2023年高考數學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。

2.答題時請按要求用筆。

3,請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若復數z滿足z=（2+i）（l-i）（i是虛數單位），則|z|=（）

A.叵B.V10C.@D.V5

22

2.正AABC的邊長為2,將它沿8C邊上的高翻折，使點8與點。間的距離為百，此時四面體A-3CD的外

接球表面積為（）

10萬13萬

A.----B.47rC.---D.7%

33

22

3.已知4、尸2分別是雙曲線。：:一會=1（。>0/>0）的左、右焦點，過尸2作雙曲線C的一條漸近線的垂線，分

別交兩條漸近線于點A、B,過點3作x軸的垂線，垂足恰為"，則雙曲線。的離心率為（）

A.2B.6C.2>/3D.逐

4.2021年部分省市將實行“3+1+2”的新高考模式，即語文、數學、英語三科必選，物理、歷史二選一，化學、生物、

政治、地理四選二，若甲同學選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學同時選擇歷史和化學的概率為

11

A.—B.—

84

11

C.—D.—

62

5.某調查機構對全國互聯(lián)網行業(yè)進行調查統(tǒng)計，得到整個互聯(lián)網行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖，90后從事互聯(lián)網行業(yè)

崗位分布條形圖，則下列結論中不正確的是（）

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.

B.互聯(lián)網行業(yè)中從事技術崗位的人數超過總人數的20%

C.互聯(lián)網行業(yè)中從事運營崗位的人數90后比80前多

D.互聯(lián)網行業(yè)中從事技術崗位的人數90后比80后多

3兀.I11

6.已知單位向量Q,〃的夾角為,若向量小=2Q，n=4a-Ab＞且相，幾，則（）

A.2B.2C.4D.6

7.天干地支，簡稱為干支，源自中國遠古時代對天象的觀測.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天

干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀年法是天干和地支依次按固定的順序

相互配合組成，以此往復，60年為一個輪回.現(xiàn)從農歷2000年至2019年共20個年份中任取2個年份，則這2個年份

的天干或地支相同的概率為（）

29485

A.—B.—C.—D.—

19959519

8.已知函數/（幻=，則/”正（)

10.已知AM,&V分別為圓?：(x+l?+y2=i與Q：(x-2)2+y2=4的直徑，則A8WN的取值范圍為()

A.[0,8]B.[0,9]C.[1,8]D.[1,9]

11.我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果，哥德巴赫猜想的內容是：每個大于2的偶數

都可以表示為兩個素數的和，例如：4=2+2,6=3+3,8=3+5,那么在不超過18的素數中隨機選取兩個不同

的數，其和等于16的概率為()

1212

A.—B.—C.—D?—

21211515

12.設“2.71828…為自然對數的底數，函數/(x)=e*—若/⑷=1,貝iJ/(—a)=()

A.-1B.1C.3D.-3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數列｛。“｝滿足q+24+3%+…+=2",則.

14.一個長、寬、高分別為1、2、2的長方體可以在一個圓柱形容器內任意轉動，則容器體積的最小值為.

2x-y+2>0

15.實數X，〉'滿足｛》一>+1<0,則z=2x+y的最大值為.

x+^-2<0

16.在的二項展開式中，x的系數為.(用數值作答)

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數/(x)=oxe*(aeR,。。0),g(x)=x+lnx+l.

(I)討論f(x)的單調性；

(U)若對任意的x〉0,F(x)2g(x)恒成立，求實數。的取值范圍.

18.(12分)某客戶準備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為二級過濾，使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采

用并聯(lián)安裝，再與一級過濾器串聯(lián)安裝.

.__________.々級過濾

二級過濾器,一＞/

11

----7級過濾器

其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)在使用過程中，一級漉芯和二級濾芯都需要不定期更換（每個濾芯是否需要

更換相互獨立）.若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯，則一級濾芯每個160元，二級濾芯每個80元.若客戶在使用

過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元，二級濾芯每個200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數量，為

此參考了根據100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內更換濾芯的相關數據制成的圖表，其中表1是根據100個一級過濾

器更換的濾芯個數制成的頻數分布表，圖2是根據200個二級過濾器更換的濾芯個數制成的條形圖.

表1：一級濾芯更換頻數分布表

一級濾芯更換的個數89

頻數6040

以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以200個二級過濾器更換濾芯的頻率

代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.

（1）求一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為16的概率；

（2）記X表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的二級濾芯總數，求X的分布列及數學期望；

（3）記相，〃分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數.若加+〃=19,且加€{8,9},

以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據，試確定〃?，"的值.

