專題4.27相似三角形的性質(zhì)(培優(yōu)篇)(專項(xiàng)練習(xí))

一、單選題

知識(shí)點(diǎn)一、運(yùn)用相似三角形性質(zhì)求解

1.如圖，矩形ABCD中，AD=2,AB=3,過(guò)點(diǎn)A,C作相距為2的平行線段AE,CF,分

別交CD,AB于點(diǎn)E,F,則DE的長(zhǎng)是()

135

A.y/sB.—C.1D.—

66

2.如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處，過(guò)點(diǎn)E作EG〃CD交

AF于點(diǎn)G,連接DG.給出以下結(jié)論：①DG=DF；②四邊形EFDG是菱形；③

PC2=PAXPB；

④當(dāng)AG=6,EG=26時(shí)，BE的長(zhǎng)為上叵，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是()

5

A.1B.2C.3D.4

3.在RSABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=8,D,E是AB和BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD,

DE貝IJCD+DE的最小值為()

16+8出16石門32

A.oERD.-------rL.----LJ.

555

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+〃?(〃?>())分別交x軸，y軸于A8兩點(diǎn)，已知

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,0),若。為線段OB的中點(diǎn)，連接AE),OC,S.ZADC=ZOAB,則"?的

值是()

A.12B.6C.8D.4

知識(shí)點(diǎn)二、證明相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例

5.如圖，若AABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足NFAC=NPBA=NPCB,則稱點(diǎn)P為4ABe的布洛卡

點(diǎn).問(wèn)題：已知在等腰直角三角形DEF中，NEDF=90。,若點(diǎn)Q為4DEF的布洛卡點(diǎn)，

DQ=\,貝ijEQ+FQ^()

A.5B.4C.3+72D.2+V2

6.如圖，在矩形ABC。中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE1AC,垂足為點(diǎn)F,連接OF,分析下

列四個(gè)結(jié)論：①△AEFsaCAB；②CF=2AF；③FC=OC；④CD:AD=0:2.其中正確的

結(jié)論有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)(0,3),點(diǎn)B坐標(biāo)(4,0),將點(diǎn)O沿直線y=+6

4

對(duì)折，點(diǎn)。恰好落在NOAB的平分線上的。處，則〃的值為()

c15

A.BD.—

2-?eV16

8.如圖，AB〃CD,AEPFD,AE.FD分別交BC于點(diǎn)G、H,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的

是()

PHCH「GECG「AFHG-FHBF

A.B.-—C.----=------D.=

FHBHFDGBCECGAGAB

知識(shí)點(diǎn)三、利用相似三角形解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

9.如圖，在△ABC中，AB=AC,BC=6,E為AC邊上的點(diǎn)且AE=2EC,點(diǎn)。在8c邊上

且滿足BO=DE,設(shè)BD=y,ABC=X9則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（)

c4,5

A.y=-^+-B.y=-/+一

78102,8102

C.y=-^—x2+24

D.y=-―-x2+2

)810■810

10.如圖，在△ABC中，AB=AC=8,BC=6,點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)以1個(gè)單位/s的速度向點(diǎn)A

運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)以2個(gè)單位/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).當(dāng)以B,P,。為頂點(diǎn)的三角

形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）

A.帝24B.j9sC,帝24或］9sD.以上均不對(duì)

11.如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,點(diǎn)E在邊AD上，且AE：ED=1：3.動(dòng)點(diǎn)P

從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，過(guò)點(diǎn)E作EF_LPE交射線BC于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)PF,設(shè)

M是線段PF的中點(diǎn)，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，線段DM長(zhǎng)的最小值為（）

A.—>/10B.—>/10C.3.y2D.

12.如圖所示，點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P分別作PE±BC

于點(diǎn)E,PFJ_DC于點(diǎn)F,連接AP并延長(zhǎng)，交射線BC于點(diǎn)H,交射線DC于點(diǎn)M,連接

EF交AH于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)P在BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括B、D兩點(diǎn)），以下結(jié)論中：①M(fèi)F=MC；

②AP=EF；?AH±EF；?AP2=PM?PH；⑤EF的最小值是垃.其中正確結(jié)論有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

知識(shí)點(diǎn)四、相似三角形的判定與性質(zhì)

13.如圖，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AD=3,AB=2,E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在邊BC上，且BF=2FC,

