《平行四邊形》綜合練習(xí)題

一.選擇題（共10小題）

1.（2021?紹興）如圖，菱形A8CC中，NB=60°,點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，沿折線BC-CQ方

向移動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)。停止.在AAB尸形狀的變化過(guò)程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是（）

A.直角三角形一等邊三角形一等腰三角形一直角三角形

B.直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等邊三角形

C.直角三角形一等邊三角形一直角三角形-等腰三角形

D.等腰三角形一等邊三角形一直角三角形一等腰三角形

2.（2021?錫山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，△ABC中，ZC=900,8c=8,AC=6,點(diǎn)P在43上,

AP=3.6,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,連接PE,作射線PF垂直于PE,交直

線8c于點(diǎn)F,EF的中點(diǎn)為Q,則在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PQ掃過(guò)的面積為（）

R

A.8B.6C.且冗D.空兀

416

3.（2021春?安寧市校級(jí)期中）如圖，正方形ABCQ中，點(diǎn)E、F分別在BC、CO上，/XAEF

是等邊三角形，連接AC交EF于G,下列結(jié)論：①BE=DF；②/￡>AF=15°,③AC垂

直平分EF,④CG邁CE，其中正確結(jié)論有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

4.（2021?慈溪市模擬）已知，矩形ABC。中，E為AB上一定點(diǎn)，F(xiàn)為BC上一動(dòng)點(diǎn),以

EF為一邊作平行四邊形EFGH,點(diǎn)G,H分別在CD和4。上，若平行四邊形EFGH的

面積不會(huì)隨點(diǎn)F的位置改變而改變，則應(yīng)滿足（）

C.AB=2AED.AB=3AE

5.（2020秋?沈北新區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知正方形48s的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M和N分別從8、

C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC、CD向終點(diǎn)C、力運(yùn)動(dòng)，連接AM、BN,交于點(diǎn)P,

連接PC,則PC長(zhǎng)的最小值為（）

C.375-1D.2疾

6.（2020秋?化州市期末）如圖，已知E,尸分別為正方形A8CD的邊AB,BC的中點(diǎn)，AF

與DE交于點(diǎn)M,。為BO的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①ZAME=90°,②/BAF=NEDB,

其中正確結(jié)論的有（)

C.2個(gè)D.1個(gè)

7.（2019秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，ABLAF,EFLAF,BE與A尸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是8c的中

點(diǎn)，NAEB=2NB.若BC=8,EF=S，則AF的長(zhǎng)是（）

B

A.V6B.V?C.3D.5

8.（2020?龍崗區(qū)校級(jí)模擬）如圖，等邊△ABC與正方形。EFG重疊，其中。、E兩點(diǎn)分別

在AB、BC上,且BO=BE.若AB=6,DE=2,則△￡：人?的面積為（）

2C.2爪D.4

9.（2019秋?溫江區(qū)校級(jí)月考）如圖，在矩形A5CD中，DELACE,ZEDC：ZEDA=\：

)

A.5正B.5C.3D.平

10.（2021春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如圖，在給定的正方形A8C。中，點(diǎn)￡從點(diǎn)5出發(fā)，沿邊

方向向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，。尸，AE交A8于點(diǎn)F,以FD,小為鄰邊構(gòu)造平行四邊形DFEP,

連接CP,則NDFE+NEPC的度數(shù)的變化情況是（）

A.一直減小B.一直減小后增大

C.一直不變D.先增大后減小

二.填空題（共10小題）

11.（2021春?興化市月考）如圖，在正方形ABCC中，F(xiàn)在A8上，E在BC的延長(zhǎng)線上，

AF=CE,連接DF、DE、EF,EF交對(duì)角線2。于點(diǎn)MM為EF的中點(diǎn)，連接MC,下

列結(jié)論：①為等腰直角三角形；②NFDB=NFEC；③直線MC是8。的垂直平

分線；④若BF=2,則MC=&：其中正確結(jié)論的有.

12.（2021春?黃陂區(qū)期中）如圖，在平行四邊形A8CO中，E,尸分別為BC,C。的中點(diǎn),

ZEAF=60°.若4E=3,AF=4,則4B的長(zhǎng)為.

13.（2021?河南模擬）如圖，矩形ABC力中，AB=3,BC=4,OE'平分NADC交BC于點(diǎn)E,

AF平分NBA。交BC于點(diǎn)F,交DE于點(diǎn)、G,則空=____________________.