19.（12分）某企業(yè)現(xiàn)有A.B兩套設備生產某種產品，現(xiàn)從4,8兩套設備生產的大量產品中各抽取了100件產品作

為樣本，檢測某一項質量指標值，若該項質量指標值落在［20,40）內的產品視為合格品，否則為不合格品.圖1是從4

設備抽取的樣本頻率分布直方圖，表1是從8設備抽取的樣本頻數分布表.

圖1：A設備生產的樣本頻率分布直方圖

表1：8設備生產的樣本頻數分布表

質量指標值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

頻數2184814162

(1)請估計48設備生產的產品質量指標的平均值;

(2)企業(yè)將不合格品全部銷毀后，并對合格品進行等級細分，質量指標值落在［25,30)內的定為一等品，每件利潤240

元；質量指標值落在［20,25)或［30,35)內的定為二等品，每件利潤180元；其它的合格品定為三等品，每件利潤120

元.根據圖1、表1的數據，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產品中抽到一件

相應等級產品的概率.企業(yè)由于投入資金的限制，需要根據A,5兩套設備生產的同一種產品每件獲得利潤的期望值調

整生產規(guī)模，請根據以上數據，從經濟效益的角度考慮企業(yè)應該對哪一套設備加大生產規(guī)模？

20.(12分)已知函數/(x)-l)Tnx(meR).

(1)若根=1,求證：/(x)>0.

(2)討論函數/(%)的極值;

(3)是否存在實數〃2,使得不等式/.(x)〉，-一［在—)上恒成立？若存在，求出加的最小值；若不存在，請

xe

說明理由.

21.(12分)已知橢圓C：￡+,=l(0<b<a)的離心率為乎,且經過點(1，亭)

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(0,2)的直線/與橢圓C交于不同兩點A、B,以。4、08為鄰邊的平行四邊形。AM8的頂點"在橢圓C

上，求直線/的方程.

22.(10分)已知函數g(x)="—(a—1)/—其中e為自然對數的底數.

(1)若函數/(x)=g'(x)在區(qū)間［0,1］上是單調函數，試求"的取值范圍；

(2)若函數g(x)在區(qū)間［0,1］上恰有3個零點，且g⑴=0,求〃的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

利用復數乘法運算化簡z,由此求得|z|.

【詳解】

依題意z=2+i-2i-i2=3-i,所以|z|=^32+(-1)2=廂.

故選：B

【點睛】

本小題主要考查復數的乘法運算，考查復數模的計算，屬于基礎題.

2.D

【解析】

如圖所示，設AO的中點為。2，MCD的外接圓的圓心為。-四面體A-BCD的外接球的球心為。，連接

OO\,OO&OD,利用正弦定理可得。a=1,利用球心的性質和線面垂直的性質可得四邊形。O?。。為平行四邊形,

最后利用勾股定理可求外接球的半徑，從而可得外接球的表面積.

【詳解】

如圖所示，設AO的中點為。2，AfiCZ)外接圓的圓心為。?,四面體A-3CQ的外接球的球心為。，連接

OOt,OO2,OD,則OQ_L平面BCD,OO21AD.

2—31

因為CD=BD=1,BC=M,故cosNBDC=-'=——,

2x1x12

因為NBOCe(0,?),故NBQC=、-.

拒

由正弦定理可得2°&=一1彳=2,故0a=i,又因為AO=G，故。0五.

sin—2

因為AZ>_LOB,A￡>_LCD,Q5cCO=。，故AD_L平面BC。，所以。Q〃A。，

因為45，平面BCD,。。<=平面8。。，故A。，。。一故。。2〃。。，

所以四邊形。為平行四邊形，所以001=。。2=#，

所以。。=<跖=也，故外接球的半徑為也，外接球的表面積為4〃x2=7%.

V4224

故選：D.

【點睛】

本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計算，還考查正弦定理和余弦定理，折疊問題注意翻折前后的變

量與不變量，外接球問題注意先確定外接球的球心的位置，然后把半徑放置在可解的直角三角形中來計算，本題有一

定的難度.

3.B

【解析】

1,2

設點3位于第二象限，可求得點5的坐標，再由直線與直線y=—九垂直，轉化為兩直線斜率之積為-1可得出勺

aa-

的值，進而可求得雙曲線C的離心率.