AF分別與DE、DB相交于點(diǎn)M,N,則MN的長(zhǎng)為（）

A2&口9003?「40

52045

14.如圖，E,F是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，AE=CF=-AC.連接DE,DF并

4

延長(zhǎng)，分別交AB,BC于點(diǎn)G,H,連接GH,則稱四的值為（）

A.4B.f-C.-D.1

234

15.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4,延長(zhǎng)C3至E使目3=2,以￡?為邊在上方作正方形

EFGB,延長(zhǎng)FG交。C于連接AM、AF,〃為AO的中點(diǎn)，連接切分別與A3、AM

交于點(diǎn)N、K.則下列結(jié)論：QMNH三AGNF；②ZAFN=/HFG；③FN=2NK；④

SMFN:SMDM=1:4.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

16.如圖，過(guò)點(diǎn)4（01）作》軸的垂線交直線/：y=^x于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作直線/的垂線，交

y軸于點(diǎn)&,過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交直線/于點(diǎn)兒，…，這樣依次下去,得到，"44，

△4A46,…，其面積分別記為豆，邑，s3,則耳皿（）

A.［孚］B.（3>/3）100C.36x4"D.3^x2395

知識(shí)點(diǎn)五、相似三角形的綜合問(wèn)題

17.如圖，在AABC中，。是線段AB上的點(diǎn)，且AD:8￡）=1:2,尸是線段2c上的點(diǎn)，DE\\BC,

正||BA.小亮同學(xué)隨機(jī)在AMC內(nèi)部區(qū)域投針，則針扎到:砂（陰影）區(qū)域內(nèi)的概率是

（）

1254

A.—B.—C.—D.一

39189

18.如圖，正方形ABCQ和正方形CGFE的頂點(diǎn)C,D,E在同一條直線上，頂點(diǎn)B,C,G

在同一條直線上.。是EG的中點(diǎn)，NEGC的平分線G/7過(guò)點(diǎn)。，交BE于點(diǎn)H,連接FH

交EG于點(diǎn)、M,連接OH.以下四個(gè)結(jié)論：?GHrBE；②XEHMsXGHF；③g=&-

CG

h④2L=2-拉，其中正確的結(jié)論是（）

、△HOG

A.①②③B,①②?C.①③④D.②③?

19.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AO上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF1BC,垂足為點(diǎn)F,將^BEF

繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)8落在邊8c上的點(diǎn)N處，點(diǎn)F落在邊OC上的點(diǎn)例處，若點(diǎn)

An

M恰好是邊CO的中點(diǎn)，那么當(dāng)?shù)闹凳牵ǎ?/p>

A2y/3p4A/3「5且N5A/3

3346

20.如圖，矩形ABCD中，AB=3,AD=4,連接BD,NDBC的角平分線BE交DC于點(diǎn)E,

現(xiàn)把△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的△BCE為4BCE.當(dāng)線段BE，和線段BC都與

線段AD相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)分別為F,G.若ABFD為等腰三角形，則線段DG長(zhǎng)為（）

二、填空題

知識(shí)點(diǎn)一、運(yùn)用相似三角形性質(zhì)求解

21.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6,AD=9,ZBAD的平分線交BC于點(diǎn)E,

交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,BG1AE,垂足為G,BG=4及，則4CEF的周長(zhǎng)為.

22.將三角形紙片SABC）按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，記為點(diǎn)8，折痕

為EF.已知AB=AC=3,8C=4,若以點(diǎn)夕，F(xiàn),C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則BF

的長(zhǎng)度是.

23.如圖，平行四邊形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，BE,CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,若△ABE

的面積為1,則4BCF的面積等于—.

24.在△ABC中，已知BD和CE分別是邊AC、AB上的中線，且BDLCE,垂足為O.若

OD=2cm,OE=4cm,則線段AO的長(zhǎng)度為cm.

知識(shí)點(diǎn)二、證明相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例

25.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)￡為49的中點(diǎn)，連接EC,過(guò)點(diǎn)E作E尸J_EC,交

AB于點(diǎn)尸，則tan/ECF=.

26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0,1）,點(diǎn)B為直線y=/x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ZABC=

90°,BC=2AB,則OC的最小值為.

