21.已知函數(shù)/1(%)=e*+ax+a,其中aeR,e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當a<。時,對于Vx<R,都有,。)。0成立.

①求。的取值范圍；

②證明：1+1+1+…+；>ln(n+l)(nGN*).

22.已知曲線C的參數(shù)方程為｛；;彳°s°(。為參數(shù))，以坐標原點。為極點，x軸的正半軸為極

軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為ps出=4.

(I)寫出曲線C的極坐標方程和直線/的直角坐標方程；

(II)若射線。=T與曲線C交于。，A兩點，與直線/交于8點，射線。=乎與曲線C交于。，P兩

36

點，求△P48的面積.

23.已知關(guān)于x的不等式％2+mx-12<0的解集為(一6,九).

(1)求實數(shù)W，〃的值；

(2)正實數(shù)a,b滿足幾a+2mb=2.

①求；+"的最小值；

②若2。+16〃-120恒成立，求實數(shù)，的取值范圍.

【答案與解析】

1.答案：B

7=-4x+6

解析：解：由題意得，二4nB=<(x,y)卜>={(1,2)}，故答案選：B.

y=5x-3

2.答案：C

解析：

本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用復(fù)數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義即可得出.

2-i_(2-i)(a-i)_2a-l器i為純虛數(shù),

*a+i(a+i)(a-i)a2+l

2。-1_a+2

——=n0,-------W0，

a2+ia2+l

解得a=

故選：C.

3.答案：B

解析：解：命題：若a>0,則a?>0的逆命題為若a?>0,則a>0,

故選：B

根據(jù)四種命題的之間的關(guān)系即可判斷

本題考查了四種命題的之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題

4.答案：D

解析：試題分析：0為偶函數(shù)，則回，得岡，又叵］在叵］上是增函數(shù)，且國，所以區(qū)，

選D.

考點：函數(shù)單調(diào)性與奇偶性.

5.答案：D

解析：

【試題解析】

本題考查空間直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力，屬于中檔題.

連結(jié)CE,當平面4BE與平面BCE重合時，BCu平面&BE,平面4BE內(nèi)必存在與BC平行和垂直

的直線，故A,C可能成立；構(gòu)造平面8EF,當平面4BE與平面BEF重合時，CD〃平面4BE,故

8可能成立；使用假設(shè)法判斷D

解：連結(jié)CE,當平面4BE與平面8CE重合時，BCu平面&BE,

.??平面&BE內(nèi)必存在與8c平行和垂直的直線，故A,C可能成立：

在平面BCD內(nèi)過B作CD的平行線BF,使得BF=CD,

連結(jié)EF,則當平面&BE與平面BEF重合時，89匚平面48〃，

故平面4BE內(nèi)存在與8尸平行的直線，即平面4BE內(nèi)存在與CD平行的直線，

CD〃平面4BE,故B可能成立；

若又&B141E,則為直線&E和BC的公垂線，

ArB<CE,

設(shè)=1,則經(jīng)計算可得CE=在，

2

與力iB<CE矛盾，故。不可能成立.

故選。.

6.答案：C

解析：解：因為函數(shù)7（乃=0尢+方）2=五2/+片+2五.會為偶函數(shù)，所以2五4=0；

觀察各選項可得C滿足；

故選C.

由已知函數(shù)為偶函數(shù)得到向量落石的數(shù)量積為0,由此選擇.

本題考查了函數(shù)的奇偶性以及平面向量的數(shù)量積；關(guān)鍵是由已知函數(shù)為偶函數(shù)得到兩個向量的數(shù)量

積為0.

7.答案：C

x—y—140

解析：解：先根據(jù)實數(shù)X,y滿足條件x+2y+22o畫出可

y<0

行域，

瞰二;一1=0得鞏處

然后平移直線0=x+y，

當直線z=x+y過點8(1,0)時，z最大值為1.

故選：C.

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，只需求出直線z=x+y過點8(1,0)時，z最大

值即可.

本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題.