FG-

14.（2020?歷城區(qū)三模）如圖，正方形4BCO的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AE與

對(duì)角線BD交于點(diǎn)G,連接CG并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)F,連接DE交CF于點(diǎn)H,連接AH.以

下結(jié)論：①CFLDE；②史=2；?AD=AH-,④G"=&尿，其中正確結(jié)論的序號(hào)

HF3下？

是

5（2020?香坊區(qū)三模）正方形ABC。中，點(diǎn)E、尸分別在邊BC、CD上，尸于點(diǎn)G,

過(guò)點(diǎn)尸作AE的平行線，交AO于點(diǎn)”，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,CN=3DM,AM=區(qū),

2

則FG的長(zhǎng)為

16.（2020?南崗區(qū)四模）如圖，點(diǎn)￡,F分別在正方形ABCO的邊A。，CC上，HAE=DF,

連接BE,AF,BF,8E與AF相交于點(diǎn)G,點(diǎn)”，P分別為AB,BF的中點(diǎn)，連接GH,

GP,若G〃=4,GP=5,則EG的長(zhǎng)為.

17.（2020秋?青羊區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為4的菱形，NC=60°,點(diǎn)P

是射線CE上的動(dòng)點(diǎn)，線段AP的垂直平分線MN交于點(diǎn)F,連接P凡若是

等腰三角形，則PF的長(zhǎng)為

M

18.（2020秋?碑林區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平行四邊形A8CD中，/8=60°,AB=6,BC

=4,點(diǎn)E為邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使得DE=2DF,以EC、EF

為鄰邊構(gòu)造平行四邊形EFGC,連接EG,則EG的最小值為.

19.（2020秋?鄲都區(qū)期中）如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)大于16cm的正方形，以距離正方形的四個(gè)頂點(diǎn)

8cm處沿45°角畫線，將正方形紙片分成5部分，則中間陰影部分的面積.

20.如圖，在正方形ABC。中，AB=2.G為對(duì)角線的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E為線段CZ）的

中點(diǎn)，BFLAE,連接OF.已知/D4G=15°,下列說(shuō)法正確的是.（將正確答

案的序號(hào)填寫下來(lái)）

①AG=BD；②BF=a；③空:JL；④5#OF=」；⑤若E點(diǎn)為線段CQ上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

0A33

AE=EC+CQ時(shí)，AQ=4.

G

三.解答題（共10小題）

21.（2021春?海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖，AABC中，AB=AC,AQ是NBAC的角平分線，點(diǎn)

。為AB的中點(diǎn)，連接￡>0并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使OE=O￡>,連接AE,BE.

（1）求證：四邊形AEBO是矩形；

（2）當(dāng)NBAC=時(shí)，矩形是正方形.

22.（2021?恩施州）如圖，矩形A8C。的對(duì)角線4C,交于點(diǎn)O,KDE//AC,AE//BD,

連接0￡求證：OELAD.

23.（2021?道里區(qū)三模）如圖，平行四邊形ABCQ中，NBCQ的平分線交A。于E,ZABC

的平分線交皮）于點(diǎn)F.

（1）求證：AE=DF；

(2)若乙4=120°,BF=&M，EF=3,求BC的長(zhǎng).

24.（2021?鼓樓區(qū)二模）如圖，在正方形ABC。中，E、F、G、H分別是各邊上的點(diǎn)，且

AE=BF=CG=DH.求證:

(1)4AHEQABEF；

(2)四邊形EFG”是正方形.

25.(2021?聊城)如圖，在四邊形A8CD中，AC與8。相交于點(diǎn)。，且AO=CO,點(diǎn)E在

BD±,滿足NEAO=NDCO.

(1)求證：四邊形AEC。是平行四邊形；

(2)若A8=BC,CD=5,AC=8,求四邊形AECD的面積.

26.(2021?南崗區(qū)校級(jí)模擬)已知4力是△4BC的中線，M是40的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AE〃

BC,CM的延長(zhǎng)線與4E相交于點(diǎn)E,與48相交于點(diǎn)尸，連BE.

(1)如圖1,求證：四邊形AEB。是平行四邊形；

(2)如圖2,若AC=3AF,在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中所有與/

AO8相等的角(乙4。8除外).