【詳解】

h卜(、(be\

設點3位于第二象限，由于3耳，》軸，則點3的橫坐標為4=-，，縱坐標為力=-上4=空，即點8-G—,

aa\aJ

hb2

由題意可知，直線BQ與直線y=-x垂直,a2,

a~b

22

因此，雙曲線的離心率為e=￡a+b

a2

故選：B.

【點睛】

本題考查雙曲線離心率的計算，解答的關鍵就是得出。、b,。的等量關系，考查計算能力，屬于中等題.

4.B

【解析】

甲同學所有的選擇方案共有C；C：=12種，甲同學同時選擇歷史和化學后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一

31

科即可，共有C；=3種選擇方案，根據古典概型的概率計算公式，可得甲同學同時選擇歷史和化學的概率P=F=—,

124

故選B.

5.D

【解析】

根據兩個圖形的數據進行觀察比較，即可判斷各選項的真假.

【詳解】

在A中，由整個互聯(lián)網行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖得到互聯(lián)網行業(yè)從業(yè)人員中90后占56%,所以是正確的；

在B中，由整個互聯(lián)網行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯(lián)網行業(yè)崗位分布條形圖得到：

56%x39.6%=22.176%>20%,互聯(lián)網行業(yè)從業(yè)技術崗位的人數超過總人數的20%,所以是正確的；

在C中，由整個互聯(lián)網行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯(lián)網行業(yè)崗位分別條形圖得到：

13.7%x39.6%=9.52%>3%,互聯(lián)網行業(yè)從事運營崗位的人數90后比80后多，所以是正確的；

在D中，互聯(lián)網行業(yè)中從事技術崗位的人數90后所占比例為56%x39.6%=22.176%<41%,所以不能判斷互聯(lián)網

行業(yè)中從事技術崗位的人數9()后比80后多.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了命題的真假判定，以及統(tǒng)計圖表中餅狀圖和條形圖的性質等基礎知識的應用，著重考查了推理與運算

能力，屬于基礎題.

6.C

【解析】

根據m_L〃列方程，由此求得4的值，進而求得向.

【詳解】

由于m所以/篦?〃=(),即

2a?（4。-幾人）=8。-2Aa?〃=8—22?cos=8+>/22=0,

解得力一*=-4近.

所以〃=4。+4>&?

所以

4同『=Ji6a>+32后?1+32/;=+32&cos手=如8-32=4.

故選:C

【點睛】

本小題主要考查向量垂直的表示，考查向量數量積的運算，考查向量模的求法，屬于基礎題.

7.B

【解析】

利用古典概型概率計算方法分析出符合題意的基本事件個數，結合組合數的計算即可出求得概率.

【詳解】

20個年份中天干相同的有10組(每組2個)，地支相同的年份有8組(每組2個)，從這20個年份中任取2個年份,

10+89

則這2個年份的天干或地支相同的概率P=

"cT95,

故選:B.

【點睛】

本小題主要考查古典概型的計算，考查組合數的計算，考查學生分析問題的能力，難度較易.

8.C

【解析】

結合分段函數的解析式冼求出/(-2)，進而可求出/[/(-2)].

【詳解】

由題意可得了(-2)=32=9,則/[/(一2)]=f(9)=log2(9-l)=3.

故選:C.

【點睛】

本題考查了求函數的值，考查了分段函數的性質，考查運算求解能力，屬于基礎題.

9.A

【解析】

本題采用排除法：

由/[一與)=一，[T)排除選項D；

根據特殊值/J>°排除選項C；

由x〉0,且x無限接近于0時，〃力<0排除選項獨

【詳解】

2x_o~x

對于選項D由題意可得，令函數〃x)=y：/

：AICOS大

對于選項B：當尤>0,且A-無限接近于0時,W-COSX接近于一1<0,2、一2r>0,此時“X)<0.故選項B排除；

故選項:A

【點睛】

本題考查函數解析式較復雜的圖象的判斷;利用函數奇偶性、特殊值符號的正負等有關性質進行逐一排除是解題的關鍵;

屬于中檔題.

10.A

【解析】

由題先畫出基本圖形，結合向量加法和點乘運算化簡可得

ABMN=^OtO2+(AO,+O,B)]■[o,O2-(AO,+O,B)j=9-1AO,+O*『，結合+02M的范圍即可求解

【詳解】

如圖，

AB."N=(AQ+OR+。2孫(MQ+OR+02N)=[。《+(核+。/)]{。。2~{AO\+。2用

=|。02|2—卜。|+0292=9—,。1+02q2其中,。+028同2—1,2+1]=[1,3],所以

/4B-/W7VG[9-32,9-12]=[O,8].