27.如圖四邊形ABCD中，AD=DC,ZDAB=ZACB=90°,過(guò)點(diǎn)D作DF_LAC,垂足為F.DF

與AB相交于E.設(shè)AB=15,BC=9,P是射線DF上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)△BCP的周長(zhǎng)最小B寸，DP

的長(zhǎng)為

28.如圖，點(diǎn)A，4,Ay4在射線上，點(diǎn)用，B2,員在射線0B上，且44〃4a〃4員，

AB,//A,B2/M4B3.若△4片與，△4坊紜的面積分別為1,4,則圖中三個(gè)陰影三角形面積

之和為.

知識(shí)點(diǎn)三、利用相似三角形解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

29.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(8,0)和點(diǎn)B(0,6),點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P

在折線AOBk,直線CP截4AOB,所得的三角形與^AOB相似，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

30.如圖，在AABC中，AB=5,。為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以CQ為一邊作正方形8EF,當(dāng)

點(diǎn)。從點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

31.如圖，在中，ZC=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)尸在邊AC上，點(diǎn)E為邊BC上

的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線E尸翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處.若CF=2,則點(diǎn)P到48距離的最小

值為.

32.如圖，正方形ABCD中，BC=2,點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，連接DM,DM與AC交于點(diǎn)

P,點(diǎn)F為DM中點(diǎn)，點(diǎn)E為DC上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)NDFE=45。時(shí)，則DE=.

知識(shí)點(diǎn)四、相似三角形的判定與性質(zhì)

33.如圖，在心AA8C中，ZABC=90,AB=3,BC=4,Rt^MPN,NMPN=90l點(diǎn)P

在4c上，PM交AB于點(diǎn)E,PN交BC于點(diǎn),F,當(dāng)PE=2PF時(shí)，AP=.

34.如圖，在RfAABC中，ZACB=90°,AC=3,8c=4,CDA.AB,垂足為。，E為BC

的中點(diǎn)，AE與CO交于點(diǎn)尸，則。尸的長(zhǎng)為.

35.如圖，在菱形ABC。中，NA￡>C=60°,點(diǎn)E,F分別在4。，C￡>上，且AE=OF,AF

與CE相交于點(diǎn)G,BG與4c相交于點(diǎn)H.下列結(jié)論:①△ACF也&CG、GHBG;

2

③若OF=2CP,則CE=7Gb；?S^ABCC=^-BG.其中正確的結(jié)論有.(只填

序號(hào)即可)

36.如圖所示，AABCAEC。均為等邊三角形，邊長(zhǎng)分別為5cm,3cm,B、C、D三點(diǎn)在同

一條直線上，則下列結(jié)論正確的.(填序號(hào))

13

@AD^BE②8E=7cm③△CFG為等邊三角形④CM=^cm⑤CM平分

知識(shí)點(diǎn)五、相似三角形的綜合問(wèn)題

37.如圖，正方形ABCD中，BE=EF=FC,CG=2GD,BG分別交AE,AF于M,N.下列

4MB31

結(jié)論：?AF1BG；②BN=-NF；(§)—=-；④S四邊柩CGNF=-S㈣邊彩ANGD.其中正確的結(jié)

3MG82

論的序號(hào)是.

38.如圖，在RSABC中，NACB=90。，AC=8,BC=6,點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E

作交AC邊于點(diǎn)。，將NA沿直線DE翻折，點(diǎn)A落在線段AB上的F處,連接FC,

當(dāng)ABCF為等腰三角形時(shí)，AE的長(zhǎng)為.

39.如圖，尸是AABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作直線平行于AABC各邊，形成三個(gè)小三角形面

積分別為岳=3,$2=12,S,=27,則5AAsc=

40.在等邊△ABC中，AB=5,點(diǎn)。為BC上一點(diǎn)，BD：DC=\：4.點(diǎn)E和點(diǎn)尸分別是

AB.AC邊上的點(diǎn)，將aAEF沿EF折疊，使點(diǎn)A剛好落在點(diǎn)。處，則AF=.

三、解答題

知識(shí)點(diǎn)一、運(yùn)用相似三角形性質(zhì)求解

41.在正方形ABCD中，P為AB邊上一點(diǎn)，將4BCP沿CP折疊，得到△FCP.

(1)如圖1,延長(zhǎng)PF交AD于E,求證：EF=ED；

DF

(2)如圖2,DF,CP的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,求下的值.

ACJ

知識(shí)點(diǎn)二、證明相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例

42.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AD上的點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CF=DE,

連結(jié)BE和EF,EF與CD交于點(diǎn)G,且NFBE=NFEB.

