2024屆吉林省三校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)必刷試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知為兩條不重合直線，為兩個(gè)不重合平面，下列條件中，的充分條件是（）A．∥ B．∥C．∥∥ D．2．已知函數(shù)，其中，，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)滿足的，，有，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B．C． D．3．將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案種數(shù)是()A．18種 B．36種 C．54種 D．72種4．雙曲線的左右焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交雙曲線的左支及右支于，滿足，則該雙曲線的離心率為（）A． B．3 C． D．25．設(shè)雙曲線（，）的一條漸近線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且橢圓的焦距為2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．6．已知命題：是“直線和直線互相垂直”的充要條件；命題：函數(shù)的最小值為4.給出下列命題：①；②；③；④，其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．47．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的（）A．4 B．5 C．6 D．79．已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長(zhǎng)為，那么該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的值分別為（）A．2，0 B．2， C．2， D．2，11．設(shè)集合，，則集合A． B． C． D．12．若2m＞2n＞1，則（）A． B．πm﹣n＞1C．ln（m﹣n）＞0 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是夾角為的兩個(gè)單位向量，若，，則與的夾角為______.14．設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，已知，，若對(duì)任意都有成立，則的值為__________．15．下圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的S的值是______.16．已知數(shù)列滿足：，，若對(duì)任意的正整數(shù)均有，則實(shí)數(shù)的最大值是_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，分別是橢圓的左，右頂點(diǎn)，是橢圓上異于，的一點(diǎn)，且，所在直線斜率之積為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作兩條直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）.當(dāng)直線，的斜率之和為定值時(shí)，直線是否恒過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理.18．（12分）已知函數(shù)（）在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，且，若不等式恒成立.求正實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）等差數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記為數(shù)列前項(xiàng)的和，若，求．20．（12分）如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，，為正三角形，且平面平面，、分別為、的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)為．（1）當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．22．（10分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)實(shí)數(shù)為的最小值，若實(shí)數(shù)，，滿足，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理，對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，，時(shí)，則平面與平面可能相交，，，故不能作為的充分條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，，時(shí)，則，故不能作為的充分條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，，時(shí)，則平面與平面相交，，，故不能作為的充分條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，，，則一定能得到，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判斷問題，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

根據(jù)已知得到函數(shù)兩個(gè)對(duì)稱軸的距離也即是半周期，由此求得的值，結(jié)合其對(duì)稱軸，求得的值，進(jìn)而求得解析式.根據(jù)圖像變換的知識(shí)求得的解析式，再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法，求得的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：已知函數(shù)，其中，，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)滿足的，，有，∴.再根據(jù)其圖像關(guān)于直線對(duì)稱，可得，.∴，∴.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像.令，求得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)圖像變換，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于中檔題.3、B【解析】

把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.【詳解】把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則不同的分配方案有種.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程得到，，根據(jù)向量關(guān)系化簡(jiǎn)到，得到離心率.【詳解】設(shè)，直線的方程為.聯(lián)立整理得，則.因?yàn)?，所以為線段的中點(diǎn)，所以，，整理得，故該雙曲線的離心率.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.5、B【解析】

設(shè)雙曲線的漸近線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用，求出的值，得到的值，求出關(guān)系，進(jìn)而判斷大小，結(jié)合橢圓的焦距為2，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)雙曲線的漸近線方程為，代入拋物線方程得，依題意，，橢圓的焦距，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，要注意雙曲線焦點(diǎn)位置，屬于中檔題.6、A【解析】

先由兩直線垂直的條件判斷出命題p的真假，由基本不等式判斷命題q的真假，從而得出p,q的非命題的真假，繼而判斷復(fù)合命題的真假，可得出選項(xiàng).【詳解】已知對(duì)于命題，由得，所以命題為假命題；關(guān)于命題，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有最小值，所以命題為假命題.所以和是真命題，所以為假命題，為假命題，為假命題，為真命題，所以真命題的個(gè)數(shù)為1個(gè).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線的垂直的判定和基本不等式的應(yīng)用，以及復(fù)合命題的真假的判斷，注意運(yùn)用基本不等式時(shí)，滿足所需的條件，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

利用平面向量平行的坐標(biāo)條件得到參數(shù)x的值.【詳解】由題意得，，，，解得.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行定理，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

根據(jù)程序框圖程序運(yùn)算即可得.【詳解】依程序運(yùn)算可得：，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是理解程序框圖運(yùn)行的過程.9、A【解析】

由拋物線的焦點(diǎn)得雙曲線的焦點(diǎn)，求出，由拋物線準(zhǔn)線方程被曲線截得的線段長(zhǎng)為，由焦半徑公式，聯(lián)立求解.【詳解】解：由拋物線，可得，則，故其準(zhǔn)線方程為，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，．拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長(zhǎng)為，，又，，則雙曲線的離心率為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及利用過雙曲線的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)求離心率.弦過焦點(diǎn)時(shí)，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長(zhǎng)．10、D【解析】

由題意結(jié)合函數(shù)的圖象，求出周期，根據(jù)周期公式求出，求出，根據(jù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，求出，即可求得答案【詳解】由函數(shù)圖象可知：，函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，則故選【點(diǎn)睛】本題主要考查的是的圖像的運(yùn)用，在解答此類題目時(shí)一定要挖掘圖像中的條件，計(jì)算三角函數(shù)的周期、最值，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求出結(jié)果11、B【解析】