故選：A

【點睛】

本題考查向量的線性運算在幾何中的應用，數形結合思想，屬于中檔題

11.B

【解析】

先求出從不超過18的素數中隨機選取兩個不同的數的所有可能結果，然后再求出其和等于16的結果，根據等可能事

件的概率公式可求.

【詳解】

解：不超過18的素數有2,3,5,7,11,13,17共7個，從中隨機選取兩個不同的數共有C；=21,

其和等于16的結果(3,13),(5,11)共2種等可能的結果，

2

故概率P=7T.

21

故選：B.

【點睛】

古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數，本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計數得到，屬于基礎

題.

12.D

【解析】

利用/(a)與〃一。)的關系，求得/(一。)的直

【詳解】

依題意/(a)=e"-e-"-1=l,e"=2,

所以/(—a)=e~a—ea—\=—(e"—e"j—1=—2—1=—3

故選：D

【點睛】

本小題主要考查函數值的計算，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2,〃=1

13.4=(2"T

----，川22

.n

【解析】

項和轉化可得叫.=2"-2"~'=2"-'(〃N2),討論〃=1是否滿足，分段表示即得解

【詳解】

當〃=1時，由已知，可得4=2i=2,

***q+2a)+3%+.??+=2",①

n-1

故a1+2a2+3a3+...+(?-1)=2(H>2),②

由①-②得叫=2"-21=2-1

顯然當〃=1時不滿足上式，

2,〃=1

----，九22

、n

2,〃=1

n]

故答案為：an=\2~

----，〃22

、n

【點睛】

本題考查了利用s“求明,考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算，分類討論的能力，屬于中檔題.

一27兀

14.--

4

【解析】

一個長、寬、高分別為1、2、2的長方體可以在一個圓柱形容器內任意轉動,則圓柱形容器的底面直徑及高的最小值均

等于長方體的體對角線的長，長方體的體對角線的長為戶再乒=3,所以容器體積的最小值為兀x(|)2x3=?.

_5

15.一?

2

【解析】

畫出可行域，解出可行域的頂點坐標，代入目標函數求出相應的數值，比較大小得到目標函數最值.

【詳解】

解：作出可行域，如圖所示，

則當直線z=2x+y過點C時直線的截距最大，z取最大值.

x+y-2=0213

由《；同理B(0,2),A(-l,0),

x-y+1=0222

2

z

c=ZB=2,ZA=-2

.?"'=2取最大值.

本題考查線性規(guī)劃的線性目標函數的最優(yōu)解問題.線性目標函數的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得，所以

對于一般的線性規(guī)劃問題，若可行域是一個封閉的圖形，我們可以直接解出可行域的頂點，然后將坐標代入目標函數

求出相應的數值，從而確定目標函數的最值；若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值.

16.-40

【解析】

由題意，可先由公式得出二項展開式的通項(+1=625-，(—1)'30-3"再令得L3即可得出x項的系數

【詳解】

(2/—口的二項展開式的通項公式為小=6(2/廣'(一］)=￡25-(―

r=0,1,2,3,4,5,

令10—3廠=1,廠=3,

所以(2/—皆的二項展開式中x項的系數為C^22-(-l)3=-40.

故答案為：-40.

【點睛】

本題考查二項式定理的應用，解題關鍵是靈活掌握二項式展開式通項的公式，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(I)見解析(II)a>\

【解析】

(I)求導得到尸(x)=a(x+l)e’，討論a>0和。<0兩種情況，得到答案.

x+lnx+1?、x+lnx+14?,、-(x+l)(x+lnx)人,、,?,

(H)變換得到。之'設,n網x)=一求尸(x)=一而一'令0(x)=x+lnx’故奴zx)

xex

在(0,+8)單調遞增，存在不€(：,“使得0(/)=0,F(x)nux=F(x0),計算得到答案.

【詳解】

(I)/'(x)=a(x+l)e*("0),

當a>0時，/(x)在(一℃,一1)單調遞減，在(-L+o。)單調遞增;

當。<0時，Ax)在(YO,-D單調遞增，在(-1,+°。)單調遞減.

x+lnx+1

(II)/(x)>^(x)(x〉0),即ar/2x+lnx+l(x>0),a>(x>0).

xex

x+lnx+1

令/(%)=(x>0),

xex

1+-xex-(x+l)e，(x+Inx+1)

則F'(x)=X=-a+i)a+m幻.

