第三章簡單的優(yōu)化模型--靜態(tài)優(yōu)化模型3.1存貯模型3.2生豬的出售時(shí)機(jī)3.3森林救火3.4消費(fèi)者的選擇3.5生產(chǎn)者的決策3.6血管分支

現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問題.

建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù).

求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法.

靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù)).簡單的優(yōu)化模型(靜態(tài)優(yōu)化)3.1

存貯模型問題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi).該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出.已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元.試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小.要求不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系.問題分析與思考

每天生產(chǎn)一次,每次100件,無貯存費(fèi),準(zhǔn)備費(fèi)5000元.日需求100件，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元.

10天生產(chǎn)一次,每次1000件，貯存費(fèi)900+800+…+100=4500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)9500元.

50天生產(chǎn)一次,每次5000件,貯存費(fèi)4900+4800+…+100=122500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)127500元.平均每天費(fèi)用950元平均每天費(fèi)用2550元10天生產(chǎn)一次,平均每天費(fèi)用最小嗎?每天費(fèi)用5000元

這是一個(gè)優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù).顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù).目標(biāo)函數(shù)——每天總費(fèi)用的平均值.

周期短，產(chǎn)量小

周期長，產(chǎn)量大問題分析與思考貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小.模型假設(shè)1.產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2.每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為c1,每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為c2；3.T天生產(chǎn)一次（周期）,每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量為零時(shí)，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；建模目的設(shè)r,c1,c2已知，求T,Q

使每天總費(fèi)用的平均值最小.4.為方便起見，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理.模型建立0tq貯存量表示為時(shí)間的函數(shù)q(t)TQrt=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r遞減，q(T)=0.一周期總費(fèi)用每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）離散問題連續(xù)化一周期貯存費(fèi)為A=QT/2模型求解求T使模型解釋定性分析敏感性分析參數(shù)c1,c2,r的微小變化對T,Q的影響T對c1的(相對)敏感度c1增加1%,T增加0.5%S(T,c2)=-1/2,S(T,r)=-1/2c2或r增加1%,T減少0.5%經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式（EOQ公式）

用于訂貨供應(yīng)情況:不允許缺貨的存貯模型模型應(yīng)用T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)

回答原問題c1=5000,

c2=1，r=100

每天需求量r，每次訂貨費(fèi)c1,每天每件貯存費(fèi)c2,T天訂貨一次(周期),每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到零時(shí)，Q件立即到貨.思考:為什么與前面計(jì)算的C=950元有差別?允許缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當(dāng)貯存量降到零時(shí)仍有需求r,出現(xiàn)缺貨，造成損失.原模型假設(shè)：貯存量降到零時(shí)Q件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨).現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨,每天每件缺貨損失費(fèi)c3,

缺貨需補(bǔ)足.T周期T,t=T1貯存量降到零一周期總費(fèi)用一周期貯存費(fèi)一周期缺貨費(fèi)每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）一周期總費(fèi)用求T,Q使為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T',Q記作Q'.允許缺貨的存貯模型不允許缺貨模型記允許缺貨模型不允許缺貨允許缺貨模型0qQ

rT1tT注意：缺貨需補(bǔ)足Q

~每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量R

（或訂貨量）Q~不允許缺貨時(shí)的產(chǎn)量(或訂貨量)存貯模型

存貯模型(EOQ公式)是研究批量生產(chǎn)計(jì)劃的重要理論基礎(chǔ),也有實(shí)際應(yīng)用.

建模中未考慮生產(chǎn)費(fèi)用,為什么?在什么條件下可以不考慮(習(xí)題1)?