E

圖1圖2

27.（2021?岳陽(yáng)）如圖，在四邊形A8C。中，AEVBD,CF±BD,垂足分別為點(diǎn)E,F.

（1）請(qǐng)你只添加一個(gè)條件（不另加輔助線），使得四邊形AECF為平行四邊形，你添加

的條件是;

（2）添加了條件后，證明四邊形AEC尸為平行四邊形.

28.（2021?南崗區(qū)校級(jí)一模）點(diǎn)、E、F分別在菱形ABCD的邊BC、CQ上，BE=DF,作FG

//AE,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接AF、EG.

圖1圖2

（1）如圖1,求證：四邊形AEG尸是菱形；

（2）如圖2,當(dāng)AF平分NCA。時(shí)，在不添加輔助線及字母的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中

所有的等腰三角形（不包括腰長(zhǎng)等于AB的等腰三角形）.

29.（2021春?海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，。、E、產(chǎn)分別是A8、AC.BC的中點(diǎn).當(dāng)

△4BC滿足什么條件時(shí)，四邊形D4EF是正方形，請(qǐng)說(shuō)明理由.

30.（2021?西湖區(qū)校級(jí)三模）如圖，。是正方形ABCQ對(duì)角線AC,8。的交點(diǎn)，AF平分/

BAC,交BD于點(diǎn)M,OELAF于點(diǎn)〃，分別交A2,AC于點(diǎn)E,G.

（1）證明△?!￡：￡＞絲△8必；

（2）例是等腰三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若OG的長(zhǎng)為1,求8E的長(zhǎng)度.

參考答案

一.選擇題（共10小題）

1.（2021?紹興）如圖，菱形A8C。中，ZB=60°,點(diǎn)P從點(diǎn)2出發(fā)，沿折線5C-C。方

向移動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)。停止.在△ABP形狀的變化過(guò)程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是（）

A.直角三角形一等邊三角形一等腰三角形一直角三角形

B.直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等邊三角形

C.直角三角形一等邊三角形一直角三角形一等腰三角形

D.等腰三角形一等邊三角形一直角三角形一等腰三角形

【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì).

【專題】動(dòng)點(diǎn)型；三角形：數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】把點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線8C-CD方向移動(dòng)的整個(gè)過(guò)程，逐次考慮確定三角

形的形狀即可。

【解答】解：???/8=60°,故菱形由兩個(gè)等邊三角形組合而成，

當(dāng)APLBC時(shí)，此時(shí)△ABP為等腰三角形；

當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)C處時(shí)，此時(shí)AABP為等邊三角形；

當(dāng)點(diǎn)尸在。上且位于AB的中垂線時(shí)，則AABP為等腰三角形；

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，此時(shí)△A8P為等腰三角形，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，涉及到等腰三角形、等邊三角形和直角三角形的

性質(zhì)，題目有一定的綜合性，難度適中。

2.（2021?錫山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，ZVIBC中，ZC=90°,8c=8,AC=6,點(diǎn)P在A8上，

AP=3.6,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,連接尸E,作射線PF垂直于PE,交直

線3c于點(diǎn)F,EF的中點(diǎn)為Q,則在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PQ掃過(guò)的面積為（）

B.

A.8B.6KD虛兀

CT4

【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】如圖，取AC,BC的中點(diǎn)M,M連接PM,PN,MN,QP,QC.利用相似三

角形的性質(zhì)證明推出點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段MM推出線段尸Q掃過(guò)的面積為

赳PMN的面積=z^MNC的面積即可解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，取AC,BC的中點(diǎn)M,N,連接PM,PN,MN,QP,QC.

VZACB=90°,4c=6,8c=8,

22=22=10

：.AB=JAc+BCV6+8

63

--=-

.AC5AP=3.6=3

AB10AC5

Ac一AP

--,

AcAC

VNA=NA,

???ZAPC^AACB,

AZAPC=ZACB=90°,

：.CPLAB,

■:BM=CM,CN=NA,

:.MN〃AB,

???MN垂直平分線段PC,

VZECF=Z￡P(guān)F=90°,EQ=FQ,

：.CQ=QP=^EF,

...點(diǎn)Q在線段PC的垂直平分線上，

/.點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段MN,

，線段PQ掃過(guò)的面積為△PMN的面積=/\〃根7的面積=」X3X4=6,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直

平分線的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考?？碱}

型.