(1)過(guò)點(diǎn)F作FHLBE于點(diǎn)H,證明：—=—；

BHBF

(2)猜想：BE、AE、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)若DG=2,求AE值.

知識(shí)點(diǎn)三、利用相似三角形解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

43.如圖，在RSABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm.動(dòng)點(diǎn)M,N從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā),

均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點(diǎn)A,B移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒

2cm的速度沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng)，連接PM,PN,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(單位：秒，0<t<2.5).

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，以A,P,M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

(2)是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

知識(shí)點(diǎn)四、相似三角形的判定與性質(zhì)

44.如圖1,在RtAABC中，ZB=90°,AB=4,BC=2,點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的

中點(diǎn)，連接DE.將ACDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a.

(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

Ap

①當(dāng)a=0。時(shí)，—=；

AE

②當(dāng)a=180。時(shí),

BD

(2)拓展探究

Ap

試判斷：當(dāng)HWa<360。時(shí)，黑的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明.

(3)問(wèn)題解決

△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A、B、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求線段BD的長(zhǎng).

知識(shí)點(diǎn)五、相似三角形的綜合問(wèn)題

45.如圖乙，△A8C和△4OE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，NR4C=ND4E=90。，點(diǎn)

P為射線8。，CE的交點(diǎn).

(1)如圖甲，將AAOE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)C、。、E在同一條直線上時(shí)，連接B。、BE,則

下列給出的四個(gè)結(jié)論中，其中正確的是哪幾個(gè).(回答直接寫序號(hào))

①BD=CE；②BD_LCE；(3)ZACE+ZDBC=45°；@BE2=2(AD2+AB2)

(2)若AB=6,AD=3,把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)：

①當(dāng)NCAE=90。時(shí)，求PB的長(zhǎng)；

②直接寫出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段PB長(zhǎng)的最大值和最小值.

參考答案

1.D

【分析】

過(guò)F作FHLAE于H,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=CD,AB//CD,推出四邊形AECF是平行四邊形,

ArAn

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AF=CE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到美=矍，于是得到

AFFH

AE=AF,列方程即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：如圖:

解:過(guò)F作FHLAE于H,v四邊形ABCD是矩形,

AB=CD,AB〃CD,

1??AE//CF,四邊形AECF是平行四邊形，

AF=CE,，DE=BF,

...AF=3-DE,

AE=V4+￡)E2.

/FHA=/D=/DAF=90”,

AZAFH+ZHAF=ZDAE+ZFAH=90,AZDAE=ZAFH,

△ADE~AAFH,

AE=AF,

〃+￡>爐=3-DE、

?.DE。，

6

故選D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及三角形相似，做合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

2.D

【詳解】

試題解析：'JGE//DF,

：.NEGF=NDFG.

???由翻折的性質(zhì)可知：GD=GE,DF=EF,NDGF=NEGF,

：.NDGF=NDFG.

...GD=O凡故①正確；

：.DG=GE=DF=EF.

四邊形EFCG為菱形.故②正確；

如圖1所示：連接CE,交AF于點(diǎn)0.

?.?四邊形EFDG為菱形，

：.GF±DE,OG=OF=^GF.

'：ZDOF=ZADF=90°,NOFD=NDFA,

.,.△DOF^AADF.

A—=—,即DF^FOAF.

AFDF

；FO=3GF,DF=EG,

：.EG2=^GF-AF.故③正確；

如圖2所示：過(guò)點(diǎn)G作G”，QC,垂足為H.

'：EG2=^GF-AF,AG=6,EG=2^5,

.?.20=gFG(FG+6),整理得：FG2+6FG-40=0.

解得：FG=4,FG=-10(舍去).

,:DF=GE=26AF=10,

AD=y/AF2-DF2=46.

'：GHLDC,AD1DC,

J.GH//AD.

:.叢FGHs叢FAD.

-GH=FG嗎上

ADAF'147510,

:.GHqB.

o12r—

:.BE=AD-GH=4也-三小=—卮故④正確.

55

故選D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查的是四邊形與三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、

菱形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用.利用相似三角形的性質(zhì)得

到DF^FOAF是解題答問(wèn)題②的關(guān)鍵，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得GH的長(zhǎng)是解答問(wèn)題④

的關(guān)鍵.