建模中假設(shè)生產(chǎn)能力為無限大(生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)),如果生產(chǎn)能力有限(大于需求量的常數(shù)),應(yīng)作怎樣的改動(習(xí)題2)?3.2

生豬的出售時(shí)機(jī)飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計(jì)可使80kg重的生豬體重增加2kg.問題市場價(jià)格目前為8元/kg，但是預(yù)測每天會降低0.1元，問生豬應(yīng)何時(shí)出售?如果估計(jì)和預(yù)測有誤差，對結(jié)果有何影響?分析投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨時(shí)間減少，故存在最佳出售時(shí)機(jī)，使利潤最大.求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利潤20元.建模及求解生豬體重w=80+rt出售價(jià)格p=8-gt銷售收入R=pw資金投入C=4t利潤Q=R-C估計(jì)r=2，若當(dāng)前出售，利潤為80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1=pw-4t敏感性分析研究r,g微小變化時(shí)對模型結(jié)果的影響.估計(jì)r=2，g=0.1

設(shè)g=0.1不變t對r的（相對）敏感度生豬每天增加的體重r變大1%，出售時(shí)間推遲3%.rt敏感性分析估計(jì)r=2，g=0.1研究r,g微小變化時(shí)對模型結(jié)果的影響.

設(shè)r=2不變t對g的（相對）敏感度生豬價(jià)格每天的降低g增加1%，出售時(shí)間提前3%.gt強(qiáng)健性分析保留生豬直到每天收入的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售.由S(t,r)=3建議過一周后(t=7)重新估計(jì),再作計(jì)算.研究r,g不是常數(shù)時(shí)對模型結(jié)果的影響.w=80+rt

w=w(t)p=8-gt

p=p(t)若(10%),則（30%）每天收入的增值每天投入的資金利潤3.3

森林救火森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量.隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小.綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量.問題分析問題記隊(duì)員人數(shù)x,失火時(shí)刻t=0,開始救火時(shí)刻t1,滅火時(shí)刻t2,時(shí)刻t森林燒毀面積B(t).

損失費(fèi)f1(x)是x的減函數(shù),由燒毀面積B(t2)決定.

救援費(fèi)f2(x)是x的增函數(shù),由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定.存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x),f2(x)之和最小.

關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設(shè).問題分析失火時(shí)刻t=0,開始救火時(shí)刻t1,滅火時(shí)刻t2,畫出時(shí)刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形.t1t20tBB(t2)分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論單位時(shí)間燒毀面積dB/dt(森林燒毀的速度).模型假設(shè)3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀單位面積損失費(fèi)）1）0

t

t1,dB/dt

與t成正比，系數(shù)

(火勢蔓延速度).2）t1

t

t2,

降為

-x

(

為隊(duì)員的平均滅火速度).4）每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2,一次性費(fèi)用c3.假設(shè)1）的解釋

rB火勢以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑r與t成正比.面積B與t2成正比dB/dt與t成正比模型建立b0t1tt2假設(shè)1）目標(biāo)函數(shù)——總費(fèi)用假設(shè)3）4）假設(shè)2）模型建立目標(biāo)函數(shù)——總費(fèi)用模型求解求x使C(x)最小結(jié)果解釋

/

是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)b0t1t2t其中c1,c2,c3,t1,

,

為已知參數(shù)模型應(yīng)用c1,c2,c3已知,t1可估計(jì),

c2

x

c1,t1,

x

c3,

x

結(jié)果解釋c1~燒毀單位面積損失費(fèi),c2~每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi),c3~每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用,t1~開始救火時(shí)刻,~火勢蔓延速度,~每個(gè)隊(duì)員平均滅火速度.為什么?

,可設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊(duì)員數(shù)量x3.4消費(fèi)者的選擇背景消費(fèi)者在市場里如何分配手里一定數(shù)量的錢，選擇購買若干種需要的商品.根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)的一條最優(yōu)化原理——“消費(fèi)者追求最大效用”，用數(shù)學(xué)建模的方法幫助消費(fèi)者決定他的選擇.

假定只有甲乙兩種商品供消費(fèi)者購買，建立的模型可以推廣到任意多種商品的情況.當(dāng)消費(fèi)者購得數(shù)量分別為x1,x2的甲乙兩種商品時(shí)，得到的效用可用函數(shù)u(x1,x2)度量，稱為效用函數(shù).效用函數(shù)

利用等高線概念在x1,x2平面上畫出函數(shù)u

的等值線,u(x1,x2)=c稱為等效用線等效用線就是“實(shí)物交換模型”中的無差別曲線，效用就是那里的滿意度.0x2u(x1,x2)=cx1c增加

——一族單調(diào)減、下凸、互不相交的曲線.