3.（2021春?安寧市校級(jí)期中）如圖，正方形A8CO中，點(diǎn)￡;尸分別在BC、CO上，A4EF

是等邊三角形，連接AC交E尸于G,下列結(jié)論：①BE=D尸；②ND4尸=15°,③AC垂

直平分EF,（4）CG羋CE，其中正確結(jié)論有（）個(gè).

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；正方

形的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱

形正方形；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】通過(guò)條件可以得出△ABE絲△ADF,從而得出N8AE=ND4F,BE=DF,由4

AEF是等邊三角形，得到NE4尸=60°,進(jìn)而求出/D4尸=15°,由正方形的性質(zhì)就可

以得出EC=FC,就可以得出AC垂直平分EF,設(shè)EC=FC=x,由勾股定理就可以得出

EF,根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可證得CG=返CE.

【解答】解：???四邊形A8C。是正方形,

：.AB=BC=CD=AD,NB=NBCD=ND=NBAD=90°,

?.?△4EF等邊三角形,

：.AE=EF=AF,NEAF=60°,

：.ZBAE+ZDAF=30°,

在RtAABE和Rt/XADF中，

[AE=AF,

lAB=AD，

.?.RtAABE^RtAADF(HL),

：.BE=DF,ZBAE=ZDAF,

故①正確；

VZBA￡+ZDAF=30°,

：.ZDAF+ZDAF=30°,

即ND4F=15°,

故②正確；

,:BC=CD,

：.BC-BE=CD-DF,即CE=CF,

"：Rt/\ABE^Rt/\ADF,

：.AE=AF,

；.AC垂直平分EF,

：.EG=FG,

故③正確；

；NECF=90°,EG=FG,

CG=-EF,

2

設(shè)EC=FC=x,由勾股定理，得EF=dEC2+FC

z.CG=LEF=^X=?CE,

222

故④正確；

綜上所述，正確的有①②③④，共4個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理

的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，根據(jù)全等三角形的的判定證得Rt^ABE和RtZ\AOF

是解題的關(guān)鍵.

4.(2021?慈溪市模擬)已知，矩形A3CO中，七為A8上一定點(diǎn)，F(xiàn)為BC上一動(dòng)點(diǎn),以

為一邊作平行四邊形EFG“，點(diǎn)G,“分別在CD和上，若平行四邊形的

面積不會(huì)隨點(diǎn)廠的位置改變而改變，則應(yīng)滿足()

A.AD=4AEB.AD=2ABC.AB=2AED.AB=3AE

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】設(shè)BC=b,BE=c,BF=x,根據(jù)S平行四邊形EFG”=S矩形ABCQ-2(S4BE尸+S

△AEH)=Ca-2c)x+hc,尸為BC上一動(dòng)點(diǎn)，X是變量，(a-2c)是x的系數(shù)，根據(jù)平行

四邊形EFG/7的面積不會(huì)隨點(diǎn)F的位置改變而改變，為固定值，x的系數(shù)為0,A為固

定值，a-2c=0,進(jìn)而可得點(diǎn)E是A8的中點(diǎn)，即可進(jìn)行判斷.

【解答】解：設(shè)AB=o,BC=b,BE=c,BF=x,

??S平行四邊形EFG〃=S矩形ABC。-2(S&BEFtSMEH)

=ab-2[—cx+—(a-c)(。-x)]

22

=ab-(cx+ab-ax-bc+cx)

=ab-ex-ab+cix+bc-ex

=(a-2c)x+bcf

??,尸為3c上一動(dòng)點(diǎn)，

是變量，(4-2c)是X的系數(shù)，

???平行四邊形EFGH的面積不會(huì)隨點(diǎn)F的位置改變而改變，為固定值,

?,?x的系數(shù)為0,兒為固定值，

:?a-2c=0,

??a=2c,

???E是AB的中點(diǎn)，

：.AB=2AE,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性

質(zhì).

5.（2020秋?沈北新區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知正方形A8CD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M和N分別從以

C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿8C、CD向終點(diǎn)C、。運(yùn)動(dòng)，連接AM、BN,交于點(diǎn)P,

連接尸C,則尸C長(zhǎng)的最小值為（）

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理；正方形的性

質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；創(chuàng)新意識(shí).

【分析】先證明絲ZiBCN,得出證出NAPB=90°,得出點(diǎn)P

在以A8為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路徑一條弧8G,連接OC交圓。于P,此時(shí)PC最小，

OP=OB=2,即可求解.