2x2ev

jx+]

令8(x)=x+lnx,<^'(x)=1+-=-——，故0(x)在(0,+oo)單調遞增，

XX

注意至(]0(1)=：一1<0,。⑴=1>0,

于是存在eI""'1)使得。(毛)=%+In=。，

可知尸(X)在(0,天)單調遞增，在(%,+8)單調遞減.

??.F(初一(%)="。+叱。+1=1.

元00

綜上知，a>\.

【點睛】

本題考查了函數的單調性，恒成立問題，意在考查學生對于導數知識的綜合應用能力.

52

18.(1)0.024；(2)分布列見解析，EX=—;(3)m=8,〃=11

【解析】

(1)由題意可知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過

濾器需要更換8個濾芯，兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯，而由一級濾芯更換頻數分布表和二級濾芯更換頻數條

形圖可知，一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,再由乘法原理可

求出概率；

(2)由二級濾芯更換頻數條形圖可知，一個二級過濾器需要更換濾芯的個數為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,

而X的可能取值為8,9,10,11,12,然后求出概率，可得到X的分布列及數學期望；

(3)由加+〃=19,且加?8,9},可知若加=8,則“=11,或若加=9,貝!]“=10,再分別計算兩種情況下的所

需總費用的期望值比較大小即可.

【詳解】

(1)由題意知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾

器需要更換8個濾芯，兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯，設“一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數

恰好為16”為事件A，

因為一個一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,所以

尸(A)=0.6x0.2x0.2=0.024.

(2)由柱狀圖知，一個二級過濾器需要更換濾芯的個數為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,由題意X的可能取

值為8,9,10,11,12,

從而尸(x=8)=0.2X0.2=0.04,P(X=9)=2X0.2*0.4=0.16,

P(X=10)=2x0.2x0.4+0.4x0.4=0.32,P(X=11)=2x0.4x0.4=0.32,

P(X=12)=0.4x0.4=0.16.

所以X的分布列為

X89101112

P0.040.160.320.320.16

EX=8x0.04+9x0.16+10x0.32+11x0.32+12x0.16=10.4(個).

或用分數表示也可以為

X89101112

14884

P

2525252525

142Q45?

￡X=8x—+9x—+10x—+llx—+12x—=—（個）.

25252525255

（3）解法一：記y表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內購買各級濾芯所需總費用（單位：元）

因為根+〃=19,且me{8,9},

1°若m=S,則〃=11,

EY}=160x8+400x0.4+80x11+200x0.16=2352(:元);

2°若〃2=9,則右=10,

=160x9+80x10+200x0.32+400x0.16=2368(元).

因為后年＜七匕，故選擇方案：加=8,“=11.

解法二：記〃，&分別表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內購買一級濾芯和二級濾芯所需費用（單位：元）

1°若加=8,則〃=11,

〃看的分布列為

小12801680

P0.60.4

08801080

P0.840.16

該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內購買的各級濾芯所需總費用為

坳+碣=1280x0.6+1680x0.4+880x0.84+1080x0.16=2352(%)；

2°若利.=9,貝!]〃=10,

多的分布列為

80010001200

P0.520.320.16

Er)2+￡^2=160x9+800x0.52+1000x0.32+1200x0.16=2368(元).

因為<Erj2+E&

所以選擇方案：加=8,"=11.

【點睛】

此題考查離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法及應用，考查古典概型，考查運算求解能力，屬于中檔題.

19.(1)xA=30.2,xB=29；(2)8設備

【解析】

(1)平均數的估計值為組中值與頻率乘積的和；

(2)要注意指標值落在[20,40)內的產品才視為合格品，列出4、〃設備利潤分布列，算出期望即可作出決策.

【詳解】

(D4設備生產的樣本的頻數分布表如下

質量指標值

[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

頻數41640121810

=0.04x17.5+0.16x22.5+0.40x27.5+0.12x32.5+0.18x37.5+0.10x42.5=30.2.

根據樣本質量指標平均值估計A設備生產一件產品質量指標平均值為30.2.

B設備生產的樣本的頻數分布表如下

質量指標值

[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

XB

頻數2184814162

豆=17.5x0.02+22.5x0.18+27.5x0.48+32.5x0.14+37.5x0.16+42.5x0.02=29

根據樣本質量指標平均值估計B設備生產一件產品質量指標平均值為29.