8.答案：C

解析：解：根據(jù)函數(shù)、=COS(3X+w)(3>0,0<9<兀)的部分圖象，可得4=1.

再根據(jù)它的周期為兀=/，二3=2.

0)

再根據(jù)五點法作圖，可得2X?+0=*.?.9=?

OLO

故選：C.

由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A,由周期求出3,由五點法作圖求出S的值，可得函數(shù)的解析式.

本題主要考查由函數(shù)y=4sin(3x+")的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A,由

周期求出3,由五點法作圖求出9的值，屬于基礎(chǔ)題.

9.答案：C

解析：解：根據(jù)題意，數(shù)軸上A,8兩點的坐標分別為3

則AB=,_(_/=!，

故選：C.

根據(jù)題意，由數(shù)軸表示點的方法分析可得答案.

本題考查數(shù)軸表示點的方法，注意數(shù)軸上點的坐標的含義，屬于基礎(chǔ)題.

10.答案：4

解析：解：由題意，力(a,0),B(c,?),C(C,-9),由雙曲線的對稱性知。在x軸上,

b2b2

設(shè)。(居0),則由BD14B得工.工=_「

c-xc-a

d4

J，0一”=a2(a-c)'

???。到直線BC的距離小于a+Va2+b2,

c-x=I—----1<a+Va24-h2,

1a2(a-c)1

???c2-a2=b2f

a2

.?.04<1，

???雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是(一1,0)U(0,1).

故選：A.

由雙曲線的對稱性知。在X軸上，設(shè)n(x,0),則由8。1AB得些.2_=求出C—X,利用。

c-xc-a

到直線BC的距離小于a+到2+爐,即可得出結(jié)論.

本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，確定。到直線8c的距離是關(guān)鍵.

11.答案：C

解析：解：???正方體的體積是64,

??.正方體的邊長為4,

???正方體的外接球的半徑R=26，

二正方體的外接球的表面積S=4兀R2=48兀，

故選：C.

由正方體的體積是64,能求出正方體的邊長為4,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線，由

此能求出正方體的外接球的表面積.

本題考查正方體的外接球的表面積的求法，解題的關(guān)鍵是明確正方體的外接球的直徑是正方體的體

對角線.

12.答案：A

解析：解：由題意可得曲線y=/+2%上存在兩點處的切線互相垂直，

由y=x2+2x的導(dǎo)數(shù)為y'=2x+2,

可得(2a+2)(2b+2)=-1,

由a+l<b+l,可得a+l<0,

且b=b—a=—Y~-+(—a—1)>21(—a—1)-~-=2X-=1,

-4(a+l)-4(a+l)、,'-4(a+l)2

當且僅當4^=(-a-l),解得a=-|,可得"a的最小值為1.

故選：A.

由題意可得曲線y=X2+2%上存在兩點處的切線互相垂直，求出函數(shù)y=/+2%的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合兩直

線垂直的條件：斜率之積為一1,可得6-。=不篇+(一。-1),(a+1<0),運用基本不等式即

可得到所求最小值.

本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查基本不等式的運用：求最值，化簡整理的運算能力，屬

于中檔題.

13.答案：y=ex

解析：解：設(shè)切點為(m,n),

曲線y=e”的導(dǎo)數(shù)為1(x)=ex,

則切線的斜率為k=*可得二解得m=l,切點坐標(l,e),

切線方程為y=ex,

故答案為：y=ex.

求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點為(m,n),求得切線的斜率和切線方程，代入原點，解得?n=l,即可得到切線方

程.

本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程的求法，考查計算能力.

14.答案：一8

解析：解：(2-％2)(1一》5的展開式中的常數(shù)項為2成一盤.(-1)2=-8,

故答案為：-8.

直接利用二項式求得結(jié)果即可.

本題主要考查二項式定理在求二項展開式中的常數(shù)項中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.答案：16

解析：解：丫等比數(shù)列｛/｝中的+a2+=2,a4+a5+a6=4,

6

???aio+?n+%2=(?4++a6)q=16

故答案為：16

由題意和整體思想可得q3=2,代入的0++a12=(。4++a6)q6,計算可得.