【解答】解：由題意得：BM=CN,

：四邊形ABC。是正方形，

...NABM=N8CN=90°,AB=BC=4,

在△ABM和△8CN中，AB=BC,ZABM=ZBCN,MB=CN,

.?.△ABM嶺△BCN（SAS）,

：.NBAM=NCBN,

■:NABP+/CBN=9&,

.?.NAPB=90°,

.?.點(diǎn)p是以AP為半徑的圓上遠(yuǎn)動(dòng)，設(shè)圓心為。，運(yùn)動(dòng)路徑一條弧耘，是這個(gè)圓的工，

如圖所示:

連接0C交圓0于P，此時(shí)PC最小,

：4B=4,

：.OP=OB=2,

由勾股定理得：0c=62+42=2泥,

；.PC=OC-0尸=2“-2；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中

線性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證出點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)

動(dòng)是解題關(guān)鍵.

6.（2020秋?化州市期末）如圖，已知E,尸分別為正方形ABC。的邊AB,8c的中點(diǎn)，AF

與。E交于點(diǎn)M,。為BO的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①ZAME=90°,②NBAF=NEDB,

③?ME+MF=-/2MB.其中正確結(jié)論的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=AD,ZABC=ZBAD=90°,再根據(jù)中點(diǎn)定

義求出AE=BF,然后利用“邊角邊”證明AABF和△加￡：全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)

角相等可得然后求出NACE+/D4尸=NBAO=90°,從而求出乙4MD

=90°,再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得/AME=90°,得出①正確；根據(jù)中線的定義判斷出

NADEW/EDB,然后求出NBAFWNEOB,判斷出②錯(cuò)誤；設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為

2”，利用勾股定理列式求出AF,再根據(jù)似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出AM,然后求出MF,

消掉。即可得到判斷出③正確；如圖，過(guò)點(diǎn)M作MVL4B于N,于是得到

3

典=迎=迎,得至UNB=AB-AN=2a-&=旦。根據(jù)勾股定理得到,MM2

BFABAF55YBN+MN

=2/虱，于是得到結(jié)論.

5

【解答】解：在正方形A8CO中，AB=BC=AD,NABC=N8AQ=90°,

■:E、尸分別為邊AB,BC的中點(diǎn),

：.AE=BF=^BC,

2

'AE=BF

在AAB尸和△D4E中，，ZABC=ZBAD>

AB=AD

.'.△AB尸絲△D4E(SAS),

：.NBAF=ZADE,

'：ZBAF+ZDAF=ZBAD=90",

...NAME=180°-ZAA/D=180°-90°=90°,

故①正確；

是△A8￡>的中線，

/ADEWNEDB,

：.NBAFWZEDB,

故②錯(cuò)誤；

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a,則BF=a,

在RtZXABF中，AF=AyAB2+BF2=V5a>

■:/BAF=NMAE,/4BC=/AME=90°,

?AM_AEpnAM-a

ABAF2a

解得：AM=2&,

5__

:.MF=AF-AM=8i-兇豆a=冬區(qū)a,

55

：.AM=^-MF,

3

故③正確；

如圖，過(guò)點(diǎn)/作MV_LAB于N,

則圓口迎=幽

'BFABAF)

2娓

即股=蒯=藍(lán)—2

a2aV5a

解得MN=Z?,AN=^a,

55

：.NB=AB-AN=2a-￡=2,

55_

根據(jù)勾股定理，BM=

5

ME+MF==,^￡Lz,

55555

：.ME+MF=42MB.

綜上所述，正確的結(jié)論有①③④共3個(gè).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性

質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，勾股定理逆定理的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大，仔細(xì)分析圖形

并作出輔助線構(gòu)造出直角三角形與相似三角形是解題的關(guān)鍵.

7.（2019秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，ABLAF,EFLAF,BE與AF交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是BC的中

點(diǎn)，NAEB=2NB.若BC=8,EF=5,則4尸的長(zhǎng)是（）

D.5

【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】ft?：'JABLAF,

：.ZFAB=90°,

???點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，

：.AD=BD=^BC,

2

：.ZDAB^ZB,

：.4ADE=NB+NBAD=2NB,

'：NAEB=2NB,

：.NAED=NADE,

：.AE^AD,

：BC=8,

.?.AE=A￡）=4,

,:EF=5,EF±AF,

22=

,"尸=VAE-EF"-（77）2=3'

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的

識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

8.（202（）?龍崗區(qū)校級(jí)模擬）如圖，等邊△ABC與正方形。EFG重疊，其中。、E兩點(diǎn)分別

在A3、BC上，且2￡>=8E.若AB=6,DE=2,則△EFC的面積為（）

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形.