(2)A設備生產一件產品的利潤記為X,B設備生產一件產品的利潤記為Y,

X240180120

20149

P

434343

Y240180120

j_j_

P

236

E(X).(240x20+180x14+120x9)=195.35

￡(/)=240x1+180xi+120x1=200

236

E(X)<E")

若以生產一件產品的利潤作為決策依據，企業(yè)應加大B設備的生產規(guī)模.

【點睛】

本題考查平均數的估計值、離散隨機變量的期望，并利用期望作決策，是一個概率與統(tǒng)計綜合題，本題是一道中檔題.

20.(1)證明見解析；(2)見解析；(3)存在，1.

【解析】

(1)m=\,求出/'(X)單調區(qū)間，進而求出，(冷血》。，即可證明結論；

(2)對r(x)20(或/'(x)K0)是否恒成立分類討論，若恒成立，沒有極值點，若不恒成立，求出/(x)>0,/(x)<0

的解，即可求出結論；

(3)令〃(x)=，--g,xe(l,+8),可證//(%)>0,%€(1,”)恒成立，而/(1)=0,由(2)得，mKOJ(x)在(1,48)

為減函數，0<相<1,/(幻在上單調遞減，在(L”)都存在./Xx)<0,不滿足/(x)>g(x),當m2/時,

設F(x)='/〃(x2—])—]nx—_L+_*,且尸(1)=0,只需求出產(x)在(1,+w)單調遞增時m的取值范圍即可.

2、7xe

【詳解】

(1)?/?=1,/(x)=^(x2-l)-lnx(x>0),

f(x)=--+x=^-,當X€(O,1)時，r(x)<0,

XX

當X€(l,+oo)時，f'(x)>0,：./(x)niin=/(I)=0,故f(x)N0.

(2)由題知，x>(),f\x-)=--+mx=mX~,

XX

2[

①當加<0時，f'(x)="n"<0,

X

所以/(幻在(0,+8)上單調遞減，沒有極值；

2]]

②當機>()時，/⑴」"=(),得x=『，

x7m

/V)<0；/'(x)>0,

所以/(x)在((),，=、

上單調遞減，在,+8上單調遞增.

\7nn)7

故/(x)在x=)處取得極小值/

=—lnm+———m,無極大值.

7m222

(3)不妨令〃(x)=±1--1i-=a-"一”一；X

xexxe

設“(x)=e*T-x,xw(L+oo),〃'(x)=e*T-1>0在(l,+o。)恒成立,

u(x)在[1,+oo)單調遞增，w(x)>w(l)=0,

,?.e'T-xNO在(1,一)恒成立，

所以，當xe(l,+<x>)時，/?(%)>0,

由(2)知，當M<O,x>l時，f(x)在(1,4w)上單調遞減,

/(x)〈/⑴=0恒成立;

所以不等式小)1一貴在(…)上恒成立，只能心0.

，=>1,由(1)知/(X)在

當0＜?。?時,上單調遞減,

7m

所以/＜/(1)=0,不滿足題意.

當機21時，設/(乃二卜4/一］)一皿工一工+―^,

因為〃221,%>1,所以2x,e*?>1,0<——<1,—1<.....-<0,

X，一x~一元+1

Fr(x)=-----Fmx+—7------>——+X+--1

xxex~xXT

>0>

所以F(x)在(1,+?))上單調遞增,

又F(l)=0,所以xw(l,+8)時，b(x)>0恒成立,

即/(x)-h(x)>0恒成立，

故存在加之/,使得不等式/(幻＞，-一L在(1,+A＞上恒成立,

xe

此時機的最小值是1.

【點睛】

本題考查導數綜合應用，涉及到函數的單調性、極值最值、不等式證明，考查分類討論思想，意在考查直觀想象、邏

輯推理、數學計算能力，屬于較難題.

21.(1)—+y2=1(2)y=±x+2

42

【解析】

(1)根據橢圓的離心率、橢圓上點的坐標以及列方程，由此求得進而求得橢圓的方程.

(2)設出直線/的方程，聯(lián)立直線/的方程和橢圓的方程，寫出韋達定理.根據平行四邊形的性質以及向量加法的幾何

意義得到OM=04+08,由此求得M點的坐標，將A的坐標代入橢圓方程，化簡后可求得直線/的斜率，由

此求得直線/的方程.

【詳解】

(1)由橢圓的離心率為立，點(I,走)在橢圓上，所以￡=@,±+2=1,且儲一

22ala1Ab1

2

解得/=4萬=1,所以橢圓。的方程為r土+y2=i.

4-

(2)顯然直線/的斜率存在，設直線/的斜率為左，則直線/的方程為>=區(qū)+2,設