先求出集合和它的補(bǔ)集，然后求得集合的解集，最后取它們的交集得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于集合A，，解得或，故.對(duì)于集合B，，解得.故.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查對(duì)數(shù)不等式的解法，考查集合的補(bǔ)集和交集的運(yùn)算.對(duì)于有兩個(gè)根的一元二次不等式的解法是：先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，且不等號(hào)的另一邊化為，然后通過因式分解，求得對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)根，再利用“大于在兩邊，小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.12、B【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值進(jìn)行辨析.【詳解】若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正確；而當(dāng)m，n時(shí)，檢驗(yàn)可得，A、C、D都不正確，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)指數(shù)冪的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小，根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)冪或?qū)?shù)的大小關(guān)系，需要熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合特值法得出選項(xiàng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

依題意可得，再根據(jù)求模，求數(shù)量積，最后根據(jù)夾角公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)槭菉A角為的兩個(gè)單位向量所以，又，所以，，所以，因?yàn)樗裕还蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律，以及夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由已知條件得出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解出這兩個(gè)量，計(jì)算出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最大值及其對(duì)應(yīng)的值，即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，解得，.所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，對(duì)任意都有成立，則為數(shù)列的最大值，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的計(jì)算，一般利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15、【解析】

根據(jù)流程圖，運(yùn)行程序即得.【詳解】第一次運(yùn)行，；第二次運(yùn)行，；第三次運(yùn)行，；第四次運(yùn)行；所以輸出的S的值是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查算法流程圖，是基礎(chǔ)題.16、2【解析】

根據(jù)遞推公式可考慮分析,再累加求出關(guān)于關(guān)于參數(shù)的關(guān)系,根據(jù)表達(dá)式的取值分析出,再用數(shù)學(xué)歸納法證明滿足條件即可.【詳解】因?yàn)?累加可得.若,注意到當(dāng)時(shí),,不滿足對(duì)任意的正整數(shù)均有.所以.當(dāng)時(shí),證明：對(duì)任意的正整數(shù)都有.當(dāng)時(shí),成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立,即,則,即結(jié)論對(duì)也成立.由數(shù)學(xué)歸納法可知,對(duì)任意的正整數(shù)都有.綜上可知,所求實(shí)數(shù)的最大值是2.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解參數(shù)最值的問題,需要根據(jù)遞推公式累加求解,同時(shí)注意結(jié)合參數(shù)的范圍問題進(jìn)行分析.屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）直線過定點(diǎn)【解析】

（1），再由，解方程組即可；（2）設(shè)，，由，得，由直線MN的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意知：，又，且解得，，∴橢圓方程為，（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，設(shè)，，由，得.則，（*）由，得，整理可得（*）代入得，整理可得，又，∴，即，∴直線過點(diǎn)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，其中，∴，由，得，所以∴當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線也過定點(diǎn)綜上所述，直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓位置關(guān)系中的定點(diǎn)問題，在處理直線與橢圓的位置關(guān)系的大題時(shí)，一般要利用根與系數(shù)的關(guān)系來求解，本題是一道中檔題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）求導(dǎo)得到有兩個(gè)不相等實(shí)根，令，計(jì)算函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到值域，得到答案.（2），是方程的兩根，故，化簡(jiǎn)得到，設(shè)函數(shù)，討論范圍，計(jì)算最值得到答案.【詳解】（1）由題可知有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即：有兩個(gè)不相等實(shí)根，令，，，，；，，故在上單增，在上單減，∴.又，時(shí)，；時(shí)，，∴，即.（2）由（1）知，，是方程的兩根，∴，則因?yàn)樵趩螠p，∴，又，∴即，兩邊取對(duì)數(shù)，并整理得：對(duì)恒成立，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，∴在上單增，故恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，∴在上單減，，不符合題意.綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)，恒成立問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19、（1）（2）【解析】

（1）由基本量法求出公差后可得通項(xiàng)公式；（2）由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得，可求得．【詳解】解：（1）設(shè)的公差為，由題設(shè)得因?yàn)?，所以解得，故．?）由（1）得．所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，由得，解得．【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，解題方法是基本量法．20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，.設(shè)交于，則為的中點(diǎn)，連接.通過證明，證得平面，由此證得平面平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】（1）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，.設(shè)交于，則為的中點(diǎn)，連接.設(shè)，則，，∴.由已知，，∴平面，∴.∵，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）由（1）及已知可得平面，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，∴，令得.設(shè)平面的法向量為，∴，令得，∴，∴二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.21、（1）見解析；（2）證明見解析.【解析】

當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，計(jì)算即為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，分類討論x的范圍，可令新函數(shù)，計(jì)算新函數(shù)的最值可證明．【詳解】(1)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，易知為上的增函數(shù)，又，所以是的唯一零點(diǎn)；(2)證明：當(dāng)時(shí)，，①若，則，所以成立，②若，設(shè)，則，令，則，因?yàn)?，所以，從而在上單調(diào)遞增，所以，即，在上單調(diào)遞增；所以，即，故.【點(diǎn)睛】本題主要