【分析】過(guò)尸作FQ1.BC于Q,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定和正方形的性質(zhì)求出BE

=2,NBED=60°,NDEF=90°,EF=2,求出NFEQ,求出CE和FQ,即可求出答

案.

【解答】解：過(guò)尸作F0LBC于Q,貝UN尸0E=9O°,

；△ABC是等邊二角形，A8=6,

：.BC^AB=6,NB=60°,

；BD=BE,DE=2,

...△BE。是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2,

：.BE=DE=2,NBED=60°,

:.CE=BC-BE=4,

:四邊形。EFG是正方形，DE=2,

:.EF=DE=2,NDEF=90°,

AZFEC=180°-60°-90°=30°,

QF=aEf=1,

...△￡7:'。的面積為,又，￡乂尸（3=**4*1=2,

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能求出CE和

F。的長(zhǎng)度是解此題的關(guān)鍵.

9.（2019秋?溫江區(qū)校級(jí)月考）如圖，在矩形ABC。中，DEVACE,NEDC：ZEDA=\：

3,且AC=10,則OE的長(zhǎng)度是（

C.3

2

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】根據(jù)/EQC：NEDA=1：3,可得/E￡)C=22.5°,NED4=67.5°,再由AC

=10,求得DE.

【解答】解：；四邊形A8C。是矩形，

N4OC=90°，AC=BD=\0,OA=OC=Lc=5,OB=OD=、BD=5,

22

：.OC=OD,

：.ZODC=ZOCD,

VZEDC：NEDA=1：3,NEOC+/EZM=90°,

N￡DC=22.5°,NEDA=67.5°,

VDE±AC,

ZD￡C=90°,

ZDC￡=90°-4EDC=675",

...NOOC=NOCD=67.5°,

ZODC+ZOCD+ZDOC=180°,

AZCOZ)=45°,

OE=DE,

"：OE2+DE2=OD2,

：.(2DE)2=OJ=25,

：.DE=^fi,

2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，求解NCOQ=45°是解題的關(guān)鍵.

10.(2021春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中)如圖，在給定的正方形ABC。中，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿邊

8C方向向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，。凡LAE交A8于點(diǎn)F,以FD,FE為鄰邊構(gòu)造平行四邊形DFEP,

連接CP,則NDFE+NEPC的度數(shù)的變化情況是()

A.一直減小B.一直減小后增大

C.一直不變D.先增大后減小

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)：正方形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；應(yīng)用意識(shí).

【分析】根據(jù)題意/￡>EE+NEPC=NOPC,作PH1.BC交BC的延長(zhǎng)線于H,證明CP

是NDCH的角平分線即可解決問(wèn)題.

【解答】解：作尸H_LBC交8c的延長(zhǎng)線于”，

AD

BECH

?..四邊形ABC。是正方形，

：.AD=AB=BC,

NDAF=NABE=NDCB=NDCH=90°,

?：DFA.AE,

：.ZBAE+ZDAE=90°,ZADF+ZDAE=90<>,

：.NBAE=ZADF,

：./\ADF^/\BAE(ASA),

：.DF=AE,

?.?四邊形DFEP是平行四邊形，

：.DF=PE,NDFE=NDPE,

VZBA￡+ZA￡B=90°,NAEB+NPEH=90°,

:.NBAE=NPEH,

；NABE=NH=90°,AE=EP.

：.^ABE^^EHP(AAS),

：.PH=BE,AB=EH=BC,

：.BE=CH=PH,

：.ZPCH=45°,

'：ZDCH=90°,

：.4DCP=4PCH,

，CP是NQC，的角平分線，

...點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是/OCH的角平分線,

NDFE+NEPC=4DPE+NEPC=ZDPC,

觀察圖象可得，NOPC一直減小，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

二.填空題（共10小題）

11.（2021春?興化市月考）如圖，在正方形ABCQ中，F(xiàn)在A8上，E在BC的延長(zhǎng)線上，

AF=CE,連接。F、DE、EF,EF交對(duì)角線8。于點(diǎn)N,M為EF的中點(diǎn)，連接MC,下

列結(jié)論：①ADEF為等腰直角三角形；②NFDB=NFEC；③直線MC是BD的垂直平

分線；④若BF=2,則MC=J5；其中正確結(jié)論的有①②③④.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；應(yīng)用意識(shí).