3.D

【解析】

【分析】根據(jù)軸時(shí)稱的性質(zhì)，可得C的對(duì)稱點(diǎn)C\然后過(guò)U作垂線可得CE,再根據(jù)垂線

段最短可知CD+DE最短，再利用直角三角形的性質(zhì)求得CC的長(zhǎng)，繼而得知

△CC'E^AABC,利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求出答案.

【詳解】

過(guò)C作C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C，，然后過(guò)C作C，E，BC,垂足為E,交AB于D,則

CE=C，D+DE=CD+DE最短，

VAC=4,BC=8

AB=4\/5

.eACBC8不

??CF=-----------=--------

AB4

即CC=3叵

4

■:NC+NCCB=NB+NCCB=90。

ZC?=ZB

???△CCEs/iABC

.CECC'

32

???C'E=—

5

【點(diǎn)撥】此題主要考查了最短路徑問(wèn)題，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判

定與性質(zhì)，注意找到D、E的位置是解題關(guān)鍵.

4.A

【分析】

根據(jù)“一線三等角“，通過(guò)構(gòu)造相似三角形ADEC?AAHD,對(duì)m的取值進(jìn)行分析討論即可求

出m的值.

【詳解】

由已知得04=OB=m,Z.OAB=/OBA=45°,Z_ADC=45.

如圖，在y軸負(fù)半軸上截取。石=OC,可得A0CE是等腰直角三角形，

NCEO=/DBA=45°.

又,:Z.CDE+Z.ADB=Z.CDE+ZDCE=135°,

：.ZADB=ZDCEf:.SABD?NDEC,

.ABBD

，9~DE~~CEf

m

—

即-=解得加=0（舍去）或加=12的值是12.

%+22及

2

【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)還需注意分類討論的數(shù)學(xué)思

想的應(yīng)用

5.D

【分析】

根據(jù)新定義得N2=N3QDQFsaFQE,運(yùn)用對(duì)應(yīng)邊成比例即可解題.

【詳解】

解：如下圖，在等腰直角三角形DEF中，/EDF=90。，DE=DF,/l=/2=/3,

VZ1+ZQEF=Z3+ZDFQ=45°,

/QEF=/DFQ,

N2=N3

.,.△DQF^AFQE,

DQFQDF1

‘五'=至=國(guó)=方

：DQ=1,

；.FQ=應(yīng),EQ=2,

；.EQ+FQ=2+72

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查了新定義和三角形的相似，屬于簡(jiǎn)單題，通過(guò)新定義證明三角形的相似是解

題關(guān)鍵.

6.C

【分析】

①證明NEAC=NACB,NABC=/AFE=90。即可得到；

ApAp1[Ap1

②由AD〃BC,推出AAEFs/XCBF,得到,由AE=；AD=；BC,得到==

BCCF22CF2

即CF=2AF；

③作DM〃EB交BC于M,交AC于N,證明DM垂直平分CF,即可證明；

In

④設(shè)AE=a,AB=b,則AD=2a,根據(jù)△BAES/\ADC,得到巳=a，即b=0a,CD:AD=

ab

血：2.

【詳解】

解：①如圖，過(guò)D作DM〃BE交AC于N,

:四邊形ABCD是矩形,

，AD〃BC,NABC=90°,AD=BC,

VBE1AC于點(diǎn)F,

/.ZEAC=ZACB,/ABC=NAFE=90。,

.-.△AEF-ACAB,故①正確；

②：AD〃BC,

/.△AEF^-ACBF,

.AE_AF

"~BC~'CF'

VAE=1AD=yBC,

A171

?*----=-，即CF=2AF,

CF2

...CF=2AF,故②正確；

③作DM〃EB交BC于M,交AC于N,

：DE〃BM,BE〃DM,

???四邊形BMDE是平行四邊形，

.,.BM=DE=yBC,

，BM=CM,

；.CN=NF,

；BE_LAC于點(diǎn)F,DM〃BE,

；.DN_LCF,

Z.DM垂直平分CF,

；.DF=DC,

而FC/DC故③錯(cuò)誤：

④設(shè)AE=a,AB=b,則AD=2a,

由ABAE^AADC,

,即Jj=0a,CD:AD=—=^2L,

故④正確,

ab2a2

綜上所述正確的是①②④,

故選c.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算以及解直

角三角形的綜合應(yīng)用，正確的作出輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

7.D

【分析】

假設(shè)宜線與/OAB的平分線交x軸點(diǎn)C,交y軸于D,易求得OA=3,OB=4,AB=5,OD=b，且直

線與AB平行，利用角平分線性質(zhì)可得=g="再由平行線分線段成比例得生=隼,

CBAB5OAAB

b

即W3，解得方=9/結(jié)合圖象，19利用排除法即可得到答案.