本題考查等比數(shù)列的通項公式，屬基礎(chǔ)題.

16.答案：窗乖

解析：試題分析：以拱頂作為坐標原點建立直角坐標系，由題意可知拋物線過點￡均司設(shè)拋物線為

,第*=：%箍代入點得段渺=；T淤令第=：T得第=土感|所以水面寬暨收

考點：拋物線的實際應(yīng)用

點評：從實際問題中抽象出拋物線模型求解

.答案：解：(1)因為2百absinC=a?+/j2—?2,即=百sinC,

17。2ab

由余弦定理得，a2+b2~c2=cosC,

2ab

所以75sbic=cosCf^PtanC=冬

又因為0<CV7T,所以

(2)因為asinB=bcosA,由正弦定理得sinHsinB=sinBcosA,

因為sinB>0,

所以sinA=cosA,即tanZ=1,

又因為0<A<兀，

所以4=%

4

2C

由正弦定理可得初=/聲解得c=或，

46

所以SMBC=|acsinB=|x2x或sinQl+C)=V2sin(^+/)=號

解析：(1)根據(jù)余弦定理即可得到tcmC=￥，即可求出C,

(2)根據(jù)正弦定理可得A=會解得c=近，再根據(jù)三角形的面積公式計算即可

此題考查了正余弦弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正余弦定理是

解本題的關(guān)鍵.

18.答案：解：(1)由題意完成2x2列聯(lián)表：

男女合計

喜愛9060150

不喜愛104050

合計100100200

由2x2列聯(lián)表得:

K2=Mad-bcQ=200X(90X40-10X60)2=24>1°828

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-150x50x100x100-''

???能有99.9%的把握認為喜愛足球運動與性別有關(guān).

(2)從上述150名喜愛足球運動的群眾中，按性別用分層抽樣的方式抽取10人，

則抽取男性：10x名=6人，抽取女性：10*黑=42,

150150

再從這10人中隨機抽取2人前往俄羅斯觀看世界杯比賽.用X表示抽取2人中的女性人數(shù),

則X的可能取值為0,1,2,

P(X=0)=景號，

P(x=i)=管建，

???X的分布列為:

X012

182

p

31515

數(shù)學(xué)期望E(X)=0xi+lx^+2x^=i

解析：⑴由題意完成2x2列聯(lián)表，由2x2列聯(lián)表得代=24>10.828,由此能有99.9%的把握認為

喜愛足球運動與性別有關(guān).

(2)從上述150名喜愛足球運動的群眾中，按性別用分層抽樣的方式抽取10人，則抽取男性6人，

抽取女性42人，再從這10人中隨機抽取2人前往俄羅斯觀看世界杯比賽.用X表示抽取2人中的

女性人數(shù)，則X的可能取值為0,1,2,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

本題考查獨立檢驗的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查余弦定理等基礎(chǔ)

知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

19.答案：解：(I)點E為中點時，直線PB與平面ACE平行.

證明：連結(jié)BD,交AC于點O,則點。為8。的中點，

?.?點E為PQ中點，:0E是△PDB的中位線，貝UOE〃PB,

???OEu平面ACE,PB仁平面ACE,

???PB與平面4CE平行.

(11)根據(jù)題意1「8,P41底面ABC。，ACcJKfflABCD,

則有AC_LPA,PAC\PB=P,???ACPAB,設(shè)AC=x,

Vp-ACB=VA-PBC=|X|XXX1X1=|X|XA/2XJX2+|X^,

解得力C=1,

由(I)知OE〃PB,AC1PB,OELAC,

AC，平面PAB,ABu平面PAB,：.ABS.AC,

如圖，二面角為鈍角，則OE,AB所成角為二面角B-AC-E的補角，

OE//PB,.-.OE,AB所成角為W，

二面角B-AC-E的大小為

4

解析：(1)點后為2力中點時，連結(jié)BD,交4c于點O,則點。為8。的中點，從而。E〃PB,由此

能證明PB與平面ACE平行.