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AO=C。，然后利用“邊角邊"證明△">/和△CDE全

等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得￡>E=OF,/ACF=N8E,然后求出NEOF=NAOC

=90°,判斷出是等腰直角三角形，判斷出①正確；由△QE尸是等腰直角三角形

和正方形的性質(zhì)可得/N8E=NOFE=45°,利用三角形內(nèi)角和為180°即可判斷②正

確;連接BM、DM.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得BM=1EF=MD.運(yùn)用“SSS”證明△

2

BCM^/XDCM,得NBCM=NDCM；最后由正方形的性質(zhì)推知MC垂直平分B。，故③

成立;過(guò)點(diǎn)M作MH±BC于H,則NMCH=45°,根據(jù)三角形中位線定理得到MH=ZBF

2

=1,求得故④正確.

【解答】解：正方形ABC。中，AD=CD,

在1和△口）￡中，

'AD=CD

<ZA=ZDCE=90">

AF=EC

:.△AD21XCDE(SAS),

:.DE=DF,NADF=NCDE,

ZEDF=ZFDC+ZCDE=ZFDC+ZADF=ZADC=90°,

.?.△QEF是等腰直角三角形，故①正確；

/.ZDFE=45",

?.,正方形ABCD,BD為對(duì)角線，

:.NNBE=45°,

ZFDN+ZDFN+ZDNF=ZNBE+ZBNE+ZNEB=180°,ZNBE=ZDFE=45°,Z

DNF=NBNE,

：.NFDB=N尸EB,故②正確；

連接BM、DM,

是E尸的中點(diǎn)，ABEF、ZXOEF是直角三角形,

:.BM=DM=、EF,

2

又,：BC=CD,

直線CM是的垂直平分線，

過(guò)點(diǎn)M作于H,則NMCH=45°,

是EF的中點(diǎn)，BFA.BC,MHLBC,

是aBE尸的中位線，

2

：.CM=\p2MH=42<故④正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④.

故答案為：①②③④.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形

的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂

直平分線，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記各性質(zhì)與定理并

作輔助線是解題的關(guān)鍵.

12.（2021春?黃陂區(qū)期中）如圖，在平行四邊形A8CZ）中，E,F分別為BC,C。的中點(diǎn),

ZEAF=60°.若AE=3,A尸=4,則AB的長(zhǎng)為生巨.

一3一

【專題】推理填空題；多邊形與平行四邊形；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】延長(zhǎng)4E交。C延長(zhǎng)線于〃點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作MNJ_AF于N點(diǎn)，先證明△ABE妾A

MCE,得到AM=2AE=6,然后在中，利用30°直角三角形的性質(zhì)和勾股定

理可求AN=3,MV=3?,然后在Rt/\MNF中利用勾股定理求出MF值，依據(jù)MF=>B,

2

貝AB值可求.

【解答】解：延長(zhǎng)AE交QC延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作MNLAF于N點(diǎn)，

點(diǎn)為BC中點(diǎn)，

：.BE=CE.

,JAB//DM,

:.NB=NECM.

又/AEB=NMEC,

：./^ABE^/\MCE（ASA）.

：.CM=AB,AE=ME=3,

：.AM=2AE=6.

在RtZXAMN中，NMAN=60",

所以NAMN=30°,

；.AN=￡AM=3,MN=JAM_人?=丫62.32=3遙,

：.NF=AF-AN=4-3=[.

在RtZiMNF中，利用勾股定理可得

22=

MF=7MN+NF<27+1=2V7

1/四邊形ABCD是平行四邊形，

:.CD=AB,

又尸為cr>中點(diǎn)，

:.CF=^CD=1AB.

22

，MF=MC+CF=邑48.

2

所以當(dāng)18=2百，

2

解得AB=^H.

故答案為士￡.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，在幾何圖形中涉及線段中線問(wèn)題，一般倍

長(zhǎng)中線，作出輔助線構(gòu)造等腰三角形進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化.