效用最大化模型

p1,p2~甲乙兩種商品的單價(jià),y~消費(fèi)者準(zhǔn)備付出的錢

x1,x2~購得甲乙兩種商品數(shù)量QABy/p2y/p1···x1x2幾何分析x2u(x1,x2)=cx10c增加u(x1,x2)=c單調(diào)減、下凸、互不相交.在條件p1x1+p2x2=y下使效用函數(shù)u(x1,x2)最大.AB必與一條等效用線相切于Q點(diǎn)(消費(fèi)點(diǎn)).Q(x1,x2)唯一消費(fèi)線AB模型求解引入拉格朗日乘子λ構(gòu)造函數(shù)與幾何分析得到的Q一致等效用線u(x1,x2)=c的斜率

消費(fèi)線AB的斜率結(jié)果解釋效用函數(shù)的構(gòu)造等效用線u(x1,x2)=c

所確定的函數(shù)x2(x1)單調(diào)減、下凸

解釋條件中正負(fù)號的實(shí)際意義充分條件當(dāng)商品邊際效用之比等于它們價(jià)格之比時(shí)效用函數(shù)最大.~邊際效用——商品數(shù)量增加一個(gè)單位時(shí)效用的增量效用函數(shù)u(x1,x2)幾種常用的形式

購買兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格之比的平方根成正比,比例系數(shù)是參數(shù)α與β之比的平方根.

u(x1,x2)中參數(shù)

,分別度量甲乙兩種商品對消費(fèi)者的效用，或者消費(fèi)者對甲乙兩種商品的偏愛

.

購買兩種商品費(fèi)用之比只取決于λ,μ,與價(jià)格無關(guān).

u(x1,x2)中

,

分別度量兩種商品的效用或者偏愛.實(shí)際應(yīng)用時(shí)根據(jù)對最優(yōu)解的分析，決定采用哪種效用函數(shù)，并由經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定其參數(shù).效用函數(shù)u(x1,x2)幾種常用的形式效用最大化模型應(yīng)用舉例

例1征銷售稅還是征收入稅政府從消費(fèi)者身上征稅的兩種辦法:

銷售稅

~根據(jù)消費(fèi)者購買若干種商品時(shí)花的錢征稅

收入稅

~根據(jù)消費(fèi)者的收入征收所得稅利用圖形從效用函數(shù)和效用最大化的角度討論征稅前設(shè)甲乙兩種商品的單價(jià)為p1,p2，消費(fèi)者準(zhǔn)備花的錢為y,等效用線為u(x1,x2)=c，消費(fèi)點(diǎn)為Q(x1,x2).l1Q1B1x1*l2Q2B2A2x1BAQu(x1,x2)=c0x2x1l

例1征銷售稅還是征收入稅對甲商品征銷售稅,稅率為p0

征稅前的消費(fèi)點(diǎn)Q

消費(fèi)線AB1,B1在B的左邊

AB1與l1相切于Q1(x1*,x2*)若改為征收入稅

政府得到的銷售稅額p0x1*

征收的稅額與銷售稅額p0x1*相同

消費(fèi)線A2B2與l2相切于Q2,可證B2在B1的右邊.

l2在l1上？l2在l1下？

如果l2在l1上方，Q2的效用函數(shù)值將大于Q1,對消費(fèi)者來說征收入稅比征銷售稅好.

例2

價(jià)格補(bǔ)貼給生產(chǎn)者還是消費(fèi)者政府為鼓勵(lì)商品的生產(chǎn)或者減少消費(fèi)者的負(fù)擔(dān)所采取的兩種價(jià)格補(bǔ)貼辦法：

把補(bǔ)貼款直接給生產(chǎn)者把補(bǔ)貼款發(fā)給消費(fèi)者而讓商品漲價(jià)

~鼓勵(lì)商品生產(chǎn),對消費(fèi)者無影響讓甲商品價(jià)格漲到p1+p0,

補(bǔ)貼消費(fèi)者多花的錢p0x1*,使仍達(dá)到消費(fèi)點(diǎn)Q

lQABu(x1,x2)=c0x1x2l?Q?A'B'x1'x2'補(bǔ)貼前的消費(fèi)點(diǎn)Q

消費(fèi)線過Q,與l'相切于Q'