35+382o

【詳解】

假設(shè)直線與NOAB的平分線交x軸點(diǎn)C,交y軸于D,如圖：

VA(O,3),B(4,0),

3

???OA=3,OB=4,AB=5,且直線AB斜率等于一二，

4

3

由直線y=--x+b知OD=b,且直線與AB平行，

4

VAC平分NOAB,

.PCOA3

一瓦一花一，

??,直線與AB平行，

.ODOC,b3

??=,卜HIJt-=,

OAAB35+3

解得6=/9

O

319

結(jié)合圖象直線y=—匕的位置，b的范圍為

利用排除法，

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)和平行線分線段成比例，利用假設(shè)法和排除法解答是選

擇題的一種技巧.

8.B

【分析】

根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，再變形，結(jié)合相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可判斷

各個(gè)選項(xiàng).

【詳解】

解：VAB/7CD

.PHCH

??麗―麗

?,?A選項(xiàng)正確，不符合題目要求;

VAE//DF,

.'.△CEG^ACDH,

.GE=CG

"D/7"C/7

.EGPH

**CG-CH'

VAB/7CD,

.CHDH

^~CB~~DF'

.DHDF

，eCH-CB，

?GEDF

"CG-cF,

.GECG

^~DF~~CB'

，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題目要求；

VAB//CD,AE〃DF,

???四邊形AEDF是平行四邊形，

AAF=DE,

VAE/7DF,

.DEGH

，U~CE~~GC'

AF_HG

~CE=~CG；

?,?C選項(xiàng)正確，不符合題目要求;

VAEZ/DF,

.,.△BFH^ABAG,

.FHBF

??前一耘’

?,?D選項(xiàng)正確，不符合題目要求.

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能根據(jù)定

理得出比例式是解此題的關(guān)鍵.

9.A

【分析】

過(guò)A點(diǎn)作△ABC的高AH,過(guò)E點(diǎn)作EG垂直于BC,垂足為G.RsEDG中根據(jù)勾股定理

可用x來(lái)表示EG=J10y-25,由已知可知AH=3EG,即可得到^ABC的面積ABC-X

=9同二方，通過(guò)變形即可得到答案.

【詳解】

解：過(guò)A點(diǎn)作△ABC的高AH,過(guò)E點(diǎn)作EG垂直于BC,垂足為G

；.EG〃AH,

.GCCEEG

**C/7-AC-AW'

又：AE=2EC,

AGC--CH,EG--AH

33

"：AB=AC,BC=6,

；.CH=BH=3,GC=1,BG=5,

在RSEDG中，EG'+DG1=ED2,

?設(shè)BD=.y,則DG=5-y,BD=DE=y,

?*.EG=yjy2-（5-y）2=J10y-25,

；.AH=3jl0y-25

△ABC的面積SAABC=；xBCxAH=gx6x3jlOy-25=9^1Oy-25,

即：x=9jl0y-25,

故選A

【點(diǎn)撥】本題考查了幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，利用勾股定理找到三角形高與BD的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)

鍵.再利用三角形面積公式轉(zhuǎn)化即可得到函數(shù)解析式.

10.C

【分析】

首先設(shè)ts時(shí)4ABC與以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形相似，則BP=t,CQ=2t,BQ=BC-CQ=6-2t,

然后分兩種情況當(dāng)△BAC^ABPQ和當(dāng)△BCAs^BPQ討論.

【詳解】

解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為描則

BP=t,CQ=2t,BQ=BC-CQ=6-2t,

當(dāng)△BACSMPQ，冷箭

當(dāng)△BCASABPQ,器=翳，

t6—2f.,,..9

即Hn￡=——，解z得f=￡，

oo5

24Q

綜上所述，當(dāng)以8,P,。為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為yys或（s,

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的運(yùn)用.

11.A

【分析】

連接BE、EM、BM,作BE的垂直平分線GH分別與DA的延長(zhǎng)線、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G、

H,過(guò)D作DNLGH于點(diǎn)N,連接EH,過(guò)H作HKLAD,與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K,根

據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，知BM=EM,說(shuō)明M點(diǎn)在BE的垂直平分線

GH上，當(dāng)M與N點(diǎn)重合時(shí)DM=DN的值最小，根據(jù)矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形

的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求得DN便可.