13.（2021?河南模擬）如圖，矩形A8CD中，AB=3,BC=4,OE平分NAOC交BC于點(diǎn)E,

AF平分/BAO交BC于點(diǎn)F,交。E于點(diǎn)G,則”=近0.

FG―2一

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【專題】推理填空題；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】過(guò)點(diǎn)G作AQ的垂線，分別交A。，BC于點(diǎn)N,M,可得四邊形8NM是矩形,

根據(jù)矩形性質(zhì)和角平分線定義可以證明△AGO和△GEF均為等腰直角三角形，再利用勾

股定理可得CG和FG的長(zhǎng)，進(jìn)而可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)G作AO的垂線，分別交AD,BC于點(diǎn)、N,M,

則四邊形CDMW是矩形，

：.MN=CD=AB=3,CM=DN,

???四邊形ABC。是矩形，

J.AD//BC,BC=AD=4,

:DE平分/ADC交8C于點(diǎn)E,AF平分/區(qū)4力交BC于點(diǎn)F,

:.NDAG=NADG=NGEF=NGFE=45°,

△AGQ和AGEF均為等腰直角三角形，

:.GN=DN=^AD=2,

2

GM=MN-GN=AB-GN=3-2=1,

MC=DN=2,

：.MF=GM^\,

=22=

CGVGM+MCVl2+22"旄’

:.GF=&,

.CG=V5=V10

,?而72~2~,

故答案為：匝.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與

性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直

角三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.（2020?歷城區(qū)三模）如圖，正方形ABCO的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)￡是BC的中點(diǎn)，連接AE與

對(duì)角線BD交于點(diǎn)G,連接CG并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)F,連接DE交CF于點(diǎn)H,連接AH.以

下結(jié)論：①CTLOE；?CH=Z；?AD=AH；④GH=^其中正確結(jié)論的序號(hào)是

HF35V

②③④

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【專題】推理填空題；數(shù)形結(jié)合：圖形的全等：等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正

方形；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】由正方形的性質(zhì)可得AB=AD=BC=CD=6,BE=CE=3,NDCE=NABE=

90°,NABD=NCBD=45°,可證△ABE絲△OCE,ZXABG絲△CBG,可得NBCF=N

CDE,由余角的性質(zhì)可得CF_LO￡；由勾股定理可求。E的長(zhǎng)，由面積法可求C”，由相

似三角形的性質(zhì)可求CF,可得H尸的長(zhǎng)，即可判斷②；如圖，過(guò)點(diǎn)A作由4

ADM^/\DCH,可得CH=Z)M=gy5=MH,由垂直平分線的性質(zhì)可得4D=AH；由平

5

行線分線段成比例可求GH的長(zhǎng)，即可判斷④.

【解答】解：?.?四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

：.AB=AD=BC^CD^6,BE=CE=3,

ZDCE^ZABE=90°,/ABD=NCBD=45°,

:.△ABEQADCE(SAS),

：.NCDE=NBAE,DE=AE,

\'AB=BC,NABG=NCBG,BG=BG,

：./XABG^/\CBG(SAS),

:./BAE=NBCF,

：.ZBCF=ZCDE,

又；NCDE+NCED=90°,

：.NBCF+NCED=90°,

...NCHE=90°,

：.CF±DE,故①正確；

,:CD=6,CE=3,

AD￡=7CD2-K:E2

=V36+9

=3娓,

S&DCE=ACDxCE=ADEXCH,

22

/.CH=^5,

5

:NCHE=NCBF,NBCF=NECH,

:.△ECHS/\FCB,

?CHCE

*"BC=CF'

.6X3

e司U旄r'

5

/.HF=CF-CH=^^,

5

:.更=2,故②正確;

HF3

如圖，過(guò)點(diǎn)A作4M_LOE于點(diǎn)M,

.,.￡>H=、DC2VH2

-1275

—11

5

"：ZCDH+ZADM=90°,ZDAM+ZADM=90a,

：.NCDH=NDAM,

又：A0=C￡),ZCHD=ZAMD=90°,

/.AADM^ADC/7(A4S),

：.CH=DM=^B-,AM=CH=-12&,

55

:.MH=DM=§匹,

5

又：人用，?！?，

：.AD^AH,故③正確；

,:DE=3疾,DH=二近

5

：.HE=^&,

5_

ME=HE+MH=^^,