的效用函數(shù)值大于Qx1'<x1*

,x2'>x2*

對消費(fèi)者更有利對甲商品生產(chǎn)不利3.5生產(chǎn)者的決策背景根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)的又一條最優(yōu)化原理——“生產(chǎn)者追求最大利潤”，用數(shù)學(xué)建模的方法幫助生產(chǎn)者或供銷商做出決策.生產(chǎn)者或供銷商根據(jù)產(chǎn)品的成本和產(chǎn)值決定投入，按照商品的銷售情況制訂價(jià)格.在市場經(jīng)濟(jì)中“消費(fèi)者追求最大效用”，生產(chǎn)者呢？最大利潤模型x~產(chǎn)品產(chǎn)量f'(x)~邊際產(chǎn)值——x變化一個(gè)單位時(shí)產(chǎn)值的改變量c'(x)~邊際成本——x變化一個(gè)單位時(shí)成本的改變量最大利潤在邊際產(chǎn)值等于邊際成本時(shí)達(dá)到.假定產(chǎn)品可以全部銷售出去變成收入f(x)~產(chǎn)值(收入),c(x)~成本利潤達(dá)到最大利潤的產(chǎn)量x*在產(chǎn)品可以全部銷售出去的條件下確定商品價(jià)格，使利潤最大.

產(chǎn)量x等于銷量，數(shù)量無限制.

收入與x成正比，系數(shù)p即價(jià)格.

成本與x成正比，系數(shù)c即邊際成本.

銷量x依于價(jià)格p,x(p)是減函數(shù).簡化假設(shè)求p使r(p)最大最優(yōu)定價(jià)模型

利潤c/2~成本的一半b~彈性系數(shù)——價(jià)格上升1單位時(shí)銷量的下降幅度（需求對價(jià)格的敏感度）a~絕對需求(

p很小時(shí)的需求)b

p*

a

p*

a,b可由p和x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作擬合得到~利潤達(dá)到最大的定價(jià)利潤最優(yōu)定價(jià)模型

投資費(fèi)用一定下的產(chǎn)值最大模型

x1,x2~甲乙產(chǎn)品的產(chǎn)量c1,c2~甲乙產(chǎn)品的單位成本s~總投資費(fèi)用f(x1,x2)~產(chǎn)值函數(shù)

在條件下求x1,x2使產(chǎn)值f(x1,x2)

最大.

QABs/c2s/c1···x1x2x2f(x1,x2)=vx10v增加等產(chǎn)值線f(x1,x2)=v單調(diào)減、下凸、互不相交.幾何分析投資線AB必與一條等產(chǎn)值線相切于Q點(diǎn).與效用最大化模型類似下凸~稀缺產(chǎn)品的產(chǎn)值更高投資費(fèi)用一定下的產(chǎn)值最大模型

最優(yōu)解(x1,x2)滿足

在條件下求x1,x2使產(chǎn)值f(x1,x2)

最大.

用拉格朗日乘子法求條件極值~邊際產(chǎn)值當(dāng)兩種產(chǎn)品的邊際產(chǎn)值之比等于它們的價(jià)格之比時(shí)，產(chǎn)值達(dá)到最大.產(chǎn)值最大與費(fèi)用最小的對偶關(guān)系

x=(x1,x2)T,c=(c1,c2)投資費(fèi)用一定的產(chǎn)值最大模型

g(s,c)~給定的單位成本c下費(fèi)用不超過s的最大產(chǎn)值.產(chǎn)值一定的投資費(fèi)用最小模型s(v,c)~給定的單位成本c下產(chǎn)值不低于v的最小費(fèi)用.對偶極值問題只要解決其中之一,另一個(gè)就迎刃而解

成本函數(shù)是簡單的線性函數(shù)c(x).

產(chǎn)值函數(shù)f(x)在實(shí)際生產(chǎn)過程中常常難以確定.——從成本函數(shù)確定產(chǎn)值函數(shù)的圖解法產(chǎn)值最大與費(fèi)用最小對偶關(guān)系的應(yīng)用

Qf(x)≥vlAB0x1x2

給定v和c求得最小費(fèi)用s(v,c)=s

畫出直線AB:cx=sx=(x1,x2)T,c=(c1,c