【詳解】

連接BE、EM、BM,作BE的垂直平分線GH分別與DA的延長(zhǎng)線、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G、

H,過(guò)D作DNLGH于點(diǎn)N,連接EH,過(guò)H作HKJ_AD,與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K,

；/ABC=/PEF=90。，M是PF的中點(diǎn),

，無(wú)論P(yáng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，M點(diǎn)始終在BE的垂直平分線上,

???M點(diǎn)在GH匕

當(dāng)M與N點(diǎn)重合時(shí)，DM=DN的值最小，

設(shè)EH=x,

???GH是BE的垂直平分線，

???BH=EH=x,

.'.ZEHG=ZBHG,

VGD/7BH,

AZEHG=ZBHG=ZG,

EG=EH=x,

:ZABH=ZBAK=ZK=90°,

???四邊形ABHK為矩形，

???AK=BH=x,AB=KH=6,

???AD=8,點(diǎn)E在邊AD上，且AE：ED=1：3,

???AE=2,ED=6,

???EK=AK-AE=x-2,

VEH2-EK2=KH2,

Ax2-(x-2)

解得,x=10,

.".GE=x=10,

GD=EG+DE=x+6=10+6=16,

VOE/7DN,

.'.△GEO^AGDN,

.EOGE10_5

??麗一班一記一國(guó)’

8

.'.DN=-EO,

BE=>]AB2+AE2=J36+4=2>/10，

.,.EO=1BE=VW,

￡W=|加,

即線段DM長(zhǎng)的最小值為亞，

5

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)、相似三角形、直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等，

靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.

12.C

【分析】

由點(diǎn)P為BD中點(diǎn)時(shí)，MC=O#MF,可得①錯(cuò)誤；連接PC,交EF于0,由點(diǎn)P在BD上，

可得AP=PC,根據(jù)PFLCD,PE1BC,/BCF=90°可得四邊形PECF是矩形，可得EF=PC,

即判斷②正確；利用SSS可證明△APD絲ZiCPD,可得/DAP=/DCP,由矩形的性質(zhì)可得

ZOCF=ZOFC,即可證明NDAP=/0FC,可得/DAP+/AMD=/OFC+NAMD=90。，即

可判斷③正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NDAP=/H,可得/DCP=/H,由NHPC是公共角

可證明ACPMs^HPC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得痣=塞，根據(jù)PC=AP即可判斷④

PHPC

叱河，「PC—BD肘PC的僚最小，限據(jù)等腰自內(nèi)件皮廠求鼻PC的最I(lǐng)、化為、/“

根據(jù)EF=PC即可判斷⑤正確；綜上即可得答案.

【詳解】

當(dāng)點(diǎn)P為BD中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，MC=0,MF,故①錯(cuò)誤，

連接PC,交EF于0,

?.?點(diǎn)P在BD上，BD為正方形ABCD的對(duì)角線，

；.AP=PC,

VPF1CD,PE1BC,ZBCF=90°,

四邊形PECF是矩形，

；.EF=PC,

；.AP=EF,故②正確，

VAD=CD,AP=PC,PD=PD,

.,.△APD^ACPD,

；./DAP=NDCP,

?.?四邊形PECF是矩形，

/.ZOCF=ZOFC,

AZDAP=ZOFC,

???ZDAP+ZAMD=ZOFC+ZAMD=90°,

/.ZFGM=90°,即AH_LEF,故③正確，

VAD//BH,

AZDAP=ZH,

VZDAP=ZDCP,

AZMCP=ZH,

VZCPH為公共角，

.'.△CPM^AHPC,

.PCPM

??f

PHPC

VAP=PC,

...APJPMWH,故④正確，

當(dāng)PCLBD時(shí)，PC有最小值，PC=yBD=V2,

VPC=EF

；.EF的最小值為亞，故⑤正確，

綜上所述：正確的結(jié)論有②③④⑤，共4個(gè)，

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握

相似三角形的判定定理及正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

13.B

【分析】

過(guò)F作FH1AD于H,交ED于0,于是得到FH=AB=2,根據(jù)勾股定理得到AF=1FH+AH

=歷石=2夜，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，0H=；AE=g,由相似三角形的性質(zhì)

得到而'=而=亍=|，求得AM=：AF=^Z,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到絳=隹=彳，

-5o4FNB卜2

求得AN==AF=5E,即可得到結(jié)論.

