專題10勾股定理的綜合探究題型（原卷版）題型一探究直角三角形的邊和高之間的關系典例1（湖州模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，設AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h，有下列四種說法：①a?b＝c?h；②a+b＜c+h；③以a+b、h、c+h為邊的三角形，是直角三角形；④1aA．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型二捕捉“手拉手”全等模型或旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手全等”模型典例2（2022?臥龍區(qū)校級開學）如圖，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，點D，E為BC邊上的兩點，且∠DAE＝45°，連接EF，BF，下列結(jié)論：①△AED≌△AEF；②BF＝CD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2＝DE2．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個典例3（2020?濱州模擬）如圖，點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若將△APB繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△CQB，則∠APB的度數(shù)．針對練習1．（洪山區(qū)期中）如圖，∠AOB＝30°，P點在∠AOB內(nèi)部，M點在射線OA上，將線段PM繞P點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，M點恰好落在OB上的N點（OM＞ON），若PM=10，ON＝8，則OM＝

2．（2020秋?永嘉縣校級期末）如圖，在△AOB與△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，AO＝BO，CO＝DO，連接CA，BD．（1）求證：△AOC≌△BOD；（2）連接BC，若OC＝1，AC=7，BC①判斷△CDB的形狀．②求∠ACO的度數(shù)．題型三倍長中線構(gòu)造全等三角形典例4（2022?蘇州模擬）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB中點，DE，DF分別交AC于點E，交BC于點F，且DE⊥DF．（1）如果CA＝CB，連接CD．①求證：DE＝DF；②求證：AE2+BF2＝EF2；（2）如圖2，如果CA＜CB，探索AE，BF和EF之間的數(shù)量關系，并加以證明．

題型四以兩個直角三角形的公共邊或等邊為橋梁運用雙勾股典例5[閱讀理解]如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，過點A作直線BC的垂線，垂足為D，求線段AD的長．解：設BD＝x，則CD＝7﹣x．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2．又∵AB＝4，AC＝6，∴42﹣x2＝62﹣（7﹣x）2．解得x＝，∴BD＝．∴AD＝＝．[知識遷移]（1）在△ABC中，AB＝13，AC＝15，過點A作直線BC的垂線，垂足為D．i）如圖1，若BC＝14，求線段AD的長；ii）若AD＝12，求線段BC的長．（2）如圖2，在△ABC中，AB＝，AC＝，過點A作直線BC的垂線，交線段BC于點D，將△ABD沿直線AB翻折后得到對應的△ABD′，連接CD′，若AD＝，求線段CD′的長．

針對訓練1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交CB于點D．若AC＝3，AB＝5，則CD的長為（）A． B． C． D．2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，BF平分∠ABC交AD于點E，交AC于點F．AC＝17，AD＝15，BC＝28，則AE的長等于．題型五勾股定理解決折疊問題典例6（2022?東莞市校級二模）將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點G．若DC＝5，CM＝2，則EF＝（）A．3 B．4 C．29 D．34針對訓練1．如圖，將一張長方形紙片沿著AE折疊后，點D恰好與BC邊上的點F重合，已知AB＝6cm，BC＝10cm，求EC的長度．

題型六勾股定理在平面直角坐標系背景下的應用典例7（2017春?武昌區(qū)校級月考）如圖，A（0，m），B（n，0），滿足(m?5)2+n2（1）求點A，點B的坐標；（2）點P是第二象限內(nèi)一點，過點A作AC⊥射線BP，連接CO，試探究BC，AC，CO之間的數(shù)量關系并證明．（3）在（2）的條件下，∠POC＝∠APC，PA＝42，求PB的長．針對訓練1．（2022秋