(11)根據(jù)題意_1PB,PA1底面ABCD,從而4c1PA,進而ACL平面PAB,由“_村8=匕-PBC，解

得AC=1,由。E〃PB,AC1PB,得0EJ.4C,從而4B14C,由此能求出二面角B-AC—E的大

小.

本題考查面面平行的判斷與證明，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系

等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

20.答案：解：(I)由題意可得a=2b,可設(shè)橢圓方程為亮+《=1,

過點(次,》，可得親+奈=1，

解得b=1,a=2,

則橢圓方程為9+y2=i；

(n)(i)證明：設(shè)直線A&y=fcx+m,(k>0),4(%力乃),耿如為)，

^AB=k0A,koB*AB>。)

即卜2—力及_(m+k%i)(7九十依2)=々2+?(無1+小)+療

xxxx

XtX2Xtx2l2l2

即為kmQi+%2)+=o,

又4,O,8三點不共線，可得mH0,則/c(%i+g)+7n=。，①

將y=依+m代入橢圓式2+4y2=4,可得(1+4/c2)%2+8kmx+4(m2-1)=0,

則%】+犯=-器，②

且4=64k27n2-16(1+4/c2)(m2—1)>0,

化為1+4/-m2>0,③

將②代入①可得，k(一照)+m=0,(fc>0),解得

則％i+外=—2m,=2(m2—1),(4)

即有|04/+\0B\2=*+資+妊+禿=：(資+%2)+mQi+%2)+2m2

2

=+—1%1^2=5m—57n2+5=5；

(”)點0到直線AB的距離d=益，

11/------/------------------\m\

S=5\AB\,d=+：,/(%1+%2)2—4—--==

乙乙VI+k2

1__________________________

=-\m\?yj(—2m)2—8(m2—1)=\m\?y2—m2

,m2+2-m2-

當且僅當巾2=2—巾2,即加=±1,S取得最大值，

此時直線AB的方程為y=^x±l.

解析：本題考查橢圓方程的求法，注意運用代入法和方程思想，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運

用韋達定理和弦長公式、點到直線的距離公式，以及三角形的面積公式、基本不等式，考查化簡整

理的運算能力，屬于難題.

(1)由題意可得。=2匕，代入點的坐標，解方程即可得到所求橢圓方程；

(口)(。設(shè)直線AB：y=kx+m,(fc>0),A(X1,yi),B(x2,y2),代入橢圓方程，運用判別式大于0,

以及韋達定理，由條件解得上再由兩點的距離公式，化簡可得定值；

(ii)運用三角形的面積公式和點到直線的距離公式、弦長公式和基本不等式，計算即可得到所求最大

值和此時，"的值、直線AB的方程.

21.答案：解：(1)/。)=靖+。.

a20時，f'(x)>0,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.

Q<0時，令e*+Q=0,解得％=ln(—Q).

則函數(shù)/(%)在(一8,In(-a))單調(diào)遞減，在(In(-a),-8)單調(diào)遞增.

(2)①由(1)可得:a<0時,％=ln(-a)取得最小值,f(In(-a))=-a+aZn(-a)+a=aln(-a)>0,

BPln(-a)<0,解得0<—aW1,解得一1<a<0.

**?Q6[—1,0).

②令g(x)=x-ln(x+1),xe(0,1).

則g(%)在％6(0,1)單調(diào)遞增，.??gQ)>g(0)=0.

:.x>ln(x4-1),xG(0,1)恒成立.

令％=

n

1.1

??,->ln(l+-)=ln(n+1)—Inn.

Ill

:.1+2+§+…4—>》2-Znl+Zn3—ITL2+…...+ln(n+1)—ITLTL=ln(n+1)(九EN*).

111

A1+-+-+???4-->ln(n+l)(nGN*).

23n

解析：(l)f(x)=