55

【詳解】

過(guò)F作FH±AD于H,交ED于0,則FH=AB=2.

VBF=2FC,BC=AD=3,

ABF=AH=2,FC=HD=1,

AF=dFH?+AH?=A/22+22=2夜，

VOH/7AE,

,HODH\

??——?

AEAD3

AOH=-AE=-,

33

.e.OF=FH-OH=2-

33

VAE^FO,AAAME^AFMO,

AMAE]「

-----==-33

/.FMFO5=-,.?.AM=9AF=&,

3584

VAD/7BF,.".△AND^AFNB,

.ANAD3

AAN=-AF=^,

55

.Xy|XT_XT??_65/23\/2_9>/243生D

??MN—AAN-AAM=-------------------,故J比B.

5420

【點(diǎn)撥】構(gòu)造相似二角形是本題的關(guān)鍵，且求長(zhǎng)度問(wèn)題一般需用到勾股定理來(lái)解決，常作垂

線

14.C

【分析】

首先證明AG：AB=CH：BC=1：3,推出GH〃AC,推出△BGHs2^BAC,可得

甘S.四Dr=百S空?A￡r=(.BA)-=(,3)2,2=9(S四=1由此即可解決問(wèn)題.

【詳解】

???四邊形ABCD是平行四邊形

AAD=BC,DC=AB,

VAC=CA,

.'.△ADC^ACBA,

?*?SAADC=SAABC,

VAE=CF=-AC,AG〃CD,CH〃AD,

4

AAG：DC=AE：CE=1：3,CH：AD=CF：AF=1：3,

AAG：AB=CH：BC=1：3,

AGH/7AC,

.S.)c_S&BAC_(8A)2=(3)2=2

SABGHSABGHBG24

SAnr1

，

?0S^ADC―,3

-S---A-D-C-——9X1———3

S.BGH434.

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、

等高模型等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

15.C

【分析】

由正方形的性質(zhì)可得NBAD=/C=/E=NEFB=NBGF=90。，AD//BC,繼而可得四邊形

CEFM是矩形，ZAGF=90°,由此可得AH=FG,再根據(jù)/NAH=NNGF,ZANH=ZGNF,

可得△ANH/ZXGNF(AAS),由此可判斷①正確；由AFHAH,判斷出NAFN，/AHN,即

ZAFN^ZHFG,由此可判斷②錯(cuò)誤；證明△AHK^AMFK,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可對(duì)③

進(jìn)行判斷；分別求出SAANF、SAAMD的值即可對(duì)④作出判斷.

【詳解】

,四邊形ABCD、BEFG是正方形,

ZBAD=ZC=ZE=ZEFB=ZBGF=90°,AD//BC,

二四邊形CEFM是矩形，ZAGF=180°-ZBGF=90°

，F(xiàn)M=EC,CM=EF=2,FM//EC,

AAD//FM,DM=2,

為AD中點(diǎn)，AD=4,

；.AH=2,

VFG=2,

.\AH=FG,

,?ZNAH=ZNGF,ZANH=ZGNF,

?二△ANH絲△GNF(AAS),故①正確；

.'.ZNFG=ZAHN,NH=FN,AN=NG,

VAF>FG,

AAF^AH,

AZAFN^ZAHN,即NAFN#NHFG,故②錯(cuò)誤；

VEC=BC+BE=4+2=6,

.'.FM=6,

VAD//FM,

/.△AHK^AMFK,

.FKFM_63

AFK=3HK,

VFH=FK+KH,FN=NH,FN+NH=FH,

AFN=2NK,故③正確；

VAN=NG,AG=AB-BG=4-2=2,

AAN=1,

**?SAANF=_ANFG=—x1x2=1,SAAMD=-AD-DM=—x4x2=4,

2222

?'?SAANF：SAAMD=1：4,故④正確，

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三

角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)內(nèi)

容是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

16.D

【分析】

本題需先求出OAi和OA2的長(zhǎng)，再根據(jù)題意得出OAn=2,把縱坐標(biāo)代入解析式求得橫坐標(biāo)，

然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求得Sioo.

【詳解】

二點(diǎn)4的坐標(biāo)是

=1,

；點(diǎn)4在